Integrales Triples: Conociendo las integrales dobles triples
∫∫∫f ( x, y, z )dxdydz D
∫∫ f ( x, y )dxdy D
, estudiaremos las integrales
, cuya diferencia esta, en lugar de tratar con
funciones de dos variables continuas en una región del plano D, trataremos con funciones de tres variables continuas en una porción S del espacio. Consideremos una función f acotada en una región S ⊂ f: S ⊂
R
3
Trazamos
→ R, planos
paralelepípedos
paralelos
a
los
P , P ,......., P 1
2
n
planos
coordenados,
R
3
, es decir
obteniéndose
que están contenidos en S.
Definición..Consideremos una partición de la región S al conjunto P={p1 , p2 , p3 ,…..,pn}, Donde la norma de esta partición es
/ P / que es la diagonal mayor de los
paralelepípedos que forman la partición. v ( P1) = ∆xi , ∆yi , ∆zi Sea el volumen del i-esimo paralelepípedo Pi , i =1,2.... n y ( xi , yi , zi ) un punto arbitrario escogido en Pi . La suma de riemann asociado a la partición P de la función f es:
1
n
∑ f ( xi , yi , zi )V ( Pi )
es un numero real L, si
i =1 n
∀ ξ 〉0,
δ ∃δ > 0 tal que :
p
/ ∑ f ( xi , yi , zi )V ( Pi ) − L / < ξ , para toda partición P con /P/ < δ , (xi,yi,zi) ∈ i =1
P
i
.
Definición.La función
f :S ⊂
3
R → R,
integrable en la región
S⊂
3
R,
si existe un
número L, donde el número L es la integral triple de f en S, al cual denotaremos por: L=
∫∫ S
∫f ( x, y, z )dV = lim ∑i =1 f ( xi , yi , zi )V ( Pi) n
/ P / →0
Siempre que exista el límite. Propiedades de la integral triple 1.-
∫∫∫k . f ( x, y, z )dV S
= k .∫∫∫f ( x, y , z ) dV S
2
2.- ∫∫∫[ f ( x, y, z ) ± g ( x, y, z )] dV = ∫∫∫f ( x, y, z ). dV + ∫∫∫g ( x, y, z ) dV S
S
S
3.- ∫∫∫ S
f ( x, y , z ) dV = ∫∫∫f ( x, y , z ) dV + ∫∫∫f ( x, y , z ) dV Si S2
Siendo S la unión de dos subconjuntos disjuntos S1 y S2 Observación.3
R → R es integrable en la región S ⊂ R , si f es continua en una región cerrada S ⊂ R. La función
f :S ⊂
3
3
Coordenadas cilíndricas.A las coordenadas cilíndricas de un punto p del espacio denotaremos por p(r, θ ,z) donde (r, θ ) es la coordenada polar de la proyección de p sobre el plano polar y z es la distancia dirigida del plano polar al punto p. Un punto p del espacio tiene dos representaciones una en coordenadas cartesianas p(x,y,z) y la otra en coordenadas cilíndricas p(r, θ ,z). La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas cilíndricas es: x=r cos θ
