rototraslacion

MOVIMIENTOS DE ROTOTRASLACION ROTOTRASLACION APLICACIÓN DEL MOMENTO RESISTENTE AL CÁLCULO DE ENERGÍA CINÉTICA EN LAS ESTIMACIONES DE VELOCIDAD.

Ing. Anibal O. GARCIA [email protected] INTRODUCCIÓN

En casi todos los casos en que se trata de estimar la energía cinética involucrada en un choque de tránsito, el estudio del movimiento posterior al impacto de uno o de los dos o más protagonistas, resulta una de las vías, si no la única, para la determinación de las condiciones iniciales bajo la que se produjo el choque y los parámetros cinemáticos y dinámicos de la colisión. Tanto las huellas de neumáticos dejadas en la calzada como la posición de reposo de los móviles respecto del punto de impacto, son datos fáciles de obtener en un relevamiento posterior al evento; y en última instancia y en ausencia de datos precisos, un reconocimiento topográfico del lugar permite establecer hipótesis de mínimos y máximos, que correctamente procesadas, determinan el límite de la probabilidad de ocurrencia del suceso. En el movimiento combinado de traslación y rotación de los automóviles en un plano X-Y paralelo al piso, implican desplazamientos complejos y funciones no sencillas de variación de los parámetros cinemáticos, por lo que el cómputo y las estimaciones de energía y velocidades no resultan fáciles de obtener. El presente trabajo presenta un método simplificado para estimar la energía con una minimización de errores. El método se basa en el análisis combinado de: i)

La traslación del centro de masa del vehículo ( S ); );

ii) La rotación de los ejes del rodado respecto de un sistema de referencia externo externo (θ ). ). LA ENERGIA CINÉTICA EN EL MOVIMIENTO ROTOTRASLATORIO ROTOTRASLATORIO

El movimiento entre el punto de impacto y el de reposo de un móvil sigue las leyes del movimiento uniformemente (des)acelerado. La causa principal por la cual la velocidad inicial vi de un punto cualquiera del móvil disminuye en forma lineal se debe a la acción de las fuerzas de rozamiento contra el piso. Sea m la masa del rodado, C m el centro de masa en el plano x-y, g la aceleración de la gravedad, u el coeficiente de rozamiento de los neumáticos respecto del piso, V i la velocidad inicial del centro de rotación instantáneo Oi, w i la velocidad de rotación inicial respecto de Oi distanciado del C m un valor r i , w o la velocidad de rotación inicial respecto del centro de C m ,e I zz el momento de inercia de la masa del rodado respecto de Oi, I o el momento de inercia de la masa del rodado respecto de C m, y obviando un desarrollo analítico, puede plantearse que la velocidad instantánea de un punto cualquiera del rodado, ubicado a una distancia del r xy del C m, estará dada por:

Y V r xy

C m X r i

Oi

V i vi

= V i + w i r i +

w o r xy xy

,

y la energía cinética de donde

E c = ½ m vi 2

2

2

2

2

2

E c = ½ m V i + ½ m r i w i + ½ m r xy xy w o ,

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com

2

2

2

E c = ½ m V i + ½ I zz w i + ½ I o w o ,

En la mayoría de los casos se considera que el desplazamiento del centro de masa es rectilíneo, simplificación que con ciertos recaudos puede ser adoptada como una muy buena aproximación, resultando entonces = V s + w o r xy ; 2 2 E c = ½ m V s + ½ I o w o , (1) vi

La ecuación (1) tiene cuatro incógnitas (E c, V s, I o y w o)(1), con lo cual resulta indeterminada de tercer orden. Algunos autores han propuesto la solución del problema a partir de estimar el valor de I o, y asociar a w o con V s. Los resultados resultan de gran incertidumbre en particular en torno a la estimación del Momento de Inercia Baricéntrico I o. INDETERMINACIÓN EL MOMENTO DE INERCIA.

