Integrales Multiples

3

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

1. INTEGRALES DOBLES En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable real a funciones de varias variables, comenzando en este capítulo con integrales de funciones de dos variables; es decir, funciones del tipo f : D ⊆  2 →  . La integral doble tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una función de variable real es el área.

1.1 INTRODUCCIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA El nombre de Suma de Riemann se debe al matemático alemán: Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866).

Como referencia para la definición de la integral doble, se debe recordar la integral definida de una función real de variable real, la cual surge como solución al problema del cálculo de área bajo una curva. Sea f una función real definida en [a, b] y sea P una partición del intervalo cerrado

[a, b] ,

donde P = { x0 , x1 , x2 ,, xi −1 , xi ,, xn −1 , x n }.

Una suma de Riemann de la función f para la partición P , denotada por R P es un número real obtenido como: Sus contribuciones destacaron en las áreas de análisis y geometría diferencial, la fisicomatemática fisicomatemática y la teoría de funciones de variables complejas. Su nombre también está relacionado con la función zeta. La longitud del subintervalo genérico se calcula de la siguiente manera:

R P =

n

∑ f ( x ) ∆x * i

i

(I.1)

i =1

donde: n es el número de subintervalos de la partición P , * i

∈ [ xi −1 , xi ] y ∆ xi es la longitud del subintervalo genérico

(también llamado subintervalo i-ésimo). En la figura 1 se aprecia el significado geométrico de la Suma de Riemann para el caso de una función f positiva en el intervalo cerrado [a, b] .

∆ xi = xi − xi −1

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

4

Geraldine Cisneros


Significado geométrico de la suma de Riemann

Si

la

f es ∀ x ∈ [a, b],

función

positiva

entonces la suma de Riemann corresponde a un valor aproximado del área de la región comprendida bajo la gráfica de la función

f ,

sobre el eje x, x, y entre las rectas x = a y x = b .

Figura 1.1 Significado geométrico de la Suma de Riemann para una función f positiva en el intervalo cerrado [a , b ] . En la gráfica a) la región sombreada es la que está comprendida bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas x = a y x = b . En la gráfica b) la suma de las áreas de los rectángulos sombreados es el valor numérico de la Suma de Riemann para la función f en el intervalo cerrado [a , b ] .

Decir que la norma de la partición P tiende a cero,

Si la norma de una partición P, denotada como P , se define

P → 0 , es equivalente

como la longitud más grande de todos los subintervalos, entonces

a decir que el número de subintervalos de la partición P tiende a infinito, n → ∞ .

al hacer que la norma sea lo suficientemente pequeña, esto es P → 0 , la partición se hace más fina, lo cual lleva a la definición

de la Integral Definida.

∫

El símbolo lo introdujo el matemático alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz

(1646, 1716).

DEFINICIÓN: integral definida de f en [a ,b ] Sea f una función real definida en un intervalo cerrado [a, b] . La integral definida de f desde a hasta b , denotada por b

∫ f ( x )dx , esta dada por: a

∫

b a

f ( x ) dx = Lím

si el límite existe.


p →0

n

∑ f ( x )∆x * i

i =1

(I.2)

5

Geraldine Cisneros La

∫

Integral


Definida

b a

f ( x )dx es un número

real que puede interpretarse como el área bajo la gráfica de la función

f ,

sobre el eje

x y x y entre las rectas x = a y x = b , si la función es positiva.

Donde: ∫ es el signo de integración, a y b son los límites de integración inferior y superior, respectivamente;

f ( x ) es el

integrando o función integrando y la diferencial de x, denotada por dx , indica que la variable de integración es x.

1.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS Sea f :  2 →  una función definida sobre la región rectangular cerrada D , dada por: D = [ a,b a, b] × [ c ,d ] =

Una partición intervalo conjunto elementos, cumple:

P x

[a, b]

2

}

a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d (I.3)

Sea P una partición de la región D , la cual se logra con el del

es un

finito donde

{( x, y) ∈ 

de se

producto cartesiano de las particiones P x y P y de los intervalos

[a, b] y [c, d ] , respectivamente, como se muestra a continuación:

a = x0 < x1 < … < xi −1 < xi < … < xn = b

P x 0 , x1 , x 2 , … , x i −1 , x i , … , x n −1 , x n } x = {

(I.4)

P y = y 0 , y1 , y 2 , …, y j −1 , y j , … , y m −1 , y m

(I.5)

P = P x × P y

(I.6)

entonces

Si la partición P x tiene n + 1 elementos y n subintervalos [ xi −1, xi ] de longitud ∆ xi = xi − xi −1 , y la partición P y tiene m + 1 elementos y m subintervalos y j −1, y j de longitud ∆ y j = y j − y j −1 , entonces la

región rectangular D queda dividida por la partición P en n ⋅ m rectángulos denominados Dij , tal como se muestra en la figura 1.2.


6

Geraldine Cisneros

En la figura aprecia que:

1.2,


se

xi −1 ≤ xi ≤ xi *

y j −1 ≤ y j ≤ y j *

Figura 1.2 Partición P de una región rectangular D .

Figura 1.3 Subrectángulo Dij

El subrectángulo denotado Dij , es un elemento de la partición P , cuya área, denotada ∆ Aij se calcula como:

El

( x

punto

i

*

, y j ) ∈ Dij *

por lo tanto existen diferentes alternativas para su selección las más comunes son: Esquina inferior izquierda

( x

*

i

, y j * ) = ( xi −1 , y j −1 )

Esquina inferior derecha

( x

*

i

*

i

(I.7)

Al tomar un punto arbitrario ( xi * , y j * ) en el subrectángulo Dij , se puede establecer la doble suma de Riemann para la función f en la partición P , denotada como S D :

, y j * ) = ( xi , y j −1 )

Esquina superior izquierda

( x

∆ Aij = ∆ xi ⋅ ∆y j

S D =

n

m

∑∑ f ( x , y )∆A *

i

*

j

ij

(I.8)

i =1 j =1

, y j * ) = ( xi −1 , y j )

Esta doble suma de Riemann es un valor numérico que se obtiene Esquina superior derecha

( x , y ) = ( x , y ) *

al efectuar la suma del producto de la imagen de la función f en

*

i

j

i

j

cada punto arbitrario ( xi * , y j * ) y el área de cada rectángulo Dij . Al

Punto medio

( x

i

*

, yj

*

 xi −1 + xi y j −1 + y j  ,  2  2 

) = 

expandir la expresión (I.8) se obtiene:


7

Geraldine Cisneros


(

)

(

) )∆ A

( +  + f ( x

) )∆ A

S D = f x1 , y1 ∆ A11 + f x1 , y 2 ∆ A12 +  + f x1 , y m ∆ A1m + *

(

*

(

*

*

*

)

(

*

)

(

*

*

f x 2 , y1 ∆ A21 + f x 2 , y 2 *

*

22

2

*

*

*

*

, y m

2m

+

(I.9)



)

(

)

f x n , y1 ∆ An1 + f x n , y 2 ∆ An 2 +  + f xn , y m ∆ Anm *

*

*

*

Si se define la norma P de la partición P como la longitud de la diagonal más grande de todos los rectángulos Dij y se hace que P → 0 , entonces la partición P se hace más fina, esto es, ahora

la región R queda dividida en muchos más rectángulos, y se puede plantear: Lim S D = Lim P →0

P →0

n

m

∑∑ f ( x , y )∆ A *

i

*

j

(I.10)

ij

i =1 j =1

Todo esto permite establecer la definición de la integral doble.

1.2.1 INTEGRAL DOBLE DE f SOBRE D Así como la suma de Riemann es una aproximación de la integral definida, la doble suma de Riemann es una aproximación de la integral doble.

DEFINICIÓN: Integral doble de f sobre D Sea f :  2 →  una función real definida sobre un rectángulo D del plano. La integral doble de f sobre D , denotada por

∫∫ f ( x , y )dA , se define como: D

n

∫∫ f ( x , y )dA = Lim ∑∑ f ( x , y )∆ A

Otras notaciones para la integral doble son:

∫∫ f ( x , y )dxdy D

m

P →0

D

*

i

*

j

ij

(I.11)

i =1 j =1


∫∫ f ( x , y )dydx D

Decir que el límite existe significa que:

∫∫ f ( x , y )dA = L D

donde L ∈ 


(I.12)

8

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Si el límite de la expresión (I.11) existe se dice que f es

Definición del límite de una función:

integrable sobre D , recordando la definición del límite, esto

El límite

significa que para todo ε > 0 existe un número δ > 0 , tal que:

Lim f ( x ) = L x → x0

existe si

∀ ε > 0 ∃ δ > 0

n

m

∑∑ f ( x , y )∆ A *

i

tal que f ( x ) − L < ε

*

j

ij

− L < ε

(I.13)

i =1 j =1

siempre que 0 < x − x0 < δ

Siempre que: P < δ

Observe que la condición

(I.14)

0 < P no se coloca ya que

la

norma

partición

de

la

P es una

longitud por lo tanto ya

Para cualquier partición P del rectángulo D , y para cualquier

( x

* i

)

* , y j en el subrectángulo Dij .

es positiva.

1.2.2 INTEGRABILIDAD DE UNA FUNCIÓN CONTINUA TEOREMA: Integrabilidad de una función continua Sea f :  2 →  una función real definida sobre un rectángulo D

del plano acotada, y continua, excepto quizás en un

número finito de curvas suaves en D , entonces la función f es integrable en D .


9

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 1.3 INTERPRETACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE COMO VOLUMEN Sea f :  2 →  una función real definida sobre un rectángulo D = [a ,b ]× [c , d ] , la cual es continua y positiva en D . Entonces la

gráfica de f es una superficie definida por la ecuación: z = f ( x , y )

(I.15)

En la figura 1.4 se aprecia la gráfica de una función f :  2 →  definida sobre un rectángulo D .

z = f ( x, y )

D

Figura 1.4 Gráfica de una función f :  2 →  definida sobre un rectángulo D

Sea S el sólido que está definido sobre la región D y bajo la superficie definida por la gráfica de f . En la figura 1.5 se aprecia el sólido S .


10

Geraldine Cisneros


x

y

Figura 1.5 Sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de f

El volumen V del sólido S puede aproximarse como la suma del volumen de los paralelepípedos base Dij y altura es f ( xi * , y j * ), tal como indica la expresión ( I.16). V ≈

n

m

∑∑ V

(I.16)

ij

i =1 j =1

donde V ij es el volumen del paralelepípedo de base Dij , también llamado paralelepípedo aproximante, y cuya altura es f ( xi* , y j * ) . El punto ( xi * , y j * ) pertenece al subrectángulo genérico. El volumen de este paralelepípedo o caja rectangular viene dado por:

(

)

V ij = f xi , y j ∆Aij *

*

(I.17)

Al sustituir (I.17) en (I.16) se obtiene la doble suma de Riemann n

planteada en (I.8) como

m

∑∑ f ( x , y )∆A *

i

*

j

ij

por lo tanto esta doble

i =1 j =1

suma es una aproximación del volumen del sólido S , es decir:


11

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones V ≈

n

m

∑∑ f ( x , y )∆A *

*

i

j

(I.18)

ij

i =1 j =1

La figura 1.6 muestra la gráfica de un paralelepípedo aproximante del volumen del sólido S sobre la región D .

( x

* i

, y j* , f ( xi* , y j* )

)

z = f ( x, y )

D y = y

x = xi −1 x = xi

−1

y = y

Figura 1.6 Paralelepípedo de base Dij y altura f ( xi* , y j* ) , empleado para aproximar el volumen del sólido S definido sobre la región D

La figura 1.7 muestra los paralelepípedos empleados en la aproximación del volumen del sólido S , el cual se encuentra limitado por la gráfica de la función f y por el rectángulo D .


12

Geraldine Cisneros


Figura 1.7 Paralelepípedos empleados para aproximar el volumen del sólido S definido sobre la región D

Cuando P → 0 , la partición P se hace más fina y por lo tanto la región R queda dividida en muchos más rectángulos, por lo cual n

el límite Lim

P → 0

m

∑∑ f ( x

i

i =1 j =1

*

, y j* ) ∆Aij representa el volumen del sólido

S , es decir:

V = Lim P → 0

n

m

∑∑ f ( x

i

i =1 j =1

*

, y j* ) ∆ Aij =

∫∫

D

f ( x, y ) dA

(I.19)

En la figura 1.8 se observan los paralelepípedos empleados en la aproximación del volumen del sólido S , pero ahora con una partición más refinada sobre el rectángulo D .


13

Geraldine Cisneros


Figura 1.8 Paralelepípedos empleados en la aproximación del volumen del sólido S con una partición refinada sobre D .

EJEMPLO 1.1

Estime el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie

z = x 2 + 4 y

y

arriba

del

rectángulo

D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 3}. Utilice una suma de Riemann con n = 2 y m = 3 y considerando el punto de muestra como:

a) La esquina superior derecha de cada subrectángulo. b) El punto medio de cada subrectángulo Figura 1.9 Sólido del ejemplo 1.1

Solución:

a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie z = x 2 + 4 y y arriba del rectángulo D . Entonces se desea estimar a V de la siguiente manera: V =

∫∫

D

( x 2 + 4 y )dA ≈


2

3

∑∑ f ( x

* i

i =1 j =1

, y j* )∆ Aij

14

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones donde

( x

* i

, y j* ) es el punto perteneciente a Dij donde será

evaluada la función. El enunciado de este ejercicio exige que el punto de muestra sea la esquina superior derecha de cada

)

subrectángulo, por lo cual xi , y j = ( xi , y j ) . *

*

La región D y su partición se muestran en la siguiente figura. m=3

Si

n = 2,

y

entonces

∆ x = ∆ y =

b−a n d − c m

(

= =

2−0 2

=1

3−0 3

=1

)

Como xi* , y j* = ( xi , y j ) , entonces se debe expresar en función de i y j:

xi = x0 + i∆ x = 0 + i(1) = i

Figura 1.10

y j = y0 + j∆ y = 0 + j(1) = j

Partición empleada para el ejemplo1.1

Y además:

∆ Aij = ∆x∆y = (1)(1) = 1

Luego, la aproximación del volumen es: V ≈

2

3

∑∑ f ( x

*

i

i =1 j =1

∑

2

3

∑∑ f ( i, j )(1) i =1 j =1

Para evaluar esta doble suma de Riemman se pueden emplear las

Recuerde: n

, y j )∆Aij = *

k = kn si k ∈ 

fórmulas y propiedades de la notación sigma:

i =1 n

n ( n + 1)

i =1

2

∑i = n

∑i i =1

2

=

V ≈

2

3

2

3

∑∑ f ( i, j )(1) = ∑∑ ( i i =1 j =1

i =1 j =1

2

2

+ 4 j ) = ∑ ( 3i 2 + 24 ) = 15 + 48 = 63 i =1

n ( n + 1)( 2 n + 1) 6

V =

∫∫ ( x


D

2

+ 4 y )dA ≈ 63

15

Geraldine Cisneros

Cuando

se

selecciona

( x , y ) = ( x , y ) , * i

*

j

i


j

en

el

cálculo de la doble suma de Riemann del ejemplo 1.1

parte

aproximación

a,

la del

volumen obtenida es por exceso ya que el volumen del sólido

S es

inferior

al volumen de las cajas rectangulares.

Figura 1.11 Paralelepípedos empleados para aproximar el volumen del sólido S descrito en el ejemplo 1.1 parte a

En la figura 1.11, se aprecia la superficie definida por la función f y los paralelepípedos aproximantes de volumen.

b) Cuando se desea estimar el volumen V del sólido debajo de la superficie z = x 2 + 4 y y arriba del rectángulo D en donde ( xi * , y j* ) es el punto medio de cada subrectángulo, entonces se tiene: xi −1 = x0 + ( i −1) ∆x = i −1 y j −1 = y0 + ( j −1) ∆y = j −1

( x

i

*

 xi −1 + xi y j −1 + y j   i − 1 + i j −1 + j   1 1 , , = i − , j −  =  2 2 2   2  2   2

, y j* ) = 

Luego: V ≈

2

3

∑∑ f ( x

i

i =1 j =1

*

, y j )∆Aij = *

∑∑ f  i − 2 , j − 2  (1) 2

3

1

1

i =1 j =1

A continuación esta doble suma de Riemann se resolverá calculando la imagen de cada

(

posteriormente se efectuará la suma.


* i

, y j* ) en la función f y

16

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones ( x

*

i

, yj

*

) =  i − 2 , j − 2  1

1



2

f ( xi* , y j * ) = ( xi * ) + 4 y j *



i j

1

2

1

2

1

1 1  2,2  

 3,1 2 2  

9

17

4

4

2

1 3  2,2  

3 3  2,2  

25

33

4

4

3

1,5 2 2  

 3,5 2 2  

41

49

4

4

Cuadro 1.1 Valores de f ( xi* , y j* ) empleados en el ejemplo 1.1 (b) En el ejemplo 1.1 parte

V ≈

b, cuando se selecciona

( x

i

*

, y j * ) como el punto

medio

de

cada

Por lo tanto

9 4

+

25 4

+

41 17

V =

subrectángulo se puede

4

+

4

∫∫ ( x D

2

+

33 4

+

49 4

= 43,5

+ 4 y ) dA ≈ 43,5

apreciar en la figura 1.12 que la gráfica de la función f atraviesa a los paralelepípedos, por lo cual no se puede asegurar

si

aproximación volumen del sólido

la del

S es

por exceso o por defecto.

Figura 1.12 Paralelepípedos empleados para aproximar el volumen del sólido S descrito en el ejemplo 1.1 parte b

En la figura 1.12, se observa la superficie definida por la función f y los paralelepípedos aproximantes de volumen.


17

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Sea

EJEMPLO 1.2

S el

sólido que se encuentra arriba del cuadrado

D = [ 0, 4] × [ 0, 4] y abajo del paraboloide elíptico z = 36 − x 2 − y 2 .

Estime el volumen del sólido tomando como punto de muestra la esquina superior derecha de cada subcuadrado y dividiendo a la región D en:

a) Cuatro cuadrados iguales. Figura 1.13 Sólido del ejemplo 1.2

b) Diez mil cuadrados iguales. Solución:

a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie z = 36 − x 2 − y 2 y arriba del rectángulo D . Entonces se desea Como D = [ 0, 4] × [ 0, 4] y

se

divide

subcuadrados,

en

estimar a V de la siguiente manera:

4

V =

entonces

∫∫ ( 36 − x D

2

2

− y ) dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j * )∆ Aij

n=m=2

∆ x = ∆ y =

b−a n d −c m

= =

4−0 2 4−0 3

=2 =2

2

2

i =1 j =1

)

donde xi , y j = ( xi , y j ) *

*

La región R y su partición se muestran en la siguiente figura.

Figura 1.14 Partición empleada para el ejemplo 1.2


18

Geraldine Cisneros

∆ Aij = ∆x∆y = ( 2) ( 2) = 4

(

)

Como xi* , y j* = ( xi , y j ) , entonces


Luego, la aproximación del volumen es: V ≈

2

3

∑∑ f ( x

i

i =1 j =1

*

, y j )∆ Aij = *

2

3

2

3

∑∑ f ( 2i, 2 j )( 4) = 4∑∑ 16 − ( 2i) i =1 j =1

i =1 j =1

2

2 − ( 2 j ) 

xi = x0 + i∆x = 0 + i ( 2) = 2i y j = y0 + j∆y = 0+ j ( 2) = 2 j

Resolviendo de manera análoga al ejemplo anterior: V =

∫∫ ( 36 − x D

2

− y 2 ) dA ≈ 256

En el ejemplo 1.2 parte a, la aproximación del

volumen obtenida es por defecto ya que las cajas rectangulares empleadas se encuentran dentro del sólido

S .

Figura 1.15 Volumen aproximado en el ejemplo 1.2 parte a

En la figura 1.15, se observa la superficie definida por la función f y los paralelepípedos aproximantes empleados.


19

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones b) Ahora la región D , está dividida en diez mil subcuadrados iguales; es decir, n = m = 100 . Por lo tanto, la estimación del volumen del sólido viene dada por: V =

∫∫

D

( 36 − x2 − y 2 ) dA ≈

1 00 1 00

∑∑ f ( x

i

i =1 j =1

*

, y j * )∆ Aij

Realizar este cálculo como se ha ilustrado en los ejemplos 1.1 y la parte a de éste, es muy largo pues el número de subcuadrados es elevado. Entonces para resolver la doble suma de Riemann planteada es necesario emplear un software matemático. A continuación se presenta los resultados obtenidos, con un software matemático, para el ejemplo 1.2 parte b. También se incluye otra aproximación empleando una partición aún más refinada. Número de subcuadrados

n

m

Diez mil

100

100

402,7648

Un millón

1.000

1.000

405,077248

n

m

∑ ∑ f ( x

i

i =1 j =1

*

, y j )∆Aij *

Cuadro 1.2 Aproximaciones del volumen del sólido planteado en el ejemplo 1.2

En el ejemplo 1.2 parte

Con

b, se aprecia que la

aproximaciones:

aproximación

del

volumen del sólido

S

la

ayuda

del

V =

aumenta a medida que se

software

∫∫ (36 − x D

2

se

obtuvo

las

− y 2 ) dA ≈ 402 ,7648

incrementa el número de subcuadrados.

V =

∫∫ (36 − x D


2

− y 2 ) dA ≈ 405,077248

siguientes

20

Geraldine Cisneros EJEMPLO 1.3

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Sea

S el

sólido que se encuentra arriba del cuadrado

D = [0 ,3]× [− 1,1] y bajo el plano de ecuación z = 1 − y . Estime el

volumen del sólido considerando:

a) n = 3 , m = 2 y el punto de muestra como el punto medio de cada subrectángulo.

b) n = 6 , m = 8 y el punto de muestra como el punto medio de Figura 1.16

cada subrectángulo.

Sólido del ejemplo 1.3

Solución:

a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie z = 1 − y y arriba del rectángulo D . La región D y su partición se muestran en la siguiente figura

Figura 1.17 Partición empleada para el ejemplo 1.3 parte a


21

Geraldine Cisneros Si

m=2


n = 3,

y

Entonces se desea estimar a V de la siguiente manera:

entonces

∆ x = ∆ y =

b−a n d − c m

=

3−0

=

3

=1

1 − (− 1) 2

=1

∆ Aij = (∆ x )(∆y ) = 1

V =

3

2

1 − y ) dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j* )∆ Aij , ( D

∫∫

i =1 j =1

medio de cada subrectángulo, entonces se tiene:

(

*

f xi , y j

y j −1 = y0 + ( j − 1)∆ y = j − 2

y j = y0 + j∆ y = −1+ j

donde ( xi* , y j* ) es el punto

*

) = 1 − y

* j

 2 j − 3  5 = 1−  = − j  2  2

Luego, la aproximación del volumen es: 3  5  V ≈ ∑∑  − j (1) = ∑ 2 = 6  i =1 j =1  2 i =1 3

2

V =

∫∫ (1 − y ) dA ≈ 6 D

En la figura 1.18, se observa la superficie definida por la función f y la aproximación del volumen.

