COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA – 2014 PROFESSORES: MARIA HELENA / ALTER ALTER TADEU
AULA 15: Geometria Analítica CÔNICAS - RESUMO Quando um plano intersecta uma superfície cônica circular, circular, a intersecção é uma secção cônica. Se o plano não passa pelo vértice do cone, a secção será uma elipse, parábola ou hipérbole, dependendo do ângulo ue o plano forma com a base do cone. OBS! " circunfer#ncia é uma das secç$es cônicas no caso de = .
ELI!SE! %ados dois pontos distintos "1 e "#, pertencentes a um plano α , se&a #c a distância entre eles. 'lipse é o con&unto dos pontos ! de α cu&a soma das distâncias a "1 e "# é a constante #a (#a $ #c)! Eli%&e * ∈ α . -/ + -+ = +a . ELEMEN'OS !RINCI!AIS 0 "1 e "#! (oco&1 O! centro1 A1, A#, B1 e B#! vértices1 0 " / " + ! ei2o maior1 3/3 + 3/3+ ei2o menor1 0 #c! )i&t*ncia (ocal1 #a! medida do ei2o maior1 0 #+! medida do ei2o menor1 0 Rela,o not./el! a# = +# 0 c#1 0 e! e2centricidade (indica o uão 4achatada5 é a elipse).
EUA23O RE4UI4A! Se&a ! = 6789 ponto genérico da curva. ! ∈ elipse
⇔
!"1 0 !"# = #a.
2 ( x + c)
+ ( y − 0) 2 +
2 ( x − c)
+ ( y − 0) 2 = 2a
( x + c) 2
+ ( y − 0) 2 = 2a − ( x − c) 2 + ( y − 0) 2 ( x + c) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c) 2 + y 2 + ( x − c) 2 + y 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c) 2 + y 2 + x 2 − 2cx + c 2 + y 2 4cx − 4a 2 = −4a ( x − c) 2 + y 2 → ÷4 a 2 ( x − c) 2 + a 2 y 2 = (a 2 − cx) 2 a 2 x 2 − 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 − 2a 2 cx + c 2 x 2 a 2 x 2 − c 2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 − a 2 c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a − c ) x + a y = a (a − c )
x 2
b 2 x 2
+ a 2 y 2 = a 2 b 2 → ( ÷ a 2 b 2 ) ⇒
x 2 a2
+
y 2 b2
=1
OBS! 'uaç$es da elipse nos casos em ue os focos este&am no ei2o 67 ou ainda, caso o centro não se&a a origem (8,8).
;I!
r+ole * ∈ α -/ − -+ = +a ELEMEN'OS !RINCI!AIS 0 "1 e "#! focos1 O! centro1 0 A1, A#, B1 e B#! vértices1 0 " / " + ! ei7o real o? tran&/er&o1 3 /3 + ! ei7o [email protected] 0 #c! )i&t*ncia (ocal1 #a! medida do ei2o real1 0 #+! medida do ei2o imaginário1 6 ponto 3/ e 3+ são os vértices imaginário da hiperbole 0 Rela,o not./el! c# = a# 0 +#1 e! e2centricidade. 0 r e & são chamadas assíntotas. "s euaç$es são! :
=±
b 2. a
OBS! Se o retângulo fundamental for um uadrado, a hipérbole é chamada e?il.tera. "s assíntotas são! : = ± 2 e e = + . EUA23O RE4UI4A! Se&a ! = 6789 ponto genérico da curva. ! ∈ hipérbole ⇔ !"1 - !"# = #a.
(2 + c)+
+ ( : − 8) + −
(2 + c ) +
+ ( : − 8) + = ±+a +
(2 + c)+ 2+
(2 − c)+
+ : + = ;a + ± ;a
(2 − c)+
( 2 − c )+
+ +c2 + c + + : + = ;a + ± ;a
;c2 − ;a +
= ±;a
+ ( : − 8) + = +a
(2 − c)+
+ ( : − 8) +
+ : + + (2 − c)+ + : +
(2 − c ) +
+ : + + 2 + − +c2 + c + + : +
+ :+
c2 − a +
= ±a ( 2 − c ) + + : + (c2 − a + ) + = a + ( 2 − c ) + + a + : + c + 2 + − +a + c2 + a ; = a + 2 + − +a + c2 + a + c + + a + : + ( c + − a + ) 2 + − a + : + = a + (c + − a + ) − a + : + = a + b + → ÷a + b + ⇒
2+
−
:+
=/ a+ b+ OBS! 'uaç$es da 9ipérbole nos casos em ue os focos este&am no ei2o 67 ou ainda, caso o centro não se&a a origem (8,8). b+2+
!ARBOLA! %ados um ponto " e uma reta ), pertencentes a um plano α , com " ∉ ), se&a % a distância entre " e ). arábola é o con&unto dos pontos de α ue estão < mesma distância de " e de ). arábola * ∈ α . - = d .
