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PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Una caja rectangular de lados a, b y c esta localizada a una distancia d del origen de coordenadas. En la región existe un campo eléctrico que esta dado por la expresión:
Donde las constantes son : y la distancia d esta en metros. a) Calcule el flujo eléctrico a través de cada tapa. b) Determine la carga neta que hay en la caja, suponiendo que d = 0,1m ; a = 0,2m; b = 0,3m y c = 0,4m. Solución
Como podemos observar las cuatro caras que son paralelas al eje y, el vector campo es perpendicular a los vectores de áreas, por lo tanto el flujo en estas caras es cero. El flujo total: Fig.4.4 Problema 1
Así el flujo uno es:
Calcule el flujo en la cara 2 donde x = d + c y posteriormente introduzca los resultados de los flujos 1 y 2 en 4.7 para obtener:
2) Una carga puntual Q se encuentra en el centro de un cubo de lado 2a, como indica la figura. Determine el flujo en una de sus caras. Solución
Aplicando la ley de Gauss:
Donde Q es la carga total encerrada por el cubo. El cubo tiene seis caras, por lo tanto el flujo en una sola cara será dividiendo el total entre seis, es decir: Fig.4.5 Problema 2
Este resultado se puede obtener aplicando integrales dobles, desarróllelo usted. 3) Una línea de carga infinitamente larga, con densidad λ(C/m), atraviesa un cubo de lado a, perpendicularmente a dos de sus caras y por su centro .¿ Cual es el flujo del campo eléctrico que atraviesa cada una de las caras del cubo?
Solución
Solo cuatro caras son atravesadas por las líneas de campo eléctrico. ¿Por qué? Por lo tanto el flujo en una sola cara es:
Fig.4.6 Problema 3
4) Se tiene una línea infinita con densidad de carga uniforma. Determine el campo eléctrico a una distancia r de la línea. Solución Aplicando la ley de Gauss, tenemos:
Las superficies de las tapas laterales no entran en la solución del problema. ¿Por qué?
En este caso S es la superficie de envoltura del cilindro imaginario o Gaussiana, desarrollando:
Fig.4.7 Problema 4
Quedando finalmente:
5 ) Una esfera no conductora de radio a tiene una densidad de carga por unidad de volumen uniforme. Determine el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera.
Solución a.- Dentro de la esfera
Imaginase una esfera de radio r menor que a. Esta superficie encierra una carga total Q’ que llega hasta r, como podemos observar en la fig. 4.8.a Aplicando Gauss: Fig.4.8- a Problema 5
Donde Q'n es la carga total encerrada por la Gaussiana. Calculemos esta carga por el concepto de densidad volumétrica de carga, es decir , , asi:
Introduciendo en 4.8 tenemos:
b.- Fuera de la esfera
Imaginase una esfera de radio r mayor que a. Esta superficie encierra una carga total Q que llega hasta a, como podemos observar en la fig. 4.8.b Apliquemos otra vez Gauss:
Calculamos Q por el concepto de densidad:
Fig.4. 8-b Problema 5
Introduciendo en 4.9, obtenemos: Grafique ambos resultados y analice que ocurre en r = a 6 ) Una esfera no conductora solida de radio a y carga uniforme Q está ubicada en el centro d una esfera conductora hueca descargada, de radio interior b y exterior c. Halle el valor del campo E en las regiones siguientes: a) Dentro de la esfera no conductora. b) Entre la esfera no conductora y la conductora. c) Dentro de la esfera conductora. d) Fuera de las esferas. e) ¿Cuáles son las densidades de cargas inducidas en las superficies interna y externa de la esfera no conductora?
Solución
Las partes (a) y (b), tienen el mismo resultado que el problema anterior, es decir:
c) Por definición dentro del conductor es cero. Vamos a demostrarlo. Por inducción en la superficie r = b aparece una carga –Q , idéntica a la de la esfera no conductora, por lo tanto al pasar la Gaussiana entre b y c nos queda como en la figura y la carga total encerrada por esta es cero, es decir:
Fig.4.9-a Problema 6
Aplicando Gauss tenemos:
Es decir:
Fig.4.9-b.Problema 6
d.- En la superficie c se induce una carga +Q debido a la presencia de la carga –Q en la superficie b, por lo tanto la carga total es:
Aplicando Gauss tenemos:
Quedando finalmente: Fig.4.9.c Problema 6
e.- La densidad de carga superficial se define como la carga por unidad de superficie, por lo tanto para la superficie de radio b, tenemos:
Y para la superficie de radio c: 7) Dos láminas infinitas no conductoras, con carga uniforme están enfrentadas paralelamente. La de la izquierda tiene una densidad de carga superficial y l. a de la derecha . Halle el campo eléctrico en todas las regiones , para la siguiente configuración :
Solución El campo eléctrico producido por una lamina infinita esta dado por: Normal a la superficie El campo resultante se obtiene por la superposición de los campos generados por cada lámina. Fig.4.10-a- Problema 7
Izquierda: Centro: Derecha:
Fig- 4.10-b- Problema 7
8 ) .-Sea una lamina plana e infinita de espesor 2a, no conductora, con una carga uniforme con densidad volumétrica . Halle el campo eléctrico en términos de la distancia x, medido desde el plano medio de la lamina. a.- Dentro de la lámina. b.-Fuera de la lamina. c.-Grafique el modulo de E en función de x.
Solución
a.- Para x < a se escoge una superficie gaussiana, , en forma de una cajita cilíndrica de largo 2x..Fig.4.11.b.
Fig.4.11.a Problema 8
Fig.411.b Problema 8
a.-En las caras laterales el campo E es paralelo al vector superficie S1 y por lo tanto el flujo en cada cara es EA . Sobre las superficies curvas el flujo es cero ¿Por qué? .Aplicando Gauss-:
Donde: Por lo tanto, el campo eléctrico dentro de la lámina es:
b.-Para hallar el campo afuera se escoge una superficie gaussiana mas grande S2, en forma de cajita cilíndrica de la largo 2ª y área A. El flujo total sobre la superficie de la cajita es: y la carga encerrada es:
Aplicando la ley de Gauss: Por lo tanto, el campo eléctrico fuera de la placa es:
c.- Dentro de la lámina el crece linealmente, mientras que afuera el campo es uniforme.
Fig.4.11.c Problema 8
9 ) Una esfera de radio R y carga uniforme por unidad de volumen , tiene una cavidad esférica. El centro de la cavidad esta desplazada respecto al centro de la esfera por una distancia a. Demuestre que el campo eléctrico en la cavidad es uniforme y viene dada por:
Siendo a el vector posición que apunta desde el centro de la esfera al centro de la cavidad.
Solución
Supongamos que la cavidad es una esfera de signo negativo. Por lo tanto el campo total en un punto situado dentro de la cavidad es la superposición del campo creado por la esfera de radio R y por la esfera de radio b que es la cavidad.
Del problema 5, tenemos que el campo E en el punto p debido a la esfera de radio R, es:
Fig.4.12.a. Problema 9
Y el campo E’ creado por la cavidad en el mismo punto es:
Por el principio de la superposición:
De la fig.4.11.b, tenemos: y Así:
Desarrollando:
Fig.4 .12b Problema 9
10.- Una esferita no conductora de masa m tiene una carga q y esta suspendida por un hilo aislante que forma un ángulo Ѳ con una hoja no conductora y muy grande uniformemente cargada. Calcule la densidad superficial σ, de la hoja.
Solución Como la esferita esta en equilibrio, la fuerza neta en cada dirección es cero:
Eliminando T y tomando
tenemos:
Fig.4.13 Problema 10
