Problemas de aplicación de la ley de Gauss

Problemas de aplicación de la ley de Gauss Problema 1

Una esfera de 5 cm está uniformente cargada con una densidad de carga de 1.2·10 -5/π C/m3. Calcular el módulo del campo eléctrico a una distancia r del centro, en el interior ( r <5) <5) y en el exterior (r >5) >5) de la esfera cargada. Calcular el potencial en el centro r =0, =0, de la esfera. Solución

Distribución de carga con simetría esférica. El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r . El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es

∮

∮⋅ ⋅

∮ ⋅

E dS= E dS cos0= E dS = E 4πr 2

Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss

∮

E dS=qε0

E =q4πε0r 2

Para r <5 <5 cm q=1.2

⋅10

−5π 43 43πr 3=1.6

Para r >5 >5 cm q=1.2

⋅10

⋅10

−5r 3

⋅10

−5π 43 43π (0.05) (0.05)3=2

−9

⋅

E =144 000 =144 000 r N/C N/C

E =18 =18r 2 N/C

Gráfica del campo

Potencial

⋅

⋅

⋅

V =∫0∞ E dr =∫00.05144 000 r dr +∫0.05∞18r 2 dr =540 V =540 V

Problema 2

Un cilindro muy largo, macizo, de 5 cm de radio está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de carga de 4·10 -6 C/m3. 



Determinar, razonadamente, la expresión del campo eléctrico dentro y fuera del cilindro. Determinar la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje del cilindro y otro a 15 cm del mismo. Solución

Distribución de carga con simetría cilíndrica.

El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica de radio r y longitud L. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es

superficie lateral ∮∫ ==⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ∫ ⋅ ⋅cos0= ∫ = ⋅2 base inferior ∫ ⊥ =0 base superior ∮ = ⋅2 E dS E dS E dS E dS E πrL

E dS E πrL

E dS

E S2

∫E dS=0

⊥

E S1

Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss

∮

E dS=qε0

E =q2πε0rL

Para r <5 cm

⋅

⋅

q=4 10−6πr 2 L=4π 10−6r 2 L

Para r >5 cm

⋅

⋅

q=4 10−6π (0.05)2 L=π 10−8 L

⋅

E =72 000 π r N/C

E =180πr N/C

Gráfica del campo

Diferencia de potencial

⋅

⋅

⋅

V 0−V 15=∫00.15 E dr =∫00.0572 000 πr dr +∫0.050.15180πr dr =90π (1+2ln3) V

Problema 3

Una placa plana, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de σ =2/π 10-9C/m2. 



Solución

Calcular el módulo del campo eléctrico. Hallar la diferencia de potencial entre dos puntos situados a 1 cm y 8 cm de la placa

Distribución de carga con simetría plana. El campo eléctrico tiene dirección perpendicular al plano cargado. Para calcular el flujo tomamos una superficie cilíndrica cuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya sección es S.

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es

superficie lateral ∫ =0 base izquierda ∮∫ ==⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⊥ ⋅ = base derecha ∫ = ⋅ = ∮ =2 ⋅ Calculamos la carga q contenida en dicha superficie cilíndrica y aplicamos la ley de Gauss ∮ = = 2 E dS E dS E S1 ES

E dS qε0

E dS E S2 ES

E dS E dS E S

E dS

E q Sε0

Es la carga que hay en la porción de placa de área S marcada en color rojo es q=σ·S E =σ 2ε0=36 N/C

Gráfica del campo


⋅

⋅

V 1−V 8=∫0.010.08 E dr =∫0.010.0836 dr =2.52 V

Problema 4

Una placa plana, indefinida de espesor 2 d =2 cm, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de ρ=2 10-8 C/m3. Obtener razonadamente la expresión del campo eléctrico en el interior y en el exterior de dicha placa. Representar el módulo del campo eléctrico en función de la distancia a la placa. Hallar la diferencia de potencial entre el origen (plano que divide a la placa por la mitad) y un punto situado a 5 cm de dicho plano.

Solución

Distribución de carga con simetría plana. El campo eléctrico tiene dirección perpendicular al plano cargado. Para calcular el flujo tomamos una superficie cilíndrica cuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya sección es S.

