Universidad de El Salvador Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
Física Matemática II Integrales elípticas Profesor: M.Sc Francisco Melgar Alumnos: Julio Amílcar !me" Jer!nimo Jer!nimo
#J$%&&$'
(at)erine Mic)elle *ernánde" +á",ue" (eyn (eyn /nri,ue Pineda 0rti"
#*+$%&-&'
#P0$%&$1'
Ciudad 2niersitaria3 lunes -& de 4unio de -&$5 Introducción
/n el presente tra6a4o se pretende dar a conocer la importancia del uso de las integrales elípticas3 así como mostrar una rese7a )ist!rica en la cuales descri6a la manera en la cual 8stas nacieron. 9as integrales elípticas poseen una gran importancia en el área de las matemáticas y física3 ya ,ue proponen formas de soluci!n para una etendida ariedad de pro6lemas3 en los cuales sería imposi6le darles soluci!n utili"ando los m8todos tradicionales.
Objetivos General •
Conocer la importancia y el funcionamiento de las integrales elípticas3 además de su origen )ist!rico.
/specí;cos • •
Identi;car y diferenciar los diferentes tipos de integrales elípticas. Aplicar las integrales elípticas para resoler dos pro6lemas importantes como lo son encontrar la longitud de arco de una elipse y el periodo de un p8ndulo.
/l origen del t8rmino se de6e a ,ue )acen su aparici!n en el conteto de calcular de manera aproimada la longitud de una elipse3 8stas nacen de la necesidad de descri6ir el moimiento de los planetas y del pro6lema del Sistema Ptolemaico de /piciclos y yc)o ?ra)e3 propone un modelo a partir de los datos o6seracionales. A partir de este punto se inici! el estudio y uso de integrales elípticas. /l primer estudio pu6licado de integrales elípticas fue en $5@@ cuando Jo)n allis empe"! a estudiar la longitud de arco de una elipse. >anto Jo)n allis #$5$5B$&1' e Isaac NeDton #$5%1B$-' pu6licaron un desarrollo en serie in;nita para la longitud del arco de la elipse. Pero no fue )asta ,ue el a ;nales de $&& ,ue 9egendre comen"! a utili"ar las funciones elípticas para pro6lemas tales como el moimiento de un p8ndulo simple y la deEei!n de una 6arra elástica delgada ,ue estos tipos de pro6lemas podría de;nirse en t8rminos de funciones simples. AdrienBMarie 9egendre #$@-B$11'3 un matemático franc8s3 es recordado principalmente por las funciones de 9egendre3 funciones ,ue llean su nom6re3 pas! más de cuarenta a7os de su ida tra6a4ando en las funciones elípticas3 incluyendo la clasi;caci!n de las integrales elípticas. A pesar de cuarenta a7os de dedicaci!n a las funciones elípticas3 la o6ra de 9egendre fue esencialmente desaperci6ida por sus contemporáneos )asta $- cuando dos 4!enes matemáticos y )asta a)ora desconocidos3 A6el y Jaco6i colocan el o64eto de estudio so6re una nuea 6ase3 y lo reolucionaron por completo. Jaco6i fue el primer matemático en aplicar las funciones elípticas a la >eoría de N=meros. /n la eoluci!n de la teoría de las funciones elípticas3 los autores modernos siguen en su mayoría a (arl eierstrass. 9as notaciones de las funciones elípticas de eierstrass 6asadas en sus pBfuncionesBson conenientes3 y cual,uier funci!n elíptica se puede epresar en t8rminos de estas. 9as funciones elípticas introducidas por Carl Jaco6i3 son más comple4a pero importante tanto para la )istoria y para la teoría general.
