UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
ELECTROMAGNETISMO (FIS-620) INGENIERIA PLAN COMUN
1º Semestre 2007
DEPTO.DE FÍSICA
PROBLEMAS RESUELTOS DE CONTROLES, PRUEBAS Y EXAMENES PRIMER SEMESTRE 2005 A SEGUNDO SEMESTRE 2006
Tema II: Ley de Gauss. PROBLEMA II.1: Una esfera sólida no conductora de radio R posee una densidad de carga uniforme ρ. Determine: a) el flujo del campo eléctrico ΦE que atraviesa una superficie esférica de radio 2R, concéntrica con la esfera cargada, b) el flujo del campo eléctrico que atraviesa una superficie esférica de radio R/2, concéntrica con dicha esfera. SOLUCION: a) Según la ley de Gauss:
r
r
φ E ( neto ) = ∫ E • dA = S
Qint
ε0
= 4πkQint .
Entonces, para calcular el flujo del campo eléctrico que atraviesa la superficie esférica de radio 2R, basta encontrar la carga total encerrada por dicha superficie, es decir:
4
3 ρ ⋅ Vesfera ρ ⋅ 3 πR 4 πρR 3 16 2 φE = = = = π kρR 3 3 ε0 3 ε0 ε0
b) Análogamente, para el flujo eléctrico que atraviesa la superficie esférica de radio R/2 se tiene:
φE =
4 3
R 2
ρ π ( )3 ε0
1 πρR 3 2 2 = = π kρR 3 6 ε0 3
PROBLEMA II.2: Una esfera sólida no conductora de radio R = 0,5 m contiene una carga eléctrica uniformemente distribuida. a) Determine la carga de la esfera si la magnitud del campo eléctrico a una distancia r = 10 m del centro de la esfera es E = 1×105 V/m. b) Si la densidad de carga de la esfera es ρ = 5×10-3 (C/m3) , determine el potencial eléctrico en un punto ubicado a 10 m del centro de la esfera. c) Si ρ = 5×10-3 (C/m3), determine el flujo eléctrico que atraviesa una superficie esférica de radio r = 0,25 m , concéntrica con la esfera cargada. d) Si la carga de la esfera es Q = 6×10-3 C , determine el campo eléctrico en un punto ubicado a 0,4 m de su centro. SOLUCION: a) En cualquier punto fuera de una esfera cargada la magnitud del campo eléctrico es
kQ r2 E ⋅ r 2 1 ⋅ 10 5 ⋅ 10 2 1 = Q= = ⋅ 10 − 2 = 1,1 ⋅ 10 −3 C 9 k 9 9 ⋅ 10 E=
Por lo tanto
b) El potencial en cualquier punto fuera de la esfera cargada es
V = donde Por lo tanto
kQ r
(tomando V=0 para r → ∞ ),
4 Q = ρ ⋅ Vol = ρ ⋅ πR 3 3 4πkρR 3 4π ⋅ 9 ⋅ 10 9 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,5 3 V = = = 2,36 ⋅ 10 6 V 3r 3 ⋅ 10
φ neto = 4πkQint ,
c) Por Gauss, de modo que
4 3
φ neto = 4πkρ ⋅ πr 3 =
16 2 16 π kρr 3 = π 2 ⋅ 9 ⋅ 10 9 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,25 3 = 3,70 ⋅ 10 7 Vm 3 3
d) Estamos en el interior de la esfera cargada. Para calcular el campo eléctrico en un punto interior, elegimos como superficie gaussiana una superficie esférica de radio r, concéntrica a la esfera cargada. Usando Gauss:
φ neto
r r Qint r3 = ∫ E • dA = 4πkQint , donde = 3 Q R S
por estar la carga uniformemente distribuida en la esfera. Entonces
E ⋅ 4πr 2 = 4πkQ
r3 R3
⇒
E=
kQr 9 ⋅ 10 9 ⋅ 6 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,4 V = = 1,73 ⋅ 10 8 3 3 m R 0,5
PROBLEMA II.3: Una corteza conductora esférica con una carga neta cero tiene un radio interior R1 y un radio exterior R2. Se coloca una carga puntual q en el centro de la corteza. a) Encontrar el campo eléctrico en cada una de las regiones rR2, utilizando la ley de Gauss y las propiedades de los conductores en equilibrio. b) Determinar la densidad de carga en la superficie exterior (r=R2) de la corteza.
