FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO. LEY DE GAUSS Cuando una distribución de carga tiene una simetría sencilla, es posible calcular el campo eléctrico que crea con ayuda de la ley de Gauss. La Ley de Gauss deriva del concepto de fujo del campo eléctrico.
Flujo del campo eléc!"co El fujo del campo eléctrico se dene de manera an!loga al fujo de masa. El fujo de masa a través de una supercie " se dene como la cantidad de masa que atraviesa dic#a supercie por unidad de tiempo.
El campo eléctrico puede representarse mediante unas líneas imaginarias denominadas líneas de campo y, por analogía con el fujo de masa, puede calcularse el n$mero de líneas de campo que atraviesan una determinada supercie. Conviene resaltar que en el caso del campo eléctrico no #ay nada material que realmente circule a través de dic#a supercie.
%
Como se aprecia en la gura anterior, el n$mero de líneas de campo que atraviesan una determinada supercie depende de la orientación de esta $ltima con respecto a las líneas de campo. &or tanto, el fujo del campo eléctrico debe ser denido de tal modo que tenga en cuenta este #ec#o. 'na supercie puede ser representada mediante un vector dS de módulo el !rea de la supercie, dirección perpendicular a la misma y sentido #acia a(uera de la curvatura. El fujo del campo eléctrico es una magnitud escalar que se dene mediante el producto escalar)
∫
Φ = E ds ⃗ S ⃗
S
Cuando la supercie es paralela a las líneas de campo *gura *a++, ninguna de ellas atraviesa la supercie y el fujo es por tanto nulo. E y dS son en este caso perpendiculares, y su producto escalar es nulo. Cuando la supercie se orienta perpendicularmente al campo *gura *d++, el fujo es m!imo, como también lo es el producto escalar de E ydS.
Le# de Gau$$ El fujo del campo eléctrico a través de cualquier supercie cerrada es igual a la carga * contenida dentro de la supercie, dividida por la La supercie cerrada empleada para calcular el fujo del campo eléctrico se denomina supercie gaussiana. -atem!ticamente, ❑
q Φ = E d ⃗ S= ε0 S
∮
⃗
La ley de Gauss es una de las Ecuaciones de Maxwell , y est! relacionada con el teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. ue (ormulado por Carl Friedrich Gauss en %/01. &ara aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la supercie gaussiana depender! de cómo sean estas líneas.
Campo c!eado po! u% pla%o "%&%"o El campo eléctrico creado por un plano innito cargado puede ser calculado utili2ando la ley de Gauss. En la siguiente gura se #a representado un plano innito cargado con una densidad supercial de carga ' () *+S, uni(orme y positiva. Las líneas de campo siempre salen de las cargas positivas, por lo que el campo creado por el plano ser! uni(orme *ya que la densidad de carga lo es+ y sus líneas ir!n #acia a(uera de ambos lados del plano.
3
El fujo del campo eléctrico a través de cualquier supercie cerrada es siempre el mismo *ley de Gauss+4 en este caso, por simplicidad de c!lculo, se #a elegido una supercie gaussiana cilíndrica *representada en rojo en la gura+. El fujo a través de la supercie lateral del cilindro es nulo *ninguna línea de campo la atraviesa+. Las $nicas contribuciones no nulas al fujo son las que se producen a través de sus dos bases. El fujo del campo eléctrico a través del cilindro es entonces) E d ⃗ S +¿ ⃗
∫
∫ E d ⃗S
E d ⃗ S +¿ ⃗
Base 1
⃗
Base 2
E d ⃗ S= ⃗
❑
∫
¿
¿. lateral
❑
∮¿
Φ=
S
Como las dos bases del cilindro son iguales y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de su supercie, la integral anterior se simplica, quedando) ❑
Φ =2
∫
E d ⃗ S =2 E ⃗
Base 1
❑
∫
dS =2 ES
Base 1
El valor del fujo viene dado por la ley de Gauss) Φ =2 ES =
q ε0
5 q6" es la densidad super(icial de carga 7) E=
q σ ; E = 2 ε0 S 2ε0
0
Campo e% el "%e!"o! de u% co%de%$ado! 'n condensador o capacitor es un dispositivo (ormado por dos conductores *denominados armaduras+, generalmente con (orma de placas, cilindros o l!minas, separados por el vacío o por un material dieléctrico *no conduce la electricidad+, que se utili2a para almacenar energía eléctrica. La (orma m!s sencilla de un condensador consiste en dos placas met!licas muy cercanas entre sí con cargas q en una y 8q en la otra. Este tipo de condensador se denomina plano8paralelo. El módulo del campo eléctrico creado por cada una de las placas del condensador, como se #a visto en el ejemplo anterior, viene dado por) E=
σ 2 ε0
Las líneas del campo eléctrico creado por la placa cargada positivamente est!n dirigidas #acia (uera de la misma, lo contrario que ocurre para la placa con carga negativa.
