Ley de Gauss ejercicios resueltos

7) Dos láminas infinitas no conductoras, con carga uniforme están enfrentadas paralelamente. La de la izquierda tiene una densidad de carga superficial derecha . Halle el campo eléctrico en todas las regiones , para la siguiente configuración :

Solución El campo eléctrico producido por una lamina infinita esta dado por:

Normal a la superficie Fig.4.10-a- Problema 7 El campo resultante se obtiene por la superposición de los campos generados por cada lámina.

Izquierda: Centro: Derecha:

y l. a de la

Fig- 4.10-b- Problema 7

8 ) .-Sea una lamina plana e infinita de espesor 2a, no conductora, con una carga uniforme con densidad volumétrica . Halle el campo eléctrico en términos de la distancia x, medido desde el plano medio de la lamina. a.- Dentro de la lámina. b.-Fuera de la lamina. c.-Grafique el modulo de E en función de x.

Solución a.- Para x < a se escoge una superficie gaussiana, , en forma de una cajita cilíndrica de largo 2x..Fig.4.11.b.

Fig.4.11.a Problema 8

Fig.411.b Problema 8 a.-En las caras laterales el campo E es paralelo al vector superficie S1 y por lo tanto el flujo en cada cara es EA. Sobre las superficies curvas el flujo es cero ¿Por qué? .Aplicando Gauss-:

Donde:

Por lo tanto, el campo eléctrico dentro de la lámina es:

b.-Para hallar el campo afuera se escoge una superficie gaussiana mas grande S2, en forma de cajita cilíndrica de la largo 2ª y área A. El flujo total sobre la superficie de la cajita es: y la carga encerrada es:

Aplicando la ley de Gauss:

Por lo tanto, el campo eléctrico fuera de la placa es:

c.- Dentro de la lámina el crece linealmente, mientras que afuera el campo es uniforme.

Fig.4.11.c Problema 8 9 ) Una esfera de radio R y carga uniforme por unidad de volumen , tiene una cavidad esférica. El centro de la cavidad esta desplazada respecto al centro de la esfera por una distancia a. Demuestre que el campo eléctrico en la cavidad es uniforme y viene dada por:

Siendo a el vector posición que apunta desde el centro de la esfera al centro de la cavidad.

Solución Supongamos que la cavidad es una esfera de signo negativo. Por lo tanto

Fig.4.12.a. Problema 9

el campo total en un punto situado dentro de la cavidad es la superposición del campo creado por la esfera de radio R y por la esfera de radio b que es la cavidad.

Del problema 5, tenemos que el campo E en el punto p debido a la esfera de radio R, es:

Y el campo E’ creado por la cavidad en el mismo punto es:

Por el principio de la superposición:

De la fig.4.11.b, tenemos: y Así:

Desarrollando: Fig.4 .12b Problema 9

10.- Una esferita no conductora de masa m tiene una carga q y esta suspendida por un hilo aislante que forma un ángulo Ѳ con una hoja no conductora y muy grande uniformemente cargada. Calcule la densidad superficial σ, de la hoja.

Solución Como la esferita esta en equilibrio, la fuerza neta en cada dirección es cero:

Fig.4.13 Problema 10

Eliminando T y tomando

tenemos: