UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA FACULTAD DE ARQUITECTURA E INGENIERÍAS CIVIL Y DEL AMBIENTE PROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AMBIENTAL
MONOGRAFÍA
“INTEGRALES”
PRESENTADO POR: DÍAZ FUENTES, KATERIN ISABEL
ASIGNATURA: CALCULO II
DOCENTE: RONNY GONZALES MEDINA
AREQUIPA, PERÚ 2015
RESUMEN La idea del cálculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilíneas, es decir, el área entre la gráfica de una función y el eje-x. Se pretende que la zona entre la curva y los ejes como en la imagen de arriba S. Más específicamente, es que esta es una integral de Riemann, hay también integrante líneas generales. Una integral puede ser indefinida o indefinida. La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral. El conjunto formado por todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f, y se designa por ∫ f(x) dx (se lee integral de f(x) diferencial de x).
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ÍNDICE RESUMEN................................................................................................................. II ÍNDICE...................................................................................................................... III INTRODUCCIÓN....................................................................................................... 1 CAPÍTULO 1.
AREAS Y DISTANCIAS...................................................................2
1.1. GENERALIDADES...................................................................................2 1.2. AREAS Y DISTANCIAS............................................................................2 1.1.1. AREA................................................................................................... 2 1.1.1. 1 PROBLEMA DEL AREA....................................................................2 1.1.1. DISTANCIA.......................................................................................... 3 1.1.2. 1 PROBLEMA DE LA DISTANCIA.......................................................3 CAPÍTULO 2.
INTEGRALES..................................................................................4
2.1. CONCEPTO............................................................................................. 4 2.2. INTEGRAL DEFINIDA..............................................................................4 2.3.1. PROPIEDADES...................................................................................4 2.4. INTEGRALES INDEFINIDAS...................................................................5 2.4.1. PROPIEDADES...................................................................................5 2.4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO......................................6 CAPÍTULO 3. 3.1.
APLICACION DE INTEGRALES.....................................................8
PROBLEMAS DE APLICACION...............................................................8
CONCLUSIONES...................................................................................................... 9 REFERENCIAS....................................................................................................... 10
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1
INTRODUCCIÓN En nuestra vida hemos tenido que saber distintos campos que abarcan las ciencias, una de ellas es la Matemática, es necesario que en momentos de nuestra vida la utilizemos, uno por ejemplo es saber hallar el área de un campo o de un lugar específico, es fácil hallar la superficie de una figura plana pero cuando se trata de curvas y funciones, las cosas se complican, distintos pensadores de la antigüedad trataron de arreglar este problema, por eso desarrollaron una manera de aproximarse al área así nace las integrales, como una aproximación al área debajo de una curva, de tal manera que podamos saber con certeza de cuanta superficie se habla.
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CAPÍTULO 1.
AREAS Y DISTANCIAS
1.1. GENERALIDADES Recordemos que el desarrollo del Cálculo Integral se originó en parte para calcular el área bajo una curva. El cálculo de áreas entre una curva dada por y=f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] nos llevó a definir una sumatoria de Riemann y el área entre la curva y el eje horizontal se calculó tomando el límite de la suma de Riemann cuando n---> . Todo esto fue para f(x)>0 en [a,b].1
1.2. AREAS Y DISTANCIAS 1.1.1.AREA El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:2 x [f (¿¿ 1)∆ x+ f ( x 2) ∆ x +…+ f (x n ) ∆ x] A=lim Rn=lim ¿ n→∞
1.1.1.
n→∞
1 PROBLEMA DEL AREA
El problema del área, el problema de la distancia; tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.
3 Se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo.
Se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo.
Se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo. Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.3
1.1.1.DISTANCIA La distancia es el espacio recorrido en un período. 2
1.1.2.