R2
q R1
SOLUCION: a) Para r < R1, elegimos una superficie gaussiana esférica de radio r < R1 . Se tiene:
r
φ neto = ∫ E • nˆdA = ∫ EdA = E ∫ dA = E ⋅ 4πr 2 , S
S
S
r ya que E y nˆ son paralelos y E es constante en cada punto de la superficie gaussiana. Como por Gauss
φ neto = 4πkQint
⇒
E ⋅ 4πr 2 = 4πkq
, se concluye que:
r kq E = 2 rˆ para r < R1 . r Para R1 < r < R2 : Estamos en el interior de un conductor en equilibrio electrostático. Se sabe que, en el equilibrio, el campo eléctrico dentro de un conductor es cero. r r E =0 para R1 < r < R2 . Para r > R2 tomamos una superficie gaussiana esférica de radio r > R2 y aplicamos la ley de Gauss. El resultado es análogo al caso r < R1 ya que otra vez Qint = q .
r kq E = 2 rˆ r
para r > R2 .
b) En la corteza conductora de carga neta cero, se ha producido un reordenamiento de la carga ya que el campo dentro de ella es cero. En la superficie interior (de radio R1) se induce una carga “-q” y en la superficie exterior (de radio R2) , una carga “+q”. Por lo tanto, la densidad superficial de carga en la superficie exterior de la corteza es:
σ=
+q 4πR22
PROBLEMA II.4: Una esfera hueca no conductora de radio interior a y exterior 2a, posee una densidad volumétrica de carga ρ. Dos cargas puntuales +q y –q se encuentran a una distancia a/2 del centro, como muestra la figura. Determinar: a) el campo eléctrico en el punto P, que se encuentra a una distancia 3a del centro de la esfera, b) el campo eléctrico en el centro de la esfera.
y P
+q
SOLUCION: a) Campo eléctrico debido a la esfera hueca cargada. Usamos Gauss. Elegimos una superficie gaussiana esférica de radio 3a. Se tiene:
2a
r
φ neto = ∫ E • nˆdA = ∫ E r dA = E r 4π (3a) 2 = 4πkQint = S
S
[
Como Entonces
]
4 28 Qint = ρVesferahueca = ρ π (2a) 3 − a 3 = πρa 3 3 3 28 7 E r = πkρa = ρa , 27 27ε 0
-q a
x
Qint
ε0
,
Y vectorialmente en el punto P se tiene:
r 28 7 E esf .hueca = πkρaˆj = ρaˆj 27 27ε 0
yr E1
Campo debido al dipolo:
E1 = E 2 =
kq a (3a ) 2 + ( ) 2 2
=
4kq q = 2 37a 37πε 0 a 2
P
r E2
Las componentes “y” de los campos E1 y E2 se anulan. Por lo tanto, el campo del dipolo es:
r E = 2 E1 cosθiˆ , donde Entonces:
r E dipolo =
cos θ =
8kq 3
37 a 2
2
iˆ =
a
37 ⋅ a 2 4
2q 3
37 πε 0 a 2
2
2
=
1 37
θ
3a +q
θ
x
-q
a/2
iˆ
Campo total en P :
r E=
8kq
28 2q 7 iˆ + πkρaˆj = 3 iˆ + ρaˆj 2 27 27 ε 2 2 2 0 37 a 37 πε 0 a 3
b) El campo generado por la esfera hueca para cualquier punto r < a es igual a cero ya que la carga encerrada por una superficie gaussiana esférica de radio r < a es cero. En particular, en el centro de la esfera
r r E esf .hueca = 0
Por lo tanto, el campo generado por el dipolo es el campo total en O:
r kq ˆ 8kq ˆ E=2 i= 2 i a (a ) 2 2
y
r E1 +q O r -q E2
x
PROBLEMA II.5: Una esfera sólida metálica de radio R1 = 0,5 m está rodeada por un cascarón esférico conductor de radio interior R2 = 1,5 m y radio exterior R3 = 2 m. La esfera y el cascarón son concéntricos y ambos están cargados con cargas desconocidas tales que en
r
r = 1 m el campo eléctrico es E1 = 720rˆ(
r N E 2 = 792(−rˆ)( ) . Encontrar: C
N ) y en r = 2,5 m el campo eléctrico es C
a) la carga de la esfera interior, b) la carga del cascarón esférico , c) la densidad superficial de carga de la superficie interna del cascarón.
