Cap. 22: Ley de Gauss. Introducción. La Ley La Ley de Gauss trata Gauss trata de lo siguiente: Dada Dada cualqui cualquier er distri distribuci bución ón genera generall de carga, carga, se rodea rodea con una superficie una superficie imaginaria imaginaria que la encierr encierree y luego luego se observ observaa el campo eléctrico en distint distintos os puntos puntos de esa superficie. superficie. Es una relación relación entre todos los puntos de la superficie y superficie y la carga total que que ésta encierra. Más allá de su empleo como herramienta de cálculo, esta ley ayuda a tener una comprensión más prounda de los campos eléctricos. eléctricos. Metas de aprendizaje: !. "ómo determina determinarr la cantidad cantidad de carga carga dentro dentro de una supericie supericie cerrada cerrada e#amina e#aminando ndo el campo eléctrico sobre eléctrico sobre la supericie. $. "uál "uál es es el el sig signi nii ica cado do de de flujo eléctrico y eléctrico y cómo se calcula. %. "ómo la la Ley de Gauss relaciona Gauss relaciona al flujo al flujo eléctrico a eléctrico a través de una supericie cerrada con la carga encerrada por la supericie. &. "ómo us u sar la la Ley de Gauss para para calc calcul ular ar el campo eléctrico eléctrico debido a una distribución simétrica de la carga. '. Dónde se se locali(a locali(a la la carga carga de un conductor conductor en un conductor conductor cargado. cargado. Carga y flujo eléctrico. En el cap)tulo cap)tulo anterior anterior se planteó: planteó: *Dada una distribución distribución de carga, carga, +cuál es el campo eléctrico que eléctrico que produce esa distribución en el punto el punto P - El campo total en P es es la suma vectorial de los campos debidos campos debidos a todas las cargas puntuales.
ara descubrir esa relación planteamos la pregunta al revés: *si se conoce la disposición del campo eléctrico eléctrico en una regi región ón dete determ rmina inada da,, +qué +qué podem podemos os dete determ rmin inar ar acer acerca ca de la distribución de carga en esa región- "onsidere la ca/a que se ilustra en la siguiente igura, la que puede contener o no una carga eléctrica. +"ómo determinar cuánta carga eléctrica 0 si si es que la hay1 hay 1 se encuentra dentro de la ca/a 0 superficie superficie cerrada1cerrada1-
"omo sabemos que una distribución de carga produce un campo eléctrico eléctrico y que éste e/erce una fuerza sobre una una carg carga a de prueb prueba a, se mueve mueve una carga carga de prueba prueba q0 en torno a las pro#imidades de la ca/a. 1
"on la medición de la uer(a
F
e#perimentada por la carga de prueba en dierentes E = F / q0 posiciones se elabora un mapa tridimensional del campo eléctrico uera de la ca/a y resulta ser el mismo 0 figura b1 que produce una carga positia. 2 partir de estos detalles es posible determinar el valor de la carga puntual dentro de la ca/a. E
ara determinar el contenido de la ca/a solo se necesita medir en la superficie de la ca/a. En la siguiente igura, en a hay una sola carga puntual positia en el interior de la ca/a y en la b hay dos de tales cargas. En ambos casos, el campo eléctrico apunta hacia auera de la ca/a. El flujo eléctrico es saliente.
En las figuras c y d se ilustran casos con una y dos cargas puntuales negatias, respectivamente dentro de la ca/a. En ambos casos el campo apunta hacia la ca/a. El flujo eléctrico es entrante.
+3ué pasa si la carga dentro de la ca/a es cero- En la siguiente figura a la ca/a está vac)a y E
2
=0
en todo lugar, por lo que no hay flujo eléctrico hacia el interior o e!terior de la ca/a.
