Ejercicios Ley de Gauss

1.

ey de Gauss

Tenemos Tenemos un cilindro de radio “a” y que podemos considerar c onsiderar infinito para este problema, tiene su eje alineado con el eje z. Este cilindro está cargado con una densidad de carga volumétrica que vale

! r 

ρ=ρ# ($+ a

"

) [C / m ]

%oa&ial con este cilindro, tenemos un cilindro 'ueco de radio interior “b” y de radio e&terior “c” de material conductor y que no tiene carga neta. Teniendo Teniendo en cuenta que # ( a ( b ( c

•

)ibuja un secci*n transversal del problema.

•

%alcula el campo electrostático en cualquier punto del espacio.

 Resolución:

En primer lugar vamos a dibujar la secci*n transversal que nos pide el problema. +odra ser algo as

b

a

c

-ecuerda que este dibujo no es una esfera, si no un cilindro cuyo eje sale 'acia nosotros del papel. amos a'ora a calcular el campo eléctrico. %omo los cilindros son coa&iales, e infinitos y la densidad de carga solo depende del radio, en este caso tenemos una simetra cilndrica, cualquier rotaci*n alrededor del eje z o cualquier traslaci*n sobre este eje que 'agamos no cambia el problema y por lo tanto el resultado va a ser simétrico. /a 0nica forma posible del campo va ser radial y perpendicular al eje. Esto nos va a permitir usar unas superficies gausianas cilndricas en las que el campo va a ser   perpendicular a lo largo de todo el cilindro y de m*dulo constante. Empezamos por la zona r ( a. /a superficie gaussiana tiene, en el corte transversal, este forma

r

En este caso, la superficie roja es un cilindro que sale del papel, de longitud infinita. +lanteamos la ley de 1auss que dice que

⃗ =Q d   s ⃗ ⋅   ∮   E  ϵ

enc

 s

#

+uesto que el campo es perpendicular a la superficie 2y por tanto paralelo al vector diferencial de superficie3 y constante, este sale de la integral

    | E  ⃗ |⋅S = Qenc ϵ #

/a superficie del cilindro será S =4

π

rL

5é que estarás pensando que puesto que / es infinita, la superficie también lo será. Tienes raz*n, pero de momento vamos a dejarlo indicado as. amos a'ora con la carga encerrada por l a superficie gaussiana. +uesto que la carga no es constante 'e de 'acer una integral que es

Qenc =∫ ρ dv oy a usar como diferencial de volumen un cilindro de longitud / 2infinita, ya sabe mos3 y de espesor dr. +or tanto el volumen será

dv=4 π  Lr dr  6 la integral r 

Qenc =∫ ρ#

( $+ #

4

 ! r  a

"

r 

) 4 π  Lr dr =4 π  L ρ

#

 L ρ#

(

4

"

" ar  + 7 r 

! r 

( 4 + " a )= π

"a

) [C]

6 por lo tanto substituyendo en la ecuaci*n de la ley de 1auss  L ρ # | E  4 π r L   ⃗ |=

π

ϵ#

4

"

" ar  +7 r 

(

)

"a

%omo ves el problema en realidad es independiente de / mientras esta sea muy grande ya que se simplifica de ambos lados de la e&presi*n y podemos dejar el ca mpo

  | ⃗ E |=

ρ ϵ#

#

4

" ar +7 r 

(

)[

8a

V

/

m]

6 vectorialmente

   E  ⃗ =

ρ#

ϵ#

(

" ar +7 r

4

[ V / m] 8a

) r ^ 9na vez fuera del cilindro interior y 'asta el material conductor, problema se simplifica ya que la carga ya no vara con el radio y por tanto, una vez aplicada la ley de 1auss, la carga encerrada será a

 ! r 

4

$$ π  Lρ a Qenc =∫ ρ# ( $ + ) 4 π  L r dr = a #

#

"

6 la ley de 1auss

  ⃗|= 4 π r L| E  a

$$ π  L4ρ#

" ϵ# 6 el campo

  | ⃗ E |=

ρ 4a [ V / m ] 8 ϵ# r 

$$

#

6 vectorialmente

  | ⃗ E |=

ρ 4a ^r [ V / m ] 8 ϵ# r 

$$

#

[ C ]

Te dejo a ti que pienses c*mo es el campo en el resto de las zonas del espacio.