R2
R1 R3
SOLUCION: a) Se sabe que en r = 1 m , esto es , en un punto entre la esfera sólida y el cascarón, el
r
campo eléctrico es E1 = 720rˆ(
N ) . Este campo se debe a la carga Q1 de la esfera interior ya C
que ésta es la carga encerrada por una superficie gaussiana esférica de radio r = 1 m , concéntrica con la esfera. Entonces, por Gauss:
r
φ neto = ∫ E1 • nˆdA = E1 ⋅ 4πr 2 = 4πkQ1 S
Por lo tanto, conocidos E1 y r, podemos calcular la carga de la esfera sólida interior. Esta carga es positiva ya que la dirección del campo eléctrico en esa zona es radial hacia fuera.
Q1 = b)
E1 ⋅ r 2 720 ⋅ 12 = 80 ⋅ 10 −9 C = 9 k 9 ⋅ 10
En r = 2,5 m estamos fuera del cascarón esférico. En estos puntos el campo eléctrico es
r N E 2 = −792rˆ( ) y se debe a la carga total encerrada por una superficie gaussiana esférica de C radio r = 2,5 m. La carga total encerrada por dicha superficie debe ser negativa debido a la dirección del campo. Por Gauss:
r
φ neto = ∫ E 2 • nˆdA = − E 2 ⋅ 4πr 2 = 4πkQtotal S
⇒
Qtotal
E 2 ⋅ r 2 792 ⋅ 2,5 2 = −550 ⋅ 10 −9 C =− = 9 k 9 ⋅ 10
Llamando Q2 a la carga del cascarón, debe cumplirse:
Qtotal = Q1 + Q2
⇒
Q2 = Qtotal − Q1 = (−550 − 80) ⋅ 10 −9 C = −630 ⋅ 10 −9 C
c) En la superficie interna del cascarón se induce una carga de igual valor a la carga de la esfera sólida interior pero de signo contrario, debido a que el campo en el interior del cascarón (entre R2 y R3) es cero. Por lo tanto, la densidad superficial de carga de la superficie interna del cascarón es:
σ=
− Q1 80 ⋅ 10 −9 C C = − = −2,83 ⋅ 10 −9 2 2 2 2 4πR2 4π ⋅ 1,5 m m
PROBLEMA II.6: Una esfera conductora de radio R1 tiene una carga total Q1 ( > 0 ) . Está rodeada por un cascarón esférico concéntrico de radio interior R2 y exterior R3, también conductor y con una carga total Q2 ( > 0 ). Determine: a) el campo eléctrico en las regiones r > R3 y R1 < r < R2, b) la diferencia de potencial entre ambas esferas. Si mediante un hilo conductor se conectan ambas esferas, calcule: c) el campo eléctrico en las regiones r > R3 y R1 < r < R2, d) la diferencia de potencial entre ambas esferas. R1 R2 R3 SOLUCION: a) Para r > R3 , por Gauss. Eligiendo una superficie gaussiana esférica de radio r > R3 :
∫
S
r E ⋅ nˆ dA = E ⋅ 4 π r
=
Qint
ε
,
0
Q int = Q 1 + Q 2 r Q +Q2 E= 1 rˆ 4π ε 0 r 2
donde: Despejando: Para R1 < r < R2 :
∫
S
Se elige superficie gaussiana esférica de radio R1 < r < R2.