INTEGRALES ELIPTICAS 9as integrales elípticas poseen muc)as aplicaciones en la teoría de n=meros3 alge6ra3 geometría3 ecuaciones diferenciales ordinarias no lineares y parciales3 mecánica y electrostática. 9egendre demostr! ,ue una integral elíptica tiene la forma: dφ + B ' ∫ ∆ dφ + C ' ∫ ∫ dφ ∆ ( 1 + nsen φ ) ∆
H = A '
2
∫ dt / ∆
•
9a primera y la más simple se representa por la f!rmula:
•
9a segunda es el arco de la elipse3 medido a partir del semi e4e menor y cuya epresi!n es: 9a tercera se presenta por
•
∫ ∆ dt ∫ dt /( ( 1+ nsen t ) ∆ ) 2
Además3 demostr! ,ue de las tres integrales elípticas 6ásicas3 la más simple es: x
∫
I 1 =
y
dt √ ( a1+ b1 t )( a2 + b 2 t )( a3 + b3 t )( a 4 + b 4 t )
dt
√ ( a +t )( a −b t ) 2
2.
2
2
dt
√ ( t −a )( a +b t ) 2
2
3.
2
dt
√ ( t −a ) ( a +b t ) 2
4.
2
2
dt
√ ( a +t ) ( a−b t ) 2
2
2
5.
dt
√ ( a +t ) ( b t −1 ) 2
6.
2
7.
2
dt
8.
√ ( a −t ) ( a−b t ) 2
2
2
dt 2
2
2
( t − a)( b t − a) dt
√ (t − a)( 1 −b t ) 2
2
2
9os anteriores casos tienen la forma: A ( x ) + B ( x )
∫ C ( x )+ D ( x ) √ S ( x)
f ( x )=
0 de la forma:
∫ B A( x ( )x ) Sdx( x )
f ( x )=
√
∫
f ( x )= R ( t , s ) dt
Integral elíptica de primer tipo:
Si se de4a ,ue el m!dulo satisfaga & K-L$. 9a integral elíptica incompleta de primer tipo es: sinθ
F ( θ , k )=
∫
dt
√ (1−t )( 1−k t ) 2
0
∫
F ( θ , k )=
0
2
t =senθ y
Si )acemos ,ue θ
2
dt =cosθ dθ= √ 1− t dθ entonces: 2
dt
√ ( 1 −k sen θ ) 2
2
/sta se conoce como la integral elíptica de 9egendre. 9a integral elíptica completa se o6tiene mediante el esta6lecimiento de la cota superior de la integral a su alcance máimo.
sinθ =1 o
θ=
π 2
π 1
∫
K ( k )=
0
2
dt
√ (1− t )( 1−k t ) 2
2
2
=∫ 0
dt
√ ( 1−k sen θ) 2
2
Integral /líptica de Segundo tipo: senθ
E ( θ , k )=
∫ 0
√ 1−k t dt = √ 1−k sin θ ∫ √ 1 −t 2
θ
2
2
2
2
0
√ 1−k t dt = 1−k sen t dt E ( k )=∫ ∫ √ √ 1 −t 1
2
2
2
2
2
0
0
2
Ejercicio 1 Periodo de un p8ndulo simple 2n p8ndulo simple es un modelo ideali"ado ,ue consiste en una masa puntual suspendida de una cuerda sin masa y no estira6le. Si la masa se muee a un lado de su posici!n de e,uili6rio #ertical'3 oscilara alrededor de dic)a posici!n. Para amplitudes grandes donde se procede a utili"ar integrales elípticas.
Figura $. P8ndulo Simple Por conseraci!n de la energía: E= K + ! 1
K = " (´ x + y´ ) 2
x =#senθ
y =−#cos 1
x´ =# θ´ cosθ y´ =# ´θsenθ
´ K = " (( # θcosθ ) +( # θ´ senθ ) ) 2
2
2
1 2 2 K = " # θ´ 2
Considerando el potencial cero en ! =−"$cosθ
θ= π / 2
senθ θ 3
dθ =¿ & en dt
>omando 1 2
θ=θ %
2 2 "# θ´ −"$cosθ ="$cosθ %
θ´
dθ = & dt
√
2 $
#
( cos θ −cos θ % )
>omando t =0 cuando θ %
dθ
∫ (cos θ −cos θ
/ % )
0
1 2
=
√
2$
#
dθ > 0 . Separando las aria6les. dt
θ= 0 y
t
∫ dt 0
/sto es un cuarto de ciclo y por lo tanto t =' / 4 donde > es el periodo de oscilaci!n.
