GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, –2) y de radio 3. La distancia de X de X = ( x, x, y) al punto (5, –2) es 2 2 d = ( x − 5) + ( y + 2) Para que el punto esté sobre la circunferencia se ha de verificar:
( x − 5) 2 + ( y + 2) 2 = 3 x2 – 10 – 10 x x + 25 + y2 + 4 y + 4 = 9
⇒
( x x – 5)2 + (y + 2)2 = 9 x2 + y2 – 10 x 10 x + 4 y 4 y + 20 = 0
o
Calcular la ecuación de la circunferencia de centro C = C = ( 1, 1) y que contiene al punto P = P = (–2, 3).
Así la ecuación es:
2 2 r = d ( d (C , P ) = (−2 − 1) + (3 − 1) = 13 ( x x – 1)2 + ( y y – 1)2 = 13 o x2 + y2 – 2 x 2 x – 2 y – 11 = 0
Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto C = (3, 4) y es tangente a la recta x recta x – – 2 y + 3 = 0 El radio es la distancia del centro a una recta tangente:
r = r =
La ecuación es:
3 − 2·4 + 3 12 + ( −2) 2
=
−2 5
=
2 5
2 ( x x – 3) + ( y y – 4) = 5 2
2
2
Operando, resulta: 5 x2 + 5 y 5 y2 – 30 x 30 x – 40 y 40 y + 121 = 0
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A = (3, 2), B = (2, 4) y C = C = (–1, 1)? La ecuación de una circunferencia cualquiera es de la forma x2 + y2 + A x + B y + C = 0 Para que dicha circunferencia contenga a todos los puntos dados, éstos han de verificar la ecuación: A = (3, 2) ⇒ 32 + 22 + 3 A + 2 B + C = C = 0 ⇒ 3 A + 2 B + C = C = –13 2 2 B = (2, 4) ⇒ 2 + 4 + 2 A + 4 B + C = C = 0 ⇒ 2 A + 4 B + C = C = –20 2 2 C = C = (–1, 1) ⇒ (–1) + 1 – A A + B + C = C = 0 ⇒ – A + B + C = C = –2 Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se obtiene: 5 13 2 A = − ; B = − ; C = C = 3 3 3 5 13 2 Así, la ecuación pedida es: x es: x2 + y2 − x − y + = 0 3 3 3
a) Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0, 2), (0, –2) y (–1, 1). b) Determina los valores de "m" tales que el punto (3, m) esté en la circunferencia determinada en el apartado a). a) La ecuación de a circunferencia pedida es de la forma ( x – a)2 + ( y – b)2 = r 2, que desarrollándola se transforma en x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 con c = a2 + b2 – r 2, siendo C = (a, b) el centro de la circunferencia y r el radio de la misma. Como pasa por los puntos (0, 2), (0, –2) y (–1, 1), sustituyéndolos en la ecuación de la circunferencia se obtiene el siguiente sistema 0 + 4 − 0 − 4b + c = 0 − 4b + c = −4
0 + 4 − 0 + 4b + c = 0 1 + 1 + 2a − 2b + c = 0
⇒
4b + c = −4 2a − 2b + c = −2
Resolviéndolo se obtiene a = 1, b = 0 y c = – 4 de donde r = a 2 + b 2 − c = 5 Por tanto la circunferencia pedida es: ( x – 1)2 + y2 = 5 b) Como (3, m) pertenece a la circunferencia, entonces ha de cumplir su ecuación: (3 – 1) 2 + m2 = 5 ⇒ m2 = 1 ⇒ m = ±1
Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A = (1, 6) y B = (5, 2) y tiene su centro sobre la recta y = 2 x . La ecuación de una circunferencia es de la forma ( x – a)2 + ( y – b)2 = r 2, que desarrollándola se transforma en x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 con c = a2 + b2 – r 2, siendo C = (a, b) el centro de la circunferencia y r el radio de la misma. Como el centro (a, b) está en la recta y = 2 x, tenemos la ecuación b = 2a. Como pasa por los puntos (1, 6) y (5, 2), sustituyendo estos puntos en la ecuación de la circunferencia se obtienen las siguientes ecuaciones: 1 + 36 – 2a – 12b + c = 0 25 + 4 – 10a – 4b + c = 0 b = 2a
Resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
2a + 12b − c = 37 obtenemos 10a + 4b − c = 29
a = 1, b = 2 y c = –11, por tanto: r = a 2 + b 2 − c = 1 + 4 + 11 = 16 = 4 luego la circunferencia pedida es: ( x – 1)2 + ( y – 2)2 = 42.
a) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C = (3, 2) y una de cuyas rectas tangentes tiene por ecuación 4 x – 3 y – 5 = 0. b) Determina si el punto X = (3, 3) es interior, es exterior o está en la circunferencia. a) El radio de la circunferencia pedida viene dado por la distancia del punto C a la recta dada r . Para calcular dicha distancia podemos proceder del siguiente modo: Calculemos la recta perpendicular a r ≡ 4 x – 3 y – 5 = 0 que pasa por el centro C = (3, 2). Un vector normal a r , y por tanto vector G
director de la perpendicular buscada, es n = (4, –3). Así: x − 3 y − 2 = ⇒ s ≡ 3 x + 4 y – 17 = 0 s ≡ 4 −3 Consideremos el punto A, intersección de r y s: r ≡ 4 x – 3 y – 5 = 0 s ≡ 3 x + 4 y – 17 = 0
Resolviendo el sistema, el punto A es: A = ( x, y) = (71/25, 53/25) El radio de la circunferencia pedida es d ( A, C ): 2
Radio = d ( A, C ) =
2
71 53 3 − +2− = 25 25
(4 / 25) 2 + ( −3 / 25) 2 = 5/25 = 1/5
La circunferencia pedida es: ( x – 3)2 + ( y – 2)2 = (1/5)2 b) Una manera de comprobar la posición de X respecto a la circunferencia, es viendo como es la distancia al centro: d ( X , C ) = (3 − 3) 2 + (3 − 2) 2 = 0 2 + 12 = 1 Como esta distancia es mayor que el radio de la circunferencia, entonces el punto X es exterior a la misma. Otra forma de ver si el punto X = (3, 3) es interior, exterior o está en la circunferencia, es estudiando la potencia del punto X respecto a la circunferencia. Si es positiva el punto es exterior, si es negativa el punto es interior y si es nula pertenece a la circunferencia. Veámoslo: Pot C ( X ) = (3 – 3) 2 + (3 – 2) 2 – (1/5)2 = 24/25 > 0 Por tanto el punto X es exterior a la circunferencia.
Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es x 2 + y2 – 4 x + 6 y + 3 = 0. A 4 a=− = =2 2 2 Centro C = (2, –3). B 6 b = − = − = −3 2 2 r=
A 2 + B 2 − 4C 4
=
40 4
= 10
Hallar el ecuación reducida de la elipse sabiendo que tiene por focos: a) F =(2, 0) y F ’ = (–2, 0) y suma de distancias es 5. b) F =(0, 2) y F ’ = (0, –2) y suma de distancias es 5. a) El centro de la elipse será el punto medio de los focos. Por tanto: Centro = (0, 0). Por otra parte,
la distancia focal es d ( F , F ’) =
(2 − (−2)) 2 + 0 2 = 4 2 = 4.
Como d ( F , F ’) = 2c, se deduce que c = 2. Calculamos los otros parámetros de la elipse. Suma de distancias 5 25 2a = 5, de donde a = , y de aquí a2 = . Por tanto, conocidos 4 2 a y c, calculamos b: 25 9 b2 = a2 – c2= – 4 = 4 4 2 x 2 y Por lo tanto, la ecuación reducida es: + =1 ⇒ 25 9
4 x 2 25
+
4 y 2 9
=1
4 4 b) El centro de la elipse será el punto medio de los focos. Por tanto: Centro = (0, 0). Por otra parte, la distancia focal es d ( F , F ’) =
(2 − (−2)) 2 + 0 2 = 4 2 = 4.