r E ⋅ nˆ dA = E ⋅ 4 π r
Qint = Q 1 r Q1 E= 4π ε 0 r
donde: Despejando: b)
2
2
2
=
Qint
ε
,
0
rˆ
Tenemos: 1
r r ∆ V = V1 − V2 = − ∫ E ⋅ d l 2
Debemos tomar el campo eléctrico que existe entre las esferas, es decir, para R1 < r < R2
V1 − V2
=−
R1
Q1
∫ 4π ε
R2
V1 − V2
=
r
=−
Q1
4π ε
R1
Q1
4π ε
0
2
dr
0
Q1 ⎡1⎤ ⎢ r ⎥ = 4π ε ⎣ ⎦R 2
0
R1
dr
∫r
2
0 R2
⎡ 1 1 ⎤ ⎢ − ⎥ ⎣ R1 R2 ⎦
c)
Al conectar las esferas, ambas quedan al mismo potencial. Toda la carga se deposita en la superficie exterior del cascarón esférico ( en r = R3 ). Para r > R3 , por Gauss se obtiene
r Q +Q2 E= 1 rˆ 4π ε 0 r 2
ya que al elegir una superficie gaussiana esférica de radio r > R3 ,
Q int = Q 1 + Q 2 r r E = 0 ya que no hay carga en la región r > R3 Para R1< r < R2 , d)
∆V = 0 ya que ambas esferas quedan al mismo potencial.
PROBLEMA II.7: Una corteza esférica metálica, de radio interno 2R y externo 4R, tiene una carga positiva de valor 2Q. En su interior se coloca una esfera de radio R y carga de valor desconocido distribuida uniformemente. El campo eléctrico en un punto P ubicado a una
r
distancia r = 5R es E =
Q 10πε 0 R 2
rˆ . Determine, en función de Q, ε0 y R:
a) la carga de la esfera colocada en el centro, b) el campo eléctrico en r = R, c) el campo eléctrico y el potencial en r = 3R. SOLUCION: a) Como se conoce el campo eléctrico a una distancia r = 5R del centro, usando la ley de Gauss se puede encontrar la carga neta encerrada por una superficie gaussiana de radio r = 5R.
r Qenc 2 E ∫ • nˆdA = ∫ E ⋅ dA = E ⋅ ∫ dA = E ⋅ 4π (5R) = S
Despejando Entonces,
S
ε0
S
Qenc = Qcort + Qesf = 100πε 0 ER 2 = 100πε 0 ⋅
Q 10πε 0 R
2
⋅ R 2 = 10Q
Qesf = Qenc − Qcort = 10Q − 2Q = 8Q
b) En r = R , o sea, en la superficie de la esfera interior,
r kQesf Qesf 8Q 2Q rˆ rˆ = E= rˆ = rˆ = 2 2 2 4πε 0 R 4πε 0 R πε 0 R 2 R c) En r = 3R estamos en el interior de la corteza esférica metálica, con la carga depositada en ambas superficies, interior y exterior.
r r E=0
en el interior del conductor.
Como el campo eléctrico es cero en el interior del conductor, el potencial es constante dentro de él, y debe ser igual al potencial que existe en la superficie exterior de la corteza, en r = 4R.