√
2$
#
t
∫ dt
¿
0
√ √ 2$
#
t =
2$
#
( ' / 4 )
Por lo tanto el periodo es:
−¿ (1−cosθ ) ( 1 −cos θ % ) ¿ ¿ ¿ 1/ 2 ¿ ¿ dθ
¿ ' =4
θ 1/ 2 %
( ) # 2$
∫¿ 0
1
2
sen ( =¿
2sando la igualdad
2
anterior. ' =4
1/ 2 θ %
( ) # 2$
dθ
∫ 0
( 2 sen
2
θ % 2
2
− 2 sen
−cos (
θ 2
1/ 2
)
y sustituy8ndola en la ecuaci!n
*aciendo un cam6io de aria6le θ % θ sen =( sen ) senφ 2
2
2sando deriadas implícitas para encontrar d θ
( ) θ
cos
1
2 2
(
)
θ dθ = sen % cosφ 2 dφ
(
θ %
dθ =2 sen
2
) ( cosφ
1 cos
(θ / 2)
)
dφ θ= 0
Para los límites de integraci!n cuando sen 0=( sen
θ % 2
) senφ 0
θ % 2
⟹
φ =0
θ=θ %
y cuando sen
=senφ
=( sen
θ % 2
) senφ
senφ =1 ⟹ φ= π / 2
sen
Sustituyendo los limites de integraci!n3
' =4
1/ 2 π / 2
( ) # 2$
1
∫ 0
cos
√ 2 ( sen
θ 2 % 2
2
( )) 2
(
2
( θ / 2)= √ 1 −sen ( θ / 2 ) 2
2
* 2 sen 1 /2 2
sen φ )
(θ / 2 ) en funci!n de θ % y φ +
sen ( θ / 2 )+ cos ( θ / 2 )=1 cos
−( sen
θ %
θ %
y θ % 2
dθ en el periodo.
) ( cosφ
1 cos
(θ / 2)
)
dφ
¿ √ 1 −( sen ( θ % / 2 )) sen φ 2
2
cosθ / 2 en >.
Sustituyendo π
' =4
(
# 2$
1 2
)∫
1
2
0
2 1/ 2
θ √ 2 ( sen2 % ( 1−sen 2 φ ) )
(
sen
θ % 2
)
cosφ
2
Simpli;cando ' =4
1 /2
() # $
π /2
∫ 0
(
1
2
−( sen
( )) ) θ %
−( sen
1
2
( )) θ % 2
2
sen φ
)
dφ
−1 / 2
2
sen φ
2
(√
1
dφ
9a ecuaci!n anterior tiene la forma de la integral elíptica completa de primer tipo. A)ora epandiendo el integrando. π
' =4
[
( ) ∫ +( )(− ( ) # $
1 2 2
0
−1
1
θ %
2
sen
2
2
sen ( φ 2
π
=4
' =4
( ) ∫ [ +( ) ( ) # $
1 2 2
1
2
0
( )[ # $
1
1 2
sen
θ %
2
2
sen ( φ )+ 2
π
− ( ) ( ( )( ) )+ −1 −3
)
2
8
sen
2
∫ dφ +( 12 ) sen
2
0
( ) θ % 2
θ % 2
π
2
∫ sen
2n
θdθ =
0
' =4
2
2
0
2
1
2
2
sen
2
θ % π 2
4
3 8
sen
2
θ % 2
2
3 π 16
]
+ dφ
) ]
( ( )) ∫
∫ sen ( φ ) dφ +( 38 ) sen
θ % 2
( 2 n −1 ) - π * ( 2 n) - 2
π
)
π
2
( ) [ +( ) ( ) +( )( ( )) 1
sen ( φ )
2
sen ( φ ) + dφ
llegamos a la siguiente epresi!n # $
2
2
2
2
2sando la serie #
θ %
2
( )( ( ) 3
sen
2
2
+
]
2 2
0
4
sen ( φ ) dφ +
]
√[
# ' =2 π $
1
( ) ( )+ ( ) ( ( )) + 1
+
4
sen
2
θ %
9
2
64
sen
2
θ %
2
2
]
A partir de esta =ltima relaci!n se puede notar ,ue para ángulos3
√
' =2 π
pe,ue7os la epresi!n se reduce a
θ % 3
# $
Ejercicio ! 9ongitud de Arco de /lipse 9a
ecuaci!n de una elipse es de la forma: x
2 2
a
2
y
+ =1 2
b
o en forma param8trica: x =acosθ dx=−asenθ
y =bsenθ dy =bcosθ