Como d ( F , F ’) = 2c, se deduce que c = 2.
Calculamos los otros parámetros de la elipse. Suma de distancias 5 25 2a = 5, de donde a = , y de aquí a2 = . Por tanto, conocidos 2 4 a y c, calculamos b: 25 9 b2 = a2 – c2= – 4 = 4 4
x 2 y 2 Por lo tanto, la ecuación reducida es: + =1 ⇒ 9 25 4
4 x 2 9
+
4 y 2 25
=1
4
Halla la ecuación reducida de la elipse conociendo: a) A = (10, 0), A’= (–10, 0) y la excentricidad es e = 0,2. b) B = (0, 4), B’ = (0, – 4) y excentricidad e = 0,5. a) Calculamos los parámetros de la elipse: Al ser el vértice A = (10, 0) se deduce que a = 10, de donde a2 =100. c c Por otra parte, la excentricidad se define como e = . Así pues 0,2 = de donde c = 2. a 10 Por tanto: b2 = a2 – c2 = 100 – 4 = 96. x 2 y 2 La ecuación reducida es : + =1 100 96 b) Calculamos los parámetros de la elipse: Al ser el vértice B = (0, 4) se deduce que b = 4 de donde b2 = 16. c Por otra parte 0,5 = de donde c = 0,5 a. a Sustituyendo en la relación a2 = b2 + c2, se tiene que: 16 = a2 – 0,25 a2 = 0,75 a2 ⇒ a2 = 64 / 3 3 x 2 y 2 Por lo tanto la ecuación reducida es : + =1 64 16
Hallar la ecuación de la elipse conociendo: a) C = (0, 0), F = (0, 2), a = 4. b) C = (0, 0), F = (–3, 0), a = 5. c) C = (0, 2), F = (0, 0), a = 3. d) C = (–3, 0), F = (–3, –2), a = 4. e) C = (2, 2), F = (–1, 2), a = 10 . a) Calculamos los parámetros de la elipse: a = 4 de donde a2 = 16; c = 2 de donde c2 = 4; y 2 x 2 La ecuación reducida de la elipse vertical es + =1 16 12
b) Calculamos los parámetros de la elipse: a = 5 de donde a2 = 25; c = 3 de donde c2 = 9; x 2 y 2 La ecuación reducida de la elipse es + =1 25 16
b2 = a2 – c2 = 16 – 4 = 12
b2 = a2 – c2 = 25 – 9 = 16
c) El centro C = (0, 2) es el punto medio del segmento que determinan los focos, luego las coordenadas del foco F ’ son F ’ = (0, 4). De aquí se deduce que c = d (C , F ) = 2. Como a = 3, se deduce que b2 = a2 – c2 = 9 – 4 = 5 ( y − 2) 2 x 2 La ecuación reducida de la elipse es + = 1. 9 5 d) El centro C = (–3, 0) es el punto medio del segmento que determina los focos, luego las coordenadas del otro foco son F ’ = (–3, 2). De aquí se deduce que c = d (C , F ) = 2. Como a = 4, calculamos b: b2 = a2 – c2 = 16 – 4 = 12. y 2 ( x + 3) 2 La ecuación reducida de la elipse es + = 1. 16 12 e) El centro C = (2, 2) es el punto medio del segmento que determina los focos, luego las coordenadas del otro foco son F ’ = (5, 2). De aquí se deduce que c = d (C , F ) = 3. Como a =
10 , calculamos b: b2 = a2 – c2 = 10 – 9 = 1.
La ecuación reducida de la elipse es
( x − 2) 2 10
+
( y − 2) 2
= 1.