V ( r = 3R ) = V ( r = 4 R ) =
Qenc 10Q 5Q = = 4πε 0 (4 R) 16πε 0 R 8πε 0 R
PROBLEMA II.8: Una corteza esférica de radio R1 posee una densidad superficial de carga σ 1 uniformemente distribuída en su superficie. Una segunda corteza esférica de mayor radio R2, concéntrica con la anterior, posee una densidad superficial de carga σ 2 uniformemente distribuída en su superficie. Encontrar: a) el campo eléctrico a una distancia r>R2 en función de σ 1 , σ 2 , R1 y R2, b) la razón
σ1 para que el campo eléctrico sea cero para r>R2. σ2
c) Compare las cargas de ambas cortezas esféricas para que el campo eléctrico sea cero para r>R2. SOLUCION: a) Usaremos la ley de Gauss:
φ neto
r E
r r Q = ∫ E • dA = int S
ε0
Por simetría, el campo eléctrico debe ser radial y su magnitud dependerá solo de la distancia al centro de las cortezas esféricas. Elegimos una superficie gaussiana esférica r de radio r>R2. Como E es perpendicular a la superficie elegida y constante en magnitud en cualquier punto de ella, el flujo que atraviesa la superficie es:
φ neto = ∫ E ⋅ dA = E ∫ dA = E ⋅ 4πr S
σ1
R1 R2
r dA
σ2 r
Superficie gaussiana 2
S
La carga total encerrada por esta superficie gaussiana es la suma de las cargas de ambas cortezas:
Q1 + Q2 = 4πR12 ⋅ σ 1 + 4πR22 ⋅ σ 2 Entonces:
E ⋅ 4πr 2 = ⇒
4π ( R12σ 1 + R22σ 2 )
ε0
r R 2σ + R 2σ 4πk ( R12σ 1 + R22σ 2 ) E = 1 1 2 2 2 rˆ = rˆ ε 0r r2
b) Si el campo es cero para r>R2 debe cumplirse:
R12σ 1 + R22σ 2 = 0
⇒
R2 σ1 = − 22 , σ2 R1
esto es, las densidades superficiales de carga de ambas cortezas deben ser de distinto signo e inversamente proporcionales a sus radios al cuadrado. y Q2 = 4πR22σ 2 , debido a la condición encontrada en b), c) Como Q1 = 4πR12σ 1 las cargas deben ser iguales en magnitud y de signo contrario. Q1 = - Q2
PROBLEMA II.9: Una esfera sólida no conductora de radio R posee una densidad de carga ρ proporcional a la distancia desde el centro: ρ = Ar para r ≤ R , donde A = constante , y ρ = 0 para r > R. Determine, en función de A, ε0 y R : c) la carga total de la esfera, d) el campo eléctrico para r > R y para r < R. SOLUCION: a) Se tiene
dQ = ρ ⋅ dV con ρ = Ar en el interior de la esfera de radio R. Tomamos como elemento de volumen el volumen de una corteza esférica de radio r y espesor dr:
dV = 4πr 2 dr dQ = Ar ⋅ 4πr 2 dr = 4πAr 3 dr
Entonces
La carga total de la esfera es:
R4 = πAR 4 Q = 4πA∫ r dr = 4πA ⋅ 4 0 R
3
b) Para r > R: Debido a que el campo eléctrico es radial y, a una distancia dada del centro tiene una magnitud constante, elegimos una superficie gaussiana esférica de radio r > R y concéntrica a la esfera:
r Qint πAR 4 2 ˆ ∫ E • ndA = ∫ EdA = E ∫ dA = E ⋅ 4πr = = S
S
ε0
S
ε0
,
ya que toda la esfera cargada está dentro de la superficie gaussiana elegida. Despejando E de la relación anterior:
E=
AR 4 4ε 0 r 2
y vectorialmente:
r AR 4 rˆ E= 4ε 0 r 2
Para r < R : Nuevamente elegimos superficie gaussiana esférica concéntrica a la esfera, pero de radio r < R. Análogamente se obtiene
r Qint 2 E ∫ • nˆdA = E ⋅ 4πr =
ε0
S
En este caso Qint = πAr 4 acuerdo a resultado de la parte (a) ). Entonces,
E ⋅ 4πr 2 = E=
Ar 2 4ε 0
πAr 4 ε0
(carga contenida en una esfera de radio r < R , de
y, despejando E se tiene:
y vectorialmente:
r Ar 2 E= rˆ 4ε 0
PROBLEMA II.10: Una carga puntual Q0 = 2000 µC se encuentra en el centro de una corteza esférica de radio R1 = 1 m y de densidad superficial de carga σ1 = +125 µC/m2. Se coloca otra corteza esférica concéntrica con la anterior, de radio R2 = 2 m. Encuentre: σ2 a) la densidad superficial de carga de esta segunda corteza (σ2 ), de modo que el campo eléctrico para R2 σ1 r > 2 m sea igual a cero, b) el campo eléctrico para r < R1, Q0 c) el campo eléctrico para R1 < r < R2.