, y=r sen θ , Z=Z
Donde las coordenadas cilíndricas r, θ son las coordenadas polares del punto (x,y,0) en el plano XY , que es la proyección ortogonal del punto p sobre el plano XY. Integrales triples en coordenadas cilíndricas.-
3
Si una región
S⊂
3
R , tiene un eje de simetría, las integrales triples se pueden
calcular en forma muy simple usando coordenadas cilíndricas, cuya relación entre las cartesianas es: x=r cos θ , y=r sen θ , Z=Z. Si:
f :S ⊂
3
R → R es una función continua sobre S, entonces la transformación de
la integral triple
∫∫∫f ( x, y, z )dxdydz S
∫∫∫f ( x, y, z )dxdydz S
en coordenadas cilíndricas es dado por:
= ∫∫∫f (r cos θ, rsen θ, z ) / J ( r , θ, z ) / dzdrd θ S
d ( x, y , z ) = r ; es el Jacobiano , por lo tanto se tiene: Donde: J ( r , θ, z ) = d ( r , θ, z )
∫∫∫f ( x, y, z )dxdydz S
= ∫∫∫f ( r cos θ, rsen θ, z ) dzdrd θ S
Un solidó en coordenadas cilíndricas es un conjunto de la forma: S={(r, θ ,z)/
a ≤ r≤ a ∧α ≤θ ≤ β ∧d ≤ z≤ d 1
2
1
2
}
Que geométricamente es una cuña cilíndrica. Suponiendo que S es un solidó en coordenadas cilíndricas y que f ( r , θ, z ) representa la densidad en cada punto (r , θ, z ) , entonces la masa del cilindro S se calcula mediante la integral triple, es decir: M=masa de S =
∫∫∫f (r ,θ, z )rdzdrd
θ
S
4
Cuando la densidad f (r , θ, z ) =1 ∀( r , θ, z ) ∈S , se obtiene el volumen del solidó S, es decir: V ( S ) = ∫∫∫rdrd θdz S
Ejemplos.2
∫ ∫ (∫x +
y )dxdydz
1 2 ( + 2 x
y ), Z = 2
2
1.- Calcular
, donde el dominio T esta limitado por las
T
superficies z =
2
Solución.Pasando a coordenadas cilíndricas x=rcos θ , y =rsen θ , z=z; T={(r, θ ,z)/ θ ≤ r ≤ 2 ∧ 0 ≤ θ ≤ 2Π ∧ r
2
≤ z ≤ 2}
2
∫( x∫ +
∫
2
T
∫
=
2
0
(∫
2Π
0
2
2
2Π
0
0
2
y )dxdydz = ∫ (∫ (∫r r .rdz)dθ )dr 2
r (2 − r2 ) / 3
2.- Calcular
2
∫
0
dx ∫
2 0
=
2 x−
2
2
2
16 Π 3
x
2
0
a
dy ∫ z
x
0
2
+ y .dz , transformando previamente a
2
las coordenadas cilíndricas. Sol.-
0≤x≤2
Sea: D:
0 ≤ y ≤ 2x − x
z=0, z=a 2
⇒
y=0, y=2 2 x −
0≤z≤a
2
x ,y≥ 0
x=0, x=2 Pasando a coordenadas X=rcos θ , y=rsen θ , z=z
Π , 0 ≤ r ≤ 2 cos θ , 0 ≤ z ≤ a 2 Además J (r , θ, z ) = r
0≤θ
2
∫
0
=
2 x−
dx ∫
x
0
Π 2 0
∫ (∫
2 cos θ
0
2
a
dy ∫ z 0
2
r z2 2
/
a 0
x
2
+
y
2
Π
2 cos θ
.dz = ∫ 2 ( ∫ 0
dr )dθ = a
2
2
Π 2 0
0
∫ (∫
2 cos θ
0
a