1
Hallar la ecuación reducida de la elipse que tiene : a) Un vértice en A = (6, 0) y su distancia focal es 10. b) Un vértice en B = (0, 4) y su distancia focal es 10.
a) Calculamos los parámetros de la elipse: a = 6 de donde a2 = 36; c = 5 de donde c2 = 25; x 2 y 2 La ecuación reducida es + = 1. 36 11 b) Calculamos los parámetros de la elipse: b = 4 de donde b2 =16; c = 5 de donde c2 =25; x 2 y 2 La ecuación reducida es + = 1. 41 16
b2 = a2 – c2 = 36 – 25 = 11
a2 = b2 + c2 = 16 + 25 = 41
Hallar los semiejes, semidistancia focal y excentricidad de la elipse cuya ecuación es: 2 2 a) x + y = 9 2 2 b) 16 x + 9 y = 144 a) Esta ecuación podemos escribirla de forma reducida (dividiendo toda la ecuación entre el x 2 y 2 + = 1 . Por lo tanto a2 = b2 = 9. Luego a = b = 9 = 3. Así: segundo miembro) como 9 9 2 2 a = b + c2; 9 = 9 + c2; c=0 Si c es 0 su excentricidad es e = 0. Por lo tanto es una circunferencia. x 2 y 2 b) Seguimos los mismos pasos que en el apartado anterior: + =1 9 16
Es una elipse vertical, por tanto: a2 = 16 luego a = 16 = 4; a2 = b2 + c2; Luego la excentricidad es e =
9 = 16 + c2; dist.focal eje mayor
=
2c 2a
=
c a
b2 = 9 luego b = c2 = 7;
=
7 4
.
c=
7
9 =3
Hallar la ecuación reducida de la hipérbola sabiendo que tiene por focos: a) F = (3, 0), F ’ = (–3, 0) y la diferencia de distancias es 4. b) F = (0, 6), F ’ = (0, –6) y la diferencia de distancias 2. a) El centro de la elipse es el punto medio de los focos. Por tanto el centro es C = (0, 0). De aquí se deduce que c = d (C , F ) = 3. Calculamos los otros parámetros de la hipérbola, sabiendo que la diferencia de distancias es: 2a = 4 a = 2; a2 = 4; b2 = c2 – a2 = 9 – 4 = 5 x 2 y 2 Ecuación reducida − = 1. 4 5 b) El centro de la elipse es el punto medio de los focos. Por tanto el centro es C = (0, 0). De aquí se deduce que c = d (C , F ) = 6. Calculamos los otros parámetros de la hipérbola, sabiendo que la diferencia de distancias es: 2a = 2 a = 1; a2 = 1; b2 = c2 – a2 = 36 – 1 = 35 y 2 x 2 Ecuación reducida − = 1. 1 35
Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que tiene por focos: a) F = (1, 3), F ’ = (4, 2) y la diferencia de distancias es 6. b) F = (0, 0), F ’ = (0, 8) y la diferencia de distancias es 6. a) En este caso, se puede observar sin más que dibujar los focos y trazar los ejes de la hipérbola, que estos no son paralelos a los ejes de coordenadas. Por ello, no podemos calcular la ecuación reducida de la hipérbola. Debemos calcular la ecuación pedida aplicando directamente la definición de la hipérbola: d ( P , F ) – d ( P , F ’) = 2a = constante. Tomamos para ello un punto cualquiera de la hipérbola P = ( x, y). Entonces:
( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 − ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 = 6 Desarrollando y simplificando resulta: 27 x2+ 35 y2+ 6 xy – 150 x – 190 y + 191 = 0 b) El centro de la hipérbola es el punto medio de los focos. Por tanto C = (0, 4). Entonces c = 4. Calculamos los otros parámetros de la hipérbola, sabiendo que la diferencia de distancias es: 2a = 6 a = 3; a2 = 9; b2 = c2 – a2 = 16 – 9 = 7 ( y − 4) 2 x 2 Ecuación reducida − =1. 9 7
Hallar la ecuación reducida de la hipérbola sabiendo que: a) A = (10, 0), A’ = (–10, 0) y que e = 2. b) B = (0, 4), B’ = (0, – 4) y que e = 2. a) Calculamos por parámetros de la hipérbola: d ( A, A’) = 2a = 20. Entonces a = 10; a2 = 100. c c Por otro lado, e = . Por tanto: 2 = ; c = 20; c2 = 400. a 10 2 b = c2 – a2 = 400 – 100 = 300 x 2 y 2 Ecuación reducida − =1 100 300 b) Calculamos por parámetros de la hipérbola: d ( B, B’) = 2b = 8. Entonces b = 4; b2 = 16. c c Por otro lado, e = . Por tanto: 2 = ; c = 2a. a a b2 = c2 – a2 = (2a)2 – a2 = 4a2 – a2 = 3a2 = 16 Por tanto, nos queda a2 = 16 / 3
Ecuación reducida
3 x 2 16
−
y 2 16
= 1.