R1
SOLUCION: a) Tomamos una superficie gaussiana esférica de radio r > 2 m . Si el campo eléctrico es cero en esta zona, la carga neta encerrada por dicha superficie debe ser cero. Por lo tanto, Q0 + Q1 + Q2 = 0 , donde Q1 es la carga total de la corteza de radio R1 y Q2 es la carga total de la corteza de radio R2. Q1 = 4πR12 ⋅ σ 1 = 4π ⋅ 12 ⋅ 125 = 1571µC , Como entonces: Q2 = −(Q0 + Q1 ) = −(2000 + 1571) µC = −3571µC ,
⇒ b)
σ2 =
Q2 µC − 3571µC = −71,0 2 = 2 2 2 4πR2 4π ⋅ 2 m m
Usamos la ley de Gauss:
r
φ neto = ∫ E • nˆ dA = 4πkQenc S
Elegimos superficie gaussiana esférica de radio r < R1, concéntrica con la carga Q0. El campo eléctrico y la normal a dicha superficie en cada punto son paralelos y la magnitud del campo es la misma en todos los puntos, de modo que: φ neto = E ⋅ 4πr 2 = 4πkQ0 , ya que la carga en el interior de esa superficie elegida es la carga puntual Q0. Despejando el campo,
E= Y vectorialmente:
kQ0 9 ⋅ 10 9 ⋅ 2000 ⋅ 10 −6 18 ⋅ 10 6 N = = r2 r2 r2 C r 18 ⋅ 10 6 N E= rˆ( ) C r2
c) Ahora usamos una superficie gaussiana esférica de radio R1 < r < R2. Con el mismo razonamiento anterior, se obtiene: φ neto = E ⋅ 4πr 2 = 4πk (Q0 + Q1 ) . Despejando:
E=
k (Q0 + Q1 ) 9 ⋅ 10 9 ⋅ 3571 ⋅ 10 −6 32,1 ⋅ 10 6 N = = C r2 r2 r2
⇒
r 32,1 ⋅ 10 6 N E= rˆ( ) C r2
PROBLEMA II.11: Una esfera de radio R cargada uniformemente, está rodeada por un casquete conductor, de radios interior 3R y exterior 4R, cargado con una carga negativa q = −20πAR 2 (siendo A una constante conocida). Se mide el campo eléctrico en r = 2R
r
obteniéndose E =
5A rˆ . Determine, en función de A y R : 4ε 0
a) la carga y la densidad volumétrica de carga (ρ) de la esfera, b) el campo eléctrico y el potencial eléctrico en un punto a r = 5R del centro. Elija V = 0 en r → ∞ . SOLUCION: a) Usando Gauss
φ neto
Casquete conductor
r Q = ∫ E • nˆ dA = enc
y tomando una superficie gaussiana esférica de radio 2R, se tiene:
r
∫ E • nˆdA = ∫ E ⋅ dA = E ⋅ 4π (2 R) S
Esfera no conductora
ε0
S
2
=
2R
Qesfera
S
ε0
El campo E es conocido. Despejando Qesfera:
Qesfera = E ⋅ 16πε 0 R 2 =
5A ⋅ 16πε 0 R 2 = 20πAR 2 4ε 0
Y la densidad volumétrica de carga de la esfera es:
ρ=
Qesfera Vesfera
20πAR 2 15 A = = 4 3 R πR 3
b) Para encontrar el campo eléctrico a una distancia r = 5R del centro, se elige otra superficie gaussiana esférica de radio r = 5R. Esta superficie rodea el casquete conductor y la esfera cargada. La carga neta encerrada por esta superficie es:
Qneta = Qesfera + Qcasquete = 0 Como la carga neta encerrada por esta superficie es cero, usando la ley de Gauss se encuentra que
r r E=0 . Como el campo eléctrico es cero fuera del casquete ( y también dentro de él), el potencial eléctrico en esa zona debe ser constante. Si se elige V = 0 en r → ∞ , entonces V(r=5R) = 0.