ELEMEN'OS !RINCI!AIS 0 "! foco1 0 )! diretri=1 0 %! parâmetro1 0 D! vértice1 0 e! ei2o de simetria1 D" *
p
2
.
EUA23O RE4UI4A! Se&a (2,:) um ponto genérico da curva com diretri= ) de euação x
2
! = 6789 pertence < parábola +
p ,8 . + p , : ⇔ - = > , > = − . +
= − p e o foco com as coordenadas
-=
+
2 − p + ( : − 8) + = 2 + p + ( : − :) + ⇒ + + + + 2 − p + : + = 2 + p ⇒ 2 + − p2 + p + + : + = 2 + + p2 + p + ⇒ : + = +p2 ; ; + + OBS! 'uaç$es da arábola de acordo com a posição e coordenadas do vértice.
O+&er/a,e&: /) " intersecção de um plano com uma superfície cônica uando o plano passa pelo vértice chama0se cônica degenerada, ue pode ser um ponto, uma reta ou duas retas concorrentes.
+) " euação também pode representar um con&unto va=io! ;2 + + @: + + ? = 8 ⇒ ;2 + + @: + = −? . A) Bepresentaç$es de cônicas com o termo 2.: envolvem rotação dos ei2os coordenados. 'sse caso não foi abordado neste te2to.
UES'FES /. ('C'D) %urante uma aula de Datemática, o professor sugere aos alunos ue se&a fi2ado um sistema de coordenadas cartesianas (2,:) e representa na lousa a descrição de cinco con&untos algébricos, E, EE, EEE, EF e F, como se segue! E G é a circunfer#ncia de euação 7# 0 9# = 1 EE G é a parábola de euação 9 = H 7# H 1, com 7 variando de G / a /1 EEE G é o uadrado formado pelos vértices (G +,/), (G /,/), (G /,+) e (G +,+)1 EF G é o uadrado formado pelos vértices (/,/), (+,/), (+,+) e (/,+)1 F G é o ponto (8,8). " seguir, o professor representa corretamente os cinco con&untos sobre uma mesma malha uadriculada, composta de uadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professorH
+. ('C'D) Cos Iltimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de ualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. 'ssa transformação se deve < conversão do sinal analJgico para o sinal digital. 'ntretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. 3uscando levar esses benefícios a tr#s cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, ue envie sinal
" torre deve estar situada em um local euidistante das tr#s antenas. 6 local adeuado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas! a) (L?1A?) b) (?A1A8) c) (;?1A?) d) (?81+8) e) (?81A8)
A. 'ncontre a euação redu=ida das curvas! a) 'lipse com focos - /(G A,8) e - +(A,8) e semiei2o maior a * ;. b) 9ipérbole com focos - /(8,G ?) e - +(8,?) e um vértice no ponto (8,G A). c) arábola de foco -(8, A) e reta diretri= de euação 2 G + * 8. d) 'lipse de focos nos pontos - /(/, +) e - +(M,+) e um vértice no ponto (N,+). e) 9ipérbole de focos nos pontos - /(A,G A) e - +(A,M) e distância entre o centro e o vértice igual a A unidades. ;. Edentifiue as cônicas dadas pelas euaç$es! a) A:+ G M2+ G L: G +N2 G ;L * 8
b) ;2 + O @:+ G N2 G AL: O ; * 8
?. 'm ue pontos a parábola de vértice F(G +,8) e foco na origem intercepta o ei2o 9H L. %eterminar uma euação das circunfer#ncias inscrita e circunscrita < elipse de euação! 9# 0 7# 0 JK9 H J#7 0 K = . M. %eterminar a euação da elipse de centro (8,8), vértice (/A,8) e foco (G ?,8). N. (K'SK'") %etermine as coordenadas dos focos da elipse de euação 7# 0 #59# = ##5. @. %etermine a e2centricidade da elipse de euação 1K7# 0 #59# H = . /8. Considere uma elipse e uma hipérbole no plano cartesiano, ambas com centro na
origem e eixos de simetria coincidindo com os eixos coordenados. Sabendo que os
/? ,/ pertencem à elipse e que pontos (3,0) e +
+,8 e (2, ) pertencem à
hipérbole, determine os pontos de interse!"o dessas c#nicas. //. %ada a cônica J7# H 9# H = , determinar! a) Seus ei2os virtual e real /+. %ada a parábola : a) Seu parâmetro
=−
b) Sua distância focal
c) Sua e2centricidade
+
A2 , determinar! ;
b) Sua diretri=
c) "s coordenadas de seu foco
d) " euação de seu ei2o
/A. " elipse ' é representada a seguir, está centrada na origem e seus ei2os estão sobre os ei2os 7 e 9. " euação cartesiana de ' é dada por! a) b) c)
2+ ; 2+ @
2+ +
+ +
+
:+ @ :+ ;
:+ A
=/ =/
=/
d) e)
2+ A 2+ @
+ +
:+ + :+ /L
=/ =/
/;. " elipse com focos nos pontos - /(G ;,8) e - +(;,8) tem e2centricidade e = 8. %essa forma, os pontos !6789 sobre essa curva satisfa=em a euação! a) @2+ O /L:+ G 2 G : G +? * 8
b) +?2+ O @:+ G ++? * 8
d) ;2+ O /L:+ G 2: O /L * 8
e) 2+ O :+ G +2 G L: G L * 8.