Hallar la ecuación reducida de la hipérbola sabiendo que: a) El semieje mayor es 3 y la semidistancia focal es 5. b) El semieje menor es 6 y la semidistancia focal es 10. a) Calculamos los parámetros de la hipérbola: a = 3; a2 = 9; c = 5; b2 = c2 – a2 = 25 – 9 =16 x 2 y 2 Ecuación reducida − =1 9 16 b) Los parámetros de la hipérbola son: b = 6; b2 = 36 ; c = 10; a2 = b2 – c2 =100 – 36 = 64 x 2 y 2 La ecuación reducida es : − =1 64 36
Hallar los semiejes, semidistancia focal y excentricidad de la hipérbola cuya ecuación es : 2 2 a) x – y = 9 2 – 2 b) 16 x 9 y = 144 x 2 y 2 a) La ecuación la podemos escribir en la forma reducida − =1 9 9 Por tanto a2 = b2 = 9 , luego a y b es la raíz cuadrada de 9 es decir a = b = 3
Como c2 = a2 + b2 sustituimos y tenemos 9 + 9 = 18 luego c = e=c/a=
3 2 3
= 2
b) La ecuación la podemos escribir en la forma reducida a2 = 9;
a = 3;
b2 = 16;
x 2 9
−
b = 4; e=c/a=
18 = 3 2
y 2
= 1: 16 c2 = a2 + b2 = 9 + 16 = 25;
5 3
Calcular los parámetros y vértices de las siguientes hipérbolas equiláteras: a) x · y = 2 a2 La ecuación de la hipérbola referida a sus asíntotas es x · y = . 2 A partir de la definición de hipérbola se obtiene:
Parámetros: a2 = 2 xy; a = b; Focos: F ‘ = ( –a, –a) F = (a, a) Vértices: A = ( a ,
a );
c=a 2
A ‘ = (– a , – a );
La excentricidad es constante e igual a 2 . A partir de estos comentarios anteriores, se tiene: a = b = 2; Focos F ’ = (–2, –2) y F = (2, 2) Vértices A = ( 2 , 2 );
B = (– a ,
a );
B ‘ = ( a , – a )
a2 / 2 = 2
⇒
a = 2.
c2 = a2 + b2 = 4 + 4 = 8;
A’ = (– 2 ,– 2 );
B = (– 2 ,
c=2 2 2 );
B ’ = ( 2 ,– 2 )
c=5
b) x · y = 8
⇒
a2 / 2 = 8
a = 4.
a = b = 4; c2 = a2 + b2 = 16 + 16 = 32; Focos F ’ = (– 4, – 4) y F = (4, 4) Vértices A = (2, 2); A ’ = (–2, –2); B = (–2, 2); B ’ = (2, –2)
c=4 2
c) x · y = 4
⇒
a2 / 2 = 4 a=b= Focos F ’ = (– 8 , – Vértices A = ( 4 8 ,
4
8;
a=
8.
c2 = a2 + b2 = 8 + 8 = 16;
c=4
8 ) y F = ( 8 , 8 )
8 );
A ’ = (– 4 8 , – 4 8 ); B = (– 4 8 ,
4
8 );
B ’ = ( 4 8 , – 4 8 )
d) x · y = 10
a2 / 2 = 10 a=b= Focos F ’ = (– 20 , – Vértices A = ( 4 20 ,
4
20 ;
⇒
a=
20 .