PROBLEMA II.12: a) Usando la ley de Gauss, encuentre el campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal infinita de densidad lineal λ = constante. y(m b) Una carga lineal infinita de densidad q lineal uniforme λ = -1,5 µC/m es 2 paralela al eje y en x = - 1 m. Una λ carga puntual q = 1,8 µC está localizada en el punto (2 m, 2 m).. P 1 Determinar el campo eléctrico en el punto P ( 1 m, 1 m)
-1
SOLUCION: a)
Ley de Gauss:
r
r
φ neto = ∫ E • dA = S
x(m)
2
1
Qint
ε0
Por simetría, las líneas de campo son radiales a la carga lineal infinita, apuntan hacia afuera si λ es positiva y hacia adentro si λ es negativa. Elegimos una superficie gaussiana cilíndrica de largo L y radio r, con eje en la línea cargada. El campo eléctrico es perpendicular a la superficie cilíndrica y tiene el mismo valor en cualquier punto de la superficie. No hay flujo a través de las caras basales del cilindro. Por lo tanto:
φ neto = ∫ E ⋅ dA = E ∫ dA = E ⋅ 2πrL S
S
y la carga interior es
Qint = λL .
Se tiene entonces:
E=
λ 2πrε 0
r
b) Sea E1 el campo en P debido a la carga lineal infinita (ver figura):
r E1 = −
λ ˆ N 1,5 ⋅ 10 −6 i =− iˆ = −13,5 ⋅ 10 3 iˆ( ) −12 C 2πdε 0 2π ⋅ 2 ⋅ 8,85 ⋅ 10
r
Sea E 2 el campo en P debido a la carga puntual. La magnitud de este campo es:
E2 =
N kq 9,0 ⋅ 10 9 ⋅ 1,8 ⋅ 10 −6 = = 8,1 ⋅ 10 3 : 2 2 2 C r 1 +1
y vectorialmente:
r N E 2 = E 2 (− cos 45º iˆ − sen45º ˆj ) = −5,7 ⋅ 10 3 (iˆ + ˆj ) C El campo total en P es:
r r r N E = E1 + E 2 = −(19,2iˆ + 5,7 ˆj ) ⋅ 10 3 ( ) C
y(m) λ
1
-1
q
2
r E1
P
r E2 1
2
x(m)
PROBLEMA II.13: a) Se tiene un plano infinito uniformemente cargado con densidad superficial de carga +σ. Usando la ley de Gauss determine el campo eléctrico en un punto ubicado a una distancia d del plano. (Indique claramente cuál es la superficie gaussiana elegida y fundamente la elección). b) Tres planos infinitos uniformemente cargados, -σ σ σ con densidades superficiales de carga σ , -σ y σ son paralelos entre sí (ver figura). Determine el campo I II III IV eléctrico en las regiones I, II, III y IV.