En el ejemplo 1.3 parte a, en la aproximación del

volumen, se observa que la gráfica de la función

f

atraviesa

a

los

paralelepípedos, por lo cual no se puede asegurar si la aproximación es por exceso o or defecto.

Figura 1.18 Aproximación del volumen para el ejemplo 1.3 parte a


22

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones b) Se desea estimar el volumen V pero ahora con una partición refinada, donde n = 6

m = 8 . En la figura 1.19 se aprecia

y

esta partición.

Figura 1.19 Partición empleada para el ejemplo 1.3 parte b Si

n=6

m=8

y

entonces

∆ x = ∆ y =

b−a n d − c

∆ Aij =

m

=

1

=

1

2

1 − y )dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j* )∆ Aij , ( D

∫∫

i =1 j =1

donde ( xi* , y j* ) sigue siendo

el punto medio de cada subrectángulo, pero como la partición es

2

más fina, entonces:

4

(

1

*

f xi , y j

8

y j −1 = y0 + ( j − 1)∆ y =

y j = y0 + j∆ y =

V =

3

j −4 4

j − 5

*

) = 1 − y

* j

 2 j − 9  17 j = 1−  = −  8  8 4

Entonces el volumen aproximado es:

4

V ≈

 17 j  1  1 6  −   = ∑ 8 = 6 ∑∑ 4  8  8 i =1 i =1 j =1  8 6

8

V =


∫∫

D

(1 − y ) dA ≈ 6

23

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En la figura 1.20 se aprecia la aproximación del volumen del sólido S empleando la partición más refinada.

Figura 1.20 Aproximación del volumen para el ejemplo 1.3 parte b


24

Geraldine Cisneros


1.4 INTEGRALES ITERADAS Segundo Teorema Fundamental del

tienen dos alternativas: la definición, donde se emplean fórmulas y

Cálculo

propiedades de la notación sigma y además, la resolución de un

es una función

límite; la otra opción para resolver una integral definida de una

f

Si

Para evaluar una integral definida en un intervalo cerrado se

continua en el intervalo

F es de f ,

cerrado [a ,b] y si

función real de variable real, es el Segundo Teorema Fundamental

una antiderivada

del Cálculo, el cual consiste en encontrar una antiderivada y

entonces:

∫ ∫

b a b a

f ( x ) dx = F ( x )

b

evaluarla en los extremos del intervalo de integración. El primer

a

f ( x ) dx = F (b ) − F ( a )

método, la definición como el límite de una suma suele ser un procedimiento más riguroso en comparación con el segundo. Análogamente, la resolución de una integral doble por definición es un cálculo muy complejo, ya que es el resultado del límite de una doble suma de Riemann. A continuación se expone un método que consiste en expresar una integral doble como una integral iterada, lo cual implica la evaluación sucesiva de dos integrales simples.

DEFINICIÓN: La Integral Iterada Sea f :  2 →  una función real y continua de dos variables, definida en la región rectangular D = [a, b] × [c, d ] . La integral iterada d

b

c

a

∫ ∫

de

la

función

f ( x, y )dxdy ó d

∫ ∫

b

c

a

b

d

a

c

b

d

a

c

∫ ∫

f

sobre

D ,

denotada

por

f ( x, y )dydx , se define como:

f ( x, y ) dxdy =

∫

 b f ( x, y ) dx dy  ∫ a 

(I.20)

f ( x, y ) dydx =

 d f ( x, y ) dy dx ∫ a  ∫ c 

(I.21)

d c

O también

∫ ∫


b

25

Geraldine Cisneros Recuerde integral

∫

que b a

en

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones la

f ( x, y) dx , la

dx indica que la variable de integración es x, por lo tanto la variable y se considera constante en esta integral. Esto se conoce como integración parcial con respecto a x

Entonces, la integral iterada es la evaluación sucesiva de dos integrales simples. En la ecuación (I.20), la integral que debe resolverse primero es la que se encuentra dentro del corchete; es decir,

b

∫ f ( x,y) dx . El resultado de esta integral es una función de a

y, ya que y se considera constante. Tal como se ilustra:

Entonces para resolver

∫

b

∫ f ( x,y) dx = A( y )

d c

f ( x, y) dy se integra

parcialmente respecto a la variable y; es decir x es considerada constante.

(I.22)

a

Finalmente: d

b

c

a

∫ ∫ En

forma

b

d

a

c

∫ ∫

f ( x, y ) dxdy =

análoga,

∫

en

 b f ( x, y ) dx dy = d A( y ) dy (I.23) ∫c  ∫ a 

d c

la

expresión

f ( x, y ) dydx se resuelve primero

∫

(I.21),

la

integral

d

f ( x, y ) dy , resultando una

c

función de x, como sigue:

∫

d c

f ( x,y) dy = A( x )

(I.24)

para luego integrar respecto a y: b

d

a

c

∫ ∫

EJEMPLO 1.4

f ( x, y ) dydx =

∫

b a

 d f ( x, y ) dy dx = b A( x) dx ∫a  ∫ c 

(I.25)

Evalúe las siguientes integrales iteradas: a) c) e)

3

2

0

0

4

4

0

0

∫ ∫ ( x

2

+ 4 y ) dxdy

∫ ∫ (36 − 1

2

− y 2 )dxdy

3

∫ −1 ∫ 0 (1 − y )dxdy


b) d) f)

2

3

∫ ∫ ( x 0

0

4

4

0

0

2

+ 4 y ) dydx

∫ ∫ ( 36 − 3

1

0

−1

∫ ∫

2

− y 2 )dydx

(1 − y ) dydx

26

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Solución: 3

Recuerde

que

en

el

ejemplo 1.1 se aproximó

la integral doble de dos

a) Para resolver la integral ∫ 0

∫∫ ( x

V=

∫∫ ( x

D

D

Al

2

2

+ 4 y ) dA ≈ 43, 5

∫ ( 0

+ 4 y ) dxdy , primero se integra

Luego se evalúa la segunda integral

estas

puede

comprobar que la primera

3

8  8 2 ∫ 0  3 + 8 y  dy =  3 y + 4 y  0 = 8 + 36 = 44 3

valor de la integral, en se

0

2

aproximaciones con el

efecto

2

 x3  8 2 + 4 y ) dx =  + 4 xy  = + 8 y 3  0 3

2

+ 4 y ) dA ≈ 63

comparar

∫ (

parcialmente respecto a x,

maneras diferentes:

V =

2

Por lo tanto:

estimación es por exceso, 3

es

una

2

∫ ∫ ( x

mientras que la segunda

0

mejor

2

0

+ 4 y ) dxdy = 44

aproximación.

2

3

b) Se desea resolver ∫ 0 ∫ 0 ( x 2 + 4 y ) dydx :

∫

3

0

2

( x 2 + 4 y ) dy =  x2 y + 2 y2 

∫ ( 3 x 0

2

3 0

= 3 x2 + 18

2

+ 18) dx =  x3 + 18 x = 8 + 36 = 44 0

2

3

∫ ∫ ( x 0

0

2

+ 4 y ) dydx = 44

4

c) Para resolver la integral ∫ 0

4

∫ ( 36 − x

2

0

− y 2 )dxdy , primero se

integra parcialmente respecto a x: 4

 x3 64 368 2 2 2  2 36 x y dx 36 x y x 144 4 y − − = − − = − − = − 4 y2 ( )   ∫ 0 3 3 3   0 4


27

Geraldine Cisneros Recuerde

que


en

el

Luego se resuelve la segunda integral, cuya variable es y

ejemplo 1.2 parte a se 4

obtuvo una aproximación por defecto de: V=

∫∫ ( 36 − x

2

D

− y 2 ) dA ≈ 256

 4 3 1472 256 1216  368  368 2 4 y dy y y 405 , 3 − = − = − = ≈  ∫ 0  3  3 3  0 3 3 3  4

Por lo tanto:

Mientras que en la parte

4

4

∫ ∫ ( 36 −

b, se obtuvo:

0

2

0



− y 2 )dxdy = 405,3

V ≈ 402 ,7648 y V ≈ 405,077248

Al observar el valor real de

la

4

4

0

0

∫ ∫

integral

doble,

d) Resolviendo

 ( 36 − x2 − y 2 )dxdy = 405,3

se puede concluir que las aproximaciones de la parte b son mejores que

4

4

0

0

∫ ∫ (36 −

2

− y 2 )dydx 4

1 3 64 368  2 2 2 2 2 ∫ 0 (36 − x − y ) dy = 36 y − x y − 3 y  0 = 144 − 4 x − 3 = 3 − 4 x 4

la estimación de la parte 4

a.

 4 3 1472 256  368  368 2 4 x dx x x 405 , 3 − = − = − =  ∫ 0  3  3 3  0 3 3  4

4

4

0

0

∫ ∫ ( 36 −

En el ejemplo 1.3, se aproximó

la

doble

integral

mediante

e) Para resolver la integral

dos

diferentes,

∫∫

D

1

∫ ∫ −1

3 0

(1 − y )dxdy ,

primero se integra

una 3

donde

3

∫ 0 (1 − y ) dx = (1 − y ) x 0 = 3(1− y)

particiones en

ambos casos se obtuvo: V =



− y 2 )dydx = 405,3

respecto a x como sigue:

doble suma de Riemann con

2

Seguidamente se resuelve la integral:

(1 − y ) dA ≈ 6

∫

1

−1

3

3 (1 − y ) dy = − [1 − y] 2

Es decir:


1 2

=6 −1

28

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 1

3

∫ ∫ −1

f) Ahora se resuelve

0

3

1

0

−1

∫ ∫

(1 − y ) dxdy = 6

(1 − y )dydx en

el orden de integración

inverso, primero respecto a la variable x: 1

 y 2   1  3  ∫−1 (1 − y ) dx =  y − 2  =  2 −  − 2  = 2 −1 1

Ahora respecto a la variable y:

∫ 3

1

0

−1

∫ ∫


3 0

2dx = 6

(1 − y ) dydx = 6

29

Geraldine Cisneros


1.5 TEOREMA DE FUBINI El nombre de Teorema de Fubini se debe al matemático italiano:

El siguiente teorema proporciona un método práctico para evaluar una integral doble expresándola como una integral iterada

Guido Fubini

(1879, 1943).

TEOREMA de Fubini para Integrales Dobles Sea f :  2 →  una función real y continua en el rectángulo D = [a, b]× [c, d ] , entonces:

También resaltó por sus contribuciones en los campos de geometría diferencial, ecuaciones diferenciales, funciones analíticas y funciones de varias variables.

∫∫

D

f ( x, y ) dA =

d

b

c

a

∫ ∫

f ( x, y ) dxdy =

b

d

a

c

∫ ∫

f ( x, y) dydx (I.25)

Demostración intuitiva:

Considere que la función f es positiva, es decir, f ( x, y ) ≥ 0 , por lo El principio de Cavalieri se debe al matemático italiano Bonaventura FrancescoCavalieri

(1598, 1647).

cual la integral doble

∫∫ f ( x, y ) dA representa D

el volumen del

sólido S que se encuentra arriba del rectángulo D y por debajo de la superficie definida por z = f ( x, y ) .

El volumen del sólido S también puede ser calculado empleando el principio de Cavalieri, donde el volumen de secciones transversales conocidas se calcula mediante una integral simple. Célebre por introducir en Italia el cálculo logarítmico y por su teoría de indivisibles, la cual es el principio del cálculo de una integral definida pero sin la rigurosidad moderna del límite.

V =

∫

b a

A ( x ) dx

(I.26)

En la figura 1.21 se ilustra una sección transversal del sólido S .


30

Geraldine Cisneros


z = f(x,y)

A(x)

D

a = x0 b

Figura 1.21 Interpretación geométrica del Teorema de Fubini

donde A( x ) es el área de la sección transversal del sólido S que es perpendicular al eje x y al plano y , entonces A( x ) se puede obtener como: A ( x ) =

∫

d c

f ( x, y ) dy

(I.27)

Sustituyendo la ecuación (I.27) en (I.26), se obtiene: V =

∫∫

D

f ( x, y ) dydx =

b

d

a

c

∫ ∫

f ( x, y )dydx

(I.28)

En forma análoga, el volumen del sólido S se puede obtener como: V =


∫

d c

A ( y ) dy

(I.29)

31

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones donde A( y ) es el área de la sección transversal del sólido S que es perpendicular al eje y y al plano xy , como se ilustra en la figura 1.22; es decir: A ( y ) =

Figura 1.22

∫

b a

f ( x, y ) dx

(I.30)

A ( y )

Interpretación geométrica del teorema de Fubini

Al sustituir la expresión de A( y ) en la ecuación (I.29) se tiene: V =

A ( y ) es el área de la

∫∫

D

f ( x, y ) dydx =

d

b

c

a

∫ ∫

f ( x, y )dxdy

(I.31)

sección transversal del sólido S que es perpendicular al eje y y al plano y .

Finalmente, se concluye que la integral doble de f sobre D es igual a la integral iterada de la función f ; es decir:

∫∫

D

f ( x, y ) dA =

b

d

a

c

∫ ∫


f ( x, y ) dydx =

d

b

c

a

∫ ∫

f ( x, y) dxdy (I.32)

32

Geraldine Cisneros


1.6 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES MÁS GENERALES En esta sección se amplía la definición de la integral doble de una función f , sobre regiones más generales que rectángulos, para posteriormente explicar cómo se resuelven este tipo de integrales. En la figura 1.23 se presenta una región D de una forma más general.

Figura 1.23 Región D con una forma más general

Entre las regiones más generales se tienen las de tipo 1 y las de tipo 2.

DEFINICIÓN: Regiones de Tipo 1 Sean g , h : [ a, b] →  , dos funciones reales de variable real, Como las funciones f y g son continuas en

[a , b] ,

entonces

son

acotadas, por lo cual la región D del tipo 1 es una región acotada del plano.

continuas en [a ,b] , de modo que

( x ) ≤ h ( x ) ,∀x ∈ [ a,b] .

Una región de tipo 1, es una región definida como: D =

{ ( x, y )

a≤ x≤b ∧

}

g ( x) ≤ y ≤ h ( x)

(I.33)

En otras palabras, la región D está limitada por la izquierda por la recta

= a , por la derecha por la recta x = b , inferiormente por la


33

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones gráfica de la función

y superiormente por la gráfica de la función

h.

En la figura 1.24 se observan algunas regiones de tipo 1. En una región de tipo 1 ó de tipo 2, las curvas y segmentos de rectas que limitan a la región D , constituyen la frontera de D y se denota como ∂ D .

Figura 1.24 Regiones de tipo 1

DEFINICIÓN: Regiones de Tipo 2 Sean g , h : [ c, d ] →  , dos funciones reales de variable real, continuas en [ c, d ] , de modo que g ( y ) ≤ h ( y ) , ∀y ∈ [ c, d ] . Una región de tipo 2, es una región definida como: D =

{ ( x, y )

g ( y ) ≤ x ≤ h ( y)

∧ c ≤ y ≤ d }

(I.34)

Entonces toda región D está limitada por la izquierda por la gráfica de la función

, por la derecha por la gráfica de la función

h , y superior e inferiormente por las rectas y = d y y = c ,

respectivamente. En la figura 1.25 se aprecian algunas regiones de tipo 2.


34

Geraldine Cisneros


Algunas regiones pueden ser del tipo 1 del tipo 2 simultáneamente, a estas regiones se les clasifica como de tipo 3. Ejemplo:

=

1

−

x

2

Figura 1.25 Regiones de tipo 2 y

= −

1

−

x

2

Una vez explicadas las regiones de tipo 1 y de tipo 2, se presenta Figura 1.26 El círculo unitario como una región tipo 1

la siguiente definición:

DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones generales x

=

1

−

y

2

Sea f :  2 →  una función real y continua de dos variables, definida en una región general D .

x

= −

1

−

y

2

Figura 1.27

Sea R un rectángulo que contiene a la región D . Sea F una función definida en el rectángulo R como:

El círculo unitario como una región tipo 2

si ( x, y ) ∈ D  f ( x, y )  F ( x, y ) =   0 si ( , y ) ∉ D ∧ ( x, y ) ∈ R 

La integral doble de f sobre D , denotada

(I.35)

∫∫ f ( x, y ) dA , está D

dada por:

∫∫

D

f ( x, y )dA =

∫∫

R

F ( x, y )dA

Ahora bien, para resolver la integral

∫∫ f ( x, y )dA , D

identificar si la región D es de tipo 1 o de tipo 2.


(I.36)

se debe

35

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Si la región D es de tipo 1, se debe seleccionar un rectángulo R = [ a,b ] × [ c,d ] que contenga a D , tal como se ilustra en la

siguiente figura.

Figura 1.28 Rectángulo R que contiene a la región D de tipo 1

Luego, como

∫∫

D

( x, y )dA = ∫∫R F ( x, y )dA , por el teorema de Fubini

resulta:

∫∫

F ( x, y )dA =

R

b

d

a

c

∫ ∫

F ( x, y ) dydx

(I.37)

Y según la definición de la función F , se tiene que F ( x, y ) = 0 si y < g ( x ) ∨ y > h ( x ) , entonces:

∫

d c

F ( x, y ) dy =

h( x )

∫() g x

F ( x, y ) dy =

h( x )

∫() g x

f ( x, y) dy

(I.38)

Por lo que se puede definir la integral doble sobre una región de tipo 1 de la siguiente manera:


36

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo 1 Sea f una función real y continua de dos variables, definida en una región D del tipo 1, tal que D =

{ ( x, y )

}

a≤ x≤ b ∧

g ( x) ≤ y ≤ h ( x)

(I.39)

La integral doble de f sobre una región D de tipo 1, denotada

∫∫ f ( x, y ) dA , está dada por: D

∫∫

D

b

h( x )

a

g x

∫ ∫()

f ( x, y )dA =

f ( x, y )dydx

(I.40)

Si por el contrario, la región D es de tipo 2, se debe seleccionar un rectángulo R = [ a,b ] × [ c, d ] que contenga a D , tal como se muestra en la figura 1.29.

y

x = h(y)

d

D R

c x = g(y) a

b

x

Figura 1.29 Rectángulo R que contiene a la región D de tipo 2

Como

∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ D

R

F ( x, y )dA , por el teorema de Fubini se

tiene:

∫∫

F ( x, y )dA =

R


d

b

c

a

∫ ∫

F ( x, y ) dxdy

(I.41)

37

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones donde F ( x, y ) = 0 si x < g ( y ) ∨ x > h ( y ) , entonces:

∫

b a

F ( x, y ) dx =

h( y )

∫() g y

F ( x, y ) dx =

h( y )

∫() g y

f ( x, y) dx

(I.42)

La integral doble sobre una región del tipo 2 se puede definir como:

DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo 2 Sea f una función real y continua de dos variables, definida en una región D del tipo 2, tal que D =

{ ( x, y )

g ( y ) ≤ x ≤ h( y)

∧ c ≤ y ≤ d }

(I.43)

La integral doble de f sobre una región D de tipo 2, denotada

∫∫ f ( x, y ) dA , está dada por: D

∫∫

D

COMENTARIO

f ( x, y )dA =

d

h( y )

c

g y

∫ ∫()

f ( x, y )dxdy

(I.44)

De ahora en adelante, para indicar el orden de integración y para una mejor visualización de los límites de integración, se emplearán unas flechas, sobre la gráfica de la región D , que indicarán el valor inicial y final de la variable de acuerdo a la entrada y salida de la flecha, respectivamente. En una región de tipo 1, la integral doble de la función f se obtiene como

b

h( x )

a

g x

∫ ∫ ( ) f ( x, y )dydx , de acuerdo a la ecuación

(I.40),

esta integral indica que la primera integración se realiza respecto a la variable y , por lo cual se indicará sobre la región D como se ilustra en la siguiente figura:


38

Geraldine Cisneros


: Indica cual es el valor de la variable y a la salida de la región D (límite superior). : Indica cual es el valor de la variable y a la entrada de la región D (límite inferior).

Figura 1.30 Orden de integración para la integral doble de f sobre una región tipo 1

Por otra parte, la ecuación (I.44) señala que en una región de tipo 2, la integral doble de la función d

h( y )

c

g y

∫ ∫ ( ) f ( x, y )dxdy ,

f se

obtiene como

lo que indica que la primera integración se

realiza respecto a la variable x, por lo cual se señalará sobre la región D como se muestra a continuación:

y : Indica cual es el valor de la variable x a la salida de la

x = h(y)

d

D

región D (límite superior). : Indica cual es el valor de la variable x a la entrada de la región D (límite inferior).