En un sólido rígido en movimiento lineal, todas las partículas que lo integran tiene en todo instante la misma velocidad, aceleración; y cuando decimos la misma lo hacemos asumiendo el carácter vectorial de estas entidades, es decir tienen la misma magnitud, dirección y sentido. Esta condición se pierde en el caso de que el movimiento tenga componentes de rotación, esto es, que exista aceleración radial respecto de un punto de rotación instantáneo. En ese caso la magnitud de la velocidad de una determinada partícula dependerá de la distancia r de la partícula al centro de rotación, la aceleración será resultado de la composición de la aceleración radial y de la tangencial, etc. etc. Sea w la velocidad de rotación, como derivada del ángulo barrido respecto del tiempo ( w =d θ /dt ), m la masa de la partícula y r la distancia al centro de rotación O, el momento de la cantidad de movimiento respecto de O será M = m v r = m w r 2 Se llama momento de inercia I respecto de un punto O, a una característica del sólido rígido resultante de la sumatoria (m r 2) de todas las partículas que componen el cuerpo, con lo que el momento de la cantidad de movimiento de todo el sólido resultará: M = I w El momento de inercia resulta una magnitud vectorial de dirección normal al plano al que pertenecen las rectas en las que se encuentran los radios r . Ello implica que para un sistema de ejes ortogonales de coordenadas, cada cuerpo sólido y rígido tiene tres momentos de inercia principales. Para un cuerpo cualquiera, homogéneo (es decir de densidad γ constante), en el plano X-Y, el momento de inercia en el eje Z estará dado por la integración de la ecuación diferencial d I = γ d V (x2 + y2) = γ (x2 + y2) d x d y d z Si el centro de coordenadas coincide con el centro de masa C m del cuerpo (en realidad con las coordenadas del C m en el plano en el que se considera el momento de inercia) el momento de inercia se denomina baricéntrico. Resulta entonces: I zb

=m

2

k

en el que k se denomina el radio de giro.

Para aquellos casos en los que el centro de rotación no coincide con el centro de masa, se ha demostrado (Teorema de Steiner) que para una distancia d del centro de masa al centro de rotación, el momento de inercia será:


I zz

= I zb + m

2

k

=m

2

k

+

2

m d

Para algunos cuerpos homogéneos de forma regular, la ecuaciones anteriores tienen una integración simple. Tal es el caso del paralelepípedo para un plano paralelo a alguna de las caras; γ y la altura z son constantes, L y W son respectivamente largo y ancho del rectángulo considerado, el radio de giro resulta 2

k =

(L2 +W 2)/12

( i )

Pero si algo no se parece físicamente a un paralelepípedo homogéneo es un automóvil, y ello tiene especial importancia al considerar el momento de inercia normal al piso. Ni la altura es constante, ni hay una densidad media constante a lo largo del mismo. Así en la parte delantera, donde se concentra la planta motriz y el tren delantero, la densidad se encuentra en algún punto intermedio entre el del aluminio (2,4 kg/dm3) y el acero (7,85 kg/dm3), en tanto en el habitáculo predominan los plásticos (densidad levemente superior a 1 kg/dm3); una situación intermedia se presenta en la zona del baúl. Algunos autores (1) (2) han propuesto fórmulas empíricas simplificadas del tipo 2

L2 /12

2

(L W E e)/7,76

2

0,931 (L 2 + b2)/12

k = k = k =

( ii ) ( iii ) (Limpert; E e es la distancia entre ejes) ( iv )

El problema ha sido advertido hace algunos años por el Dr. Ernesto Martínez análisis minucioso, teórico y práctico propuso la siguiente fórmula: I zz

=e

2

d

(3)

quien desde un

2

+(m – e) D +(m – e) (L2 +W 2)/12

en la que e es la masa del motor, d es la distancia del eje delantero – supuesto centro de masa del motor-, al centro de masa del automóvil; D la diferencia que existe entre la coordenada del centro de masa y del centro geométrico del rectángulo circunscripto al automóvil. Los demás términos tienen el significado ya enunciado. La aplicación resulta engorrosa; es difícil conocer la masa del motor o la distancia D. Para ello propone algunas relaciones estándar, que simplifican el problema con resultados que el autor comparó con 59 casos de momentos medidos por la NHTSA, llegando a mejores aproximaciones (desviaciones de +25 % y –7 %), La aplicación de esta fórmula arroja en general para automóviles resultados que, en algunos casos en los que se pudo constrastar con valores medidos o informados por los fabricantes, presentan aún dispersiones significativas. Para el presente trabajo se analizaron 55 modelos de automóviles modernos –de los que se conoce largo, ancho, distancia entre ejes-, y 12 camionetas 4x4 y pick-ups doble cabina. En todos los casos se encontraron apreciables diferencias en el radio de giro calculado según las diferentes fórmulas planteadas. En la tabla siguiente se presentan algunos casos relevantes. MARCA

MODELO

( i )

( ii )

( iii )