Como se o6sera en la ;gura3 tomando un d y un dy tan pe,ue7o3 se puede aproimar el ds como una recta3 y aplicando Pitágoras se o6tiene: ds =√ dx + dy 2
2
Por lo tanto3 la longitud de la elipse ,ueda de;nida por la siguiente integral:
∫ ds =∫ √ dx +dy =∫ √ a 2
2
2
2
2
sen θ + b
2
cos
∫ √ a sen θ + b (1− sen θ )dθ =∫ √ b +a 2
2
2
2
∫ √ b +( a − b ) sen θ dθ =b ∫ 2
b
2
2
∫ √ 1−k sen θ dθ 2
2
2
2
√
(
2
θ dθ
2
2
2
2
sen θ −b sen θ dθ 2
)
b −a 2 1− sen θ dθ 2 b
2
2
2
b −a a k = =1− 2 2 b b 2
>omando
,ue es la ecentricidad de la elipse.
A las integrales de este tipo se les conoce como integrales elípticas completas del segundo tipo. Finalmente3 la longitud de la elipse es: π / 2
2 π
b
∫ √ 1−k sen θ dθ = 4 b ∫ √ 1−k sen θ dθ 2
0
2
2
0
2
CONCLUSI"N. /l desarrollo so6re el estudio de las integrales elípticas y el de su aplicaci!n de acuerdo con el aporte de diersos tra6a4os centrados en el tratamiento de este tipo integrales por los pioneros de la ciencia3 enri,uecieron con los estudios mencionados tanto al campo de las matemáticas como al campo de la física al 6rindar no solamente la soluci!n a diersos pro6lemas físicos y matemáticos ,ue se presenta6an de6ido a la comple4idad ,ue representa6a resolerlos en t8rminos de las funciones elementales3 sino ,ue de la misma manera permitía la representaci!n de epresiones relacionadas a funciones racionales de forma más sencilla y de esa manera facilitar el cálculo de las mismas3 siendo capaces de proporcionar soluciones a pro6lemas 6astante amplios. /n dic)o estudio no solo se represent! de manera )ist!rica el surgimiento de estas integrales sino ,ue tam6i8n por medio de los e4ercicios planteados para la deducci!n de las mismas se pudo tomar en cuenta la utili"aci!n del desarrollo en series de potencias para o6tener una epresi!n3 empleada en dic)o pro6lema a6ordado3 de manera ,ue al estudiar la conergencia de manera enta4osa se pudo manipular las operaciones de acuerdo con las reglas ordinarias del álge6ra3 por lo ,ue en general se puede usar otros m8todo para dar las aproimaciones a las integrales elípticas de modo ,ue el estudio de las mencionadas integrales está relacionado a otros m8todos ,ue en con4unto suponen el desarrollo de las mismas y por ende de los pro6lemas a plantear.