/?. Cuma hipérbole, a e2centricidade é e = coordenadas dos focos da hipérbole.
?
c) @2+ O +?:+ G ++? * 8.
e os vértices são A16#8 e A#6H #8. %etermine as
/L. (PK) " euação 1K7# 0 9# H 1 = representa uma elipse, cu&o comprimento do ei2o maior é! a) +
b) A
c) ;
/M. (-PF'S) " elipse 2 +
+
:+ +
=
@ ;
d) L
e) N
e a reta 9 = #7 0 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e
B. ode0se afirmar ue o ponto médio do segmento "3 é! a)
− + ,− / A A
b)
+ ,− M A A
c)
/ ,− ? A A
d)
− / , / A A
e)
− / , / ; +
/N. (-PF'S) %etermine a euação da reta ue passa pelo ponto (8,8) e é tangente < parábola de euação : = 2+ + ; . /@. (P'BR) " superfície de uma antena parabJlica pode ser gerada pela rotação completa de uma parábola ao redor do seu ei2o. " intersecção dessa superfície com ualuer plano perpendicular ao ei2o é um círculo. 6bserve a figura. Konsidere um círculo de centro ' e diâmetro K% de ; metros de comprimento, cu&a medida da distância do centro ' ao vértice " do paraboloide é 8,? metro. a) 'screva a euação cartesiana da parábola de foco 3 contida no plano K"%, sendo o vértice (") a origem do sistema cartesiano e o ei2o das abscissas paralelo ao diâmetro K% como mostra a figura.
b) Kalcule a distância do vértice A ao foco B. +8. (P'BR) Pm holofote situado na posição (G?,8) ilumina uma região elíptica de contorno 7# 0 9# = 5, pro&etando sua sombra numa parede representada pela reta 7 = J, conforme ilustra a figura. Konsiderando o metro a unidade dos ei2os, o comprimento da sombra pro&etada é de! a) + b) A c) ; d) ?
+/. (P'BR) 6 logotipo de uma empresa é formado por duas circunfer#ncias conc#ntricas tangentes a uma elipse, como mostra a figura abai2o." elipse tem e2centricidade área da região por ela limitada é dada por
em ue
e
e seu ei2o menor mede
unidades. "
são medidas dos semiei2os.
Kalcule a área da região sombreada.
Re&%o&ta&:
( 2 − ;) e)
+
+
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+ / $ a i%>r+ole + eli%&e 5 68 H e 68 K inscrita ! ( 2 − ;)
+ ( : + +)+ = ;
:+ 2+ circunscrita ! ( 2 − ;) + ( : + +) = @ 1 + = / -/(;,8) e -+(G ;,8) JP5 /L@ /;; 1 − L ,− + , − L , + , L ,− + , L , + 11 a real: +a = + A /irt?al: #+ = K + +c = ; A 1 c) +
(
+
(
(
(
e * +1
1# a p =
+ A
+ : =
/ A
1 c - 8,−
) 1 9 = 7 ou 9 = H 7 1 :
=
/
) 7= 1J a 1 c 15
A
2+ % = # # c #1 #1 Q N
-/ + ?,8 e -+
−+
?,8 1K e1 /M)