AUTOS

FIAT

UNO S 1.3 mpi

1,31

1,11

1,72

CITROEN

SAXO

1,37

1,15

1,82

CHEVROLET

CORSA e vol

1,67

1,45

2,20

CHEVROLET

CORSA 2 vol

1,44

1,22

2,02

TOYOTA

Corolla

1,95

1,71

2,59

VOLKSWAGEN

GOLF

1,69

1,44

2,33

AUDI

A4

1,98

1,72

2,74


MERCEDES BENZ

C220 Cdi T

1,97

1,72

2,75

BMW

740i

2,36

2,07

3,50

BMW

X5 3.0 /d

2,10

1,81

3,17

Valores Medios para 55 autos

1,82

1,56

2,56

CAMIONETAS y 4 x 4

TOYOTA

HILUX 4x4

2,23

2,00

3,05

CHEROKEE

JEEP 4x4

1,96

1,68

2,79

FORD

RANGER

2,55

2,20

4,34

CHEVROLET

BLAZER

2,21

1,85

3,46

ROVER

LAND ROVER

2,13

1,84

2,86

Valores Medios

2,07

1,78

3,00

DETERMINACIÓN DEL MOMENTO RESISTENTE

Los datos presentados en la tabla anterior hacen evidente que con este grado de dispersión, el cálculo del Momento de Inercia no resulta confiable. Es un criterio aceptado en la investigación de accidentes de tránsito, despreciar o no considerar formas de disipación de energía asociadas al calor, al sonido, e incluso al trabajo mecánico de las suspensiones. De tal manera se considera que, por aplicación del principio de conservación, la diferencia entre energía cinética contenida en el móvil al momento de iniciar el movimiento de rotación y traslación, y la remanente al finalizar el mismo, se trasforma en trabajo de rozamiento. Llamando F r a la fuerza lineal de rozamiento -suponiendo una partícula con la masa concentrada en el centro de masa C m-, S a la trayectoria del centro de masa, M r el momento de las fuerzas de fricción respecto del centro de masa al girar el ángulo θ , la expresión del trabajo total de rozamiento es: L

=

F r S + M r θ

= m g u S + M r θ = E c (2)

La ecuación (2) posee dos incógnitas; sin embargo, como demostraremos a continuación, el valor del momento resistente al giro puede ser determinado con suficiente precisión, conociendo la distancia entre ejes y la trocha del automóvil en cuestión, y su masa. Todo automóvil trasmite su carga al piso en cuatro puntos por medio de los neumáticos. Cualquier desplazamiento que quiera imprimirse al rodado, encontrará la oposición de las fuerzas de rozamiento en cada uno de las ruedas, de dirección contraria al desplazamiento, y proporcionales a la fuerza trasmitida (descargada) al piso en cada punto.

X

d

Y

C m E e

t

Asumiendo una razonable simetría longitudinal en la distribución de masas de un automóvil –lo que implica admitir que el C m se encuentra en el eje longitudinal y éste coincide con el eje X-, el momento resistente al giro con respecto al eje normal que pasa por el centro de masa (Z), resulta la sumatoria de los momentos de cada una de las fuerzas de rozamiento respecto del C m. Siendo D y T la carga trasmitida al piso en los ejes delantero y trasero respectivamente, d la distancia del eje delantero al C m, E e la distancia entre ejes, y t la trocha, puede plantearse entonces


M r =

2 (uD/2) [d 2 +(t /2)2 ]1/2 + 2 (uT /2) [( E e -d )2 +(t /2)2 ]1/2

(3)

El valor de la trocha delantera difiere de la trasera en unos pocos centímetros; para los cálculos se puede considerar –y así se ha tomado en este trabajo-, la trocha promedio, sin que ello afecte el error de las determinaciones. Haciendo k = (d / E e ), resultará entonces d = k E e y E e - d = (1 - k ) E e . Tomando ahora momentos estáticos respecto del eje Y, puede plantearse D

d = T ( E e -d )= T (1 - k ) E e.

Por último resulta obvio que operando resulta M r = uD

D

+ T = m g . Introduciendo estas relaciones en la ecuación (3) y

[k 2 E e2 +(t /2)2]1/2+uT [(1-k )2 E e2 +(t /2)2]1/2

k

M r = (uT / ) M r = (u m

{[k 2 E e2+(t /2)2]1/2+[(1 - k )2 E e2 +(t /2)2]1/2}

g ) {[k 2 E e2+(t /2)2]1/2+[(1 - k )2 E e2 +(t /2)2]1/2}

(4)

El término {[k 2 E e2+(t /2)2]1/2+[(1 - k )2 E e2 +(t /2)2]1/2}, expresado como función de k , depende de la distribución de la carga. El valor de k es del orden de 0,4 con el auto vacío y 0,5 con todos sus ocupantes, y puede alcanzar un valor extremo de 0,6 en el caso de las pick-ups a plena carga. La tabla de la página siguiente presenta la desviación del valor de la llave, respecto de un valor medio k = 0,5, para los valores extremos de k de 0,4 y 0,6, en el espectro de variación de E e y t para automóviles pequeños, medianos y grandes y camionetas del tipo “4 x 4” .