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es

∮∫ ==⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⊥ superficie lateral ∫ =0 base izquierda ⋅ = base derecha ∫ = ⋅ = ∮ =2 ⋅ Calculamos la carga q contenida en dicha superficie cilíndrica y aplicamos la ley de Gauss = 2 ∮ = E dS E dS E S1 ES

E dS qε0

Para x>d

E q Sε0

E dS E S2 ES

E dS E dS E S

E dS

La carga que hay en la porción cilíndrica de placa de área S y longitud 2d marcada en color rojo es q=ρ(2d )S E = ρdε0=7.2π N/C

Para x
Gráfica del campo


⋅

⋅

⋅

V 0−V 5=∫00.05 E dx=∫00.01720πx dx+∫0.010.057.2π dx=0.324 π V

Área de un triángulo más el área de un rectángulo Problema 5

Una esfera hueca de radio interior 3 cm y radio exterior 5 cm, contiene carga uniformemente distribuida por todo su volumen con una densidad de 4 10 5 /π C/m3. En su centro hay una esfera conductora de 1 cm de radio cargada con -4·10 -9 C. 



Obtener, razonadamente, la expresión del campo eléctrico en las siguientes regiones r <1, 1< r <3, 35. Calcular el potencial del centro de la esfera conductora Solución


∮

∮⋅ ⋅

∮ ⋅


Calculamos la carga q en el interior de la esfera de radio r en las distintas regiones y aplicamos la ley de Gauss

∮

E dS=qε0

r <1 cm.

En el interior de un conductor el campo eléctrico es nulo, E =0

1
⋅

E 4πr 2=qε0

E =−36r 2

Sentido hacia el centro.

3
⋅⋅

⋅

q=−4 10−9+4π 10−5(43πr 3−43π 0.033) E 4πr 2=qε0 E =48 104r −48.96 r 2

r >5 cm.

La carga de la esfera conductora y la carga de la esfera hueca.

⋅

⋅

q=−4 10−9+4π 10−5(43π 0.053−43π 0.033) E 4πr 2=qε0 E =11.04 r 2 N/C

Gráfica del campo

Potencial de la esfera conductora

⋅

⋅

V =∫0∞ E dr =∫0.010.03−36r 2dr +∫0.030.05(48 104r −48.96 r 2)dr +∫0.05∞11.04r 2dr =−2448 V

Problema 6

Dos cilindros coaxiales muy largos, uno macizo y otro hueco están cargados. El primero, que tiene un radio de 2 cm está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de carga de 4·10 -6 C/m3 El hueco de radio interior 5 cm y radio exterior 8 cm, es un conductor cargado con una carga por unidad de de longitud de -9·10-9 C/m. 





Determinar razonadamente, la expresión del campo eléctrico en las distintas regiones: r <2, 2


∮∫ ==⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ superficie lateral ∫ ⋅ ⋅cos0= ∫ = ⋅2 base inferior ∫ =0 base superior ⊥ ∮ = ⋅2 E dS E dS E dS E dS E πrL

E dS E πrL

E dS

E S2

∫E dS=0

⊥

E S1


∮

E dS=qε0

E =q2πε0rL

Para r <2 cm

⋅

⋅

⋅

E =72 000π r N/C

q=4 10−6πr 2 L=4π 10−6r 2 L

Para 2
⋅

⋅ ⋅10

q=4 10−6π (0.02)2 L=π 1.6

−9 L

E =28.8 πr N/C

Para 5
Para r >8 cm

⋅

⋅

⋅ ⋅

q=4 10−6π 0.022 L−9 10−9 L=π 1.6 10−9 LE =−71.52 r N/C

Gráfica del campo


⋅

⋅

⋅

⋅

V 0−V 15=∫00.15 E dr =∫00.0272 000 πr dr +∫0.020.0528.8πr dr +0+∫0.080.15−71.52 r dr =83.18 V

Problema 7

Dos cilindros coaxiales muy largos, uno macizo y otro hueco están cargados. El primero que tiene un radio de 2 cm y es un conductor cargado con una carga por unidad de longitud de 9·10-9 C/m El hueco de radio interior 5 cm y radio exterior 8 cm, está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad - 4/π·10-6 C/m3.







Determinar la expresión del campo eléctrico en las distintas regiones: r <2, 2


∮∫ ==⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ superficie lateral ∫ ⋅ ⋅cos0= ∫ = ⋅2 base inferior ∫ =0 base superior ⊥ ∮ = ⋅2 E dS E dS E dS E dS E πrL

E dS E πrL

E dS

E S2

∫E dS=0

⊥

E S1


∮

E dS=qε0

E =q2πε0rL

Para r <2 cm En el interior de un conductor el campo eléctrico es E =0

Para 2
⋅

q=9 10−9 L

E =162r N/C

Para 5
⋅ C

⋅

⋅

q=9 10−9 L+4π 10−6(πr 2−π 0.052) LE =342r −72 000 r N/

Para r >8 cm

⋅

⋅

q=9 10−9 L+4π 10−6(π 0.082−π 0.052) LE =−118.8 r N/C

Gráfica del campo


⋅

⋅

⋅⋅

⋅

V 0−V 15=∫00.15 E dr =0+∫0.020.05162r dr +∫0.050.08(342r −72 000 r ) dr +∫0.080.15−118.8 r dr =94.1 V