R

c x = g(y) a

b

x

Figura 1.31 Orden de integración para la integral doble de f sobre una región tipo 2


39

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 1.5

Evalúe las siguientes integrales iteradas, dibuje la región D determinada por los límites de integración e indique cuales regiones son del tipo 1, del tipo 2 o de ambos. a)

c)

1

x 2

0

0

∫ ∫ 2

∫ ∫ 0

b)

dydx 4 − y 2

− 4 − y 2

d)

dxdy

3 x +1

2

∫ ∫ 1

2 x

y

1

e

0

y

∫ ∫

dydx

dxdy

Solución: 1

x 2

a) Para resolver la integral ∫ 0 ∫ 0 dydx , se evalúa primero la integral interna, pero a diferencia del ejemplo 1.4 de aquí en adelante se mantendrá la integral externa, como sigue: 1

Figura 1.32 Sólido del ejemplo 1.5 parte a

∫ ∫ 0

x 2 0

x 1 1 x3 x   2   dydx = ∫ ∫ dy dx = ∫ y 0 dx = ∫ x dx =   0  0 0  0  3  1

2

1

2

1

x 2

0

0

∫ ∫

dydx =

= 0

1 3

1 3

La región D de este ejercicio es de tipo 1 y de tipo 2, ya que se puede definir como: Figura 1.33

f definida en la región D del

Función

ejemplo 1.5 parte a

Región tipo 1: D =

{( x, y )

Región tipo 2: D =

{( x, y )

0 ≤ x≤1 ∧

y ≤ x ≤1 ∧

0 ≤ y ≤ x2

}

}

0≤ y≤1

La gráfica de la región D, junto con el orden de integración se muestra en la siguiente figura:


40

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D

y = x 2

En el ejemplo 1.5 a la integral 1 x dydx = 1 , lo

∫ ∫ 0

2

0

3

cual quiere decir que el sólido definido sobre

D bajo la gráfica de f , tiene como volumen 1

D

(UL)3, donde UL son

3

unidades de longitud. Valor de y a la entrada de D

y = 0

Figura 1.34

Región D del ejemplo 1.5 a

2

b) Se desea resolver la integral ∫ 1 2

∫ ∫ 1

3 x +1 2 x

dydx =

Figura 1.35

∫

2 1

2 x

dydx

 3 x +1 dy dx = 2  y 3 x +1  dx = 2 ( x + 1)dx ∫ 1  2 x  ∫ 1  ∫ 2 x 

2

∫ 1 ( x + 1)dx =

Sólido del ejemplo 1.5 parte b

∫

3 x +1

2

∫ ∫ 1

3 x +1 2 x

( x + 1) 2

2

2

= 1

dydx =

5 2

5 2

La región D es una región de tipo 1, definida como: Figura 1.36


Función

D =

{( x, y )

1≤ x ≤ 2 ∧

}

2 x ≤ y ≤ 3x + 1

ejemplo 1.5 parte b

La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura


41

Geraldine Cisneros


y = 3x + 1

x = 2

x =1

D Valor de y a la entrada de D

y = 2 x

Figura 1.37 Región D del ejemplo1.5 b

4 − y 2

2

∫ ∫ 0

− 4 − y 2

4 − y 2

2

∫ ∫

c) Resolviendo la integral doble

0

− 4 − y 2

2  4− y   dxdy = ∫  ∫ dx dy = ∫ x 0 0    − 4− y  2

2

2

dxdy , se tiene:

4 − y 2

− 4 − y 2

 dy = 2 2 4 − y2 dy ∫0 

Figura 1.38 Sólido del ejemplo 1.5 parte c

Esta

integral

se

resuelve

empleando

una

sustitución

trigonométrica:

2

∫ ∫ 0

4 − y 2

− 4 − y 2

dxdy = 2

∫

2 0

4 − y dy = 4 2

Figura 1.39


Función

Al sustituir el cambio de variable se tiene:

ejemplo 1.5 parte c


∫

2 0

2

 y  1 −   dy 2

42

Geraldine Cisneros


CV: Cambio de Variable

y 2

2

∫ ∫

= senθ

0

4 − y 2

− 4 − y

2

dxdy = 4

π

∫

2

1 − ( senθ ) 2 cosθ dθ = 8

2 0

∫

π 2 0

cos2 θ dθ

dy = 2cos θ d θ π

CLI: Cambio de los límites de integración

2

∫ ∫ 0

4 − y

2

− 4 − y 2

dxdy = 8

∫

π 2

1 + cos ( 2θ ) 2

0

LI: y = 0 → θ = arcsen0 = 0 LS:

y = 2 → θ = arcsen1 =

2

∫ ∫

π

0

2

4 − y 2

− 4 − y 2

 sen ( 2θ )  2 dθ = 4 θ +  = 2π 2   0

dxdy = 2π

La región D del ejemplo 1.5 c es de tipo 1 y de tipo 2, ya que se puede definir como: De radio = 2 y altura = 1 por lo tanto se puede calcular su volumen como:

Región tipo 1: D =

{( x, y )

− 2 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x2

Región tipo 2: D =

{( x, y )

− 4 − y 2 ≤ x ≤ 4 − y2

}

2

V =

π ( 2 ) (1) 2

= 2π

lo que coincide con la integral: 2

∫ ∫ 0

4 − y 2

− 4 − y2

}

∧ 0≤ y≤ 2

dxdy = 2π

La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura:

Valor de x a la entrada de D

Valor de x a la salida de D

x = − 4 − y 2

x =

D

Figura 1.40 Región D del ejemplo 1.5 c


y =0

4 − y2

43

Geraldine Cisneros


∫ ∫

d) La integral

0

e y

dxdy es diferente a las tres partes

y

anteriores, ya que la función integrando es diferente a la unidad. y

1

∫ ∫

e

0

y

1

e y

Figura 1.41

 e dxdy = ∫  ∫ 0  y 1

Sólido del ejemplo 1.5 parte d

∫ ∫ 0

y

xdxdy =

2 2

e  12 3 12   e3 y 2 − y3 2  dy 2 xdx  dy = ∫  x dy = ∫   0 3 0 3  y    y

y

3 y

e 3  3

2

1

∫ ∫ 0

Figura 1.42


Función

1

2  2 3 2  2 4 3 32  − y 2  =  e 2 −  −  = e 2 − 5 5  3 9 45  0 3  3 2

e y

y

5

xdxdy =

4 9

e

3

2

−

32 45

La región D es una región de tipo 2, definida como:

ejemplo 1.5 parte d

D =

{( x, y )

y ≤ x ≤ e y ∧

}

0≤ y≤1

La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura: y = 1

D



x = y

x = e y

y = 0

Figura 1.43 Región D del ejemplo 1.5 d


44

Geraldine Cisneros


1.7 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE A continuación se presentan las propiedades de la integral doble de una función f :  2 →  real de dos variables sobre una región general D.

1.7.1 Propiedad de linealidad Sean f :  2 →  y g :  2 →  dos funciones reales y continuas definidas en una región D , y sean α y β dos números reales cualesquiera, entonces:

∫∫

D

α f ( x, y ) + β g ( x, y ) dA = ∫∫D α f ( x, y)  dA + ∫∫D  β g ( x, y)  dA (I.45)

1.7.2 Propiedad de orden Sean f :  2 →  y g :  2 →  dos funciones reales y continuas definidas en una región D , tales que f ( x, y ) ≥ g ( x, y ) ∀ ( , y ) ∈ D , entonces:

∫∫

D

f ( x, y )dA ≥

∫∫

D

g ( x, y )dA

(I.46)

1.7.3 Propiedad aditiva respecto a la región de integración Sea f :  2 →  una función real y continua definida en una región general D . Si la región D está dividida en dos subregiones D1 y D2 (es decir D = D1 ∪ D2 ), entonces:

∫∫

D

f ( x, y )dA =


∫∫

D1

f ( x, y )dA +

∫∫

D2

f ( x, y) dA

(I.47)

45


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región D . 2 x + y + 1) dA , D = { ( x, y ) y ≥ x + 2 x ∧ ( D

∫∫

y≤3 ∧

}

y ≤ 3x+ 6

Solución:

El primer paso para resolver este ejercicio es identificar si la región D es tipo 1 o tipo 2. En la siguiente figura se muestra la región D . Figura 1.44


Función

y = 3

ejemplo 1.6

y = 3x+6

Nótese como en este ejemplo la función f no es estrictamente positiva.

y = x2+2x

Figura 1.45 Región D del ejemplo 1.6

La región D de este ejemplo no es de tipo 1, ni de tipo 2, por lo tanto, para evaluar la integral doble pedida, se empleará la propiedad señalada en la ecuación (I.47). Para este ejemplo, se tienen dos alternativas: dividir a la región D en dos subregiones tipo 1 o dividirla en dos subregiones tipo 2. A continuación se analizan ambas situaciones. i) Cuando la región D es dividida por la recta x = −1 , se obtienen dos subregiones de tipo 1; es decir, D = D1 ∪ D2 , donde: D1 =

{( x, y )

D2 =

− 2 ≤ x ≤ −1 ∧ x2 + 2 x ≤ y ≤ 3 x + 6} y

{( x, y )

− 1 ≤ x ≤ 1 ∧ x2 + 2 x ≤ y ≤ 3}


46

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En la figura 1.46 se aprecia la región D dividida en dos regiones Valor de y a la salida de D2 y = 3

tipo 1. x = − 1

Valor de y a la salida de D1 y = 3x + 6

D2 D1 Valor de y a la entrada de D2 y = x 2 + 2 x

Valor de y a la entrada de D1 = x2 + 2 x

Figura 1.46

Región D del ejemplo 1.6 dividida en dos regiones tipo 1

Por lo tanto: I =

−1

3 x + 6

1

3

∫∫ D ( x + y + 1) dA = ∫ −2 ∫ x +2 x ( x + y + 1)dydx + ∫ −1 ∫ x +2 x ( x + y + 1)dydx 2

2

−1  1  15   x 4 5 x2 x4 3 = − − − + + + − − 3 x3 + 5 x2 + x  dx I ∫  24 3x 25 x  dx ∫  −2 −1 2 2 2 2    

I =

I =

29 60

+

172 15

∫∫ D ( x + y + 1) dA =

239 20

ii) Cuando se traza la recta y = 0 , la región D se divide en dos subregiones de tipo 2; es decir, D = D ∪ D B , donde: D A =

{( x, y )  

− 1 − 1 + y ≤ x ≤ − 1 + 1+ y ∧

D B = ( x, y )

y − 6

− 1≤ y ≤ 0} y

 ≤ x ≤ −1 + 1 + y ∧ 0 ≤ y ≤ 3 3 


47

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones La figura 1.47 muestra la región D dividida en dos regiones tipo 2.

Valor de x a la entrada de D B y − 6 x =

Valor de x a la salida de D B x = −1 + 1 + y

3

D B y = 0

Valor de x a la entrada de D A x = −1 − 1 + y

Valor de x a la salida de D A

D A

x = −1 + 1 + y

1

Figura 1.47 Región D del ejemplo 1.6 dividida en dos regiones tipo 2

Entonces, siendo I =

I =

0

∫∫ ( x + y + 1) dA , se tiene que: D

−1+ 1+ y

−1+ 1+ y

3

∫ −1 ∫ −1− 1+ y ( x + y + 1)dxdy + ∫ 0 ∫ y−6

( x + y + 1)dxdy

3

Resolviendo se obtiene I = −

I =

8 15

+

749 60

, luego:

∫∫ D ( x + y + 1) dA =


239 20

48


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región D .

∫∫ (10 + 4 x D

2

− y ) dA , D = { ( x, y )

y− x ≤ 2

∧ x2 + y2 ≤ 4}

Solución:

Tal como se explicó en los ejemplos anteriores, el primer paso para resolver la integral doble planteada consiste en clasificar a la Figura 1.48


Función

ejemplo 1.7

región D en una región de tipo 1 o tipo 2. Para ello se deben estudiar las inecuaciones que definen a la región D . La solución de la inecuación y − x ≤ 2 es la intersección de las i) y − x ≤ 2 (si y ≥ x )

inecuaciones:

ii) x − y ≤ 2 (si y < x ) Según la definición del valor absoluto:

 y − x si y ≥ x  y − x =   x − y si y < x 

La solución de la inecuación x 2 + y 2 ≤ 4 es el conjunto de pares ordenados

( x, y )

que

se

encuentran

dentro

y

sobre

la

circunferencia de radio 2 y con centro en el origen del sistema de coordenadas. La región D del ejemplo 1.7 se muestra en la figura 1.49

y = x + 2

x 2 + y 2 = 4

D

y = x − 2



49

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En la figura anterior se aprecia que la región D no es de tipo 1, ni de tipo 2, por lo tanto, para evaluar la integral doble pedida, se emplea la propiedad aditiva respecto a la región de integración, señalada en 1.7.3. Por lo que la región D se divide en dos regiones tipo 1, esto es: D = D1 ∩ D2 , las cuales se detallan en la figura 1.50. Valor de y a la salida de D2

x = 0

y = 4 − x

2

Valor de y a la salida de D1 y = x + 2

D2 D1 Valor de y a la entrada de D1

Valor de y a la entrada de D2

y = x − 2

y = − 4 − x2

Figura 1.50 Región D del ejemplo 1.7 dividida en dos regiones tipo 1

{( x, y )

Donde: D1 =

D2 =

−2≤ x≤0 ∧

{( x, y )

}

− 4 − x2 ≤ y ≤ x + 2 y

0≤ x≤2 ∧

x − 2 ≤ y ≤ 4 − x2

}

Por lo tanto: I =

∫∫ (10 + 4 x

2

D

I =

0

∫ ∫

− y ) dA = ∫∫ (10 + 4 x2 − y ) dA + ∫∫ D1

x + 2

− 2 − 4 − x

2

(10 + 4 x

2

− y )dydx + ∫

2 0

∫

4− x2 x −2

(10 + 4 x

2

D2

(10 + 4 x

2

− y ) dA

− y )dydx

∫ (8 x + 20 + 10 4 − x + 4 x + 7 x + 4 x 4 − x ) dx + + ∫ ( −12 + 20 + 10 4 − x − 4 x + 9x + 4 x 4 − x ) dx

I =

0

2

3

2

2

2

−2

2

0


2

3

2

2

2

50

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones  

I = 14π +

∫∫ (10 + 4 x

2

D

EJEMPLO 1.8

80 

 + (14π + 24)

3 

− y ) dA = 28π +

152 3

Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región D .

∫∫

D

+ y dA , D = { ( x, y )

y≥0

∧ x2 + y2 ≤ 9}

Solución:

La región D es una región tipo 1 tal como se muestra en la siguiente figura. y = 9 − x 2

Figura 1.51


Función

ejemplo 1.8

D

y = 0


Sin embargo, como la función integrando es un valor absoluto, también llamado módulo, se tiene que:

 x + y si x + y ≥ 0  f ( x, y ) = x + y =  − ( x + y ) si x + y < 0  A continuación se debe verificar si existe intersección entre la región y las inecuaciones x + y ≥ 0 y x + y < 0 . Este resultado se muestra en la figura siguiente.


51

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones y = 9 − x 2 D1 y = -x

x + y ≥ 0

D2

x + y < 0 y = 0

Figura 1.53 Intersección de la región D con las inecuaciones x + y ≥ 0 y x + y < 0

Entonces se tiene:

 x + y si ( x, y ) ∈ D1  f ( x, y ) =  − ( x + y ) si ( x, y ) ∈ D 2  Donde: D1 =

{ ( x, y )

D2 =

{ ( x, y )

y≥0

∧ x2 + y 2 ≤ 9 ∧

y≥0

}

x+ y ≥ 0 y

∧ x2 + y2 ≤ 9 ∧

}

x+ y < 0

Por lo tanto la integral doble se resuelve como: I =

∫∫

D

x + y dA =

∫∫

D1

( x + y ) dA + ∫∫D  − ( x + y)  dA 2

En las figuras 1.54 y 1.55, se muestra el orden de integración para resolver las integrales dobles anteriores. Valor de y a la salida de D1 .A

y = 9 − x

En la figura 1.54, se tiene que:

D1 = D1.A ∪ D1.B

x = 0

Valor de y a la salida de D1 .B

2

y = 9 − x 2

  − ,   2 2 3

3 

D1.A

D1.B

Valor de y a la entrada de D1.A y = − x Valor de y a la entrada de D1.B

Figura 1.54

y = 0

Región D1 del ejemplo 1.8


52

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Entonces:

∫∫

D1

0

( x + y ) dA = ∫ − 3

∫

2

9− x 2

9 − x2

3

( x + y )dydx + ∫ 0 ∫ 0

−x

( x + y) dydx

3 9 9 x 2   2 2 ∫∫ D ( x + y ) dA = ∫− 32  x 9 − x + 2  dx + ∫ 0  x 9 − x + 2 − 2  dx 0

1

∫∫

D1

( x + y ) dA = ( 9

)

2 − 9 + 18

Ahora para la región D2:  3 3   − ,   2 2

D2 Valor de x a la entrada de D2

Valor de x a la salida de D2

x = − y

x = − 9 − y 2

y = 0

Figura 1.54 Región D2 del ejemplo 1.8

Así:

∫∫

D2

 − ( x + y )  dA = − ∫0

∫∫

3 2

D2

∫

3

− y − 9− y

2

 ( x + y )dxdy = − ∫0 2  −

 − ( x + y )  dA = 9 2 − 9

Por lo tanto I =

∫∫


D

x + y dA = 18 2

9

2

 

y 9 − y2  dy

53

Geraldine Cisneros


2. INTEGRALES TRIPLES En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables, funciones del tipo f : B ⊆ 3 →  , tal como se hizo en la sección anterior para las integrales dobles. Así como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann y se ilustra el proceso de resolución de la misma, de manera similar se puede esbozar la definición y el cálculo de integrales múltiples de funciones del tipo f : Q ⊆  n →  .

2.1 INTEGRAL

TRIPLE

SOBRE

UNA

CAJA

RECTANGULAR Sea f una función definida sobre la caja rectangular B , esto es f : B ⊆ 3 →  , donde B está definida como: B = [ a,b ] × [ c, d ] × [ r,s ]

(II.1)

o también: B =

La caja rectangular B , también recibe el nombre 3

de rectángulo en  , O intervalo tridimensional, aunque el nombre más apropiado para paralelepípedo.

B

es

{( x, y,z ) ∈ 

3

}

a≤ x≤ b ∧ c≤ y≤ d ∧ r≤ z≤ s

(II.2)

Sea P una partición del paralelepípedo B , la cual se logra con el producto cartesiano de las particiones P z y de los x , P y y P intervalos [a, b] , [c, d ] y [ r,s ] , respectivamente, como se muestra a continuación: P x0 , x1 , x 2 , … , xi −1 , xi , … , x n −1 , x n } x = {

(II.3)

P y = y 0 , y1 , y 2 , … , y j −1 , y j , … , y m −1 , y m

(II.4)

P z = { z0 , z1 , z2 ,… , zk −1 ,zk ,… , zl −1 ,z l }

(II.5)

entonces


54

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones P = P x × Py × P z

(II.6)

La partición P del paralelepípedo B , entonces se obtiene al dividirla en pequeñas cajas rectangulares tal como se muestra en la siguiente figura.

Figura 2.1 Partición P de una caja rectangular B .

Si la partición P x tiene n + 1 elementos y n subintervalos [ xi −1, xi ] de longitud ∆ xi = xi − xi −1 ; la partición P y tiene m + 1 elementos y m subintervalos y j −1, y j de longitud ∆ y j = y j − y j −1 y la partición P z tiene l + 1 elementos y l subintervalos

[ z k −1 ,z k ]

de longitud

∆ zk = zk − z k −1 , entonces la caja rectangular B queda dividida por la partición P en n ⋅ m ⋅ l paralelepípedos denominados Bijk , donde el

volumen

de

cada

una

de

estas

pequeñas

cajas

o

subparalelepípedos, denotado ∆V ijk , se obtiene de acuerdo a la siguiente ecuación:


55

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones ∆Vijk = ∆xi ⋅ ∆y j ⋅ ∆zk

(II.7)

Al evaluar la función f en un punto arbitrario

( x

* i

, y j* ,z k * ) del

subparalelepípedo Bijk , se puede establecer la triple suma de

Riemann para la función f en la partición P , denotada como S T : ST =

n

m

l

∑∑∑ f ( x

* i

i =1 j =1 k =1

En la figura aprecia que: i −1

2.2,

≤ xi* ≤ xi

se

, y j* , zk* )∆Vijk

(II.8)

En la figura 2.2 se observa el punto ( xi* , y j* ,z k * ) contenido en el elemento Bijk de la partición P .

y j −1 ≤ y j ≤ y j *

zk −1 ≤ zk * ≤ z k

Figura 2.2 Paralelepípedo genérico Bijk de la partición P .

La norma de la partición P , denotada como P , es la longitud de la diagonal más grande de todos los paralelepípedos Bijk . Si se


56

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones selecciona una partición más fina, de manera que la norma de la partición tienda a cero, esto es P → 0 , entonces la expresión (II.8) cambia y recibe el nombre del límite de la triple suma de Riemann, como se muestra a continuación: L im ST = L im P →0

P → 0

n

m

l

∑∑∑ f ( x

* i

i =1 j =1 k =1

, y j* , zk* )∆V ijk

(II.9)

A partir del límite de la triple suma de Riemann se establece la definición de la integral triple de una función

f en un

paralelepípedo B .

DEFINICIÓN: Integral triple de f sobre B Sea f :  3 →  una función definida sobre un paralelepípedo B del espacio. La integral triple de f sobre B , denotada por

∫∫∫ f ( x, y,z ) dV , se define como: B

∫∫∫

B

f ( x, y, z ) dV = L im P → 0



n

m

l

∑∑∑ f ( x

* i

i =1 j =1 k =1

, y j* , zk* )∆ V ijk

(II.10)

57

Geraldine Cisneros


2.2 TEOREMA DE FUBINI El teorema de Fubini proporciona un método práctico para evaluar una integral triple por medio de integrales iteradas, tal como se mostró para las integrales dobles en el capítulo anterior.

TEOREMA de Fubini para Integrales Triples Sea

f una

función

continua

en

el

paralelepípedo

B = [ a ,b ] × [ c, d ] × [ r , s] , entonces:

∫∫∫

B

Al igual que en el capítulo anterior; para la resolución de integrales triples, se emplearán los siguientes símbolos para identificar los límites de integración: : Valor de la variable a la salida de la región B (límite superior). : Valor de la variable a la entrada de la región B (límite superior).

f ( x, y , z ) dV =

s

d

∫ ∫ ∫ r

c

b

f ( x, y , z )dxdydz

a

(II.11)

La integral iterada presente en la ecuación (II.11) del teorema de Fubini también puede ser escrita de otras cinco formas diferentes, que se obtienen al cambiar el orden de integración de las variables x, y y z . Estas integrales iteradas son:

d

s

b

r

a

s

b

d

b

s

d

b

d

s

∫∫∫

( x, y , z ) dV = ∫ c

∫∫∫

( x, y , z ) dV = ∫ r ∫ a ∫ c

∫∫∫

( x, y , z ) dV = ∫ a ∫ r ∫ c

∫∫∫

( x, y , z ) dV = ∫ a ∫ c

∫∫∫

( x, y , z ) dV = ∫ c

B

B

B

B

B


d

∫ ∫

∫

r

b

s

a

r

∫ ∫

f ( x , y , z )dxdzdy

(II.12)

f ( x , y , z )dydxdz

(II.13)

f ( x , y , z )dydzdx

(II.14)

f ( x , y , z )dzdydx

(II.15)

f ( x , y , z )dzdxdy

(II.16)

58

Geraldine Cisneros EJEMP EJEMPLO LO 2. 2.11

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Evalúe la integral triple

∫∫∫ ∫∫∫ f ( x, y , z )dV y dibuje el paralelepípedo B

B , donde f ( x, y , z ) = xz 3 (1 − y ) y B = [ 2,3] × [ −2,1] ×  0 , 2  .





Solución:

Para resolver la integral triple de la función f se debe seleccionar primero el orden de integración. En la figura 2.3 se muestra el paralelepípedo B , donde además se señala, mediante la flecha que atraviesa verticalmente a la región B , que la integración se comienza con la variable z . Valor de z de z a a la salida de B de B

z = =

2

Es común llamar I a la integral triple que desea resolverse.

B

Valor de z de z a a la entrada de B de B

z = = 0

Figura 2.3 Paralelepípedo B del ejemplo 2.1.