( ∫ z.r.rdz ) dr )dθ 0
r
dr )dθ = a
2
2
2
Π 2 0
∫
r
3
3
/ 02 cos θ dθ
5
4 = a 3
2
Π 2 0
∫
cos θ .dθ = 4a 3
3
2
4a ∫ (1 − sen θ ) cos θ .dθ = 3 Π 2 0
2
2
1 [1 − ] = 8a 3 9
2
Coordenadas Esféricas.Es un sistema de coordenadas esféricas se tiene un plano polar y un eje Z perpendicular al plano polar con el origen del eje Z en el polo del plano polar. A las coordenadas esféricas de un punto del espacio denotaremos por p ( ρ,θ, ϕ) , en donde ρ = / OP / >0 , θ es el ángulo polar de la proyección de p en el plano polar y ϕ es el ángulo entre la dirección positiva del eje Z y el radio vector op . La relación entre las coordenadas cartesianas y esféricas es: x = ρcos θsen ϕ , y = ρ.sen θ.sen ϕ, ρ > 0 , 0 ≤ θ ≤ 2Π , 0 ≤ϕ ≤ Π Calculando el Jacobiano de las coordenadas esféricas se tiene: ∂x ∂ρ ∂( x, y, z ) ∂y J ( ρ,θ, ϕ) = = mod ∂( ρ,θ, ϕ) ∂ρ ∂z ∂ρ cos θsen ϕ J ( ρ,θ, ϕ) = sen θsen ϕ cos ϕ
∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂z ∂θ
−ρsen θsen ϕ ρcos θsen ϕ 0
∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ ρcos θ cos ϕ 2 ρsen θ cos ϕ = ρ sen ϕ −ρsen ϕ
J ( ρ ,θ , ϕ ) = ρ sen ϕ 2
6
Integrales triples en coordenadas esféricas:
Si una región S ⊂
3
R , tiene un eje de simetría , las integrales triples también
se pueden calcular en forma muy simple, usando coordenadas esféricas y cuya relación entre las coordenadas cartesianas es: x = ρcos θsen ϕ , y = ρsen θsen ϕ
Si:
f :S ⊂
, z= ρ cos ϕ
3
R → R es una función continua sobre S, entonces la transformación
de la integral triple
∫∫∫f ( x, y, z )dxdydz
en coordenadas esféricas es dado
S
por:
∫∫∫f ( x, y, z )dxdydz S
Donde J ( ρ ,θ , ϕ ) =
= ∫∫∫f ( ρ cos θsen ϕ, ρsen θsen ϕ, ρ cos ϕ / Y ( ρ,θ, ϕ) / dρdϕdθ S
ρ
2
sen ϕ , por lo tanto:
∫ ∫ f∫( x, y, z )dxdydz = ∫ ∫ f∫( ρ cos θsen ϕ, ρsen θsen ϕ, ρ cos ϕ ) ρ sen ϕdρdϕdθ 2
S
S
Cuando f ( ρcos θ cos ϕ, ρsen θsen ϕ, ρcos ϕ) =1 se tiene el volumen del solidó S, es decir:
V (S ) = ∫ ∫ ρ ∫ sen ϕ.dρ.dϕ.dθ 2
S
Un solidó en coordenadas esféricas es un conjunto de la forma:
S = {( ρ ,θ ,ϕ ) / a1 ≤ ρ ≤ a2 ∧ a ≤ θ ≤ β ∧ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ } 1
2
que
geométricamente
representa una cuña esférica.
7
8
9
10
11
R
∫
Ejemplo: Calcular:
−R
2
2 2 2 2 R −x R −x −y ( x + y ) dz , transformando 2 dy ∫ 2 − R −x 0 2
dx ∫
2
previamente a coordenadas esféricas. Solución.Como 0 ≤ z ≤