En la figura b hay una carga positia y otra negatia de la misma magnitud , por lo que la carga neta en el interior es igual a cero. 4ay un campo eléctrico pero la mitad es entrante y la otra mitad es saliente. or lo tanto no hay flujo eléctrico neto hacia adentro o hacia auera de la ca/a. En la figura c, la ca/a está vac)a pero, auera de la ca/a se ha colocado una carga, con uno de sus e#tremos paralelos a una lámina ininita, con carga uniorme que produce un campo eléctrico uniorme, perpendicular a la lámina. En un e#tremo de la ca/a auera de la ca/a. En los lados hacia uera de la ca/a.
E
E
apunta hacia ella y en el e#tremo opuesto
E
apunta hacia
es paralelo a la supericie por lo que no apunta hacia dentro ni
2s) mismo, e#iste una cone#ión entre la magnitud de la carga dentro de la superficie cerrada y la intensidad del flujo neto de sobre la superficie. En las siguientes figuras a y b hay una sola carga puntual en el interior de la ca/a, pero en la b la magnitud de la carga es el doble de E
grande por lo que también es el doble que en a. El flujo eléctrico saliente también es el doble y esto sugiere que éste es directamente proporcional a la magnitud de la carga neta encerrada en la ca/a.
Esta conclusión es independiente del tama5o de la ca/a. En la figura c la carga "q está encerrada por una ca/a que duplica sus dimensiones a las de la figura a. La magnitud del campo eléctrico de una carga puntual disminuye con la distancia con #/r $ de manera que la magnitud 3
E
media de en cada cara de la ca/a grande es /usto % de la ca/a chica. ero cada cara de la ca/a agrande tiene & eces el 'rea de la chica6 por lo tanto, el flujo eléctrico saliente es igual para las dos ca/as. 4ay que calcular el producto de la componente perpendicular media de de esa cara6 luego se suman los resultados de todas las caras de esa ca/a.
E
por el área
Flujo de un campo eléctrico uniforme.
El s)mbolo que se utili(a para el flujo eléctrico es
Φ E
0el sub(ndice es para recordar que
se trata de flujo eléctrico1. ara un área plana ) perpendicular a un campo eléctrico es: Φ E = E ×)
E
uniorme
E
7i el área ) es plana pero no perpendicular al campo , entonces son menos las l(neas de campo que la atraviesan. De manera generali(ada, el flujo eléctrico para un campo eléctrico es: Φ E = E ×) cos φ "omo e#presa como: Φ E = E⊥ ×)
E cos φ
E
es la componente de
En términos del ector de un 'rea como el producto escalar de Φ E = E ×) .
E
y
)
)
perpendicular al área, la ecuación anterior se
perpendicular al área, el flujo eléctrico se e#presa
:
)
La dirección de un ector de 'rea se puede representar con empleando un ector * * * ) = )n n n unitario perpendicular al área6 signiica normal . De esta orma: . 4
E
+3ué pasa si el campo eléctrico no es uniorme, sino que var)a de un punto a otro del área )- 8, +qué ocurre si ) es parte de una supericie curva2qu) se divide ) en muchos elementos peque5os d). El flujo eléctrico se calcula a través de cada elemento y los resultados se integran para obtener el flujo total . Φ E =
∫ E cos φ ×d) =∫ E
⊥
×d) =∫ E d) ×
Ejemplo 22.1: * n
9n disco con radio de 0+#0 m se orienta con su ector unitario normal
con un ángulo de
E
,0- respecto de un campo eléctrico uniorme con magnitud de $×#0, ./ . "omo ésta no es una supericie cerrada, no tiene un interior ni un e!terior 6 por eso se tiene que especiicar la * n
dirección de . a1 +"uál es el flujo eléctrico a través del disco b1 +"uál ser)a el lu/o que cru(ar)a el disco si se girara de manera que su normal uera E
perpendicular a c1 +"uál ser)a el lu/o que pasar)a a través del disco si su normal uera paralela a
E
-
olución: $
) = π ( 0+#m ) = 0+0,#& m $
* E ) = )n , y el ángulo entre y es φ 1 ,0- , por lo que , $ $ ( $ × #0 . / ) ( 0+0,#& m ) ( cos ,0- ) = 2& . ×m /
a1 El área es Φ E = E ×) cos φ
b1 2hora, la normal al disco es perpendicular a 2 través del disco no hay flujo. c1 La normal al disco es paralela a má#imo posible: Ejemplo 22.2: 5
Φ E = E ×) cosφ
E
=
E
, de manera que φ 1 30;6 cos 30- 1 0 y
Φ E = 0
.