A continuación continuación se resuelve la integral integral triple: Figura 2.4 Proyección del

I =

paralelepípedo B del ejemplo 2.1 en el

plano xy La proyección de B mostrada en la figura 2.4, indica que la segunda integración se realiza respecto a la variable x variable x..

I =

B

1

3

-2 -2

2

∫ ∫

1

3

-2 -2

2

∫ ∫ ∫

1

 xz 4 (1 − y )  4

2 0

2 0

dxdy =

xz 3 (1 − y )dzdxdy 1

3

-2

2

∫ ∫

x (1 − y )dxdy 1

5 5 45 2  x 2 (1 − y )  dy = ∫ (1 − y )dy = −  (1 − y )  = I = ∫  -2 4 -2 - 2 2 2 2 -2 4 1

1

∫∫∫

f ( x, y , z )dV =

3


1

59

Geraldine Cisneros


3

-2 -2

2

∫ ∫ ∫ EJEMP EJEMPLO LO 2. 2.22

Evalúe la integral triple

2

xz 3 (1 − y )dzdxdy =

0

45 4

∫∫∫ ∫∫∫ f ( x, y , z )dV y dibuje el paralelepípedo B

 π  B , donde f ( x, y , z ) = x + y cos z y B = [ −1, 2] × [ 0 ,1]×  0,  .  2 Solución:

En la figura 2.5 se muestra el paralelepípedo B y se indica, además, que la primera integración parcial se realiza respecto a la variable x.

Valor de x de x a a la entrada de B de B

x = −1

Figura 2.6 Proyección del

B

paralelepípedo B del ejemplo 2.2 en el

plano yz

Valor de x de x a a la salida de B de B

La proyección de B en el plano yz , muestra que la segunda integración parcial se realiza respecto a la variable z variable z .

x = 2

Figura 2.5 Paralelepípedo B del ejemplo 2.2.

I =

∫∫∫

B

f ( x, y , z )dV = 2

1

π

∫ ∫ ∫ 0

2

0

2

−1

( x + y cos z)dxdzdy

π 1  x 2  3  2 I = ∫ ∫  + xy cos z  dzdy = ∫ ∫ 2  + 3 y cos z dzdy 0 0 0 0 2  2  −1 1

π


60

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones π

I =

3  π 3   3π  z + 3 ysenz  dy = ∫  3 y dy =  + +  0 2 0 24   0 4 

∫

2

1

1

 

2

 

2

y

π

I =

  + 3 y dy =  + z + 3 ysenz  dy = ∫   0 2 0 24   0 4 

∫

1

3

2

1

∫ ∫ 0

π 2 0

2

1

 3π

∫ −1 ( x + y cos z )dxdzdy =


3  π

3π 4

+

3 2

1

0

1

y 0

61

Geraldine Cisneros


2.3 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MÁS GENERALES Así como en el capítulo anterior se definió la integral doble sobre regiones generales, en esta sección se amplía la definición de la integral triple de una función f sobre una región general B acotada del espacio tridimensional. Por ejemplo, considere una región B , más general que un paralelepípedo, del espacio tridimensional, tal como se ilustra en la figura 2.6.

B

Figura 2.6 Región general B del espacio tridimensional

Para evaluar la integral triple de la función f :  3 →  sobre la región general B , usando una integral iterada, primero debe seleccionarse el orden de integración. En la figura 2.7, donde se aprecian las superficies que acotan superior e inferiormente a la región B , se señala el orden de integración sugerido para esta región.


62

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de z a la salida de B

z = γ 2 ( x, y )

B

D Valor de z a la entrada de B

z = γ 1 ( x, y )

Figura 2.7 Primer orden de integración para una región general B

Es decir, la región general B está acotada inferior y superiormente por las superficies γ 1 y γ 2 , respectivamente, y por lo tanto puede definirse como: B =

{( x, y,z ) ( x, y) ∈ D

∧ γ 1 ( x, y) ≤ z ≤ γ 2 ( x, y)}

(II.17)

Luego, la integral triple de la función f :  3 →  sobre la región general B , puede obtenerse como:

∫∫∫

B

f ( x, y,z ) dV =

∫∫ ∫ D

γ 2 ( x ,y ) γ 1 ( x ,y )

f ( x, y,z )dzdA

(II.18)

Para seleccionar el segundo orden de integración, se debe proyectar a la región B sobre el plano y , obteniéndose así una región bidimensional D , que se observa en la figura 2.8.


63

Geraldine Cisneros


y = g 2 ( x )

Observe, en la figura 2.8, que la proyección de la

x = b

región B sobre el plano

x = a

xy, es una región D bidimensional de tipo 1.

Valor de y a la entrada de D

D

y = g1 ( x )

Figura 2.8 Proyección de la región general B sobre el plano xy

Entonces, como la región general B está definida de la siguiente manera: B =

{( x, y, z ) a ≤ x ≤ b,

g1 ( x) ≤ y ≤ g2 ( x) , γ 1 ( x, y) ≤ z ≤ γ 2 ( x, y)

}

(II.19)

Se tiene que:

∫∫∫

B

f ( x, y,z ) dV =

b

g2 ( x )

a

g1 ( x )

∫ ∫

∫

γ 2 ( x ,y ) γ 1 ( x, y )

f ( x, y,z )dzdydx

(II.20)

Por otra parte, si la región general B se define como: B =

{( x, y,z ) h ( z ) ≤ x ≤ h ( z) , 1

2

}

β1 ( x, z) ≤ y ≤ β 2 ( x,z) , r ≤ z ≤ s

(II.21)

Entonces:

∫∫∫

B

f ( x, y,z ) dV =

s

h2 ( z )

r

h1 ( z )

∫ ∫

∫

β 2 ( x, z )

β 1 ( x, z )

f ( x, y,z )dydxdz

(II.22)

O también, para una región B como la siguiente: B =

{( x, y, z ) ω ( y,z) ≤ x ≤ ω ( y,z) , 1


2

c≤ y≤ d,

j1 ( y) ≤ z ≤ j2 ( y)

}

64

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones (II.23)

La integral triple es:

∫∫∫

B

EJEMPLO 2.3

f ( x, y,z ) dV =


j2 ( y )

d

∫ ∫ c

∫∫∫

B

j1 ( y )

∫

ω 2 ( y ,z ) ω 1 ( y ,z )

f ( x, y,z )dxdzdy

(II.24)

dV , donde B es la región del espacio

tridimensional definida como: B =

{( x, y,z ) 0 ≤ x ≤ 2 ,

x ≤ y ≤ x2 , x + y ≤ z ≤ x2 + y2

}

Solución:

Para evaluar

∫∫∫ dV , se debe seleccionar la variable con respecto B

a la cual se realiza la primera integración parcial. En la siguiente figura se visualiza la región B .

Valor de z a la salida de B

z = x 2 + y 2

En

la

figura

2.9,

se

B

aprecia que el recinto B está limitado superiormente por la superficie z

= x2 + y 2

e

inferiormente por la superficie z = x + y .

Valor de z a la entrada de B

z = x + y

Figura 2.9 Región B del ejemplo 2.3


65

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Por lo tanto, la primera integración se realiza respecto a la variable z , considerando a x y a y constantes .

En la figura 2.10 se muestra la proyección de la región B sobre el plano xy. Adicionalmente se ilustra el segundo orden de integración seleccionado. Valor de y a la salida de D y = 4 x

x = 2

Cuando se proyecta la región B sobre el plano xy, tal como se muestra en la figura 2.10, se

D

obtiene una región D bidimensional de tipo 1. Valor de y a la entrada de D y = x 2

Figura 2.10 Proyección de la región B del ejemplo 2.3 en el plano xy

Resolviendo la integral triple, se tiene:

I =

∫∫∫

B

dV =

2

x 2

x2 + y 2

0

4x

x+ y

∫ ∫ ∫

dzdydx =

2

x2

∫ ∫ (y 0

2

4x

+ x2 − x − y )dydx

 x 6 x4 79 x3  I = ∫  − 12 x 2 dx − + − 0 3  3 2  2

2

x2

x2 + y 2

0

4 x

x+ y

∫ ∫ ∫ UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

dzdydx =

6724 105

66


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Evalúe

la

integral

∫∫∫ dV ,

triple

B

donde B es la región

tridimensional comprendida entre los planos cartesianos y el plano x + y + z = 10 . Solución:

∫∫∫ dV ,

Para resolver la integral triple,

B

es necesario ilustrar el

orden de integración. En la siguiente figura, mediante la flecha que atraviesa horizontalmente a la región B , se ilustra el valor que toma la variable y a la entrada y la salida de la misma.

En la figura 2.11, se aprecia que el recinto B está limitado por la izquierda por el plano cartesiano xz y por la derecha por el plano de ecuación y = 10 − x − z

Valor de y a la salida de B

Valor de y a la entrada de B

y = 10 − x − z

y = 0

B


Al proyectar la región B en el plano cartesiano xz , se obtiene una región bidimensional mostrada en la figura 2.12 . En esta figura, se ilustra además, el segundo orden de integración seleccionado para resolver la integral triple


∫∫∫ dV . B

67

Geraldine Cisneros


Valor de z a la salida de D

z = 10 − x

x = 0 En la figura 2.12 se observa que la proyección de la región B sobre el plano xz , es una región D de tipo 1 o tipo 2; sin embargo, se trabaja como una región tipo 1.

D Valor de z a la entrada de D

z = 0

Figura 2.12 Proyección de la región B del ejemplo 2.4 en el plano xz

Resolviendo la integral triple: I =

∫∫∫

B

dV =

10

∫ ∫ 0

10 − x 0

∫

∫ ∫ 0

0

∫

I =

10

10 − x − z

10

0

10 − x 0


dydzdx =

10

10 − x

0

0

∫ ∫

  x 2  50 + − 10 x dx 2  

∫

10 − x − z 0

dydzdx =

500 3

(10 − x − z )dzdx

68

Geraldine Cisneros


2.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE A continuación se presentan las propiedades de la integral triple de una función f :  3 →  real de tres variables sobre una región general B del espacio tridimensional . Estas propiedades son similares a las propiedades de las integrales dobles.

2.4.1 Propiedad de linealidad Sean f : 3 →  y g : 3 →  dos funciones reales y continuas definidas en una región tridimensional B , y sean α y β dos números reales cualesquiera, entonces:

∫∫

B

α f ( x, y, z ) + β g ( x, y, z ) dV = +

∫∫ α f ( x, y, z) dV ∫∫  β g ( x, y, z )dV B

+ (II.25)

B

2.4.2. Propiedad de orden Sean f :  3 →  y g :  3 →  dos funciones reales y continuas definidas

en

una

región

tridimensional

B ,

tales

que

f ( x, y, z ) ≥ g ( x, y,z ) ∀ ( x, y,z ) ∈ B , entonces:

∫∫ f ( x, y, z )dV ≥ ∫∫ B

B

g ( x, y, z )dV

(II.26)

2.4.3. Propiedad aditiva respecto a la región de integración Sea f :  3 →  una función real y continua definida en una región general tridimensional B . Si la región B está dividida en dos subregiones B1 y B2 (es decir B = B1 ∪ B2 ), entonces:

∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫∫ B

B1


f ( x, y, z )dV +

∫∫

B2

f ( x, y, z)dV

(II.27)

69

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 2.5

∫∫∫ f ( x, y, z ) dV , donde f ( x, y,z ) = xyz y B B

es el recinto definido como: B =

{( x, y,z ) x

2

+ y 2 + z2 ≤ 4 , x2 + y2 ≥ 1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0}

Solución:

El recinto B es la región del primer octante que se encuentra dentro de la esfera, de radio 4 y centro en el origen del sistema de coordenadas; y fuera del cilindro circular recto de radio 1 y que tiene como eje directriz al eje z. En la figura 2.13 se muestra el recinto B . Valor de z a la salida de B

z =

4 − x2 − y 2

En la figura 2.13, se muestra el recinto B, del ejemplo 2.5. Esta región está acotada superiormente por la superficie de ecuación

z = 4 − x 2 − y 2 inferiormente por plano cartesiano ( z = 0 ).

e el xy

B Valor de z a la entrada de B

z = 0


Seleccionando a z como la primera variable de integración tiene: I =

∫∫∫

B

xyzdV =


∫∫ ∫ D

4 − x 2 − y 2 0

xyzdzdA

se

70

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Donde D es la proyección del recinto B sobre el plano xy. Esta región se muestra en la figura 2.14. Valor de y a la salida de D1

y = 4 − x 2 Cuando se proyecta la región B sobre el plano xy, se obtiene una región D que no es de tipo 1 ni de tipo 2, por lo que se divide en dos subregiones tipo 1.

x = 1

Valor de y a la salida de D2

D1

y = 4 − x 2

D2


y = 1 − x 2


y = 0

Figura 2.14

Proyección de la región B del ejemplo 2.5 en el plano xy

Luego, D = D1 ∪ D2 , donde:

{( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1 ∧ D = {( x, y ) 1 ≤ x ≤ 2

D1 =

2

1 − x2 ≤ y ≤

4 − x2

∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x2

}

}

Resolviendo la integral triple, se tiene: I =

I =

∫∫∫

B

1

∫ ∫ 0

xyzdV = 4- x2 1-x 2

1

∫ ∫ 0

4- x2 1-x 2

∫

4− x2 − y 2 0

xyzdzdydx +

2 4 -x  xy 2 2  4 x y dydx − − + ( ) ∫1 ∫0  2 

2

4 - x2

2

∫ ∫ 1

0

∫

4 − x 2 − y2 0

  xy 2 2  4 x y − − ( ) dydx  2  

5 2 x  9 9  9 x  3 I = ∫  dx x 2 x dx = + − + +    ∫ 0 1 16 16  8  8  1

∫∫∫

xyzdV =

B


9 8

xyzdzdydx

71



∫∫∫ ( xyz ) dV , donde B es B

la región del

primer octante comprendida entre los conos, cuyas ecuaciones son z = 2 ( x 2 + y 2 ) y z =

x 2 + y 2 ; y el plano z = 4 .

Solución:

Al graficar el recinto B se obtiene el sólido mostrado en la figura 2.15. Valor de z a la salida de B


z = 4

En la figura 2.15, se muestra el recinto B. Observa que la flecha que se encuentra a la izquierda sale de la región en el plano de ecuación z = 4 , mientras que la flecha de la derecha sale de la región por la superficie del cono z = 2 ( x 2 + y 2 ) .

z = 2 ( x 2 + y 2 )

B

Valor de z a la entrada de B z =


2 2 x +y

z =

x2 + y2


Según la gráfica anterior, la variable z , toma diferentes valores a la salida del recinto B, por lo cual la integral triple debe resolverse empleando la propiedad 4.3.

∫∫∫ B ( xyz ) dV = ∫∫D ∫ 1

4 x2 + y 2

( xyz ) dzdA +

∫∫ ∫ D2

(

2 x 2 + y 2 x2 + y 2

)

( xyz ) dzdA

Para la primera de estas integrales, donde el límite superior para z es 4, la proyección de la región B en el plano xy, es una región denominada D1 se muestra a continuación:


72

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D1.A

y = 16 − x 2 La región D1, de la figura 2.16, no es de tipo 1 ni de tipo 2, por lo que se divide en dos subregiones tipo 1.

x =

8

D1.A

Valor de y a la salida de D1.B

y = 16 − x 2 Valor de y a la entrada de D1.A

D1.B

y = 8 − x 2

Valor de y a la entrada de D1.B

y = 0

Figura 2.16 Primera proyección de la región B del ejemplo 2.6 en el plano xy

Luego, D1 = D1. ∪ D1. B , donde:

{( x, y ) 0 ≤ x ≤ 8 ∧ D = {( x, y ) 8≤ x≤4

D1.A =

8 − x2 ≤ y ≤ 16 − x2

∧ 0 ≤ y ≤ 16 − x2

1.B

}

}

Con la figura anterior se establece el segundo orden de integración de la primera integral triple planteada, resultando:

∫∫ ∫

4 x2 + y 2

D 1

8

∫ ∫

( yz ) dzdA =

0

+

16 − x 2 8 − x2

16 − x2

4

∫ ∫ 8

∫

0

4 x2 + y 2

∫

( xyz ) dzdydx +

4 x 2 + y 2

( yz ) dzdydx

Para definir el segundo orden de integración en la

∫∫ ∫ D 2

(

2 x 2 + y 2 x2 + y2

)

( yz ) dzdA ,

integral

se proyecta la región B, sobre el plano xy

en la siguiente figura.


73

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D2

y = 8 − x 2

x = 0

La región D2, mostrada en la figura 2.17, es una región de tipo 1.

D2

(

8 , 0

)


y = 0

Figura 2.17 Segunda proyección de la región B del ejemplo 2.6 en el plano xy

Donde: D2 =

{( x, y )

0≤ x≤ 8

∧ 0 ≤ y ≤ 8 − x2

}

Resultando:

∫∫ ∫

D 2

(

2 x2 + y 2 2

x +y

2

)

8− x2

8

∫ ∫

( yz ) dzdA =

0

0

∫

(

2 x2 + y 2 2

x +y

2

)

( xyz ) dzdydx

Por lo tanto: I =

∫∫∫ B ( xyz ) dV = + +

Resolviendo, se tiene:


16 − x 2

8

∫ ∫

8− x 2

0

16 − x 2

4

∫ ∫ 8

8− x 2

8

∫ ∫ 0

0

0

∫

∫

4

∫

4

x2 + y 2

x 2 + y 2

(

( xyz ) dzdydx + ( xyz ) dzdydx +

2 x2 + y 2 2

x + y

2

)

( xyz ) dzdydx

74

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones I =

+

I =

8

∫ ∫ 0

16 − x 2 8 − x

0

∫

8 0

2

2 8− x 2 xy

8

∫ ∫

xy

0

(16 − y 2 − x 2 )dydx

( y 2

2

∫

4

8 xdx +

+

16 − x 2

4

∫ ∫ 8

0

xy

(16 − y 2

2

− x2 ) dydx +

+ x 2 ) dydx

 x5  − 4 x3 + 32 x  dx +  8 8 

I = 32 +

32 3

+

64 3

= 64

Entonces, la integral triple pedida es: I =

∫∫∫ ( xyz ) dV = 64


B

∫

8 0

 x5   − + 8 x dx  8 

75

Geraldine Cisneros


3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y para las integrales triples.

3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional.

3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco de la integral doble de una función f positiva en una región bidimensional D,

∫∫ f ( x, y ) dA , D

como el volumen del sólido S

definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora, si se considera que f ( x, y ) = 1 , entonces la integral anterior queda como:

∫∫

D

f ( x, y ) dA =

∫∫

D

dA

(III.1)

Recuerde que la integral

∫∫ f ( x, y ) dA ,

doble

D

también puede escribirse como n

Lim

P → 0

m

∑∑ f ( x

* i

i =1 j =1

, y j* )∆ Aij

Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene que:

∫∫

D

dA = Lim


P →0

n

m

∑∑ ∆A

ij

i =1 j =1

(III.2)

76

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones donde ∆ Aij es el área del rectángulo genérico denotado Dij , el cual puede observarse en la figura 3.1 y

xi

(xi* ,y j* )

d = ym

y j y j-1

Dij

D

y j

c = y0 a = x0

xi-1

xi

xn= b

x

Figura 3.1 Región D dividida en subrectángulos Dij

En otras palabras, la integral

∫∫

D

dA representa el volumen de un

sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas características, el volumen se obtiene como el producto del área de la base y la altura del mismo. A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una región plana.

ÁREA DE UNA FIGURA PLANA Sea D una región bidimensional D , tal que D ⊆  2 . Sea A el área de la región D , entonces: A =


∫∫

D

dxdy

(III.3)

77

Geraldine Cisneros Recuerde que una región D es de tipo 1 si se cumple:

( x, y )

D = 



Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Observe que si la región D es de tipo 1,

la ecuación anterior

queda como:

∧   ( x ) ≤ y ≤ g ( x )  a≤ x≤b

A = A =

b

g( x)

a

f x

∫ ∫() ∫

b a

dydx =

∫

g ( x )

b

[ y] f ( x) dx a

(III.3)

 g ( x ) − f ( x ) dx

(III.4)

Donde la última integral, representa el área comprendida entre las gráficas de y = f ( x ) y y = g ( x ) en el intervalo cerrado [ a,b ] . Esta integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II , dentro de las aplicaciones de la integral definida.

EJEMPLO 3.1

Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales dobles:

∫∫

D

dxdy y

∫∫

D

dydx , D =

{ ( x, y ) x ≥ y

2

− 2 y ∧ x ≤ 4 − y2 }

Solución:

La región D se encuentra acotada por las gráficas de las parábolas horizontales x = y 2 − 2 y y

= 4 − y 2 , tal como se puede

observar en la siguiente figura.

Recuerde que la gráfica de la ecuación:

x = y 2 − 2 y

D

= ay 2 + by + c Es una parábola

horizontal

x = 4 − y 2



78

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble

∫∫

D

dxdy , es necesario definir los límites de integración, que se

ilustran en la figura 3.3

D Observe que la región D es una región tipo 2, por lo cual el área se obtiene empleando una sola integral doble de la forma dxdy .

∫∫


Valor de x a la salida de D x = 4 − y 2

x = y 2 − 2 y

D

Figura 3.3 Región D del ejemplo 3.1 como una región tipo 2

Por tanto el área se obtiene como: A =

2

∫ ∫

4 − y 2

−1 y 2 − 2 y

A =

Para la primera curva: 2 x = y − 2 y Se tiene que:

y = 1 ± 1 + x

Para la segunda curva:

x = 4 − y 2

∫

dxdy =

∫∫

D

2

−1

 4 − 2 y 2 + 2 y  dy = 9

dxdy = 9

b) Cuando se desea calcular el área D con el orden de integración inverso, esto es A =

∫∫

D

dydx , entonces, se necesita conocer las

ecuaciones de las curvas en función de la variable x y además identificar los límites de integración, que a continuación se muestran en la figura 3.4

entonces: y = ± 4 − x


79

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D1

Valor de y a la salida de D2

x = 0

y = 1 + 1 + x

y = 4 − x

Valor de y a la salida de D 3

x = 3

En este caso, la región D queda dividida en tres regiones tipo 1, identificadas como: D1, D2 y D3..

y = 4 − x

D1 D2


D3

y = 1 − 1 + x Valor de y a la entrada de D2


y = 1 − 1 + x

y = − 4 − x

Figura 3.4

Región D del ejemplo 3.1 como tres regiones tipo 1

Entonces D = D1 ∪ D2 ∪ D3 , donde:

{( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0 D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 3 D = {( x, y ) 3 ≤ x ≤ 4

∧ 1 − 1 + x ≤ y ≤ 1+ 1 + x }

D1 =

Así: A =

2

∧ 1 − 1+ x ≤ y ≤ 4 − x }

3

∧ − 4 − x ≤ y ≤ 4 − x}

∫∫

D1

dydx +

=∫ Al comparar los dos cálculos de área de la región D del ejemplo 3.1, resulta mucho más sencillo emplear la integral que dxdy

∫∫

A =

∫

0

−1

0

∫∫

∫

D2

dydx +

1+ 1+ x

−1 1− 1+ x

∫∫

dydx +

2 1 + xdx +

3

∫( 0

A =

D

con el orden inverso.