Problema 8

Una esfera de 8 cm de radio está cargada con una carga uniformemente distribuida en su volumen de 1.152·10 9 C. Determinar razonadamente la expresión del campo eléctrico a una distancia r del centro de la esfera cargada. Calcular el vector campo eléctrico y el potencial en el punto P (0, 6) cm producida por dicha distribución de carga y otra carga puntual Q de -2·10 -9 C situada en el punto (12, 0) cm tal como se muestra en la figura



Solución Problema 9

Sea un sistema formado por dos esferas de radio a=4 cm. La de la izquierda cuyo centro está situado en el origen y tiene una carga uniformemente distribuida en todo su volumen de 1.152·10 -9 C. La de la derecha es una esfera hueca cargada uniformente con -2.0·10 -9 C, su centro está a 12 cm de la primera. 



Determinar, la expresión del campo eléctrico y del potencial de cada esfera aisladamente en función de la distancia a su centro r , para ra. Calcular el vector campo eléctrico y el potencial en los puntos A (0, 2 ) cm, B (6, 0) cm, y C (12, -2) cm producido por ambas esferas. Solución


∮

∮⋅ ⋅

∮ ⋅


Calculamos la carga q en el interior de la esfera de radio r en las distintas regiones y aplicamos la ley de Gauss

∮ 

E dS=qε0

Esfera cargada uniformente

r >4 cm.

La carga q es la de la esfera cargada

⋅ ⋅

q=1.152 10−9 E 4πr 2=qε0 E =10.368r 2 N/CV (r )=∫r∞10.368r 2dr =10.368r

r <4 cm.

La carga q es una parte de la esfera uniformemente cargada

⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅⋅

q=1.152 10−943π 0.04343πr 3=1.8 10−5r 3 E 4πr 2=qε0 E =162 000 r N/CV (r )=∫r 0.04162 000 r dr +∫0.04∞10.368 r 2dr =3 88.2−81000 r 2



Esfera hueca

r >4 cm

La carga q es la de la esfera cargada

⋅ ⋅

q=−2 10−9 E 4πr 2=qε0 E =−18r 2 N/CV (r )=∫r ∞−18r 2dr =−18r

r <4 cm

No hay carga dentro de una superficie esférica de radio r <4 cm. El campo eléctrico es nulo E =0

Potencial para un punto r <4 cm es V (r )=∫0.04∞−18r 2dr =−450 V

Combinación de ambas distribuciones de carga Punto A(0, 0.02)

⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅

E 1=162000 0.02=3240 E 2=180.02 2+0.12 2=1216.2 tanθ =0.020.12 E1=3240 jÊ2= E 2cosθ iˆ− E 2sinθ jÊA=E1+E2=1200 iˆ+3 040 jˆ N/CV A=V 1+V 2=388.2−81000 0.022−180.02 2+0.122−−−−−−−−−−

⋅ √=207.84 V

Punto B(0.06, 0)

⋅

⋅

⋅

E 1=10.3860.06 2 E 2=180.06 2E1=2885 iÊ2=5000 iÊ B=E1+E2=7885 iˆ N/C V B=V 1+V 2=10.3860.06−180.06=−127.2 V

Punto C(0.12, -0.02)

⋅

⋅

⋅

⋅

E 2=0 E 1=10.3680.022+0.122=700.5 tanθ =0.020.12 E1= E 1cosθ iˆ− E 1sinθ jÊC =E1+E2=691.0 iˆ+115.2 jˆ N/C V A=V 1+V 2=10.3680.022+0.12 2−−−−−−−−−−√−180.04=−364.77 V

Problema 10

Un modelo de átomo consiste en un núcleo positivo representado por una carga puntual carga + Q situado en el centro de una esfera de radio R, que tiene uniformemente distribuida una carga -Q en su interior. Determinar de forma razonada la expresión del campo eléctrico a una distancia rR?. 



Calcular la diferencia de potencial entre dos puntos situados a una distancia del centro r 1= R/2 y r 2= R, respectivamente.

Solución


∮

∮⋅ ⋅

∮ ⋅


Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss

∮

E dS=qε0

E =q4πε0r 2

Para r
Para r>R q=Q-Q=0, E =0


⋅

⋅

V R/2−V R=∫ R/2 R E dr =∫ R/2 RQ4πε0 R2( R2r 2−rR) dr =5Q32πε0 R Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García

E =Q4πε0 R2( R2r 2−rR)

Problemas de aplicación de la ley de Gauss

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