&or tanto, en el eterior del condensador el campo es nulo y en el interior su módulo es el doble del campo que crearía una sola de las placas) Ec =2 E =
σ ε0
Los condensadores se utili2an en circuitos electrónicos como dispositivos para almacenar energía. El primer condensador (ue (abricado en %9:;, y estaba constituido por un recipiente de vidrio recubierto por una l!mina met!lica por dentro y por (uera. "e conoce com$nmente como)
:
P!o/lema$ de apl"cac"0% de la le# de Gau$$ P!o/lema 1 'na es(era de 1 cm est! uni(ormemente cargada con una densidad de carga de) %.3<%= 816> C6m0. Calcular el módulo del campo eléctrico a una distancia r del centro, en el interior *r?1+ y en el eterior *r@1+ de la es(era cargada. Calcular el potencial en el centro rA=, de la es(era. Soluc"0%2 Bistribución de carga con simetría es(érica. El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una supercie es(érica concéntrica de radio r. El fujo del campo eléctrico E a través de dic#a supercie es
EDd"AEDd"Dcos=AEd"AED:>r3 Calculamos la carga q contenida en una supercie es(érica de radio r y aplicamos la ley de Gauss
EDd"Aq6= &ara r?1 cm −6 1.2∗10 π
q=
EAq6*:> =r+
∗4
−6
3
π r =1.6∗10 .r
3
3
EA%::
===DrH6C &ara r@1 cm −6
1.2∗10
π
q= E=
3 18
r
2
∗4 3
−6
π . 0.05 = 2.0∗10 . r
3
. N / C
1
&otencial) ∞
∫
V = E . dr = 0
0.05
∞
0
0.05
. dr =540. V ∫ 144000. r.dr + ∫ 18 r 2
P!o/lema 3
'n cilindro muy largo, maci2o, de 1 cm de radio est! uni(ormemente cargado en todo su volumen con una densidad de carga de :I%=8; C6m0. Beterminar, ra2onadamente, la epresión del campo eléctrico dentro y (uera del cilindro. Beterminar la di(erencia de potencial entre un punto situado en el eje del cilindro y otro a %1 cm del mismo. Bistribución de carga con simetría cilíndrica. El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una supercie cilíndrica de radio r y longitud L. El fujo del campo eléctrico E a través de dic#a supercie es
∮ E . ds =
{
Superficie lateral : ∫ E . ds =∫ E . ds . cos0 = E∫ ds = E .2 π . r . L Baseinferior :∫ E . ds = 0, E ⊥ S 2 Base Superior : ∫ E . ds = 0, E ⊥ S 1
E . ds =¿ E .2 π r . L
∮¿ Calculamos la carga q contenida en una supercie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss
;
∮ E . ds = εq , E = 2 π . εq . r . L 0
o
&ara r?1 cm 2 −6 −6 2 q =4∗10 ∗ π r . L= 4 π ∗10 . r . L E=72000. π . r . N / C &ara r@1 cm ∗ π ( 0.05 )2 . L= π ∗10−8 . L
−6
q = 4∗10
E=
180 π
r
. N / C
&otencial) 15
∫
V 0−V 15= E . dr = 0
0.05
0.15
0
0.05
∫ 72000. r . d r + ∫ 180r π . dr=90 π (1 +2. ln3 ) . V
9
CAPACITA4CIA Como primer ejemplo de 'n conductor que se usa para almacenar carga eléctrica es un capac"o!. un capacitor se eaminar! una es(era met!lica aislada de radio J *véase la gura+. Es obvio que en esta es(era se puede almacenar carga. "i la cantidad de carga que se deposita en la es(era es K, el potencial de la es(era ser!, de acuerdo con la ecuación. 1
V =
4 π ε0
∗Q
Be acuerdo con esta ecuación, la cantidad de carga 5 almacenada en la es(era es directamente proporcional al potencial 6. Esta proporcionalidad entre 5 y6, es v!lida en general para cualquier conductor de (orma arbitraria. .a carga en el conductor produce un campo eléctrico, cuya intensidad es directamente proporcional a la cantidad de carga) el doble de carga produce el doble de campo eléctrico. El campo eléctrico produce un potencial que es directamente proporcional a la intensidad de campo *el doble de intensidad de campo produce el doble de potencial+, por consiguiente, carga y potencial son proporcionales. Esta relación se escribe como sigue) Q =C .V ;C =
Q V
Bónde) C es la constante de proporcionalidad. Esa constante se llama capacitancia del conductor. La capacitancia es grande si el conductor es capa2 de almacenar una gran cantidad de carga a bajo potencial. &or ejemplo, la capacitancia de un conductor es(érico es) /
Q C = = V
Q 1 4
=4 π ε . 0
. π . ε . Q / 0.