3

4−x

0

1− 1+ x

∫∫

dydx +

∫ ∫

)

4−x

4

3

− 4−x

4 − x − 1 + 1+ x dx +

4 3

A =


dydx

D3

+

∫∫

19

D

3

4

+ =9 3

dydx = 9

∫

4 3

dydx

2 4 − xdx

80

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 3.2

Dada la región D , determine las ecuaciones de las curvas que la limitan y calcule su área empleando las integrales dobles: y

∫∫

D

∫∫

D

dxdy

dydx . C 2

C 1 C 3 D

Figura 3.5 Región D del ejemplo 3.2 Solución:

Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D son: Las ecuaciones de las curvas en función de la variable y son: y − 20 C1 : x = 16 20 − y C2 : x = 2

C1 :

x = ±

y

C1 :

y = 16 x + 20

C2 :

y = −2 x + 20

C3 :

y = 4 x2

y

2

a) Para el cálculo del área de la región D por medio de la integral doble

∫∫

D

dxdy , se necesita saber que valor toma la variable x a la

entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar estos valores.


81

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de x a la entrada de D3

La región D no es una región tipo 2, sin embargo se puede dividir en tres regiones: D1, D2 y D3., que sí lo son. Por esta razón, para resolver la integral doble

∫∫

D

dxdy

se

debe

emplear la propiedad aditiva respecto a la región de integración.

x =

Valor de x a la salida de D3

y − 20

x =

D3

16

20 − y 2

y = 16

Valor de x a la entrada de D2 y − 20 x = 16

D2

x =

y = 4

Valor de x a la entrada de D1

x = −

Valor de x a la salida de D2 y 2

Valor de x a la salida de D1 y x = 2

D1

y 2

Figura 3.6 Región D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2

Como D = D1 ∪ D2 ∪ D3 , entonces: A =

∫∫

D1

dxdy +

∫∫

D2

dxdy +

donde:

 

D1 = ( x, y )

 

D2 = ( x, y )

0

y − 20 16

−

2 y

dxdy +

≤ x≤ ≤ x≤

16

∫ ∫ 4

2

y 2 y 2

 ∧ 0 ≤ y ≤ 4   ∧ 4 ≤ y ≤ 16 

20 − y

≤ x≤

16

y

4

∫∫

2

y − 20

 

D3 = ( x, y )

A =

y

−

2 y

2

y − 20

dxdy +

 ∧ 16 ≤ y ≤ 20  20

∫ ∫

16

16

20 − y 2 y − 20

dxdy

16

4 16  y 20  45 9y  y − 20  = ∫ 0 ydy + ∫ 4  −  dy + ∫16  −  dy 16   4 16   2

A =

16


3

+

157 6

9

+ = 36 2

∫∫

D3

dxdy

82

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones A =

∫∫

D

dxdy = 36

b) En la figura 3.7 se muestran los límites de integración para la integral interna de A =

∫∫

D

dydx . Valor de y a la salida de D2 y = −2 x + 20

Valor de y a la salida de D1 y = 16 x + 20

La región D puede dividirse en dos regiones tipo 1, identificadas como: D1 y D 2 ; es decir: D = D1 ∪ D2

D2


D1

y = 4 x 2


y = 4 x 2

x = 0

Figura 3.7 Región D del ejemplo 3.2 como dos regiones tipo 1

Luego: A =

∫∫

D1

dydx +

0

D2

{( x, y ) = {( x, y )

dydx , donde:

D1 =

− 1 ≤ x ≤ 0 ∧ 4 x2 ≤ y ≤ 16 x + 20}

D2

0≤ x≤2 ∧

A =

A =

∫∫

0

∫ ∫

16 x + 20

−1 4 x 2

dydx +

}

4 x 2 ≤ y ≤ − 2 x + 20 2

−2 x + 20

0

4 x2

∫ ∫

2

dydx

∫ − (16 x + 20 − 4 x ) dx + ∫ ( −2 x + 20 − 4 x ) dx = 2

1

2

0

A =


∫∫

D

dydx = 36

32 3

+

76 3

= 36

83

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 3.3

Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre dos círculos concéntricos de radios 2 y 4. Solución:

Considere una corona circular con centro en el origen del sistema de coordenadas tal como se observa a continuación.

La región D planteada en el ejemplo 3.3 recibe el nombre de corona circular, y su área es:

x 2 + y 2 = 4

= π ( R 2 − r 2 ) donde R: Radio externo r: radio interno

D x 2 + y 2 = 16


Como A =

∫∫

D

dydx y la región D es simétrica respecto al origen,

entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará A1 =

∫∫

D1

dydx , donde A1 es el área de la región D que se encuentra

en el primer cuadrante, denotada como D1 , de manera que: A = 4 A1

La región denotada como D1, se muestra en la figura 3.9.


84

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y de y a a la salida de D de D1.A

y = 16 − x 2 x = 2

Valor de y de y a a la salida de D de D1.B

D1.A

Para calcular el área de la región D1, se puede dividirla en dos regiones tipo 1:

y = 16 − x 2

D1 = D1. A ∪ D1.B D1.B Valor de y de y a a la entrada de D de D1.A

y = 4 − x 2 Valor de y de y a a la entrada de D de D1.B

y = 0


Luego: A1 =

∫∫

D1. A

dydx +

∫∫

D1. B

dydx , donde:

{( x , y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ D = {( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4

D1.A =

1.B

A1 =

2

16 − x 2

0

4 − x

4 − x 2 ≤ y ≤ 16 − x2

∧ 0 ≤ y ≤ 16 − x2 16 − x 2

4

A1 =

∫∫

∫(

16 − x 2 − 4 − x 2 dx +

2

0

2

dydx +

∫∫ 2

0

)

 

A1 =  2 3 +


2

dydx

16 − x 2 dx

8π    +  −2 3 +  = 3π  3  3 

π

A =

∫

4

∫∫

D

dydx = 12π

}

}

85

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.1.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO ESPACIO En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral definido sobre la ∫∫ f ( x, y ) dA representa el volumen del sólido S definido D

región D y bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral doble también puede emplearse para determinar el volumen de un sólido más general.

VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Sean f :  2 →  y g :  2 →  dos funciones reales, continuas en una región bidimensional D , tales que f ( x, y ) ≤ g ( x, y )

∀ ( x, y ) ∈ D .

Sea

V el

volumen

del

sólido

acotado

superiormente por la gráfica de la función g y acotado inferiormente por la gráfica de la función f , entonces: V =

EJEMP EJEMPLO LO 3. 3.44

∫∫

D

dA  g ( x, y ) − f ( x, y )  dA

(III.5)

Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 2 x 2 + y 2 y z = 20 − x 2 − y 2 y plantear su volumen empleando integrales

dobles. Solución:

En la figura 3.10 se muestra el sólido S de de este ejemplo, donde la superficie superior es z = 20 − x 2 − y 2 y la superficie inferior viene dada por la ecuación z = 2 x 2 + y 2 .


86

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de z de z a a la salida de S

= 20 − x2 − y 2

La superficie definida por la ecuación:

z = 20 − x 2 − y 2 Es una semiesfera (parte superior).

S

La superficie definida por la ecuación:

Valor de z de z a a la entrada de S

z = 2 x 2 + y 2

z = 2 x 2 + y 2

Es un cono .

Figura 3.10 Sólido S del ejemplo 3.4

El volumen del sólido S , mostrado en la figura anterior, se obtiene mediante la integral doble: V =

 20 − x 2 − y 2 − 2 x2 + y 2  dA D  

∫∫

donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos superficies:

 z = 2 x 2 + y 2   z = 20 − x 2 − y 2

⇒ 2

2

4 ( x 2 + y 2 ) = 20 − x 2 − y 2

+ y 2 = 20 − x 2 − y 2

⇒ x2 + y2 = 4

Entonces: D =

{( x, y )


}

x2 + y 2 ≤ 4

87

Geraldine Cisneros


y = 4 − x 2

Donde D es una región tipo 1 y también tipo 2, pero en este ejemplo se trabaja como una región tipo 1.

D


y = − 4 − x 2


Es decir, D = En el siguiente capítulo, se mostrará como resolver una integral de este tipo, empleando un cambio de variable apropiado.

{( x, y )

− 2 ≤ x ≤ 2 − 4 − x 2 ≤ y ≤ 4 − x2

}

Volviendo a la integral de volumen, se tiene que: V =

2

∫ ∫

4 − x 2

− 2 − 4 − x

2

 20 − x 2 − y 2 − 2 x2 + y 2  dydx  

Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimiento muy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta el resultado de esta integral, el cual fue obtenido con software matemático: V =

 20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y2  dA = 19, 77678464 D  

∫∫


88


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 4 + xy y z = 1 y dentro del cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 , calcule su volumen empleando integrales dobles. Solución:

En la figura siguiente se aprecia el sólido S , acotado por las superficies z = 4 + xy y z = 1 y dentro del cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 . Valor de z a la salida de S z = 4 + xy

x 2 + y 2 = 1

S

Valor de z a la entrada de S z = 1


El volumen del sólido S , se obtiene mediante la integral doble: V =

∫∫ [4 + xy − 1] dA = ∫∫ [3 + xy] dA D

D

donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta proyección, se observa en la figura 3.13


89

Geraldine Cisneros


D En este ejemplo, la región D es de tipo 1 y también tipo 2, pero se trabaja como una región tipo 2.



x = − 1 − y 2

x = 1 − y 2


En este caso, la región D se define como: D =

{( x, y )

− 1 − y 2 ≤ x ≤ 1 − y2

}

−1≤ y ≤ 1

Por lo tanto la integral de volumen queda como: V =

1

∫ ∫

1− y 2

−1 − 1− y 2

V =

EJEMPLO 3.6

1

[3 + xy] dxdy = ∫ −1 6 1 − y2 dy = 3π

∫∫ [3 + xy] dA = 3π D

Dibuje el sólido S acotado por z = 1 + x 3 y + xy3 , z = 0 , y = x3 − x y y = x 2 + x y calcule su volumen empleando integrales dobles. Solución:

En la figura 3.14 se observa el sólido S , acotado superiormente por z = 1 + x 3 y + xy3 e inferiormente por z = 0 ; mientras que las

superficies y = x3 − x y y = x 2 + x definen las paredes de dicho cuerpo tridimensional.


90

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de z a la salida de S z = 1 + x3 y + xy3

S

Valor de z a la entrada de S z = 0


Donde, el volumen del sólido S , se obtiene como: V =

∫∫

D

1 + x3 y + xy3 − 0  dA = ∫∫ 1 + x3 y + xy3  dA D

Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región bidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15 Valor de y a la salida de D

y = x3 − x En la figura 3.15, se observa que la región D del ejemplo 3.6 es una región de tipo 1.

D

Valor de y a la entrada de D 2 y = x + x



91

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Por lo tanto, la región D se define como: D =

{( x, y )

− 1 ≤ x ≤ 0 x2 + x ≤ y ≤ x3 − x}

La integral de volumen queda como: V =

0

∫ ∫

3

x − x

−1 x

2

1 + x3 y + xy3  dydx +x

 x13 11 7 x9 8  517 V =∫  x + x − 4 x7 − 2 x6 + x3 − x2 − 2 x dx = − − −1 4 4 1260   0

V =

517

3 3 ∫∫ D 1 + x y + xy  dA = 1260

3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA A continuación, se explica como determinar la masa de una figura plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en En la figura 3.16 la región D es no homogénea, por lo cual su sombreado no es uniforme.

cada punto ( x, y ) ∈ D .

Adicionalmente: ρ

( x, y ) = 0 ∀ ( x, y ) ∉ D

La densidad tiene unidades de masa por área unitaria. Para esta aplicación, considere que la función densidad ρ es continua en la región D .

Figura 3.16 Región D no homogénea


92

Geraldine Cisneros


(

Si se escoge un punto arbitrario

, y j* ) ∈ Dij , entonces la masa

* i

de este subrectángulo, denotada como mij , se obtiene como: mij = ρ ( xi* , y j* ) ∆Aij

(III.6)

Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede estimar mediante la doble suma de Riemann: m≈

n

m

∑∑ ρ ( x

i

i =1 j =1

*

, y j* ) ∆Aij

(III.7)

Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la norma de la partición P tienda a cero, se tiene: m = Lim

P →0

m = Lim

P →0

n

n

m

∑∑ ρ ( x

i

i =1 j =1

m

∑∑ ρ ( x

i

i =1 j =1

*

*

, y j* )∆Aij

, y j* )∆Aij =

∫∫

D

ρ

(III.8)

( x, y ) dA

(III.9)

Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene mediante:

El cálculo de masa de una región D , también puede emplearse para calcular la carga eléctrica, Q, distribuida sobre una región D . Q=

∫∫

D

σ

( x, y ) dA

MASA DE UNA FIGURA PLANA Considere una lámina plana de densidad variable

ρ

(

, y ) ,

que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa, denotada m , se obtiene como:

Donde σ es la función densidad de carga.


m=

∫∫ ρ ( x, y ) dA D

(III.10)

93


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas x = y 2 − 1 y x = 2 y 2 − 2 , cuya densidad es igual a la unidad. Solución:

Recuerde que la densidad se calcula como m =

∫∫ ρ ( x, y ) dA , por D

lo tanto para esta placa se tiene: m=

∫∫

D

dA

Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de integración.

D



x = 2 y 2 − 2

x = y 2 − 1


Entonces la región D está definida como: D =

{( x, y )

2 y 2 − 2 ≤ x ≤ y2 − 1 ∧

− 1 ≤ y ≤ 1}

Por lo tanto: m=

1

∫ ∫

y 2 −1 2

−1 2 y − 2

m=


dxdy =

1

∫ ∫

4 ∫ (1 − y ) dy = 3

y 2 −1

−1 2 y 2 − 2

1

2

−1

dxdy =

4 3

94

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 3.8

Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas y =

3 2

x 2 − 6 x + 4 y y = 2 x − 2 , cuya densidad varía de acuerdo a la

función

ρ

(

, y ) = 1 + 2 x .

Solución: Según la definición del valor absoluto

 x − 2 si x − 2 ≥ 0  x − 2 =  2 − x si x − 2 < 0 

El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble m=

∫∫ ρ ( x, y ) dA , por lo tanto: D

m=

entonces

2 x − 4 si x ≥ 2  y =  4 − 2 x si x < 2 

∫∫

D

(1 + 2 x ) dA

A continuación se muestra la región D. y = 2 x − 4

y = −2 x + 4

La región D debe dividirse en dos regiones tipo 1, tal que:

D = D1 ∪ D2

D y =

3 2

x2 − 6 x + 4


Entonces: m=

∫∫

D

(1 + 2 x ) dA = ∫∫D (1 + 2 x ) dA + ∫∫D (1+ 2 x ) dA 1

2

Donde 3 2   0≤ x≤2 ∧ x − 6 x + 4 ≤ y ≤ − 2 x + 4 2   3 2   D2 = ( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4 ∧ x − 6 x + 4 ≤ y ≤ 2 x − 4 2  

D1 = ( x, y )


95

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener la masa de la placa con la forma de la región D. Valor de y a la salida de D 2 y = 2 x − 4

Valor de y a la salida de D1 y = 4 − 2 x

x = 2

D2

D1

Valor de y a la entrada de D2 3 y = x 2 − 6 x + 4 2


y =

3 2

x2 − 6x + 4

Figura 3.19 Región D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1

Entonces: m=

2

4 − 2 x

4

2

2

2

m=

2 x −4

∫0 ∫ 3 x −6 x+4 (1 + 2 x ) dydx + ∫2 ∫ 3 x −6 x+4 (1 + 2 x ) dydx 2

4 13 2 29    3 − + + + −8 − 3 x3 + x2 − 8 x  dx 3 x x 4 x dx   ∫0  ∫ 2 2 2    2

m =

m=

40 3

+

80 3

= 40

∫∫ (1 + 2 x ) dA = 40


D

96

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS El momento estático de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y la distancia que la separa de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes coordenados. Considere

una

lámina

o

placa

plana

D ,

dividida

en

subrectángulos Dij , tal como se muestra en la siguiente figura:

Los momentos estáticos son momentos de “equilibrio”. x

es una medida de la

tendencia a girar en torno al eje x, análogamente, es una medida de la y tendencia a girar alrededor del eje y.

Figura 3.20 Región general D no homogénea

Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada subrectángulo Dij , denotado como x ij

xij

, viene dado por:

= y j * ρ ( xi* , y j* ) ∆Aij

(III.11)

Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada subrectángulo, se tiene que: n

x

m

≈ ∑∑ y j * ρ ( xi* , y j* ) ∆Aij i =1 j =1


(III.13)

97

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta en la expresión anterior: n

x

= Lim ∑∑ y j * ρ ( xi* , y j* ) ∆Aij P → 0

n

x

m

(III.14)

i =1 j =1

m

= Lim ∑∑ y j * ρ ( xi* , y j* ) ∆Aij = ∫∫ yρ ( x, y ) dA D P →0

(III.15)

i =1 j =1

Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se denota

y

, se obtiene como: n

y

m

= Lim ∑∑ xi * ρ ( xi* , y j* ) ∆Aij = ∫∫ xρ ( x, y ) dA P →0

D

i =1 j =1

(III.16)

MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función

ρ : 

2

→  , la cual es continua

∀ ( x, y ) ∈ D , entonces el momento estático alrededor del eje x, denotado

x

, se obtiene como: x

= ∫∫ y ρ ( x, y ) dA D

(III.17)

Mientras que el momento estático alrededor del eje y, denotado

y

, se calcula como:

y


= ∫∫ x ρ ( x, y ) dA D

(III.18)

98


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7.

La región del ejemplo 3.7 se muestra a continuación

Solución:

Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera: x

= ∫∫ y ρ ( x, y ) dA y

y

D

= ∫∫ x ρ ( x, y ) dA . D

Entonces: M x =

Y se encuentra acotada por las curvas x = y 2 − 1 y x = 2 y 2 − 2 . La densidad es : ρ ( x, y ) = 1 ( x, y ) 2 y 2 − 2 ≤ x ≤ y 2 − 1 ∧   − 1 ≤ y ≤ 1  

D = 

M y =

1

∫ ∫

1

∫ ∫

y 2 −1 2

−1 2 y − 2

y 2 −1 2

−1 2 y − 2

ydxdy =

xdxdy =

∫

1

∫ y (1 − y ) dy = 0 2

−1

8  3 3 4  − − y + 3 y2  dy = −  −1 5  2 2  1

Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma de la región D del ejemplo 3.7 son: M x = M y =

EJEMPLO 3.10

∫∫

D

∫∫

D

ydA = 0

xdA = −

8 5

Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8.

La región del ejemplo 3.8 se muestra a continuación

Solución:

Los momentos estáticos se calculan como: y

La densidad: ρ ( x, y ) = 1 + 2 x

( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧     3 2 x − 6 x + 4 ≤ y ≤ −2 x + 4   2   ( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4 ∧    D2 =   3 2 x − 6 x + 4 ≤ y ≤ 2 x − 4   2  

= ∫∫ y ρ ( x, y ) dA y D

= ∫∫ x ρ ( x, y ) dA . D

x

=∫

2 0

Donde D = D1 ∪ D2 D1 = 

x

x

∫

4 − 2 x

y (1 + 2 x ) dydx +

3 2 x − 6 x + 4 2

4

∫∫ 2

2 x −4 3 2

x 2 −6 x + 4

y (1 + 2 x ) dydx

2 9 135 4  = ∫  − x5 + x − 35 x3 + 10 x2 + 16 x  dx + 0 8  4  4 9 135 4  x − 35 x3 + 10 x2 + 16 x dx + ∫ 2  − x5 + 8  4 


99

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones M x =

8 3

+

56 3

=

64 3

Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene: 4 − 2 x

2

y

4

2 x −4

= ∫ 0 ∫ 3 x −6 x +4 x (1 + 2 x ) dydx + ∫ 2 ∫ 3 x 2

2

2

2

262

M y =

15

+

1162 15

=

−6 x + 4

x (1 + 2 x ) dydx

1424 15

Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que:

M x = M y =

∫∫

D

∫∫

D

y (1 + 2 x ) dA =

x (1 + 2 x ) dA =

64

3 1424 15

3.1.5. CENTRO DE MASA El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de El centro de gravedad también es llamado centro de masa. El significado físico del centro de gravedad, es que la lámina se comporta como si su masa estuviera concentrada en ese punto.

coordenadas

( x , y ) ∈ D ,

en el cual la región se equilibra

horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones: x =

y = El centro de gravedad recibe el nombre de centroide cuando la densidad es constante.

y

m x

m

(III.19)

(III.20)

Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos estáticos se calculan por medio de integrales dobles.


100

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones CENTRO DE MASA Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene ρ : 

dada por la función

2


∀ ( x, y ) ∈ D , entonces el centro de gravedad viene dado por:

= y =

1 m

∫∫ x ρ ( x, y ) dA

(III.21)

∫∫

(III.22)

D

1 m

D

y ρ ( x, y ) dA

Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como

∫∫ ρ ( x, y ) dA . D

EJEMPLO 3.11

Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7.

La región del ejemplo 3.7 está acotada por las curvas x = y 2 − 1 y

x = 2 y 2 − 2 . Su densidad es : ρ ( x, y ) = 1

1

∫ ∫

y 2 −1

−1 2 y 2 − 2

M x = M y =

∫∫

D

∫∫

D

dxdy =

El centro de masa es un punto P ( x , y ) ∈ D , tal que sus coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y

Y adicionalmente obtuvo:

m=

Solución:

se

III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos para

esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.19 4 3

y III.20

ydA = 0

xdA = −

8

8 x =

5

M y m

=− 5 =− 4 3

y =

M x m

=

0 =0 4 3


6 5

101

Geraldine Cisneros


Entonces:

 6  P ( x , y ) =  − , 0   5  En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedad de la placa D descrita en el ejemplo 3.7

 6   − 5 ,0    D

Figura 3.21 Centro de masa de la región D del ejemplo 3.7

EJEMPLO 3.12

Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8.