, por lo que φ 1 06 cos φ 1 # y el flujo tiene su valor ( $ × #0 , . / ) ( 0+0,#& m$ ) ( #) = 4,. ×m $ /
E
9n cubo de arista L está situado en una región de campo eléctrico uniorme . Determine el flujo eléctrico que pasa a través de cada cara del cubo y el flujo total a través de éste: a1 cuando el cubo está orientado con dos de sus caras perpendiculares al campo ilustra en la figura a. b1 cuando el cubo gira un ángulo θ como en la figura b.
E
, como se
olución:
a1 En la igura se ilustran los ectores unitarios para cada cara 0
*# a n * 4 n
16 la dirección de cada
ector unitario es hacia afuera desde la supericie cerrada del cubo. El ángulo entre E
* $ n
E
y
* # n
E
es de #50- 6 el ángulo entre y es de 0- y el ángulo entre y cada uno de los otros cuatro vectores unitarios es de 30- . "ada cara del cubo tiene un área de L$, por lo que los flujos a través de cada una de las caras son los siguientes: $ * # ) =E ×L$ cos#50Φ E# = E ×n × =E− L× r $ * $ ) =E ×L$ cos0Φ E $ = E ×n × = L× E Φ E, = Φ E& = Φ E 2 = Φ E4 = E ×L$ ×cos 30- =0
E
El flujo es negativo en la cara #, donde está dirigido hacia el cubo y positivo en la cara $, en la que se dirige hacia uera del cubo. El flujo total a través del cubo es la suma de los lu/os de las seis caras: Φ E = Φ E# + Φ E$ + Φ E, + Φ E& + Φ E 2 + Φ E4 Φ E = − E ×L$ +E ×L$ +0 +0 + 0 + 0 =0 E
b1 Los flujos a través de las caras # y , son negativas ya que está dirigido hacia esas caras6 el campo se dirige hacia uera de las caras $ y & por lo que los flujos a través de esas caras son positivos. 7e tiene que:
6
Φ E# = E ×n* # ) =E ×L$ cos × ( #50- θ−) r
* $ ) =E ×L$ cos Φ E $ = E ×n × θ r $ * , ) =E ×L cos Φ E, = E ×n × ( 30- θ+) r
* & ) =E ×L$ cos × ( 30- θ−) Φ E& = E ×n
=E− L×$ cos × θ =E− L×$ sen × θ $ = L× sen × θ E
Φ E2 = Φ E4 = E ×L$ ×cos 30- =0 Φ E = Φ E# + Φ E$ + Φ E, + Φ E& + Φ E2 + Φ E4 El flujo total a través de la supericie del cubo es, de nuevo igual a cero.
Ejemplo 22.!: 9na carga puntual positiva q 1 , 6 está rodeada por una esera centrada en la carga y cuyo radio mide 0+$ m. Determine el flujo eléctrico a través de la esera debido a esta carga.
olución: E
E =
En cualquier punto de la esera, la magnitud de es: −4 q # 3 $ $ , × #0 × $ =( 3 ×#0 . ×m / ) =4+72 ×#0 2 . / $
&π ε 0 r
uesto que
( 0+$ m )
E
es igual en todos los puntos, se puede sacar de la integral
∫ d)
que resta de la integral , que es el 'rea total total que sale de la esera es: $ Φ E = E ×) =( 4+72 ×#02 . / ) ( &π ) ( 0+$ m) =,+& ×#02
7
∫
Φ E = E ×d) ) = &π r
6 lo
$
de la supericie esérica. 2s), el flujo
. ×m / $