Msí, la capacitancia de la es(era aumenta con su radio) una es(era de radio grande puede almacenar una gran cantidad de carga a un potencial bajo. Hote que el valor de la capacitancia sólo depende de las propiedades geométricas del conductor, y no de alg$n valor particular de 5 o 6. La unidad SI de capacitancia es el7a!ad (F,2 1 farad =1 ! =1.
coulo"# C =1. $olt V
Esta unidad de capacitancia es bastante grande4 en la pr!ctica se preere pico-farad . usar el micro-farad y el 'n micro(arad es igual a 10-6farad , y un pico(arad es igual a 10-1farad! −6
1 %! = 10
−12
. ! & 1 '! = 10
. !
Nbsérvese que como %A%
ϵ0 = 8.85∗10
2
C −12 . = 8.85∗10 . ! / " 2 N . "
Esta $ltima epresión es la que suele mencionarse en las tablas de constantes (ísicas.
EJEMPLO 1 QCu!l es la capacitancia de una es(era met!lica aislada de 3= cm de radioR Be acuerdo siguiente (órmula) C =4 π ε 0 . 4 CA: π ∗8.85∗10−12 . ! / "∗0.20 " , CA3.3< 10−11 . ! C =22 '!
EJEMPLO 3 La tierra y los océanos son conductores, y en consecuencia se puede considerar que la Sierra es una es(era conductora. QCu!l es su capacitanciaR "NL'CNH) El radio terrestre es ;.:%= ;m, y entonces 6 −12 C =4 π ε 0 . = 4 π( 8.85∗10 . ! / "∗6.4∗10 −4 C =7.1∗10 CN-EHSMJN") Entre las capacitancias, ésta es una bastante grande. "in embargo, note que para alterar el potencial de la Sierra sólo % volt, sólo se 8: requiere una carga K A CO A 9.% T %= 8: T % volt A 9.% T %= coulomb.
CAPACITA4CIA DE U4 PAR DE CO4DUCTORES La variedad m!s com$n de capacitor consta de dos conductores met!licos aislados entre sí, que tienen cantidades opuestas de carga, de magnitud igual4 es decir, tina carga UK en un conductor y 8K en el otro. La capacitancia V
de ese par de conductores se dene en (unción de la di(erencia de potencial, M, entre los dos conductores) Q = C . )V ;osea ,C =
Q ) V
En esta ecuación se considera que K y ΔO, son cantidades positivas. Nbsérvese que la cantidad 5 no es la carga total del capacitor, sino la magnitud de la carga en cada placa. La carga total que establece la di(erencia de potencial en cualquier capacitor de dos conductores es cero. La gura siguiente muestra un capacitor de dos conductores4 consta de dos grandes placas met!licas paralelas, cada una con !rea M, separadas por una distancia d. Las placas tienen cargas U K y 8 K, respectivamente, en sus supercies interiores. El campo eléctrico en la región entre las placas es) E=
Q ε0 . *
5 la di(erencia de potencial entre las placas es) ) V = Ed=
Qd ε0 . *
&or tanto, de esta conguración es) C =
ε .* Q Q = = 0 ) V Qd / ε 0 . * d
"e ver! otra ve2 que la capacitancia sólo depende de la geometría de los conductores. En la ecuación anterior se ve que para almacenar una cantidad grande de carga, a bajo potencial, se necesita un !rea M grande, pero una pequeWa separación d entre las placas. Con (recuencia, los capacitores de placas paralelas se (abrican con dos l!minas paralelas de papel de aluminio, de unos pocos centímetros de anc#o pero de varios metros de longitud. Las #ojas se colocan a muy corta distancia, y se evita su contacto mediante una #oja delgada de pl!stico entre ellas *véase la gura a+. &or (acilidad, todo el emparedado se cubre con otra l!mina de pl!stico y se enreda como un rollo de papel sanitario de dos capas *véase la gura b+. Las dos #ojas de aluminio se conectan a las terminales. %=