La región D del ejemplo 3.8, tiene una densidad que varía según: ρ ( x, y ) = 1 + 2 x En los ejemplos 3.8 y 3.10, se obtuvo:

m=

∫∫ D (1 + 2 x ) dA = 40

M x = M y =

∫∫

D

∫∫

D

y (1 + 2 x ) dA =

x (1 + 2 x ) dA =

64

3 1424

Solución:

Sustituyendo el valor de la masa y los momentos estáticos en las ecuaciones que permiten calcular las coordenadas del centro de masa, se tiene: 1424 x =

M y m

15


178 = 15 = 40

75

102

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 64 y =

M x m

8 = 3 = 40

15

Luego:

 178 8  ,   75 15 

P ( x , y ) = 

En la figura 3.22 se aprecia la región D y su centro de masa:

 178 8   75 ,15   

D

Figura 3.22 Centro de masa de la región D del ejemplo 3.8

3.1.6. MOMENTO DE INERCIA Los momentos de inercia también son llamados segundos momentos.

El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se

Los momentos de inercia son momentos de “giro”.

que la separa de ese eje y se considera como una medida de la

define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia

oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de rotación. Los segundos momentos más importantes son los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del origen.


103

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones El procedimiento para obtener estos momentos como integrales dobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos, por lo tanto, el momento de inercia de una placa D, respecto al eje x, denotado I x , se calcula como:

En las ecuaciones III.23 y III.24, el cuadrado de x o de y recibe el nombre de brazo de palanca.

I x = Lim

P →0

n

m

∑∑ ( y ) ρ ( x *

2

j

*

i

i =1 j =1

, y j* ) ∆Aij =

∫∫

y 2 ρ ( x, y ) dA (III.23)

D

Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje y se denota como I y y se obtiene como: I y = Lim

P →0

El momento de inercia alrededor del origen también es conocido como momento polar de inercia.

I 0 = I x + I y

n

m

∑∑ ( x ) ρ ( x *

2

i

i

i =1 j =1

*

, y j* ) ∆Aij =

∫∫

D

x2 ρ ( x, y ) dA

(III.24)

La suma de estos dos momentos se conoce como momento de inercia alrededor del origen, I 0 , donde: n

m

 ( x * )2 + ( y * ) 2  ρ ( x * , y * ) ∆A = ( x2 + y2 ) ρ ( x, y ) dA ∑∑ j i j ij ∫∫ D P →0  i  i =1 j =1

I 0 = Lim

(III.25)

MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene ρ : 

dada por la función

2


∀ ( x, y ) ∈ D , entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes x y y, denotados I x e I y , se obtienen como: I x =

∫∫

y 2 ρ ( x, y ) dA

(III.26)

I y =

∫∫

x 2 ρ ( x, y ) dA

(III.27)

D

D

El momento polar de inercia, I 0 , es: I 0 =


∫∫ ( x D

2

+ y 2 ) ρ ( x, y ) dA

(III.28)

104


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7.

La gráfica de la región D del ejemplo 3.7 se muestra a continuación:

Solución:

Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se calculan I y =

∫∫

D

de

la

x 2 ρ ( x, y ) dA y I 0 = 1

∫ ∫

I x =

Cuya densidad es : ρ ( x, y ) = 1 ( x, y ) 2 y 2 − 2 ≤ x ≤ y 2 − 1 ∧   − 1 ≤ y ≤ 1  

I y =

D = 

siguiente

I 0 =

1

1

∫ ∫

∫ ∫

2

−1 2 y − 2

−1 2 y 2 − 2

2

−1 2 y − 2

y 2 −1

y 2 −1

y 2 −1

(x

2

∫∫ ( x

2

D

∫

∫∫

D

y 2 ρ ( x, y ) dA ,

+ y 2 ) ρ ( x, y ) dA .

y 2 dxdy =

x 2 dxdy =

I x =

manera:

∫

1

−1

y 2 (1 − y 2 ) dy =

4 15

32 7 7 6  − y + 7 y4 − 2 y2  dy =  −1 3 3 15   1

1 7 7 12  + y 2 ) dxdy = ∫  − y6 + 6 y4 − 6 y2  dy = −1 3 3 5  

Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir de: I 0 = I x + I y =

4 15

+

32 15

=

36 15

=

12 5

Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita en el ejemplo3.7 son: I x =

∫∫

y 2 dA =

I y =

∫∫

x 2 dA =

I 0 =

D

D

∫∫ ( x


D

2

4 15 32 15

+ y 2 ) dA =

12 5

105

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 3.14

Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8. Solución:

La gráfica de la región D del ejemplo 3.8 se observa a continuación:

Calculando el momento de inercia respecto al eje x, se tiene: I x =

2

4 − 2 x

0

3 2 x − 6 x + 4 2

∫∫

I x =

∫

(1 + 2 x ) 

2

4

( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧    D1 =   3 2 − + ≤ ≤ − + x 6 x 4 y 2 x 4   2   ( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4 ∧    D2 =   3 2 x − 6 x + 4 ≤ y ≤ 2 x − 4  2  

2

2

2

x −6 x + 4

y 2 (1 + 2 x ) dydx 3

  dx + 

3 3 2   ( 2 − 4 ) −  x − 6 x + 4  dx 2   

3

3

712

I x =

Donde D = D1 ∪ D2

∫ ∫

3

3

(1 + 2 x ) 

2

2 x −4

4

3 2  ( 4 − 2 x ) −  x − 6 x + 4  2  

3

0

+∫

Cuya densidad vienen dada por: ρ ( x, y ) = 1 + 2 x

y 2 (1 + 2 x ) dydx +

35

+

2168

576

=

35

7

Calculando el momento inercia respecto al eje y se tiene: I y =

I y =

2

4 − 2 x

0

3 2 x − 6 x + 4 2

∫∫

x 2 (1 + 2 x ) dydx +

4

∫∫ 2

2 x −4 3 2

2

x −6 x + 4

x2 (1 + 2 x ) dydx

4 13 4 29 4  5 3 5 3 2  − + + + − + − − 3 x x 4 x dx 3 x x 8 x 8 x     dx ∫0  ∫2  2 2   2

128

I y =

5

+

3472

=

15

3856 15

El momento polar de inercia puede obtenerse como: I 0 =

2

4− 2 x

0

3 2 x − 6 x + 4 2

∫ ∫

(x

2

4

+ y 2 ) (1 + 2 x ) dydx + ∫2

O también como: I 0 = I x + I y =

576 7

+

∫

2 x −4 3 2

2

x −6 x + 4

3856 15

=

I x =

∫∫

y 2 (1 + 2 x ) dA =

I y =

∫∫

x 2 (1 + 2 x ) dA =

I 0 =

D

∫∫ ( x D

D 2

2

+ y2 ) (1 + 2 x ) dydx

35632 105

576 7 3856 15 35632

+ y 2 ) (1 + 2 x ) dA =


(x

105

106

Geraldine Cisneros


3.2 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las aplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partir de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se presentan de una vez con la integral triple correspondiente para cada una de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a continuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de cuerpos en el espacio.

3.2.1.VOLUMEN 3.2.1. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO En el capítulo 2 se definió la integral triple de una función f sobre una región tridimensional B ,

∫∫∫ ∫∫∫ f ( x, y , z ) dV , como el límite de B

n

una triple suma de Riemann , L im P →0

m

l

∑∑∑ f (x

* i

i =1 j =1 k =1

la , y j* , zk* )∆V ijk . Si

función f es igual a la unidad; es decir, f ( x, y , z ) = 1 , entonces, la integral triple representa el volumen V del sólido B , resultando la siguiente integral: V =

∫∫∫ dV B

(III.29)

VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Sea B una región tridimensional, entonces su volumen, denotado como V , se obtiene como V =


∫∫∫ ∫∫∫

B

dV

(III.30)

107

Geraldine Cisneros


EJEMPL EJEMPLO O 3.1 3.155

Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies: x = 0 , y = x ,

= 2 − x , z = = 1 y z = 5 − x 2 − y 2 .

Solución:

Para calcular el volumen del sólido B, se emplea la integral triple

∫∫∫ dV . En la siguiente gráfica se ilustra el sólido B acotado por B

las superficies mencionadas en el ejemplo 3.15 y adicionalmente se señalan los valores que toma la variable z a la entrada y la salida del recinto B.

Valor de z de z a a la salida de B y = x

z = 5 − x2 − y 2

B y = 2 − x

Valor de z de z a a la entrada de B

= 1 z =

Figura 3.23 Sólido B del ejemplo 3.15

Por lo tanto el volumen se obtiene como: V =

∫∫ ∫ D

5− x 2 − y 2

1

dzdA

Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Dicha proyección se muestra en la figura 3.24.


108

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y de y a a la salida de D de D y = 2 − x

La región D región D del del ejemplo 3.15 es una región tipo 1

D

Valor de y de y a a la entrada de D de D

y = x

Figura 3.24 Proyección del sólido B del ejemplo 3.15 en el plano xy

Entonces la región D, está definida como: D =

{( x, y )

}

0 ≤ x ≤1 ∧

x ≤ y ≤ 2− x

Luego: V =

1

2− x

∫∫ ∫ 0

x

V =

2

5− x − y

1

2

dzdydx =

2−x

0

x

∫ ∫ (4 − x

2

− y2 )dydx

8  16 8 3  2 4 4 + − − = x x x d x   ∫0  3 3 3  1

V =

EJEMPL EJEMPLO O 3.1 3.166

1

∫∫∫ ∫∫∫

B

dV =

8 3

Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies:

= 0 y z = 4 − y . y = 4 , y = x 2 , z = Solución:

El cálculo de volumen del sólido B, se realiza por medio de la integral triple

∫∫∫ dV . En la figura 3.25 se ilustra el sólido B de B

este ejemplo. Adicionalmente se muestran los valores de la variable z a a la entrada y la salida del recinto B.


109

Geraldine Cisneros


Valor de z a la salida de B z = 4 − y

B


z = 0


Por lo tanto el volumen se obtiene como: V =

∫∫ ∫ D

4 − y 0

dzdA

Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Esta proyección se observa en la figura 3.26. Valor de y a la salida de D y = 4

La región D del ejemplo 3.16 es una región tipo 1

D


y = x 2

Figura 3.26 Proyección del sólido B del ejemplo 3.16 en el plano xy


110

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones La región D, del ejemplo 3.16 está definida como: D =

{( x, y )

− 2 ≤ x ≤ 2 ∧ x2 ≤ y ≤ 4}

Luego: V =

2

4

∫ ∫ ∫ − 2 x 2

4 − y 0

dzdydx =

2

4

−2

x2

∫ ∫

V =

EJEMPLO 3.17

 x 4  256 2 ( 4 − y ) dydx = ∫−2  8 − 4 x + dx = 2  15  2

∫∫∫

B

dV =

256 15

Plantear mediante integrales triples el volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4. Solución:

Sea B el sólido mencionado en el ejemplo 3.17. En la figura 3.27 se ilustran las dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.

x2 + y 2 + z 2 = 16

La región tridimensional comprendida entre las dos esferas concéntricas es simétrica respecto al origen, razón por la cual, dicha región se divide en 8 partes correspondientes a cada cuadrante.

B

x 2 + y 2 + z 2 = 1



111

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones A continuación se muestra la porción del sólido B que se encuentra en el primer octante, el cual se denomina como B1. También se muestran los valores de la variable z a la entrada y la salida del recinto B1.

Valor de z a la salida de B1

= 16 − x2 − y 2

Valor de z a la salida de B1 z = 16 − x2 − y 2

B1

Valor de z a la entrada de B1

Valor de z a la entrada de B1

z = 0

= 1 − x2 − y 2

Figura 3.28 Sólido B1 del ejemplo 3.17

Entonces: V =

∫∫∫

B

dV = 8

∫∫∫

B1

dV

Como el valor de la variable z cambia a la entrada del sólido B1, entonces se debe emplear la propiedad aditiva respecto a la D1

D2

Figura 3.29 Proyección del sólido B1 sobre el plano xy

región de integración, por lo cual:

V =8

∫∫∫

 ∫∫  D

dV = 8  B 1

1

∫

16 − x 2 − y 2 0

dzdA +

∫∫ ∫ D2

16 − x2 − y 2 2

1− x − y

2

 

dzdA

Donde D1 y D2 son las regiones bidimensionales que se obtienen al proyectar el sólido B1 sobre el plano xy. En la figura 3.29 se aprecia dicha proyección.


112

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D1.1 y = 16 − x2 x = 1

La región bidimensional D1 se divide en dos regiones tipo 1; es decir:

Valor de y a la salida de D1.2

D1 = D1.1 ∪ D1.2

y = 16 − x2

D1.1

D1.2

Valor de y a la entrada de D1.1

Valor de y a la entrada de D1.2 y = 0

y = 1 − x2


Entonces, la región D1 viene dada por la unión de las regiones:

{( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1 ∧ D = {( x, y ) 1 ≤ x ≤ 4

D1.1 =

1.2

1 − x2 ≤ y ≤ 16 − x2

∧ 0 ≤ y ≤ 16 − x2

Valor de y a la salida de D2 y = 1 − x2

La región bidimensional D2 es una región tipo 1.

D2


Figura 3.31

y = 0



}

}

113

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Con base a la figura 3.31, se tiene que:

Resolver estas integrales es un proceso bastante laborioso; sin embargo con un software matemático se puede obtener que el volumen planteado en el ejemplo 3.17 es:

D2 =

{( x, y )

0 ≤ x ≤1 ∧

0 ≤ y ≤ 1 − x2

}

Por lo tanto, las integrales triples que permiten calcular el volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4 son:

V = 8 ( 32.98672287 )

V =8

1

16 − x 2

0

1− x

∫∫ 1

+ 8 ∫0 ∫0

2

1− x 2

∫ ∫

16 − x 2 − y 2 0 16 − x 2 − y 2 1− x 2 − y 2

dzdydx + 8

16 − x 2

4

∫ ∫ 1

0

∫

16 − x2 − y2 0

dzdydx +

dzdydx

3.2.2.MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Considere una región tridimesional B , no homogénea, esto es que su densidad

ρ varía

en cada punto ( x, y,z ) ∈ B , donde la función

densidad está expresada en unidades de masa por unidad de volumen, entonces la masa se obtiene como la integral triple de la función densidad sobre la región B, tal como se define a continuación:

MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Considere un cuerpo tridimensional B de densidad variable ρ

( x, y,z ) , entonces su masa, denotada m=


m , se obtiene como:

∫∫∫ ρ ( x, y, z ) dV B

(III.31)

114


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Calcular la masa del sólido comprendido entre los planos: z = 0 y z = 1 − y y dentro de la superficie definida por la ecuación x 2 + 4 y 2 = 4 , cuya densidad viene dada por

ρ

( x, y, z ) = 2 z

Solución:

El sólido B del ejemplo 3.18 se muestra en la figura 3.32, también se muestran los valores que toma la variable z a la entrada y salida de la región B. Valor de z a la salida de B z = 1 − y

B


z = 0


Para calcular la masa del sólido mostrado en la figura anterior, se emplea la ecuación III.31, donde al sustituir el primer orden de integración y la función densidad, se obtiene: m=

∫∫ ∫ D

1− y 0

2 zdzdA

donde D es la proyección del sólido B en el plano xy. Esta proyección, junto con el segundo orden de integración se ilustra en la figura 3.33


115

Geraldine Cisneros


La gráfica de la ecuación:

4 − x 2

y =

x 2 + 4 y 2 = 4

2

Es una elipse horizontal.

D La región bidimensional D del ejemplo 3.18 es una región tipo 1 y también una región tipo 2.


y = −

4 − x 2 2


La región D está definida como:

 D = ( x, y ) 

−2≤ x≤ 2 ∧ −

4 − x 2

≤ y≤

2

4 − x2   2

 

Volviendo al cálculo de la masa: m=

∫ ∫

m=

4 − x 2

2

−2

∫

2

−2

2

−

4 − x

2

∫

1− y 0

2 zdzdydx =

2



1 

1 +

3  



4 − x 2  2

m=

EJEMPLO 3.19

4− x2

2

∫ ∫ −2

2

−

3

4− x

2

(1 − y )

2

dydx

2

 4 − x2  − 1 −   2  

   

3

  dx = 5π 2  

5π

∫∫∫ 2 zdV = 2 B

Calcular la masa del sólido comprendido entre los paraboloides z = 4 x 2 + 4 y 2 y z = 8 − 4 x 2 − 4 y 2 , cuya densidad viene dada por ρ

( x, y, z ) = x + y + z + 1 .


116

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Solución:

En la figura 3.34, se muestra el sólido B del ejemplo 3.19 y también los valores que toma la variable z a la entrada y salida de la región B, los cuales permiten establecer los límites para la primera

integración parcial.


z = 8 − 4 x 2 − 4 y 2

B


z = 4 x 2 + 4 y 2


Por lo tanto, la masa se obtiene como: m = ∫∫

D

∫

8− 4 x 2 − 4 y 2 4 x2 + 4 y 2

( x + y + z + 1) dzdA

siendo D la proyección del sólido B en el plano xy. Para determinar la ecuación de la curva que delimita a esta región D, es necesario resolver el siguiente sistema:

 z = 4 x 2 + 4 y 2  2 2  z = 8 − 4 x − 4 y Sumando ambas ecuaciones se tiene que z = 4


117

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Sustituyendo el valor de z en la primera ecuación del sistema, se

Recuerde que la gráfica de la ecuación:

obtiene la ecuación x 2 + y 2 = 1 .

Valor de y a la salida de D

x 2 + y 2 = 1

y = 1 − x 2

Es una circunferencia.

La región D del ejemplo 3.19 puede clasificarse como una región tipo 1 y también como una región tipo 2.

D


y = − 1 − x 2


La región D queda definida como: D =

{( x, y )

− 1 ≤ x ≤ 1 ∧ − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x2

}

Luego, la masa se obtiene mediante la integral triple m=

m=

m=

1

∫ ∫

1− x 2

−1 − 1− x

2

1− x 2

1

∫ ∫

−1 − 1− x 2

( 40 − 8 x

3

∫

8− 4 x2 − 4 y 2 2

4 x +4 y

2

( x + y + z + 1) dzdydx

− 40 x 2 + 8x − 8 xy 2 − 8 x2 y + 8 y − 40 y2 − 8 y3 ) dydx

32 160 2 32 3  160 2 2 2 2  − + − − − − − 1 x x 1 x x 1 x x 1 x  dx = 20π ∫−1  3 3 3 3  1

m=

∫∫∫ ( x + y + z + 1) dV = 20 π B


118

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.2.3.MOMENTOS ESTÁTICOS El momento estático de una región B tridimensional respecto a los planos coordenados xy, yz y xz , se definen de la siguiente manera:

MOMENTOS ESTÁTICOS DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función

ρ : 

3

→  , la cual es continua ∀ ( x, y, z ) ∈ B ,

entonces los momentos estáticos alrededor de los planos xy, yz y xz, denotados

xy

,

yz

y

xz

, respectivamente, se

obtienen a partir de las siguientes expresiones: xy

= ∫∫∫ z ρ ( x, y, z ) dV

(III.32)

yz

= ∫∫∫ x ρ ( x, y, z ) dV

(III.33)

= ∫∫∫ B y ρ ( x, y, z ) dV

(III.34)

xz

EJEMPLO 3.20

B

B

Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.18. Solución:

El sólido B del ejemplo 3.18 se definió como: 2 2  4 − x 4− x B = ( x, y, z ) − 2 ≤ x ≤ 2 ∧ − ≤ y≤ 2 2 

 ∧ 0 ≤ z ≤ 1− y  

Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones: III.32, III.33 y III.34, se tiene:


119

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 4 − x 2

2

xy

= ∫ −2 ∫

2

−

4− x 2

∫

1− y

z ( 2 z ) dzdydx =

0

∫ ∫ −2

2

M xy =

4 − x2

2

2 (1 − y )

2

−

4− x2

3

dydx

3

2

3 1 7π 2 2 2 2 − + − = 4 x 4 x dx ( ) ∫−2  3  6 3 2

Respecto al plano yz : 4 − x

2

yz

= ∫ −2 ∫

2

2

−

4− x

2

∫

1− y

x ( 2 z ) dzdydx =

0

4− x

2

∫ ∫ −2

2

2

2

2

−

4− x

2

x (1 − y ) dydx

2

3 1   2 2 M yz = ∫  x 4 − x + x ( 4 − x ) 2  dx = 0 −2 12   2

Y finalmente, respecto al plano xz :

xz

=∫

2

−2

∫

4 − x 2 2

−

4− x

2

∫

1− y 0

y ( 2 z ) dzdydx =

−2

2

−

4− x

2

2

y (1 − y ) dydx

2

3  1 2 − − 4 x ) 2  dx = −π ∫−2  6 (  2

∫∫∫ = ∫∫∫ = ∫∫∫

M xy = M yz M xz

EJEMPLO 3.21

∫ ∫

2

M xz =

4− x2

2

B

B

B

z ( 2 z ) dV =

7π 3

x ( 2 z ) dV = 0 y ( 2 z ) dV = −π

Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19. Solución:

El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como: B =

{( x, y,z ) − 1 ≤ x ≤ 1 ∧ −

1 − x2 ≤ y ≤ 1− x2 ∧ 4 x2 + 4 y2 ≤ z ≤ 8 − 4 x2 − 4 y2


}

120

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Calculando el momento estático respecto al plano xy:

=∫

xy

xy

=−

M xy =

∫

32

1

3 ∫ ∫

1− x 2

−1 − 1− x

1

−1

2

1

1− x 2

∫

−1 − 1− x 2

( 4 x

∫

8−4 x2 −4 y 2 4 x2 + 4 y2

z ( x + y + z + 1) dzdydx

− 8 x 2 + 8 x2 y 2 + 3 x − 8 y2 + 3 y + 4 y4 + 19)( x2 + y2 − 1) dx

4

34688 2 128 3 4096 4 4096 6  272π  8832 128 x− x − x + x − x = + 3 105 3 35 105 3  35 

1 − x2 

Respecto al plano yz :

yz

=∫

1

1− x 2

∫

−1 − 1− x 2

yz = −8 ∫

M yz =

∫

1

−1

1

∫

∫

8−4 x2 −4 y 2 4 x2 + 4 y 2

1− x 2

−1 − 1− x 2

x ( x + y + z + 1) dzdydx

x ( x + 5 + y ) ( x2 + y 2 − 1) dx

32 2 160 3 32 4  2π  160 x+ x − x − x = 3 3 3  3  3

1 − x2 

Respecto al plano xz : xz = ∫

xz

1

1− x 2

∫

−1 − 1− x 2

= −8 ∫

M xz =

1

∫

∫

8−4 x2 −4 y 2 2

4 x +4 y

1− x 2

−1 − 1− x

∫

2

2

y ( x + y + z + 1) dzdydx

y ( x + 5 + y ) ( x2 + y 2 − 1) dx

1

32 1 − x 2

−1

15

(1 − 2 x

2

+ x4 ) =

2π 3

Entonces, para el sólido del ejemplo 3.19 se tiene:

∫∫∫

z ( x + y + z + 1) dV =

272π

M yz =

∫∫∫

x ( x + y + z + 1) dV =

2π

M xz =

∫∫∫

y ( x + y + z + 1) dV =

M xy =

B

B

B


3 3 2π 3

121

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.2.4. CENTRO DE MASA A continuación se define el centro de masa para un sólido tridimensional como un punto P ( x, y, z ) , donde las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones:

x =

yz

(III.35)

m

y =

xz

(III.36)

m

z =

xy

(III.37)

m

Entonces:

CENTRO DE MASA DE UN SÓLIDO DEL ESPACIO Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función

ρ : 

3


entonces el centro de masa es un punto P ( x , y , z ) , donde sus coordenadas son:

= = z =

1 m 1 m 1 m

∫∫∫ x ρ ( x, y, z ) dV

(III.38)

∫∫∫ y ρ ( x, y, z ) dV

(III.39)

∫∫∫

(III.40)

B

B

B

z ρ ( x, y, z ) dV

Donde m es la masa del sólido B , que se obtiene como m=

∫∫∫ ρ ( x, y, z ) dV . B


122


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Determine las coordenadas del centro de masa del sólido B descrito en el ejemplo 3.18. Solución:

Para el ejemplo 3.18 se obtuvo: m=

M xz

∫∫∫

∫∫∫ = ∫∫∫ = ∫∫∫

M xy = M yz

5π 2 zdV = B 2

B

B

B

z ( 2 z ) dV =

Las coordenadas del centro de masa del sólido B se obtienen empleando las ecuaciones III.38, III.39 y III.40;

sin embargo,

como en el ejemplo 3.20 se calcularon los momentos estáticos 7π 3

x ( 2 z ) dV = 0

alrededor de los planos coordenados, a continuación se utilizan las ecuaciones III.35, III.36 y III.37:

y ( 2 z ) dV = −π

x =

y =

M yz m

M xz m

=

=

0 5π

=0 2

−π 5π

=−

2

2 5

7π z =

M xy m

14 = 3 = 5π

15

2

Entonces:

 

P ( x , y ,z ) =  0 ,−

2 14  ,  5 15 

2 14    0 , − 5 ,15   

B

Figura 3.36 Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.18


123


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Determine las coordenadas del centro de gravedad del sólido descrito en el ejemplo 3.19. Solución:

Para el ejemplo 3.19 se obtuvo: m=

π ∫∫∫ ( x + y + z + 1) dV = 20 B

M xy =

272π

M yz =

2π

M xz =

Las coordenadas del centro de masa del sólido B, igual que en el ejemplo anterior, se obtienen a partir de las ecuaciones III.35, III.36 y III.37:

3

x =

3 2π

M yz m

=

2π

3= 1 20π 30

3

y =

z =

M xz m

M xy m

=

=

2π

3= 1 20π 30

272π

3 = 68 20π 15

Entonces:

 1 1 68  , ,   30 30 15 

P ( x , y ,z ) = 

En la siguiente figura, se aprecia el centro de masa del sólido B.