Que la dispersión sea de un orden inferior al 0,4 % en todos los casos, resulta de suma importancia; implica que adoptar un valor de k = 0,5 en forma indiferenciada no introduce error sensible en la resolución de la ecuación (4), y dado que para ese valor resulta k = 1-k, la ecuación 4 puede rescribirse M r = u m

MARCA

MODELO

ENTRE TROCHA EJES DELANTERA

g [E e2 + t 2]1/2

TROCHA TRASERA

2,362

1,321

1,340

TOYOTA

UNO S 1.3 Corolla

2,600

1,480

DAEWOO

TACUMA

2,600

CHRYSLER

CARAVAN

BMW

740i

BMW

745i A

FIAT

CHEROKEE JEEP 4x4

(5)

DESVIACIONES a k=0,5 0,4

0,5

0,6

0,37%

0

0,37%

1,460

0,37%

0

0,37%

1,475

1,480

0,38%

0

0,38%

2,880

1,600

1,625

0,37%

0

0,37%

2,930

1,552

1,568

0,35%

0

0,35%

2,990

1,586

1,590

0,35%

0

0,35%

2,650

1,524

1,526

0,38%

0

0,38%

La ecuación (5), introducida en la ecuación (2), permite calcular la energía cinética con que se inicia un movimiento rototraslatorio, incorporando los datos de la distancia entre ejes y la trocha del automóvil en cuestión, valores muy fáciles de conocer o medir, o incluso estimar sin introducir mayores errores. La expresión queda: E c = u m g {S + θ [ E e2 + t 2]1/2 } (6)


En donde la variable de la masa m, afectada por el estado de carga y alistamiento (carga de combustible, carga trasportada, peso real de los ocupantes), resulta la más difícil de determinar. Si lo que se tratara de determinar es la velocidad lineal inicial en un proceso de frenado desequilibrado, que originara rotación, la ecuación (6) queda expresada en forma independiente de la masa:

V o2 = 2 u g {S + θ [ E e2 + t 2]1/2 } (7) Analizando la relación entre distancia entre ejes y la trocha para 55 modelos de automóviles modernos y 12 camionetas 4x4 y pick-ups doble cabina, la relación f = [E e2 + t 2]1/2 / E e tiene un valor medio de 1,151 para todos los autos (con variación entre extremos de 1,127 y 1,194 ) y 1,138 (variación 1,000 – 1,173) para las camionetas. De manera que para aproximaciones de ±10% en el valor final, puede adoptarse la expresión E c = u m g {S + 1,15 θ E e} (8)

SIMPLIFICACIONES ADICIONALES. PRECAUCIONES.

En las ecuaciones anteriores, el valor de S es la trayectoria del centro de masa del automóvil, la que no siempre es la distancia en línea recta entre el punto de impacto y el punto de reposo. En el caso más general corresponde considerar el caso de un desplazamiento complejo, donde el centro de rotación instantáneo tiene un movimiento desconocido. El diagrama siguiente representa un hipotético caso de movimiento rototraslatorio desde una posición 1 pasando por 2, 3, ..hasta la posición de reposo 6, con un desplazamiento del centro de masa S y una rotación total θ .

S 6 O1

θ

O6


La resolución de la ecuación del movimiento anterior es complejo; requiere determinar la ley de movimiento del centro de rotación y la de variación del radio de rotación, en relación al tiempo o al ángulo de rotación. Las ecuaciones (6), (7) y (8) remiten a esta configuración específica, y la simplificación formal supone descomponer el movimiento en un desplazamiento S seguido de un giro θ . Reemplazar la distancia S por S ’, en la mayoría de los casos reales, puede introducir serios errores en los resultados. Cuando se conoce la posición final de los rodados y hay evidencias de las huellas de rozamiento de los neumáticos contra el piso, la determinación de la trayectoria S puede hacerse con medios gráficos con suficiente precisión. θ

S

6

S’

Buenos Aires, Diciembre de 2002

REFERENCIAS (1)

Alan J Watts, Dale R. Atkinson y Corey J. Hennessy – Low Speed Automobile Accidents – Lawyers & Judges Publishing Co – 1999 (2) Denis P. Wood, Mark Doody y Stephen Mooney– Application of a Generalized Frontal Crush Model of the Car Population to Pole and Narrow Object Impacts.– Paper SAE 930894 - 1993 (3) Ernesto N. MARTÍNEZ – Momentos de Inercia para Uso Práctico en Reconstrucción de Accidentes– CIENCIA ENERGÉTICA Nº 101


rototraslacion

Recommend Documents