ECUACION GENERAL DE LAS CONICAS Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 2 Discriminante B
2
B − 4 AC =
0 2 B − 4 AC < 0 2
B − 4 AC >
0
4 AC
Parábola Elipse Hipérbol a
e=
Semiejes
Excentricidad:
a = semieje mayor b = semieje semieje menor
e <1
Circunferencia Elipse
e >1
Hipérbola
e =
b = semieje focal focal
e =
0
c a
Parábola
1
CIRCUNFERENCIA Con el centro en
Con el centro en el origen 2
2
Forma General
h, k
2
x
x + y = r
h
2
y
k
2
r 2
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
PARÁBOLA Con el vértice en el origen
Con el vértice en h, k x
Vertical
Horizon tal
2
x
h
y
4p y
k
El signo negativo aplica cuando abre acia aba!o"
4 py
y 2
2
4 px
k
2
4p x
h
El signo negativo aplica cuando abre a la iz#uierda"
Lado recto Lr
4p
Directriz y h, k Foco
p
k
p
Directriz x h p h p, k Foco
ELIPSE $elaci%n entre a& b ' c :
Con el centro en Con el centro en el origen
Vertical Horizon tal
x
2
b
2
y
2
a
2
x 2
y2
a2
b2
1
h, k d ( P , F1 ) x
h b
1
a2
x
y
2
h a
2
d ( P , F2 ) k a
2
y
2
b
2b
Lr
1
1
Focos( 1 F2 h c , k
2
a
Lado recto( Focos( 1 F2 h c , k
&
F h c, k
2
2
c2
F h c, k
2
2
k
2a
b2
&
HIPÉRBOLA $elaci%n entre a& b ' c: Con el centro en el origen
Con el centro en
c
2
a
2
b
2
h, k
Lr
2b
a
Lado recto( h, k
Vértices( Vertical
x 2
y2
b2
a2
1
x
h b
2
2
y
k a
2
2
1
Focos(
h, k y
)s*ntotas(
2
a
c k
a b
x
h
h a , k
Vértices( Horizon tal
x 2
y2
a2
b2
1
x
h a
2
2
y
k b
2
2
1
Focos(
h c , k y
)s*ntotas(
k
b a
x
h
+ombre( ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Curso( ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Paralelo( ,,,,,,,,,, Feca(
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
1. -denti.ca cada una de las siguientes c%nicas ' establece sus elementos más importantes"
Ecuación
Cónica
Cent!
Ra"i !
#
$%tice&'(
0 0 a/ 1 + ' + 01 + 0' + 2 = 3
b/ 010 + 0'0 − 41 + 4' +25 = 3 0 0 c/ 1 + 4' = 233
0 0 d/ 61 − 7' = 203 0 e/ ' = 781
0 f/ ' = 1 − 01+ 7 0 g/ 1 = −7' + ' + 9
). Hallar las ecuaciones de las parábolas #ue veri.can(
( 3& 8) " a/ :u directriz es ' = −8 ' su foco b/ :u vértice
( 0& 3) ' su foco ( 8& 3) "
Ecuaci%n(
10 = 04'
Ecuaci%n(
'0 = 281 − 70
F!c!&'(
a
b
c
Cicun*eencia Ecua ci%n pri nci pal ( 0 0 C( ( 1 − ) + ( ' − ;) = r0
Centro( ( & ;) $adio = r Ecua ci%n gen eral ( C( 10 + '0 + D1+ E' + F = 3 0 0 Para #ue la circunferencia e1ista se debe cumplir( D + E − 4F > 3
Pa+b!,a Ecuaci%n principal
Vertice( ( & ;) Foco( ( &; + p) Directriz( ' = −p :i p es positivo la parábola abre acia arriba& en cambio s* p es negativo abre acia aba!o" Ecuaci%n general
P(10 + D1 + E' + F = 3 Ecua ci%n pri nci pal
P( ( ' − ;)
0
( 1 −)
= 4p
Vertice( ( &;) Foco( ( + p&;) Directriz( 1= −p :i p es positivo la parábola abre acia la dereca& en cambio s* p es negativo abre acia la iz#uierda" Ecuaci%n general
P('0 + D1 + E' + F = 3
E,i#'e El e!e ma'or de una elipse se encuentra siempre en la coordenada #ue es dividida por a& siendo a=b" Ecuaci%n principal /(
( 1− )
0 +
( ' − ;)
a b Centro( ( &;)
0 =
2
c = a0 − b0 Focos( F2 ( − c& ;) ? F0 ( + c& ;) Vertices( V2 ( − a& ;) ? V0 ( + a&;) ? V7( &; − b) ? V4 ( &; + b)
E1centricidad( e =
c a
Ecuaci%n principal
( 1− ;)
0 +
( ' − )
0 =
a b Centro( ( &;)
2
c = a0 − b0 Focos( F2 ( & ;− c) ? F0 ( & ;+ c) Vertices( V2 ( &; − a) ? V0 ( & ;+ a) ? V7( − b&;) ? V4 ( + b&;) E1centricidad( e =
c a
Ecuaci%n general(
E()10 + A'0 + D1 + E' + F = 3 ? Con
) )
=
A A
Hi#%b!,a El e!e transversal de una ipérbola& se encuentra siempre en la coordenada #ue es dividida por a& siendo
a> b
"
Ecuaci%n principal /(
( 1− ;)
0 −
( ' − )
0 =
a b Centro( ( & ;)
2
c = a0 + b0 Focos( F2 ( − c& ;) ? F0 ( + c& ;)
Vertices( V2 ( − a&;) ? V0 ( + a&;) c a b )sintotas( ' − ; = ± ( 1 − ') a
E1centricidad( e =
E cu ac i% n p ri nci pa l
( 1− )
0 −
( ' − ;)
0
a b Centro( ( & ;)
=
2
c = a0 + b0 Focos( F2 ( & ;− c) ? F0 ( & ;+ c)
Vertices( V2 ( & ; − a) ? V0 ( & ; + a) E1centricidad( e =
c a
a )sintotas( ' − ; = ± ( 1 − ') b Ecuaci%n general(
H()10 + A'0 + D1 + E' + F = 3 ? Con
) )
=
A A
Ecuación -enea, "e ,a' cónica' La ecuaci%n general de las c%nicas es( )10 + A'0 + D1+ E' + F = 3 Donde( • :i ) = A = 3 & la curva es una recta" • :i ) = A ≠ 3 & la c%nica es una circunferencia" • •
) = 3 %A = 3
:i & la c%nica es una parábola" :i ) ≠ A ≠ 3 ( B :i& signo de ) signo de A& la c%nica es una elipse" B :i& signo de ) signo de A& la c%nica es una ipérbola"
E'tu"i! "e ,a ecentici"a" e= :e de.ne la e1centricidad de una c%nica como el cociente( valores de e nos sirven también para identi.car las c%nicas( 0
0
c a " Los distintos
c = 3 ? por tanto los focos coinciden ' a + b = 3 → a = b " C-$C+FE$E+C-)" ). :i e > 2 " EL-P:E" e = 2 → c = a → a0 = b0 + c0 → b = 3 /. :i "" $EC)" 0. :i e > 3 H-PE$AL)"
1. :* e = 3
→