 1 1 68   30 , 30 , 15   

B

Figura 3.37 Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.19


124

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.2.5. MOMENTOS DE INERCIA Los momentos de inercia del sólido B respecto a los planos coordenados, se obtienen como sigue:

MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función

ρ : 

3


entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados, denotados I x , I y e I z se obtienen a partir de: I x =

∫∫∫ ( y

2

+ z 2 ) ρ ( x, y , z ) dV

(III.41)

I y =

∫∫∫ ( x

2

+ z 2 ) ρ ( x, y, z ) dV

(III.42)

I z =

∫∫∫ ( x

2

+ y 2 ) ρ ( x, y, z ) dV

(III.43)

B

B

B

El momento polar de inercia, I 0 , es: I 0 =

EJEMPLO 3.24

∫∫∫ ( x B

2

+ y 2 + z 2 ) ρ ( x, y, z ) dV

(III.44)

Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y respecto al origen para el sólido descrito en el ejemplo 3.18. Solución:

El sólido B mencionado está definido como:

 4 − x 2 4 − x2 ≤ y≤ B = ( x, y, z ) − 2 ≤ x ≤ 2 ∧ − 2 2 

 ∧ 0 ≤ z ≤ 1− y  

Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones: III.41, III.42 y III.43, se tiene:


125

Geraldine Cisneros


∫ ∫

I x =

∫ ∫

I x =

−2

1− y

2

−2

4− x

−

∫ (y

2

0

+ z 2 ) ( 2 z ) dzdydx

4 2 1 2 1 y y 1 y − + − ( ) ( )  2  dydx

2 4 − x

−

2

2

4 − x 2

2

I x =

4 − x 2

2

2

2

5 3 3 1 27π 1 2 2 2 2 2 4 4 4 − + − + − = x x x dx ( ) ( ) ∫ −2  2  160 3 8 2

Respecto al eje y:

∫ ∫

I y =

−2

∫ ∫ −2

−

4 − x

1− y

4 − x2 2

2

∫ (x 0

2

+ z 2 ) ( 2 z ) dzdydx

2

2

−

2

2

4 − x 2

2

I y =

4 − x

2

4 2 1 2  2 (1 − y ) + x (1 − y )  dydx

 4 − x 2 5 2 3 + x 2  3 ( ) ( ) 1 119π   2 2 2 2 + I y = ∫  4 − x ) + 4 − x  + x   dx = ( −2  160 12 24 2    2

Respecto al eje z : I z =

4 − x 2

2

∫ ∫ −2

2

−

4 − x

2

1− y

∫ (x

2

0

4 − x2

2

+ y ) ( 2 z ) dzdydx = ∫ −2 ∫ 2

2

2

−

4− x

2

(y

2

2

+ x2 ) (1 − y ) dydx

2

5 3 1 37π 1  2 2 2 2 I z = ∫  ( 4 − x ) + (1 + x )( 4 − x ) 2 + x2 4 − x2  dx = − 2 80 12 12   2

Finalmente, el momento polar de inercia: I 0 =

I 0 =

∫ ∫ −2

∫ ∫

2 4 − x 2

−

2

−

4 − x 2

1− y

∫ (x 0

2

+ y 2 + z 2 ) ( 2 z ) dzdydx

2

4 − x 2

2

−2

4 − x 2

2

2

4 2 1 2 2 − + + − 1 y y x 1 y ( ) ( ) ( )  2  dydx


126

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones  3 4 − x 2 5 2 4 + x 2  2 3 ( ) ( ) 4 x 137π − I 0 = ∫  4 − x2 ) 2 + x 2 4 − x 2  dx = + + ( −2   160 12 2 24   2

EJEMPLO 3.25

I x =

∫∫∫ ( y

2

I y =

∫∫∫ ( x

2

I z =

∫∫∫ ( x

2

I 0 =

∫∫∫ ( x

2

+ z 2 ) ( 2 z ) dV =

B

+ z 2 ) ( 2 z ) dV =

B

B

B

27π 8 119π 24

+ y 2 + z 2 ) ( 2 z ) dV = + y 2 + z 2 ) ( 2 z ) dV =

37π 12 137π 24

Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19. Solución:

Para resolver las integrales que permiten calcular los momentos de inercia pedidos en el ejemplo 3.25 se ilustra sólo el segundo momento respecto al eje x. Los demás resultados fueron calculados con un software matemático.

El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como: B =

{( x, y, z ) − 1 ≤ x ≤ 1 ∧ −

1 − x2 ≤ y ≤ 1− x2 ∧ 4 x2 + 4 y2 ≤ z ≤ 8 − 4 x2 − 4 y2

Calculando los momentos de inercia: I x =

I x = −

8

1

∫ ∫

1− x 2

−1 − 1− x 2

1

3∫ ∫

1− x 2

−1 − 1− x

2

∫

(x

8− 4 x2 −4 y 2 4 x2 + 4 y 2

2

(y

2

+ z 2 ) ( x + y + z + 1) dzdydx

+ y 2 − 1) 16 ( x5 + y5 ) + 16 x4 (13 + y ) +

+ 32 x3 ( y 2 − 1) + 32 x 2 (13 y2 + y3 − y − 13) + 16 x ( 3 + y4 ) + + y 2 ( −29 x − 401) + y ( 64 + 208 y3 − 29 y 2 ) + 448] dydx


}

127

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones I x =

∫

1

1 − x 2

−1

105

(143968 + 22240x − 251584x 2 − 30656x3 +

+ 160864 x 4 + 12512x5 − 53248x6 − 4096x7 ) dx I x = 462π

Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados y al origen para el sólido del ejemplo 3.19, se muestran a continuación:

∫∫∫ ( y = ∫∫∫ ( x

I x = I y

2

+ z 2 ) ( x + y + z + 1) dV = 462π

2

+ z 2 ) ( x + y + z + 1) dV = 462π + y 2 + z 2 ) ( x + y + z + 1) dV =

B

B

I z =

∫∫∫ ( x

2

I 0 =

∫∫∫ ( x

2

B

B

+ y 2 + z 2 ) ( x + y + z + 1) dV =


20π 3 1396π 3

128

Geraldine Cisneros


4. CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES MÚLTIPLES En esta sección se presenta una alternativa para resolver integrales múltiples cuando el proceso de determinar las antiderivadas parciales es muy complicado o riguroso. Para ello es necesario definir transformaciones geométricas de



2

→ 2 y



3

→ 3 ;

posteriormente se enuncian los teoremas de cambios de variables para integrales dobles y triples, sugiriendo los sistemas de coordenadas más empleados: Sistema polar para integrales dobles y los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas para integrales triples.

4.1 INTRODUCCIÓN Recuerde que emplear un cambio de variable de un integral definida implica que el cambio afecta: el intervalo de integración, el integrando y la diferencial.

En el cálculo integral, para evaluar una integral definida de una función real de variable real en un intervalo cerrado

[ a,b ] existe un

teorema que permite cambiar la variable de integración con la finalidad de resolver dicha integral de una manera más sencilla.

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Definida La expresión: g ([ c, d ]) ⊂ [ a, b]

Significa que las imágenes de la función g son un subconjunto de [ a,b ] .

Sea f : [ a, b] →  una función continua y g : [ c, d ] →  una

′ ( t ) continua (es decir,

función derivable con derivada de clase C 1) tal que

∫

b a

es

([c,d ]) ⊂ [ a,b] , entonces f ( x )dx =

∫

d c

f  g ( t )  g′ ( t ) dt

(IV.1)

CV x = g ( t ) dx = g ′ ( t ) dt

CLI t =c

⇒ x = g (c ) = a

t=d

⇒ x = g (d ) = b

Para resolver la integral del segundo miembro de la ecuación IV.1 se realiza el cambio de variable, CV, y el cambio de los límites de integración, CLI, señalado en la parte inferior izquierda de esta página.


129

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Cuando se desea resolver una integral doble empleando un cambio de variable, el proceso resulta más complicado pues se deben cambiar ambas variables x y y por las variables u y v, por ejemplo. Este cambio se realiza mediante una transformación geométrica del tipo



2

→ 2 .

4.2 TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA DE Una transformación geométrica del tipo



2



2

→ 2

→  2 se realiza

cuando una región bidimensional D del plano xy se transforma o convierte en una nueva región bidimensional D′ del plano uv. Esta transformación se realiza por medio de una función T :  2 →  2 . Sea T una función definida como T : D′ ⊂  2 → D ⊂  2 , tal que: T ( u,v ) = ( T1 ( u,v ) ,T2 ( u,v ))

(IV.2)

Donde: En

otras

función

palabras,

T

la

transforma

( u,v ) ∈ D′ en un punto ( x, y ) ∈ D . todo punto

T1 ( u,v ) = x

(IV.3)

T2 ( u,v ) = y

(IV.4)

Por lo tanto, la función de transformación es: T ( u,v ) = ( x, y )

(IV.5)

La cual suele escribirse como:

 T1 ( u ,v )   x      T (u , v ) =  =  T2 ( u ,v )   y 


(IV.6)

130

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Por otra parte, como se busca resolver una integral doble

∫∫ f ( x, y ) dA empleando un cambio de variable, observe que al D

componer las funciones f con T , se obtiene: f (T ( u,v ) ) = f ( u,v )

(IV.7)

En la figura 4.1 se observa la transformación geométrica de la región D′ en la región D , la cual se realiza por medio de la función T .

Figura 4.1 Transformación geométrica de la región D′ en la región D

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Doble Sea f :  2 →  una función continua de las variables x y y Una matriz T ′ ( u ,v ) es inversible cuando su determinante es no nulo en todos los puntos ( u ,v ) ∈ D′ . Por otra parte: D = T ( D ′ ) ⇒ D ′ = T −1 ( D ) por lo cual inyectiva.

T debe ser

definida en la región D ⊂  2 . Sea T una función inyectiva que transforma

los

puntos

( u ,v ) ∈ D′ ⊂  2 en ( x, y ) ∈ D ⊂  2 ,

mediante la expresión T ( u,v ) = ( x, y) . Suponga que T es de clase C 1 y que la derivada T ′ ( u ,v ) es una matriz inversible

∀ ( u,v ) ∈ D ′ , entonces:

La expresión:

f (T ( u ,v ) )

también

suele escribirse:

∫∫

D

f ( x, y ) dA =

f (T1 (u ,v ) ,T2 (u ,v ) )


∫∫

D′

f ( T ( u,v ) )

∂ ( x, y ) dudv ∂ ( u,v )

(IV.8)

131

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones El término

Al determinante jacobiano: ∂ ( x, y )

del

∂ ( , y ) se conoce como determinante del jacobiano y ∂ ( u,v )

se obtiene como:

∂  ∂u ∂ ( x, y ) = det  ∂ ( u,v )  ∂y  ∂u

∂ ( u, v ) también se jacobiano.

le

llama

∂ x  ∂v   ∂y  ∂v 

(IV.9)

O también suele escribirse como:

 u xv  ∂ ( x, y )  = det   ∂ ( u,v )  yu yv  Sin

embargo,

en

algunas

ocasiones,

(IV.10)

se

desconoce

la

transformación T ( u,v ) = ( x, y ) más apropiada. En estos casos, se propone una transformación inversa del tipo T −1 ( x, y ) = ( u,v ) , la cual vendrá dada por las ecuaciones que limitan a la región D o por la función integrando. Cuando se presenta esta situación, el jacobiano

∂ ( x, y ) se obtiene mediante la propiedad: ∂ ( u,v ) ∂ ( x, y ) ∂ ( u,v ) =1 ∂ ( u,v ) ∂ ( x, y )

(IV.11)

u x u y  ∂ ( u,v )   = det   ∂ ( x, y )  v x vy 

(IV.12)

En donde:

Por lo tanto, el teorema de cambio de variable para integrales dobles puede escribirse como:


132

Geraldine Cisneros


∫∫

D

∫∫

f ( x, y ) dA =

D′

f ( T ( u,v ) )

1

∂ ( u,v ) ∂ ( x, y )

dudv

(IV.13)

La demostración del teorema de cambio de variable en una integral doble es muy rigurosa; sin embargo, seguidamente se prueba dicho teorema en el caso particular que la función integrando, f , es igual a la unidad, es decir: Recuerde que :

∫∫

D

dA

∫∫

representa el área de la región D.

D

dA =

∫∫

D′

∂ ( x, y ) dudv ∂ ( u,v )

(IV.14)

Demostración del Teorema de cambio de variable en una integral doble, cuando la función integrando es igual a la unidad: Considere una región D′ definida como: D′ =

{( u,v ) u

0

≤ u ≤ u0 + ∆ u ∧ v0 ≤ v ≤ v0 + ∆ v}

(IV.15)

La cual se aprecia en la figura 4.2

Figura 4.2 Una región D′ en el plano uv

Por lo tanto la región D′ es un rectángulo cuyos vértices son los puntos:

A′ ( u0 ,v 0 ) ,

B′ ( u0 + ∆u,v0 ) ,

D′ ( u0 + ∆u,v0 + ∆v ) .


C ′ ( u0 ,v0 + ∆v )

y

133

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Considere ahora, una función de transformación T (u , v ) , la cual puede aproximarse como:

 ∆u    ∆v 

T ( u,v ) ≈ T ( u0 ,v0 ) + T ′ ⋅ 

(IV.16)

Donde T ′ es la derivada de T evaluada en ( u0 ,v0 ) . La imagen del rectángulo D′ bajo el efecto de la transformación T propuesto en la expresión IV.16 se muestra en la figura 4.3

Figura 4.3 Región D′ bajo el efecto de la expresión IV.16

Entonces, la aproximación de T , planteada en IV.16, transforma al rectángulo D′ en un paralelogramo con vértice en T (u 0 , v0 ) y Los vectores

∆ui y ∆v j

son:

 ∆u  ∆ui =    0   0  ∆v j =    ∆v  Por otra parte,

 ∂ x     ∂ x ∂y  ∆u  ∂u  =  ∆u , ∆u  ∂ y ∂ ∂ u u       ∂u   ∂ x     ∂ x ∂y  ∆v  ∂v  =  ∆v , ∆v  y ∂ ∂ ∂v  v       ∂v 

con lados adyacentes, correspondientes a ∆u y ∆v , definidos por los vectores: T ′ ⋅ ( ∆ui ) y T ′ ⋅ ( ∆v j ) , los cuales pueden escribirse como:

 ∂ x  ∂u T ′ ⋅ ( ∆ui ) =   ∂ y  ∂u

∂x   ∂x   ∂u  ∂v   ∆u  u = ∆    ∂y   0   ∂y    ∂v   ∂u 

(IV.17)

 ∂ x  ∂u ′ T ⋅ ( ∆v j ) =   ∂ y  ∂u

∂x   ∂x  ∂v   0  = ∆v  ∂v     ∂y   ∆v   ∂y    ∂v   ∂v 

(IV.18)


134

Geraldine Cisneros El área de un paralelogramo cuyos lados están definidos por los vectores: ( a,b ) y ( c, d ) Se obtiene como el valor absoluto del determinante: a b a c

c

d

=

b

d

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Donde las derivadas parciales de las ecuaciones IV.17 y IV.18 están evaluadas en ( u0 ,v0 ) . Luego, el área del paralelogramo de la figura 4.3 está dada por:

 ∂ x  ∂u ∆u det   ∂ y  ∂u ∆u

∂x   ∂x ∆v   ∂u ∂v  = det   ∂y ∂y  ∆v   ∂u ∂v 

∂x   ∂x   ∂u ∂v  ∆u∆v = det   ∂y ∂y   ∂u ∂v 

∂x  ∂v   ∆ u∆v ∂y  ∂v  (IV.19)

Recuerde que ∆u y ∆v son longitudes, por lo tanto:

∆u = ∆ u ∆v = ∆ v

Empleando la ecuación IV.9, se tiene:

 ∂ x  ∂u ∆u det   ∂ y  ∂u ∆u 

∂x  ∆v ∂ ( x, y ) ∂v  ∂ ( x, y ) = ∆u ∆v = ∆u∆v (IV.20) ∂ ( u,v ) ∂y  ∂ ( u,v ) ∆v ∂v 

Ahora, si la región D′ es dividida en pequeños rectángulos con lados de longitud ∆ u y ∆v , y se emplea la aproximación de T planteada en IV.14, estos rectángulos son transformados en pequeños paralelogramos cuyos lados están definidos por los ∂ x ∂y ∂ x ∂y vectores  ∆u , ∆u  y  ∆v , ∆v  , donde el área de cada ∂u  ∂v   ∂u  ∂v paralelogramo se obtiene como

∂ ( x, y ) ∆u ∆v , entonces el área de ∂ ( u,v )

T ( D′ ) , denotada AT ( D′) se puede aproximar como:

AT ( D′) ≈

∑∑

∂ ( x, y ) ∆u ∆v ∂ ( u,v )

(IV.21)

Luego tomando el límite cuando ∆ u y ∆v tienden a cero, en la expresión anterior, resulta: AT ( D′) =


∫∫

D′

∂ ( x, y ) dudv ∂ ( u,v )

(IV.22)

135

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Entonces, queda demostrada la ecuación

∫∫

D

dA =

∫∫

D′

∂ ( x, y ) dudv ∂ ( u,v )

En la figura 4.4 se aprecia la transformación de la región D′ pr medio de T .

Figura 4.4 Transformación T en una región D′

EJEMPLO 4.1

Calcular la integral doble

∫∫

D

1 1 + xy

dA , empleando un cambio de

variable adecuado, donde D es la región del plano en el primer cuadrante limitada por

= x ,

= 2 x , xy = 1 y xy = 2 .

Solución: A continuación se muestra el recinto D . y = 2 x

En este ejemplo, transformación

la

T ( u , v ) = ( x, y )

no

 2   , 2   2 

(1 , 2 )

D

(1 ,1) y =

está dada por lo cual a partir de la gráfica se propone una transformación

1 x

T −1 ( x, y ) = ( u , v )



y =

(

2 x

2 , 2

)

y = x

136

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones A partir de la gráfica anterior, se propone el siguiente cambio:

 y   x , xy  = ( u, v )  

Con el cambio propuesto se obtiene la región

y = x ⇒

y x

y = 2 x ⇒

y x

D′

= 1⇒ u = 1

Es decir: T −1 ( x, y ) = ( u , v )

= 2⇒u =2

xy = 1 ⇒ v = 1

Con este cambio de variable, la región de integración cambia

xy = 2 ⇒ v = 2

mediante la expresión D′ = T −1 ( D ) , por lo tanto: D′ =

{( u,v )

∧ 1 ≤ v ≤ 2}

1≤ u ≤ 2

En la figura 4.6 se observa la transformación de la región D a la región D′ .

Por

medio

de

−

T 1

v = 2

la

−1

tranformación T , la nueva región de integración D′ es una región rectangular.

Valor de u a la entrada de D´ u = 1

D

Valor de u a la salida de D´ u = 2

D′

v = 1

Figura 4.6 Transformación de la región D en D′ del ejemplo 4.1

Para poder resolver la integral doble pedida empleando el cambio de variable, se necesita determinar el jacobiano

∂ ( , y ) , para lo ∂ ( u,v )

cual se emplea la propiedad IV.10, luego Recuerde que:

 y  u  x  =      v   xy 

 y  − x 2 ∂ ( u,v ) = det  ∂ ( x, y )   y


1

x  = − y − y = −2 y = −2u  x x x  x 

137

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Empleando la ecuación IV.12 se tiene que: I =

∫∫

D

1 1 + xy

I =

dA =

∫

2

1

∫∫

D

EJEMPLO 4.2

2

∫ ∫ 1

2 (1 + v )

1 + xy

dv =

∫∫

1 2

1

dA =


1

1 + v −2u

1

ln 2

1

1

2

2

D

dudv =

1 2

2

∫ ∫ 1

1

2

1

(1 + v ) u

dudv

2 ln ( 3 ) ln ( 2 ) − ln ( 2 ) 



2 ln ( 3) ln ( 2) − ln ( 2) 



 y − x   dA , empleando un cambio + y x  

cos 

de variable adecuado, donde D es la región mostrada a continuación.