c2 = a2 + b2 = 20 + 20 = 40;
c = 2 10
20 ) y F = ( 20 , 20 )
20 ); A ’ = (– 4 20 , – 4 20 ); B = (– 4 20 ,
4
20 ); B ’ = ( 4 20 , – 4 20 )
Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta x + 4 = 0 y del punto de coordenadas P = (3, 0). Sea X = ( x, y) un punto cualquiera de lugar geométrico que nos han pedido. Entonces d ( X , r ) = d ( X , P ) d ( X , r ) = | x + 4 |
d ( X , P ) = Igualamos las distancias x + 4 =
( x − 3) 2 + ( y − 0) 2
( x − 3) 2 + ( y − 0) 2
Elevando los dos miembros al cuadrado nos queda x2 + 8 x + 16 = x2 – 6 x + 9 + y2 Simplificamos, realizamos operaciones y nos queda que y2 = 14 x + 7. La fórmula general de la parábola se puede escribir de la forma ( y – y0)2 = 2 p ( x – x0) 1 Por tanto, también podemos poner la formula de la siguiente forma y2 = 2 · 7 x + . 2
1 , 0 . 2
p es la distancia del foco a la directriz p = 7, y x0 e y0 las coordenadas del vértice V = −
Hallar la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta y + 5 = 0 y por foco el punto P = (0, 5) Se deduce fácilmente que el vértice es el origen y por tanto la parábola tiene de parámetro p = 10. Su ecuación es x2 = 2 p y, es decir: x2 = 20 y
2
Halla el valor del parámetro p de modo que la parábola de ecuación y = 2 px pase por el punto P = (3, –1) Para que esto se cumpla, las coordenadas del punto P han de verificar la ecuación. Así, sustituyendo: 1 (–1)2 = 2 p · 3 1 = 6 p ⇒ ⇒ p = 6
Hallar la ecuación de la parábola de eje paralelo al de abscisas sabiendo que su vértice es el punto V = (1, –2) y que pasa por el punto P = (4, 1). La ecuación de la parábola será de la forma ( y + 2)2 = 2 p ( x – 1). Al pasar por el punto P, lo sustituimos en la ecuación y nos queda: 3 (1 + 2) 2 = 2 p (4 – 1) 9 = 6 p p = ⇒ 2 3 La ecuación de la parábola, es ( y + 2)2 = 2 ( x – 1), o escrita de otra forma: ( y + 2)2 = 3 ( x – 1). 2
Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes de la tangente a la parábola y 2 = x + 7 x – 10 en el punto de abscisa x = 3. Calculemos el punto de contacto de la recta tangente y la parábola. Para ello, sustituimos x = 3 en la ecuación de la parábola y nos da que y = 9 + 21 – 10 = 20, luego el punto será (3, 20). La recta tangente tiene por expresión general: y – f ( x0) = f ‘ ( x0) ( x – x0) La pendiente de dicha recta viene dada por la derivada en el punto de contacto, que en este caso es x0 = 3. f ‘ ( x0) = 2x + 7 f ‘ (3) =13 ⇒ La recta tangente es: y – 20 = 13 ( x – 3) Corte con el eje OX: ( y = 0) 19 19 0 – 20 = 13 ( x – 3) x = P = , 0 ⇒ ⇒ 13 13 Corte con el eje OY: ( x = 0) y – 20 = 13 (0 – 3) y = – 19 Q = (0, –19) ⇒ ⇒
Sea P un punto del plano que dista 15 m del centro de una circunferencia de radio 9 m. Por P trazamos una secante a la circunferencia que corta a esta en los puntos A y B. Calcular AB sabiendo que PB mide 16m.