R
2
2
−x − y ⇒z = 2
R
2
2
− x − y viene ha ser el recinto V y 2
2
2
Π , 2
siendo
+ y = R , ahora pasando a coordenadas esféricas se tiene: x = ρcos θsen ϕ , Y = ρcos θsen ϕ, z= ρ cos ϕ
x
su proyección sobre el plano XY es 0 ≤ ρ ≤ R,
donde
0 ≤ θ ≤ 2Π ,
0 ≤ϕ ≤
2
el
Jacobino
J(
ρ , θ , ϕ) = ρ .sen ϕ 2
r
∫
−R
2
2
R −x y 2 d 2 − R −x
dx ∫ 2Π
=∫
0
Π
R
(∫ 2 (∫ ( 0
0
∫
2
R −x
2
0
ρ cos 2
2
y
−
2
2
( x + y ). dz 2
θ sen ϕ + ρ 2
2
sen
2
2
θ sen ϕ)( 3sen ϕ.dρ) dϕ.dθ
12
Π 2 0
5
Π 2 0
= ∫ (∫ (∫ ( sen ϕ. ρ .dρ )dθ = ∫ (∫ R5 sen ϕ.dϕ )dθ ϕ = R ∫ ( ∫ (1 − cos ϕ ).senϕ.dϕ )dθ = R ∫ ( − cos ϕ + cos ) / 5 5 3 4 1 1 = R ∫ ((1 − ) − (−1 + ))dθ = 4R ∫ dθ = R Π 2Π
0
5
R
0
0
0
0
5
3
0
3
Evaluar
la
∫∫
integral
0
y
0
.dθ
15
0
4−
Π 2 0
5
2Π
15 2
Ejemplo:
3
2Π
2
2Π
5
3
5
Π 2 0
2Π
5
2Π
4
3
2
x −y 2
4−
∫
2
dzdxdy
x
0
2
2
+ y +z
2
,
usando
coordenadas esféricas. Solución:
0≤ z ≤ 4−x − y 2
0≤ x ≤ 4−
D:
y
2
Pasando a coordenadas esféricas
2
x = ρcos θsen ϕ y = ρsen θsen ϕ
0 ≤ y ≤2
D: 0 ≤ θ ≤
z = ρ. cos ϕ
Π Π , 0 ≤ϕ ≤ , 2 2
0 ≤ρ ≤2
Además el Jacobiano J ( ρ, θ , ϕ ) = 2
∫∫ 0
4−
y
2
0
Π
∫
4−
x −y 2
2
dzdxdy 2
x +y +z 2
0
Π
2
ρ .sen ϕ 2
Π 2 0
Π 2 0
= ∫ (∫ (∫
2
0
Π
Π
ρ
2
senϕ
ρ
2
)dρ ) dϕ )dθ
Π
= ∫ 2 ( ∫ 2 2 sen ϕ) dϕ) dθ = ∫ 2 − 2 cos ϕ / 02 dθ = ∫ 2 2dθ = Π 0
0
Evaluar
0
la
4
0
cilíndricas Sea:
D:
3
∫∫∫
integral
0≤ y ≤ 9− x
0
0
9−
x
0
2
x
2
2
+ y dydxdz , usando
coordenadas
2
0≤ x ≤3
0 ≤ z ≤ 4 : , Pasando a coordenadas cilíndricas
Se tiene : 0 ≤ r ≤ 3 , 0 ≤ θ ≤ x = r cos θ y = rsen θ
⇒
Π , 0≤z≤4 2
J ( r , θ, z ) = r
13
Z=z
4 3
∫∫∫
9−
x
2
Π 2 0
2
3
4
0
0
Π 2 0
0 0 0
+
= ∫ ( ∫ 4 r dr)dθ = ∫ 4r 3 Π 2 0
Mediante
3
x y dydxdz= ∫ (∫ (∫ r.rdz)dr)dθ = ∫ (∫ r z / 2
coordenadas
3
Π 2 0
2
0
esféricas,
calcula
el
2
0
3
4 0
dr)dθ
Π 2 0
/ dθ = 36θ / = 18Π 3 0
valor
de
la
integral
2
dxdydz z ∫∫∫ x + y +z 2
2
S
2
, donde S es la región por arriba del plano XY y entre las
esferas de radios respectivamente a y b centradas en el origen (0
y = ρsen θsen ϕ
z = ρ. cos ϕ
⇒ J ( ρ,ϕ,θ ) = ρ .sen ϕ 2
S = {( ρ,ϕ,θ ) / a ≤ ρ ≤ b;0 ≤ θ ≤ 2Π,0 ≤ ϕ ≤ 2
dxdydz z ∫∫∫ x + y +z 2
2
S
2Π
=∫ 2
=
2Π
∫
0
4
=b
−a 4
4
∫
2Π
0
− cos 3
3
Π 2 0
(∫
ϕ
2
Π 2 0
b
(∫ (∫
0
Π 2 0
p 4
Π } 2
p cos
2
ϕ
. p (((
p
a
p
2
sen ϕdp ) dϕ) dθ)
4
cos
2
4
ϕsen ϕ / ba dϕ.) dθ
− / dθ = − b a 12
4
∫
2Π
0
4
(0 − 1) dθ = b
4
−a .Π 6
14