G'JM" a+ Xojas de aluminio separadas por una #oja de pl!stico, b+ Capacitor enrollado. E8e!%a$ del capac"o!. &ara cargar ese capacitor se conectan sus terminales a las terminales de una batería, que transere carga de una a otra placa y establece cantidades iguales de carga, de signo contrario, en las placas del capacitor, produciendo una di(erencia de potencial entre las placas, que es igual a la di(erencia de potencial *el voltaje+ de la batería *véase la gura adjunta+. 'na ve2 cargado un capacitor, se puede desconectar la batería, y el capacitor conservar! la carga *y la energía potencial eléctrica+ almacen!ndola durante largo tiempo. El tiempo que dure la carga depender! de qué tan bueno sea el aislamiento. En algunos capacitores, el aislamiento entre las placas permite cierta (uga de carga de una placa a otra. Cuando se encuentran las cargas opuestas de las dos placas, se neutrali2an entre sí y esto puede descargar un capacitor en pocos minutos. &ero algunos capacitores mantienen su carga durante #oras o días. Los aparatos electrónicos con capacitores grandes, como los televisores o las computadoras, suelen tener letreros en sus cajas, para advertir a los usuarios que no abran la caja aunque el equipo esté desconectado de la (uente eléctrica, porque los capacitores conservan la carga eléctrica durante largo tiempo, y pueden producir c#oques eléctricos dolorosos y peligrosos, si por accidente sus terminales se ponen en contacto con la piel del usuario.
Ejemplo 9 'n capacitor de placas paralelas est! (ormado por dos bandas de #oja de aluminio, con =.3= m3 de !rea, separadas por una distancia de =.%= mm. El espacio entre las #ojas est! vacío. Las dos bandas est!n conectadas a las terminales de una batería que produce una di(erencia de potencial de 3== volts entre ellas. QCu!l es la capacitancia de este capacitorR QCu!l es la carga eléctrica en cada placaR QCu!l es la intensidad del campo eléctrico entre las placasR "NL'CYH) Be acuerdo con la ecuación siguiente, la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es C =
ε0 . * d
−12
=
8.85 ( 10
2
! / "∗ 0.20 " −4
1.0∗10
−4
= 1.8∗10 !
C =0.018∗ % . !
%%
La carga de la placa es) −8 −6 Coulomb Q =C .)V = 1.8∗ 10 . ! ∗200 $olts =3.6 ( 10 5 el campo eléctrico entre las placas es, seg$n la siguiente ecuación) E=
)V 200 $olts = =2.0∗106 $olts / " 4 − d 1.0∗10
Los capacitores variables se usan en los circuitos de sintoni2ación, en los radios. Esos capacitores constan de placas jas y móviles. Ml girar la perilla se despla2a la placa móvil paralela a la placa ja, y se #ace disminuir o aumentar el !rea de traslape de las placas, cambiando así la capacitancia *véase la gura adyacente+.
MICROFO4O
DE CAPACITOR
Xay una clase especial de capacitor, que se usa en el micró(ono de capacitor, como se observa en la gura. Ml capacitor se le denomina también condensador, así, a este micró(ono también se le llama con (recuencia micró(ono de condensador. El dia(ragma feible de ese micró(ono (orma una placa del capacitor, y un disco rígido (orma la otra placa. Cuando una onda sonora c#oca con el dia(ragma, las fuctuaciones periódicas de presión de aire empujan y tiran, alternativamente, del dia(ragma, acerc!ndolo y alej!ndolo de la placa rígida. El cambio de distancia entre las placas produce un cambio en la capacitancia, de acuerdo con la ecuación *3;.V+. Como las placas est!n conectadas a una batería, que mantiene una di(erencia ja de potencial entre ellas, el cambio de capacitancia produce un cambio en la cantidad de carga eléctrica en las placas. La carga que sale de las placas del capacitor pasa por los conductores y (orma una corriente eléctrica. Entonces, el micró(ono de capacitor trans(orma una seWal sonora en una seWal eléctrica, que se puede enviar a un amplicador, y de allí a un altoparlante, a una grabadora de cinta o a un digitali2ador. Esta clase de micró(onos tiene buena sensibilidad para un amplio espectro de (recuencias, y suele usarse en estudios de grabación y en telé(onos. %3
%0
