´ 1, 1–2, 2012 U NIVERSIDAD M AYOR DE S AN A NDR NDR ES F ACU LTAD
DE
C IENCIAS P URAS Y N ATU RAL ES - C ARR ERA
DE
´ CA I NFORM ATI
LA LEY DE GAUSS PRACTICA 4 L IC . E VARI ST O M AMA NI C ARL O† Universidad Mayor de San Andr´es es ´ısica Facultad de Ciencias Puras y Naturales - Carrera de F ısica
L A P AZ , 01 DE S EPTIEMBRE DEL 2012
RESUMEN Se presenta una serie de ejercicios de aplicaciones de la Ley de Gauss de distribuciones de cargas discretas y continuas a fin de evaluar la capacidad que tiene el estudiante de aplicar los conocimientos te´ teorico o´ rico aprendidos en clases de Electromagnetismo de nivel avanzado. Keywords: 1. El paralelep´ paralelep´ıpedo ıpedo rectangular de la figura 1 con a > b > c se rellena con carga de densidad constante ρ, se construye una esfera de radio 2a con centro en el origen. Encontrar el flujo d E a a travs de la superficie de esta esfera. ¿Cual sera´ el flujo si el centro de la esfera se a,b,c)? coloca en el v’ertice (a,b,c)
◦
3. La linea infinita de la figura 2 se rodea con un cilindro infinitamente largo de radio ρ0 cuyo eje coincide con ella. La superficie del cilindro posee posee una densid densidad ad superfi superficia ciall de carga carga concon stante σ . Encontrar Encontrar E para cualquier cualquier punto. punto. = 0 ¿Que valor en particular de σ hara que E para para todos todos los puntos puntos fuera fuera del cilind cilindro ro carcargado?, ¿es razonable su respuesta?
F IG . 1.— Conguraci´on on de carga volum´etrica etrica de un cubo
Resp. ρ
abc en ambos casos. 0
2. Una esfera de radio a con centro en el erigen posee una densidad de carga dada por ρ = Ar 2 , donde A =constante. Otra esfera de radio 2a es conc´ concentrica e´ ntrica con la primera. Encontrar el flujo traves e´ s de la superficie de la esfera E d a a trav´ mayor.
·
† Email:
[email protected] [email protected]
F IG . 2.— Conguraci´ Conguracion o´ n de una linea de carga infinita infinita encerrada encerrada por una distribuci´ distribucion o´ n superficial
λ λ (λ + 2πρ 0 σ ) ρˆ, ρ < ρ0 ; ρˆ, ρ0 < ρ; − ; si, 2π 0 ρ 2π 0 ρ 2πρ 0 aqui 2πρ 0 σ es la carga por unidad de longitud en el
Resp.
cilindro.
4. Una carga de densidad volum´ volumetrica e´ trica constante tiene la forma de una plancha de grueso a. Las
2
Lic. Evaristo Mamani Carlo caras de las planchas son planos infinitos paralelos al plano xy. T o´ mese como origen el punto para tomedio entre las caras y encu e´ ntrese E dos los puntos. 5. Una esfera de radio a posee una densidad de carga que var´ıa con la distancia, r, al centro de acuerdo con ρ = A r, donde A = constante. para todos los puntos. Encontrar E
√
Resp.
2Ar3/2 2Aa7/2 rˆ, (r < a); rˆ, (a < r). 70 70 r2
6. Dos esferas conc´entricas tienen radios a y b tales que b > a. La regio´ n entre ellas , es der b, se rellena con carga de densicir a dad constante. La densidad de carga es igual a para cero en cualqueir otro punto. Encontrar E todos los puntos y expresarlo en funcio´ n de la carga total Q. ¿Se reducen sus resultados a los 0 ?. valores correctos cuando a
≤ ≤
→
7. Un cilindro infinitamente largo tiene una secci´on circular de radio a. Se rellena con carga de densidad volum´etrica constante, ρch . Encon para todos los puntos dentro y fuera del trar E cilindro. Resp.
ρch ρ ρch a2 ρˆ, (ρ < a); ρˆ, (a < ρ). 20 20 ρ
8. Dos cilindros coaxiales infinitamente largos tienen radios a y b tales que b > a, como se muestra en la figura 3. La regi o´ n entre ellos se rellena con carga de densidad volum´etrica dada por ρch = Aρn , en coordenadas cil´ındricas, siendo A y n constantes. La densidad de carga es igual a cero en cualquier otra parte. Encon para todos los puntos. ¿Para que valores trar E de n y a se deberian reducir sus resultados a los valores obtenidos en el ejercicio numero ´ 7?, ¿lo hacen?. 9. La regi´on entre los cilindros coaxiales infinitamente largos como el mostrado en la figura 3, se rellenan con carga cuya densidad volum e´ trica es, en coordenadas cil´ındricas, ρch = Ae−αρ . Encontrar E para todos los puntos.
F IG . 3.— Dos cilindros coaxiales infinitamente largos
logrado evaluar experimentalmente y es aprox = E 0 (Ae−αρ +Be −βρ )kˆ. imadamente igual a E Todas las constantes empiricas son positivas y z es la altura sobre la superficie (localmente plana). Encontrar la densidad de carga promedio en la atm´osfera, en funci o´ n de la altura. ¿Cual es su signo?.
−
= 11. Cierto campo el´ectrico est´a dado por E ρ 3 = E 0 ρˆ para 0 < ρ < a, y E 0 en cualquier a
otro caso. Encontrar la densidad volum´etrica de carga. Resp. 40 E 0
12. Un campo el´ectrico en la regi´on r > a esta´ dado por E r = 2A cos θ/r 3 , E θ = A sen θ/r 3 , E ϕ = 0 , donde A =constante. Encontrar la densidad volum´etrica de carga en esta regi´on. 13. Un objeto conductor tiene en su interior una cavidad hueca. Si se introduce una carga puntual q en la cavidad, demuestre que se induce una carga q sobre la superficie de la cavidad.
−
14. (a) Calcule el rotacional y la divergencia de
r . ra (b) Diga qu´e densidad ρ(r) de carga podr´ıa producir el campo
Af (ρ) ρˆ, (a < ρ < b ) donde 0 α2 ρ Af (b) f (ρ) = e−αa − e−αρ + α(ae−αa − ρe−αρ ); ρˆ, (ρ > b) 0 α2 ρ
= E
Resp. 0, (ρ < a);
Resp. (a) ∇ ×
10. El campo elestrost´atico promedio en la atm´osfera terrestre en clima agradable se ha
ρ2 , (0 < ρ < a); 0, (ρ > a) a3
q r 4π0 ra
r r 3−a (3 − a)q ; (b) ρ = = 0, ∇ · a = a a r r r 4πr a