Pot C ( P ) = PA · PB = d 2 – r 2 (16 – AB ) · 16 = 15 2 – 92
⇒
256 – 16 AB = 225 – 81 112 AB = =7 16
⇒
256 – 144 = 16 AB
En uno de los lados de un ángulo, y a partir del vértice tomamos dos longitudes OA = 6 m y
OB = 8 m y en el otro lado la longitud OC = 4 m . Si hacemos pasar una circunferencia por los tres puntos A, B, C , ¿Cuánto medirá el segmento OD , siendo D el punto en el que corta esa circunferencia al lado en que esta C ? La potencia de un punto, en este caso O, respecto de un circunferencia es la misma, independientemente de cual sea la recta secante tomada. Por tanto:
OA · OB = OC · OD
⇒
6 · 8 = 4 · OD
⇒
OD = 48/ 4
⇒
OD = 12
La orbita del cometa Kohoutek es una elipse con una excentricidad e = 0,999925 y con el Sol en uno de sus focos. Si su distancia mínima al Sol es 0,13 UA ¡Cual es su máxima distancia al sol? Del enunciado obtenemos los siguiente sistemas de ecuaciones c = 0,999925 a a – c =0,13 Resolviendo el sistema se tiene que a = 1733,33 y c = 1733,20. La distancia máxima es a + c = 1733,33 + 1733,20 =3466,53 UA.
La Luna recorre una trayectoria elíptica donde la Tierra está en uno de los focos. Si la distancia máxima de la Tierra a la Luna es de 405500Km y la mínima distancia es de 363300 Km. ¿Cual es la excentricidad de su orbita? Se puede plantear el siguiente sistema de ecuaciones: a + c = 405500 a – c =363300 c Resolviendolo, se llega a que a = 384400 Km y c = 21200 Km. Entonces: e = = 0,0515. a
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Dada la recta 3 x + y – m = 0 y la parábola y = x – 7 x + 12 , calcula m a fin de que la recta sea tangente a la curva. Para que la recta sea tangente a la parábola, a de tener un solo punto de corte, para ello resolvemos el sistema formado por sus ecuaciones: y = m – 3 x y = x2 – 7 x + 12 Operando nos queda, x2 – 4 x + 12 – m = 0 Hacemos el discriminante igual a 0 para que la ecuación de 2° grado solo tenga una única solución. (– 4)2 – 4 · 1 · (12 – m) = 0 ⇒ 16 – 48 + 4m = 0 m=8 ⇒
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Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y = x + x +1 que distan 3 unidades del eje de las abscisas. Sea P = ( x, x2 + x + 1) un punto genérico de la parábola. La distancia de P al eje de abscisas (cuya ecuación viene dada por y = 0) es: | x 2 + x + 1| d ( P , OX) = = x2 + x +1 = 3 x2 + x – 2 = 0 ⇒ 0 2 + 12 Resolvemos esta ecuación y los valores obtenidos para x son x = –2 y x = 1. Para x = –2 lo sustituimos en la ecuación y nos queda (–2 ) 2 + (–2) + 1 = 3. Luego un punto es A = (–2, 3). Haciendo lo mismo para x = 1 y nos queda 1 2 + 1 + 1 =3, luego el otro punto es B = (1, 3).
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Hallar los puntos de la parábola x = y – 5 y + 6 que equidistan de (–3, –2) y (7, 4). Un punto cualquiera de la parábola tiene de coordenadas ( y2 – 5 y +6, y) como tenemos los puntos. Hallamos distancia entre P y A y P y B.
d ( P , A) =
( y 2 − 5 y + 6 + 3) 2 + ( y + 2) 2
d ( P , B) =
( y 2 − 5 y + 6 − 7) 2 + ( y − 4) 2
Como ambas distancias son iguales eliminamos y raíces nos queda:
( y2 – 5 y + 9)2 + ( y + 2)2 = ( y2 – 5 y – 1)2 + ( y – 4)2 Operando se lega a 5 y2 – 22 y + 17 =0. Resolvemos la ecuación de 2° grado y los valores obtenidos son y = 1 e y =
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. 5 Sustituyendo cada uno de los valores obtenidos en x = y2 – 5 y + 6 obtenemos los siguientes puntos. ⇒ Para y = 1 x = 2 17 14 Para y = x = ⇒ 5 25 14 17 Luego los puntos pedidos son: (2, 1) y , 25 5
