Problemas Resueltos Ley de Gauss

1. Las siguientes cargas se localizan dentro de un submarino: 5.0 µC, -9.0 µC, 27 µC, y -84 µC. Calcula el flujo eléctrico neto a través del submarino. Compare el número de líneas de campo eléctrico que salen del submarino con el número de las que entran. Sol: 𝑎) 𝐿𝑎 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠: 𝜙𝐸 =

𝑞𝑖𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑞𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝜖0

𝜙𝐸 =

(5.0𝑥10−6 𝐶 − 9.0𝑥10−6 𝐶 + 27.0𝑥10−6 𝐶 − 84.0𝑥10−6 𝐶) 𝑚2 6 = 6.9𝑥10 𝑁 𝐶2 𝐶 8.85𝑥10−12 𝑁𝑚2

𝑏) 𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐸𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑠 𝐸 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒𝑛 = 5.0 𝜇𝐶 + 27 𝜇𝐶 = 32 𝐸𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑠 𝐸 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛 = 9.0 𝜇𝐶 + 84 𝜇𝐶 = 93 93 = 2.91, 𝐸𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐸 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒𝑛 𝑒𝑠 2.91 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛 32

2. Una carga puntual Q se localiza justo arriba del centro de la cara plana de un hemisferio de radio R, como se muestra la figura. ¿Cuál es el flujo eléctrico a) a través de la superficie curva y b) a través de la cara plana? Sol:

a) Partiendo de que δ es muy pequeño se puede decir que Q está a la distancia R, entonces el campo en cualquier 𝑄

punto de la superficie curva está dada por 𝑘 𝑅2 radialmente hacia el exterior, por lo tanto el flujo a través de la superficie curva es: 𝜙𝑎 = 𝐸.

𝐴 𝑄 4𝜋𝑅 2 1 1 1 𝑄 = (𝑘 2 ) ( ) (4𝜋𝑄) = ) = 𝑘(4𝜋𝑄) = ( 2 𝑅 2 2 2 4𝜋𝜀 2𝜖

b) Aplicando la ley de Gauss 𝜙𝑎 + 𝜙𝑏 = 0

𝜙𝑏 = −𝜙𝑎 = −

𝑄 2𝜖

3. Considere un delgado cascaron esférico de 14.0 cm de radio con una carga total de 32.0 µC, distribuido uniformemente sobre su superficie. Encuentre el campo eléctrico a a) 10 cm, y b) 20 cm del centro de la distribución de carga. 𝑎) 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 0.1 𝑚 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑎𝑦 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠: 𝜙𝐸 = ∮ 𝐸. 𝑑𝐴 =

𝑄𝑖𝑛 0 = 𝜖0 𝜖0

𝐸=0 𝑏) 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 0.2 𝑚 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑎𝑦 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠: 𝜙𝐸 = ∮ 𝐸. 𝑑𝐴 = 𝐸. 4𝜋𝑅 2 =

𝐸=

𝑄𝑖𝑛 𝜖0

𝑄𝑖𝑛 𝜖0

𝑄𝑖𝑛 = 4𝜋𝑅 2 𝜖0

32𝑥10−6 𝐶 4𝜋(0.2𝑚)2 . 8.85𝑥10−12

𝐶2 𝑁𝑚2

= 7.1𝑥103 𝑁/𝐶

4. Un filamento recto cargado uniformemente de 7.00 m de largo tiene una carga positiva total de 2.00 µC. Un cilindro de cartón descargado de 2.00 cm de longitud y 10 cm de radio rodea el filamento en su centro, con el filamento como el eje cilíndrico. Utilizando todas las aproximaciones razonables, encuentre a) el campo eléctrico en la superficie del cilindro y b) el flujo eléctrico total a través del cilindro. 𝑎) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑎𝑦 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠: 𝜙𝐸 = ∮ 𝐸. 𝑑𝐴 = 𝐸. 𝐴 =

𝑄` 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝜖0

𝑄` 𝑄` 𝑄 ⇒𝐸= = 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝜖0 𝐴𝜖0 2𝜋𝑅𝐿𝜖0

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 2 𝑒𝑛 1

𝑄 𝑄` 𝑄. 𝐿 = = 𝜆 ⇒ 𝑄` = 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑙 𝐿 𝑙

𝐸=

𝑄. 𝐿 𝑄 = 2𝜋𝑅𝐿𝜖0 𝑙 2𝜋𝑅𝜖0 𝑙 2.00 𝑥10−6

𝐸=

2𝜋(0.1𝑚)(7.00𝑚)(8.85𝑥10−12

𝐶2 ) 𝑁𝑚2

𝐸 = 51𝑥103 𝑁/𝐶 𝑏) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑎𝑦 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠: 𝜙𝐸 = ∮ 𝐸. 𝑑𝐴 =

𝑄. 𝐿 𝜙𝐸 = = 𝑙. 𝜖0

𝑄` 𝜖0

𝑄 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜: 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =

𝑄. 𝐿 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 2

(2.00𝑥10−6 𝐶)(0.02𝑚) 𝐶2 (7.00𝑚)(8.85𝑥10−12 ) 𝑁𝑚2

𝜙𝐸 = 646 𝑁𝑚2 /𝐶 5. considere una larga distribución de carga cilíndrica de radio R con densidad de carga uniforme ρ. Encuentre el campo eléctrico a una distancia r del eje donde r
= ∮ 𝐸. 𝑑𝐴 =

𝑄𝑖𝑛 𝜖0

2𝑙

𝐸. 2𝜋𝑟 = 𝜌𝜋𝑟 𝜖

0

𝜌𝑙 𝐸 = 2𝜖

0

6. Una larga lamina plana de carga tiene una carga por unidad de área de 9.00 µC/m 2. Determine la intensidad de campo eléctrico justo arriba de la superficie de la lámina, desde su punto medio.

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠: 𝜙𝐸 = ∮ 𝐸. 𝑑𝐴 =

𝑄𝑖𝑛 𝜖0

𝐸 = 508𝑥103 N/C

2𝐸. 𝐴 =

𝜎. 𝐴 𝜖0

𝐸=

𝜎 9.00 𝑥10−6 𝐶/𝑚2 = 𝐶2 2𝜖0 2(8.85𝑥10−12 ) 𝑁𝑚2

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