Aplicaciones De La Ley De Gauss Una de las leyes más importantes, que forman parte de las leyes de Maxwell, es la ley de Gauss. Esta ley permite encontrar de manera fácil el campo eléctrico, de manera sumamente fácil para cuerpos cargados geométricamente de manera regular. La ley de Gauss tiene una forma diferencial y una forma integral, en esta sección se hablará de la forma integral. Para la aplicación de la ley de Gauss se requiere de la consideración de una superficie imaginaria llamada “superficie Gaussiana”, la cual generalmente tiene la forma de la configuración del cuerpo cargado. Esta superficie tiene que encerrar al cuerpo completamente. La ley de Gauss desempeña un papel importante dentro de la electrostática y del electromagnetismo por dos razones básicas: 1. En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo eléctrico debido a una distribución de cargas cuando ésta presenta buenas propiedades de simetría. En estos casos, suele resultar mucho más simple usar la ley de Gauss que obtener E por integración directa sobre la distribución de cargas, tal y como se ha descrito en el tema anterior. 2. En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley básica, no sólo de la electrostática, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituye una de las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los fenómenos electromagnéticos). EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS 1. Campo eléctrico producido por una esfera con distribución superficial (σ) uniforme de carga Supongamos que se desea obtener la expresión que determina el campo eléctrico producido a una distancia, r, por una esfera conductora cargada de radio r0
magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera. En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado. y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados. APLICACION LEY DE GAUSSLa ley de Gauss es válida para cualquier distribución de cargas y para cualquier super ficie cerrada. La ley de Gauss puede usarse de dos maneras: sí conocemos la distribución de carga, y si se tiene suficiente simetría para permitirnos calcular la integral, podemos encontrar el campo. O bien, si conocemos el campo, podemos usar la ley de Gauss para encontrar la distribución de carga, como las cargas sobre superficies conductoras. En esta sección daremos ejemplos de ambas aplicaciones. Conforme las estudie, observe el papel que juegan las propiedades de simetría de cada sistema. Usaremos la ley de Gauss para calcular los campos eléctricos causados por varias distribuciones de carga sencillas: los resultados están agrupados en una tabla en el resumen del capítulo. En problemas prácticos son comunes situaciones en las que queremos conocer el campo eléctrico generado por una distribución de carga sobre un conductor. Los cálculos se simplifican por un hecho sorprendente: si se coloca una carga en exceso sobre un conductor sólido y permanece en reposo, reside enteramente sobre la superficie, no en el interior del material. (Por carga en exceso se entienden las cargas diferentes de los iones y electrones libres que constituyen e! conductor neutro.) He aquí la demostración. Sabemos que en una situación electrostática (cargas en reposo) el campo eléctrico E en todo punto en el interior de un material conductor es 0. Sí E no fuese 0, las cargas se mo verían. Supongamos que construimos una superficie gaussiana dentro del conductor, como la A , de la Figura 7.5. Como E = 0 en todos sus puntos, la ley de Gauss requiere que la carga neta dentro de la superficie sea 0. Imaginemos ahora que la superficie se contrae como un globo que se desinfla, hasta que encierra una región tan pequeña que podemos considerarla como un punto P; la carga en ese punto debe ser 0. Podemos hacer esto en cualquier parte dentro del conductor, así que no puede haber carga en exceso en ningún punto dentro de un conductor sólido; si la hay debe residir sobre la superficie del conductor (Esto es para un conductor sólido. En la siguiente sección analizaremos qué sucede si el conductor tiene cavidades.) Usaremos esto en los ejemplos que siguen. En condiciones electrostáticas, cualquier carga en exceso reside enteramente sobre la superficie de un conductor sólido. Estrategia para resolver problemas
El primer paso es seleccionar la superficie que va a usarse con la ley de Gauss, o superficie gaussiana. Si Ud. Quiere encontrar el campo en un
punto particular, tal punto debe encontrarse sobre su superficie gaussiana. La superficie gaussiana no tiene que ser una superficie física real, como la superficie de un cuerpo sólido. A menudo, la superficie apropiada es una superficie geométrica imaginaria; puede estar en el espacio vacío, embebida en un cuerpo sólido o parcialmente en ambos. Por lo general, puede calcularse la integral en la ley de Gauss (sin ayuda de una computadora) sólo si la superficie gaussiana y la distribución de carga tienen alguna propiedad de simetría- Si la distribución de carga tiene simetría cilíndrica o esférica, escoja como superficie gaussiana un cilindro coaxial o una esfera concéntrica, respectivamente. A veces puede considerarse la superficie gaussiana formada por varias superficies, como los lados y los extremos de un cilindro. La integral E 1 dA sobre la superficie cerrada siempre es igual a la suma de las integrales sobre todas las superficies. Algunas de las integrales pueden ser cero, como en los puntos 6 y 7 siguientes. SÍ E es perpendicular (normal) en todo punto a una superficie con área A, si apunta hacia afuera desde el interior de la superficie y si también tiene la misma magnitud en todo punto sobre la superficie, entonces E L = E= constante, y E L dA sobre esa superficie es igual a EA. Si, por el contrario, E es perpendicular y está dirigido hacia adentro, E 1 = - E y E L dA = -EA. Si E es tangente a una superficie en todo punto, entonces E L = 0 y la integral sobre esa superficie es cero. Si E = 0 en todo punto de una superficie, la integral es 0. Finalmente, en la integral E 1 dA, E 1 es siempre la componente perpendicular del campo eléctrico total en cada punto sobre la superficie gaussiana cerrada. En general, este campo puede ser causado en parte por cargas dentro de la superficie y en parte por cargas fuera de ella. Aun si no hay carga dentro de la superficie, el campo en ciertos puntos sobre la superficie gaussiana no es necesariamente 0; en ese caso la integral sobre la superficie gaussiana (el flujo eléctrico total a través suyo), siempre es 0. Algunas Aplicaciones de la Ley de Gauss � La ley de Gauss permite calcular de forma simple el campo el_ectrico debido a distribuciones de carga con alto grado de simetr__a, particularmente para distribuciones de carga con simetr__a esf_erica, cil__ndrica o plana. � De_niremos una super_cie gaussiana como cualquier super_cie cerrada imaginaria que empleamos en la ley de Gauss para calcular el campo el_ectrico debido a una cierta distribuci _on de cargas. � Para aplicar la ley de Gauss al c_alculo del campo el_ectrico debido a una cierta distribuci _on de cargas con propiedades de simetr__a adecuadas es aconsejable seguir el siguiente
procedimiento: 1. Seleccionar una super_cie gaussiana que tenga las siguientes propiedades: (a) la super_cie debe tener la misma simetr__a que la correspondiente distribuci_on de carga; (b) en cada punto de la super_cie, E debe ser normal o tangencial a la super_cie; (c) en todos los puntos en los que E es normal a la super_cie, E debe tomar un valor constante. Los casos m_as frecuentes son: (a1) para cargas puntuales o distribuciones de carga con simetr__a esf_erica, debe elegirse como super_cie gaussiana una esfera centrada en la carga o cuyo centro coincida con el centro de la distribuci_on de carga; (a2) para l__neas de carga o cilindros uniformemente cargados, debe elegirse una super_cie cil__ndrica coaxial con la l__nea de carga o cilindro; (a3) para planos (o l_aminas) cargados que tienen simetr__a plana, debe elegirse como super_cie gaussiana un cilindro peque~no sim_etrico con el plano. 2. Calcular el ujo _ a trav_es de dicha super_cie. 3. Calcular la carga total Qint dentro de la super_cie, y usar ley de Gauss, _ = Qint="0, para obtener el campo E.