1 PROBLEMA DE LA DISTANCIA
Considere ahora el problema de la distancia: hallar la distancia recorrida por un objeto durante cierto período, si se conoce la velocidad del objeto en todos los momentos. Si la velocidad permanece constante, entonces el problema de la distancia es fácil de resolver por medio de la fórmula: Distancia = velocidad x tiempo Pero si la velocidad varía, no es fácil hallar la distancia recorrida. 2
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CAPÍTULO 2.
INTEGRALES
2.1. CONCEPTO Sea f una función acotada y positiva en [a; b]. Se dice que el conjunto G(f, a, b) tiene área cuando: { I ( f , P ) ∈ P [ a ,b ] }
ínf { S ( f , P ) : P ∈ P [ a , b ] } =
¿
Dicho valor común es, por definición, el valor del área y lo representaremos por λ(G ( f ,a , b )) . Cuando esto ocurre, se dice también que la función f es integrable en [a,b] y, por definición, la integral de f en [a,b] es igual a λ(G ( f ,a , b )) . Simbólicamente escribimos: 4 b
∫ f ( x ) dx=λ (G ( f , a , b ) ) a
2.2. INTEGRAL DEFINIDA
a ≤ x ≤ b . Dividimos el b−a ∆ x= intervalo [a, b] en n sub-intervalos de igual ancho . Sean n Sea f una función continua definida para
x 0=a
y
x n=b
y además
x0
,
x1
, ...,
xn
los puntos extremos de
cada sub-intervalo. Elegimos un punto t i en estos sub-intervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, ..., n. Entonces la integral definida de f de a - b es el número b
n
∫ f ( x ) dx=lim ∑ f (t i)∆ x . n → ∞ i=1 a La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral. Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aun cuando f(x) tome valores negativos. 3
5
2.3.1.PROPIEDADES b
∫ c dx=c (b−a)
1.
donde c es una constante
a
2. Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas: b
b
∫ c . f (x )dx =c ∫ f ( x ) dx a
a
b
b
b
∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] dx=∫ f ( x ) dx +∫ g ( x ) dx a
a
a
(se pueden generalizar para más de dos funciones) a
∫ f ( x ) dx=0
3. Si x está definida para x = a entonces
a
b
4. Si f es integrable en [a, b] entonces
a
∫ f ( x ) dx=−∫ f ( x ) dx a
b
5. Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces 5 c
b
c
∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx a
a
b
2.4. INTEGRALES INDEFINIDAS Sean f y F dos funciones. Se dice que F es una primitiva (o antiderivada) de la función f si F’(x) = f(x) para todo valor posible de x. El siguiente resultado es de una importancia crucial, ya que nos garantiza que cualquier primitiva de una función puede ser obtenida mediante la adición de una constante a una primitiva conocida. Esta será la base del segundo teorema del cálculo integral o Regla de Barrow. Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es también una primitiva de F en el intervalo I si y sólo si G(x) = F(x) + C
6 para todo valor de x, siendo C una constante. Como una notación, cualquier primitiva de la función f se indicara por
∫ f ( x ) dx y se denominara, genéricamente, integral indefinida de f.6
2.4.1.PROPIEDADES 1.
∫ 0 dx=C .
2.
∫ kdx =kx +C
3.
∫ kdx =k ∫ f ( x ) dx
4.
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx =∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx
5.
∫ x n dx=
x n +1 +C n+1
6
2.4.2.TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Dada una función integrable función
F :[a , b ]→ R
f :[a ,b ]→ R , podemos definir una nueva
por: x
F ( x )=∫ f ( t ) dt para todo x a
x ∈[a , b]
Observa que aquí la variable es x – el límite superior de la integral. Por eso, es obligado no usar la misma letra x como variable de la función f en el integrando. F(x) es la integral de la función f en el intervalo [a, x].