SOLUCION: a) Por simetría, el campo eléctrico debe ser perpendicular al plano, saliendo de él y dependiente sólo de la distancia del punto al plano. Se elige como superficie gaussiana un cilindro (o un paralelepípedo) de área basal A, con su eje perpendicular al plano. Solo hay flujo a través de las caras basales, no a través r r del manto del cilindro pues allí E es perpendicular a dA .
r
r
r
r
ˆj
iˆ x=0
S
φneto
r r = ∫ E • dA + manto
r r E ∫ • dA +
base1
x
3d +σ r dA
r dA
En las caras basales, E y dA son paralelos. Aplicamos la ley de Gauss:
φneto = ∫ E • dA = 4πkQint =
d
r E
Qint
ε0 r r ∫ E • dA = 0 + 2 E ⋅ A
r E d
d
base 2
r ya que E es constante en cada base y de igual magnitud. Como Qint = σA , entonces: σA σ 2E ⋅ A = ⇒ E= = 2πkσ 2ε 0 ε0 Esto es, la magnitud del campo eléctrico es independiente de la distancia al plano. b) Sean 1, 2 y 3 los planos numerados de r r r izquierda a derecha y E1 , E2 yE3 los correspondientes campos eléctricos dibujados de arriba hacia abajo en cada una de las regiones. Por superposición se tiene:
r σ σ σ ˆ σ ˆ )i = − EI = (− + − i 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 r σ σ σ ˆ σ ˆ )i = EII = ( + − i 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 r σ σ σ ˆ σ ˆ )i = − EIII = ( − − i 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 r σ σ σ ˆ σ ˆ )i = EIV = ( − + i 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0
-σ
σ
r E1 r E2 r E3
I
σ
II
III
1
iˆ x=0
2 d
IV
3 3d
x
PROBLEMA II.14: a) Usando la ley de Gauss, encuentre el campo eléctrico debido a un plano infinito cargado uniformemente con una densidad superficial σ. Dos planos infinitos cargados son paralelos entre sí y paralelos al plano YZ. Uno está colocado en x = - a y tiene una densidad superficial de carga σ. El otro está colocado en x = a y tiene una densidad superficial de carga -σ. Determine: b) el campo eléctrico para –a < x < a, c) el campo eléctrico para x > a, d) la diferencia de potencial entre el origen y un punto del plano x = a. SOLUCION: a)
r
r
φ neto = ∫ E • dA =
Ley de Gauss:
S
Qint
ε0
Por simetría el campo debe ser perpendicular al plano y debe tener el mismo valor en puntos situados a la misma distancia a uno y otro lado del plano. Las líneas de campo salen del plano si σ es positivo y llegan al plano si σ es negativo. Se elige como superficie gaussiana un cilindro con su eje perpendicular al plano, con su centro en el plano. Las caras del cilindro son paralelas al plano, de área A. No existe flujo a través del manto del cilindro. Sí a través de las caras basales.
φ neto = 2 ∫ E ⋅ dA = 2 E ∫ dA = 2 E ⋅ A
Por lo tanto:
S
S
Qint = σA.
y la carga interior es
2E ⋅ A =
Entonces :
σA ε0
⇒
E=
σ = 2πkσ 2ε 0
Esto es, el campo no depende de la distancia al plano. b) Campo eléctrico para –a < x < a: r Sea E1 el campo debido al plano ubicado en x = -a
σ
y
-σ
r
y E 2 el campo debido al plano en x = a. Usando el resultado obtenido en a):
r σ ˆ E1 = i = 2πkσiˆ ; 2ε 0
Por lo tanto:
r σ ˆ E2 = i = 2πkσiˆ 2ε 0
r σ E = iˆ = 4πkσiˆ
ε0
c)
Campo eléctrico para x > a:
r σ ˆ E1 = i = 2πkσiˆ 2ε 0 Por lo tanto
,
-a
r E
a
x
r σ ˆ E2 = − i = −2πkσiˆ 2ε 0 r r r r E = E1 + E 2 = 0
d) Todos los puntos del plano x = a están al mismo potencial. Como el campo que existe entre los planos infinitos es uniforme, la diferencia de potencial entre el origen y cualquier punto del plano x = a es
V = E ⋅a =
σ ⋅ a = 4πkσa ε0