ANE#OS
∫ sin φ
"
dφ. Inte$/ando 0o/ 0a/tes +
0
1
Nuea epresi!n. φ cos
¿
¿
φ cos
Con
¿=¿ ¿
φ sin
¿ dφ
φ.entoncesd ¿ d¿
¿
1 Sustituyendo. φ cos
¿
sin φ
¿
" −1
d¿ π 2
sin φ
" −1
sin φ dφ
=−∫ ¿ 0
π
π
2
∫ sin φ 0
2
"
∫
dφ= ¿ 0
1 Primera integral. "− 2
Si
" −1 ¿ sin φ cos φ dφ " −1 ( =sin φ d( =¿
φ cos ¿ 2 =cos φ . d2 =d ¿
[
π 2
∫ sin φ
"
dφ=−
0
π π
sin φ
" −1
cos φ
2
| −( "−1 )∫ sin φ "− 2
cos φ
"
dφ=−sin φ
"− 1
2
| +( "−1 )∫ sin φ"−
cos φ
2
2
0
0
cos φ
0
π
−sin φ
Pero #
"−1
| =0 2
π
2
2
"
∫ sin φ
dφ=( "−1 )
0
" −2
cos φ
2
dφ
0
Si se toma:
cos φ
2
π
=1−sin φ
2
π
2
2
"
∫ sin φ
dφ=( "−1 )
0
0
π
π
2
2
∫ sin φ
'
cos φ 0
π
∫ sin φ
"
dφ=( "−1 )
0
" −2
2
( 1−sin φ ) dφ π 2
∫ sin φ
" −2
dφ −( "−1 )
0
∫ sin φ
"
dφ
0
Mismas integrales π
π
2
2
∫ sin φ
dφ
π π
2
∫ sin φ
2
0
π
∫ sin φ
2
0
"
dφ + ( "−1 )
∫ sin φ
0
π 2
"
dφ =( "−1 )
0
π
0
"
0
π
2
[ [ 1 +( "−1 ) ] ∫ sin φ
∫ sin φ − dφ
2
"
dφ=( "− 1 )
∫ sin φ 0
"− 2
dφ
2
2
dφ
]
π
π
2
∫ sin φ
"
dφ=
( " −1 ) "
0
2
∫ sin φ
" −2
dφ
0
π
π
2
∫ sin φ
1
Si se toma a
I "=
2
"
∫ sin φ
dφ y I "−2=
0
π
dφ
0
π
2
∫ sin φ
/ntonces
" −2
"
dφ=
0
1
Si a)ora tomamos
( " −1 ) "
2
∫ sin φ
"−2
d φ 1 I " =
( " −1 )
0
"
I "−2
I "−2= I 0
Se procede a calcular la integral I 0 = I "−2 de la misma manera
1
como se )i"o con I " 3 entonces: I 0 =
( 0 −1 )
I 0−2
0
Pero 0=" − 2 I "−2=
( "−3 ) I ( " − 2 ) "−
4
A)ora con otro cam6io de aria6le3 si se calcula denominamos I 3 . I 3=
( 3 −1 ) 3
I 3= I "−4 =
I 3 −2 1con ( 3 = 0 −2 ) , ( 0= " −2) , entonces
( " −5 ) I ( " −4 ) " −
6
( " −1 ) "
I "−2
I 0 −2 y la
( "−3 ) I ( " − 2 ) "−
I "−2=
I "−4=
4
( " −5 ) I ( " −4 ) " −
6
( " −7 ) I ( " − 6 ) "−
I "− 6=
I "−n=
8
( "−(n + 1)) ( " −n )
I " −(n+2)
Sustituyendo en: I "=
( " −1 ) "
I "−2
I "=
( " − 1 ) ( " −3 ) I " ( " − 2 ) "−
4
( " −1 ) ( " − 3 ) ( " − 5 ) I .. de "ane/a /eite/ada+ " ( " − 2 ) ( " − 4 ) "−
I "=
6
1 Si m es un n=mero par3 al ir restando de - en - la =ltima integral
de la serie será: π
π
2
2
π
∫ sin φ dφ =∫ dφ= φ| = π 2 0
I 0 =
2
0
0
0
/ntonces 4 ( " −1 ) ( " − 3 ) ( " − 5 ) ("−1 )5 5 π π I "= + = ∑ " ( " −2 ) ( " −4 ) 2 "= ( ") 5 5 2 0
Pero como:
( "−1 ) ( " −3 ) ( "−5 ) π 4 ("−1 )5 5 π + = ∑ sin φ dφ =¿ " ( " −2 ) ( " −4 ) 2 "= ( ") 5 5 2 "
0
π 2
∫
I "= ¿ 0
cam6iando m por -n3 entonces: 4
sin φ
2n
dφ=¿
∑= (2(n2−n )15)55 5 π 2 n
0
π 2
∫
I 2 n= ¿ 0
$I$LIOGRA%&A •
•
• •
eorge ?. Arfen. #-&&@' Mat)ematical Met)ods San a6lesO
for P)ysicistsO C >)e Art of 2niersity of
Functions Dit)