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Por definición
+¿ . a . c f¿ −¿ . a . x f¿ . Por supuesto, si f es positiva entonces ¿ G¿ G ( ¿ ) −λ ¿ F ( x )=λ ¿
F ( x )=λ ( G ( f . a . c ) ) es el área del conjunto ordenado de f entre a y x. No x
debes olvidar en lo que sigue que
F ( x )=∫ f ( t ) dt a
se ha definido en
términos de áreas. A la función F la llamaremos la función área de f en [a, b]. x
A veces hay que considerar funciones de la forma donde a < c < b y x
H ( x )=∫ f ( t ) dt c
en
ϵ [a , b ] ; por lo que es necesario precisar lo que se
x
entiende por
∫ f (t ) d t c
v
cuando x < c. El convenio que se hace es que:
u
∫ f ( t ) dt=−∫ f ( t ) dt u
v
cualesquiera sean los números u y v. La justificación de este convenio es que, con él, la igualdad: y
z
x
∫ f ( t ) dt+∫ f ( t ) dt +∫ f ( t ) dt=0 x
y
z
se cumple cualesquiera sean los puntos x, y, z del intervalo [a, b]. Nuestro próximo objetivo va a consistir en invertir el proceso que nos ha x
llevado de f a
F ( x )=∫ f ( t ) dt a
Nuestro problema es: ¿Cómo podemos
recuperar la función f a partir del conocimiento de la función área de f? El resultado que sigue, uno de los más útiles del Cálculo, establece una relación entre dos conceptos aparentemente lejanos entre sí: el concepto de área y el de tangente a una curva, pues dicho resultado afirma que la pendiente de “la curva área de f”, y=F ( x ) , en un punto x es igual a f (x)
8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Sea función integrable y definamos
F : [ a , b] → R
f :[a,b]→ R
R una
por:
x
F ( x )=∫ f ( t ) dt a
para todo
x ϵ [a , b] . Entonces:
i) F es continua en [a, b]. ii) En todo punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es ' derivable en dicho punto siendo F ( c )=f (c) . En particular, si f es continua en [a,b], entonces F es derivable en [a, b] y x ϵ [a , b] .7
F' ( x ) =f ( x )
para todo
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CAPÍTULO 3.
APLICACION DE INTEGRALES
3.1. PROBLEMAS DE APLICACION 1. Calcula el área de un bosque que se encuentra limitado por la 3 2 curva y=x −2 x + x y la tangente a ella en el origen de coordenadas. I. Calculemos la ecuación de la recta tangente en el punto (0,0), para ello calculamos la derivada de nuestra función: '
2
y =3 x −4 x +1 ' y ( 0 )=1( pendiente)
La recta tangente tiene por ecuación y = x. II. Calculamos las soluciones de:
x 3−2 x 2 + x=x . Son 0 y 2 (límites de
integración. III. Obtenemos la función diferencia: y=x 3−2 x 2+ x −x=x 3−2 x 2 x4 2 x3 3 2 ( ) ( ) IV. Buscamos su primitiva: G x =∫ x −2 x dx= 4 − 3 −4 G ( 2 )= V. G ( 0 )=0 , 3 G ( 2 )−G ( 0 )=
−4 3
El área buscada es:
|−43|= 43 u . 2
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CONCLUSIONES
El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación. La función f es integrable en [a,b] y, por definición, la integral de f en [a,b] es igual a λ(G ( f ,a , b )) . La integral de una función es el área bajo esta curva. La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral. El conjunto formado por todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f, y se designa por ∫ f(x) dx (se lee integral de f(x) diferencial de x).
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REFERENCIAS 1. http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/area_entre_curvas.htm (Tieb, 1999) 2. CALCULO II – Adaptación- Sexta Edición (JAMES STEWART, 2012) 3. CALCULO INTEGRAL http://datateca.unad.edu.co/contenidos/551110/Area_bajo_la_curva.pdf 4. http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Indefinida.pdf 5. https://licgraciela08.files.wordpress.com/2008/08/la-integral-definida.pdf 6. http://www.um.es/docencia/plucas/manuales/mat/mat3.pdf 7. http://www.ugr.es/~fjperez/textos/calculo_diferencial_integral_func_una_var.p df 8. http://burgos.concepcionistas.es/PARA %20DESCARGAR/MAGDALENA/Ejercicios_integral_definida.pdf