C 2 C 1

C 4

D



C 3

138

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Solución: Determinando las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D se tiene:

Con el cambio propuesto

D′ y + x = 1 ⇒ v = 1 y + x = 2 ⇒ v = 2 se obtiene la región

C1 :

x=0

C2 :

y = 2− x ⇒

C3 :

y=0

C4 :

y = 1− x

⇒

y+ x= 2 y + x =1

 y−x  , se propone + y x  

A partir de la función integrando f ( x, y ) = cos  una transformación del tipo T −1 ( x, y ) = ( u, v ) :

u = − x  v=x

y = 0 ⇒ 

 y − x  u   y + x  =  v     

y = 0 ⇒ − u = v

u = y v = y

x = 0 ⇒ 

Entonces:

x = 0 ⇒ u = v

D′ =

{( u,v )

− v ≤ u ≤ v ∧ 1 ≤ v ≤ 2}

La figura 4.8 muestra la transformación de la región D a la región D′ por medio de T 1 . −

−

T 1

Por

medio

de

la

D′

−1

tranformación T , la nueva región de integración D′ es una región tipo 2.

v = 2

Valor de u a la salida de D´ u=v

Valor de u a la entrada de D´ u = −v

D

v = 1

Figura 4.8 Transformación de la región D en D′ del ejemplo 4.2


139

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Calculando el jacobiano

Recuerde que:

∂ ( x, y ) , se tiene que: ∂ ( u,v )

 −1 1 ∂ ( u,v )  = −1 − 1 = −2 = det   ∂ ( x, y )  1 1

 y − x  u  T −1 ( x, y ) =  =   y + x   v 

Empleando la ecuación IV.12 se tiene que:

I =

∫∫

D

2 v 2  y − x  3 u 1 dA cos dudv sen 1 vdv sen(1) = = = ( )  ∫1 ∫ −v  v  −2 ∫1 2  y + x 

cos 

∫∫

D

 y − x  3 = dA sen (1)  2  y + x 

cos 

4.2.1 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS POLARES En el APÉNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas polares.

A continuación se describe un caso particular del cambio de variable para integrales dobles: cambio a coordenadas polares. Considere que se desea calcular una integral doble

∫∫ f ( x, y ) dA , D

donde D es una región como la mostrada en la figura 4.9.

x 2 + y 2 = r 22 x 2 + y 2 = r 12

D

Figura 4.9 Una región general D


140

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones La región D está definida como sigue: D =

{( x, y )

r12 ≤ x 2 + y 2 ≤ r2 2

∧ tg (θ1 ) x ≤ y ≤ tg (θ 2 ) x}

(IV.23)

Para expresar dicha región D en coordenadas polares, denotada D′ ,

es necesario hacer la trasformación de coordenadas

T : D′ ⊂  2 → D ⊂  2 , señalada en la expresión IV.24: T ( r,θ ) = ( r cos θ ,rsenθ ) = ( x, y )

(IV.24)

Por lo tanto la región D′ es: Para que la función: 2 2 T : D′ ⊂  → D ⊂  sea inyectiva es necesario que:

D′ =

{( r,θ )

r1 ≤ r ≤ r 2

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ2 }

(IV.25)

0 ≤ θ < 2π

En la figura 4.10 se observa como la región D′ del plano r θ es transformada a través de la función T en la región D del plano y .

Figura 4.10 Transformación de la región D′ en la región D a través de T ( r ,θ ) = ( x, y )

Al emplear el teorema de cambio de variable en una integral doble, se tiene:

∫∫

D

f ( x, y ) dA =

∫∫

D′

f ( r cos θ ,rsenθ )


∂ ( x, y ) drd θ ∂ ( r,θ )

(IV.26)

141

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En donde el jacobiano de la transformación es:

Recuerde que:  r cos θ 

T ( r,θ ) = 

 x

=       rsenθ   y 

 ∂ x  ∂r ∂ ( x, y ) = det  ∂ ( r,θ )  ∂y  ∂r 

Y que la identidad fundamental es: cos 2 θ + sen2θ = 1

∂x  cos θ ∂θ   = det   ∂y   senθ ∂θ 

− rsenθ   2 2  = r cos θ + rsen θ r cos θ 

∂ ( x, y ) = r ( cos 2 θ + sen 2θ ) = r ∂ ( r,θ )

(IV.27)

Por lo cual se puede enunciar el siguiente teorema de cambio a coordenadas polares de una integral doble.

TEOREMA: Cambio a coordenadas polares en una integral doble Sea f :  2 →  una función continua en un rectángulo D′ , definido

por

D′ =

{( r,θ )

r1 ≤ r ≤ r 2

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ2 } , donde

0 ≤ θ 2 − θ1 < 2π , entonces:

∫∫

D

f ( x, y ) dA =

∫∫

D′

f ( r cos θ ,rsenθ ) rdrd θ

(IV.28)

En algunas ocasiones, la región D es más general que la planteada anteriormente, tal como la región que se ilustra a continuación:

Figura 4.11 Una región más general D


142

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Entonces, la región D de la figura 4.11 puede expresarse en coordenadas polares como sigue: D′ =

{( r,θ )

r1 (θ ) ≤ r ≤ r 2 ( θ )

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ2 }

(IV.29)

Al emplear la ecuación de cambio de variable IV.19 resulta:

∫∫

D

f ( x, y ) dA =

θ2

r 2 (θ )

θ1

r 1 θ

∫ ∫ ( ) f ( r cos θ ,rsenθ ) rdrd θ

(IV.30)

Existen, también, regiones generales D , que en coordenadas polares, quedan definidas como: D′ =

{( r,θ )

r1 ≤ r ≤ r2

∧ θ1 ( r ) ≤ θ ≤ θ2 ( r )}

(IV.31)

f ( r cos θ ,rsenθ ) rdθ dr

(IV.32)

En estos casos:

∫∫

D

EJEMPLO 4.3

f ( x, y ) dA =

r2

θ 2 ( r )

r1

θ 1 ( r )

∫ ∫


2

∫ ∫ 0

4 − y 2

− 4− y 2

dxdy , empleando un cambio de

variable a coordenadas polares. Solución: Este ejercicio se resolvió en el sistema de coordenadas cartesianas en el ejemplo 1.5 parte c del capítulo 1, y se obtuvo que: 2

∫ ∫ 0

4 − y 2

− 4− y 2

dxdy = 2π

La región D está definida como D =

{( x, y )

− 4 − y2 ≤ x ≤ 4 − y2

}

∧ 0≤ y ≤ 2

La función integrando es f ( x, y ) = 1 y la función de transformación a coordenadas polares es T ( r,θ ) = ( r cos θ ,rsenθ ) , entonces, al componer las funciones f con T , se obtiene: f T ( r,θ )  = 1


143

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Al emplear la transformación a coordenadas polares, se deben definir lo nuevos límites de integración, por lo que, en la figura 4.12 se muestran, sobre la gráfica de la región D , los valores de r y θ a la entrada y salida de dicha región. Valor de r a la salida de D

r = 2

D

Valor de r a la entrada de D

Valor de θ a la salida de D

Valor de θ a la entrada de D

r = 0

θ = π

θ = 0

Figura 4.12 Valores de r y θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.3

Por lo tanto la región D′ , que se observa en la figura 4.13, está definida como: D′ =

{( r,θ )

0 ≤ r ≤ 2

∧ 0 ≤ θ ≤ π }

Resolviendo la integral resulta: Figura 4.13 Región D′ ejemplo 4.3

2

4 − y 2

0

− 4 − y

∫ ∫

dxdy = 2

π

∫ ∫

∫ ∫ 0


π

0

2 0

2 0

rdrdθ =

rdrd θ = 2π

∫

π 0

2dθ = 2π

144

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 4.4

Calcule el área de la corona circular cuyos radios exterior e interior son 4 y 2, respectivamente, empleando coordenadas polares. Solución: La región D , se define como: D =

En el ejemplo 3.3 del capítulo 3, y se obtuvo que:

A =

∫∫

D

dydx = 12π

{( x, y )

}

4 ≤ x2 + y 2 ≤ 16

En la siguiente figura se muestran los valores de r y θ a la entrada y salida de la región D .

Valor de r a la salida de D

r = 4

D


θ = 2π

r = 2

θ = 0


Entonces, la región D′ , tal como se ilustra en la figura 4.15, es: D′ =

{( r,θ )

2 ≤ r ≤ 4 ∧

}

0 ≤ θ ≤ 2π

Luego el área se obtiene como: Figura 4.15

Región D′ ejemplo 4.3

A =

2π

4

0

2

∫ ∫

rdrdθ =

2π

4

0

2

∫ ∫ UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

∫

2 π 0

6d θ = 12π

rdrd θ = 12π

145

Geraldine Cisneros


EJEM EJEMPL PLO O 4. 4.55

Calcule el volumen del sólido S acotado por las superficies: z = 2 x 2 + y 2 y z = 20 − x 2 − y 2 , empleando integrales dobles y

coordenadas polares. Solución: En coordenadas cartesianas, el volumen del sólido S , que se

En el ejemplo 3.4 del capítulo 3, y se obtuvo que:

aprecia en la figura 4.16, viene dado por:

= 19,77678464 V =

V =

donde D = {( x, y )

 20 − x 2 − y 2 − 2 x2 + y2  dA D  

∫∫

}

x2 + y 2 ≤ 4

En la figura 4.17, donde se aprecia la región D , se señalan los valores de r y θ a la entrada y salida de dicha región.

Figura 4.16

Valor de r de r a a la salida de D de D

D

Sólido S del ejemplo 4.5

r = = 2

θ = 2π

θ = = 0

Valor de r de r a a la entrada de D de D

= 0 r =

Figura 4.18

Región D′ ejemplo 4.5


Como:

 r cos θ   x  =  T ( r ,θ ) =       rsenθ   y 

Donde D′ = {( r ,θ )

0 ≤ r ≤ 2 ∧

}

0 ≤ θ ≤ 2π

Entonces: 2

x 2 + y2 = ( r cosθ ) + ( rsenθ )

2

Entonces, al emplear la ecuación IV.18, se tiene que:

x + y = r 2

2

2

V =

 20 − x 2 − y 2 − 2 x2 + y2  dA = 2π 2  20 − r2 − 2r  rdrdθ ∫∫ D  ∫ 0 ∫ 0   


146

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones V =

∫

2π

0

80  40 160  40 − = − 5 d θ 5 π π ≈ 19, 77678464  3 3  3 3

Finalmente:

∫

2π

0

 20 − r 2 − 2r  rdrdθ = 40 5π − 160 π ∫0   3 3 2

4.3 TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA DE



De manera similar a una transformación de

2

transformación geométrica del tipo



3



3

→ 3

→  2 , una

→ 3 se emplea cuando se

desea convertir o transformar una región tridimensional B del espacio xyz en una nueva región B′ del espacio tridimensional uvw.

Sea T una función definida como T : B′ ⊂ 3 → B ⊂ 3 , tal que: Por lo tanto, la función

T ( u, u , v ,w ,w) = ( T1 ( u ,v ,v ,w ,w) ,T2 ( u ,v ,v ,w ,w) ,T3 ( u ,v ,v ,w ,w))

T transforma todo punto ( u , v , w) ∈ B′ en un punto ( x, y , z ) ∈ B .

La función T también suele escribirse como: T1 ( u ,v , w )   x          T ( u ,v , w ) = T2 (u ,v , w )  =  y          T3 ( u ,v , w)   z     

(IV.33)

Donde: T1 ( u , v , w ) = x

(IV.34)

T2 ( u, u,v , w) = y

(IV.35)

T3 ( u , v , w ) = z

(IV.36)

Entonces, la función de transformación T es:


T ( u ,v , w) = ( x , y, y , z )

(IV.37)

147

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Triple Sea f : 3 →  una función continua definida en la región B ⊂ 3 . Sea T una función inyectiva que transforma los x , y , z ) ∈ B ⊂  3 , mediante la ( u , v , w ) ∈ B ′ ⊂  3 en ( x,

puntos

expresión T ( u , v , w) = ( x , y, y , z ) . Suponga que T es de clase C 1 y que la derivada

T ′ ( u ,v ,v ,w ,w) es una matriz inversible

∀ ( u , v , w ) ∈ B ′ , entonces:

∫∫∫

B

f ( x, y , z ) dV =

El jacobiano

∫∫∫

B′

f ( T ( u ,v ,w) )

∂ ( x, y , z ) se obtiene como: ∂ ( u,v,w )  ∂ x  ∂u  ∂ ( x, y , z )  ∂y = det  ∂ ( u , v , w)  ∂u  ∂ z   ∂u

El jacobiano también se denota como:  xu xv xw 

    ∂ ( x,y, z ) = det  yu yv yw  ∂ ( u,v,w)      u zv z w 

x , y , z ) ∂ ( x, dudvdw (IV.38) ∂ ( u,v,w)

∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v

∂x  ∂w   ∂y  ∂w  ∂z   ∂w 

(IV.39)

Existen dos casos particulares de cambios de variables para integrales triple, los cuales consisten en cambiar el sistema de coordenadas

de

rectangular

coordenadas esféricas.


a:

coordenadas

cilíndricas

o

148

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 4.3.1 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS CILÍNDRICAS A continuación se describe como emplear un cambio de variable a

En el APÉNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas cilíndricas.

coordenadas cilíndricas para resolver una integral triple. Considere

que

se

desea

calcular

una

integral

triple

∫∫∫ f ( x, y,z ) dV , donde B es un recinto como el mostrado en la B

siguiente figura.

z = z2 ( x, y )

B

z = z1 ( x, y )

D

Figura 4.19 Una región general B

La región B está definida como sigue:

D

B =

{( x, y, z ) ( x, y) ∈ D

∧

z1 ( x, y) ≤ z ≤ z2 ( x, y)

}

(IV.40)

Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano y . Si dicha región D puede expresarse en coordenadas polares, Figura 4.20 Proyección de la región D sobre el plano xy

entonces la función de transformación a coordenadas cilíndricas, definida T : B′ ⊂  3 → B ⊂ 3 , viene dada por : T ( r,θ ,z ) = ( r cos θ ,rsenθ ,z ) = ( x, y, z )

Por lo tanto la región B′ es:


(IV.41)

149

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones B′ =

{( r,θ ,z ) r ≤ r ≤ r 1

2

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ∧ z1 ( r,θ ) ≤ z ≤ z2 ( r,θ )} ( IV.42)

Para emplear el teorema de cambio de variable en una integral triple, se debe determinar el jacobiano de la transformación: La función T de transformación a coordenadas cilíndricas, también se escribe como: r cos θ   x 

        T ( r,θ ,z ) =  rsenθ  =  y           z   z 

 ∂ x  ∂r  ∂ ( x, y,z )  ∂y = det  ∂ ( r,θ , z )  ∂r  ∂ z   ∂r

∂x ∂θ

∂x   cos θ ∂z     ∂y ∂y  = det  senθ ∂θ ∂z    ∂z ∂z   0  ∂θ ∂z 

− rsenθ 0    2 2 r cos θ 0  = r cos θ + rsen θ   0 1

∂ ( x, y, z ) = r ( cos 2 θ + sen 2θ ) = r ∂ ( r ,θ , z )

(IV.43)

Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas cilíndricas en una integral triple queda enunciado como sigue:

TEOREMA: Cambio a coordenadas cilíndricas integral triple Sea

f : 3 →  una

función

continua

en

una

en una región

tridimensional B′ , definido como: B′ =

{( r,θ , z ) r ≤ r ≤ r 1

2

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ∧ z1 ( r ,θ ) ≤ z ≤ z2 ( r,θ )} ,

donde 0 ≤ θ 2 − θ1 < 2π , entonces:

∫∫∫ f ( x, y, z ) dV = ∫∫∫ B

B′


f ( r cos θ ,rsenθ ,z ) rdzdrd θ

(IV.44)

150

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 4.6


∫∫∫ xyzdV , B

empleando coordenadas

cilíndricas, donde B está definida como: B =

{( x, y,z )

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 , x 2 + y 2 ≥ 1,

x ≥ 0,

}

y ≥ 0 , z ≥ 0

Solución: En el ejemplo 2.5 del capítulo 2, y se obtuvo que:

El sólido B , junto con su proyección en el plano , xy se muestran a continuación, en la figura 4.21

9


∫∫∫ xyzdV = 8 B

z = 4 − r 2

Cambiando la ecuación de la esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 4 coordenadas se tiene:

a

cilíndricas

= 4 − x 2 − y 2 = 4 − r 2 B


z = 0


Entonces, en coordenadas cartesianas: I =

∫∫∫

B

xyzdV =

∫∫ ∫ D

0

4 − x 2 − y 2

xyzdzdA

donde D es la proyección de la región B en el plano y . Lo que interesa a continuación es definir dicha región D , mostrada en la figura 4.22, en coordenadas polares, la cual se denota como D′ .


151

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de r a la salida de D

r = 2

D

θ =


π

r = 1

2 θ = 0


Así, la región D en coordenadas polares es:

 

D′ = ( r,θ )

1 ≤ r ≤ 2

∧ 0 ≤ θ ≤

π 



2

Por otra parte, al componer la función integrando,

( x, y, z ) = xyz ,

con la función de transformación, T ( r,θ , z) = ( r cos θ , rsenθ , z ) , se obtiene: f T ( r,θ , z )  = ( r cos θ )( rsenθ ) z = r 2 cos θ senθ z

Por lo tanto la integral triple es: π

B

0

∫∫∫

B

4 − r 2

2

∫∫∫ ( yz ) dV = ∫ ∫ ∫ 2

1

π

( xyz ) dV = ∫ 0

2

∫

0

2

2

1

∫ ∫ ∫ 0

4− r 2

2

1

0


cosθ senθ z ) r dzdrd θ

9

cos θ senθ drd θ

cos θ senθ d θ =

9

r 3 cosθ senθ z dzdrd θ =

9

∫∫∫ B ( xyz ) dV = ∫ 02 2

2

r 3 ( 4 − r 2 )

π

π

(r

4

8

8

152



∫∫∫ ( xyz ) dV , donde B es la región del


B

primer octante comprendida entre los conos, z = 2 ( x 2 + y 2 ) z = En el ejemplo 2.6 del capítulo 2, y se obtuvo que:

∫∫∫

B

( xyz ) dV = 64

x2 + y2

y el plano z = 4 , empleando coordenadas cilíndricas.

Solución: El sólido B , junto con su proyección en el plano , y se muestran a continuación, en la figura 4.23

Valor de z a la salida de B Recuerde funciones

que del

z = f ( x , y )


z = 4

las tipo deben

z = 2r

expresarse en función de r y θ , por lo tanto:

B

= 2 ( x 2 + y 2 ) = 2 r


y

z =

z = r

x + y = r 2

y

2


z = r


Como el valor de z cambia a la salida del sólido B, entonces, en coordenadas cartesianas:

∫∫∫

B

( xyz ) dV =

∫∫ ∫ D1

4 x2 + y

( xyz ) dzdA + 2

∫∫ ∫ D2

(

2

2 x + y x2 + y 2

2

)

( xyz ) dzdA

donde D1 y D2 son las proyecciones del sólido B en el plano y . Dichas regiones D1 y D2 se pueden expresar en coordenadas polares fácilmente, lo cual se aprecia en las siguientes figuras.


153

Geraldine Cisneros



D1

r = 4


θ =

r = 8

π 2 θ = 0

Figura 4.24 Recuerde que al definir una región D en coordenadas polares, dicha región se denota


D′


D2

r = 8

θ =

π 2


θ = 0

r = 0


De las figuras 4.24 y 4.25 se tiene que: Ecuación de transformación a coordenadas cilíndricas r cos θ   x 

        T ( r,θ ,z ) =  rsenθ  =  y           z   z 

   D2′ = ( r,θ )  D1′ = ( r,θ )

8 ≤ r ≤ 4

∧ 0 ≤ θ ≤

0 ≤ r ≤ 8

∧ 0 ≤ θ ≤

π 



2 π 



2

Como la función integrando es f ( x, y, z ) = xyz , entonces: f T ( r,θ , z )  = ( r cos θ )( rsenθ ) z = r 2 cos θ senθ z


154

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Entonces la integral, en coordenadas cilíndricas, queda como sigue: π

I =

∫∫∫ B ( xyz ) dV = ∫ 02 ∫ π

+∫2∫ 0

π

I =

∫ ∫ 2

0

4

8 0

2 r

∫ (r

r 3 (16 − r 2 ) 2

8

I =

∫

π 2 0

2

r

256 3

4

4

8

∫ (r

2

r

cos θ senθ z ) r dzdrd θ +

cos θ senθ z ) r dzdrd θ π

cos θ senθ drdθ +

∫

cos θ senθ dθ +

I =

128 3

+

64 3

π 2

∫ ∫ 0

128 3

0

8

2

0

r 5 2

cos θ senθ drd θ

cos θ senθ d θ

= 64

Entonces: π

4

∫ ∫ ∫ 2

0

8

4 r

π

r cos θ senθ z dzdrdθ + 3

8

∫ ∫ ∫ 2

0

0

2 r r

r 3 cos θ senθ z dzdrdθ = 64

4.3.2 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS ESFÉRICAS En el APÉNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas esféricas.

Otro cambio de variable ampliamente empleado en las integrales triples

consiste

en

cambiar

las

coordenadas

del

sistema

rectangular al sistema esférico. Considere una integral triple

∫∫∫ f ( x, y, z ) dV , B

donde B es una

región tridimensional como la mostrada en la siguiente figura.


155

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones z = z2 ( x, y )

z = z1 ( x, y )

B

Figura 4.26 Una región general B

Donde la región B puede escribirse de una manera sencilla si se emplea una transformación T a coordenadas esféricas, definida T : B′ ⊂  3 → B ⊂ 3 , viene dada por : T ( ρ ,θ ,φ ) = ( ρ cos θ senφ , ρ senθ senφ , ρ cos φ ) = ( x, y, z )

(IV.45)

Entonces, la región B′ es: B′ = ( ρ ,θ ,φ ) ρ1 ≤ ρ ≤ ρ 2

{

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ2

∧ φ1 ≤ φ ≤ φ 2 }

(IV.46)

Para emplear un cambio de variable en una integral triple, se debe determinar el jacobiano de la transformación, entonces: La función T de transformación a coordenadas esféricas, también se escribe como:  ρ cosθ senφ   x         T ( ρ ,θ ,φ ) =  ρ senθ senφ  =  y          ρ cos φ   z 

 ∂ x  ∂ ρ   ∂y ∂ ( x, y, z ) = det  ∂ ( ρ ,φ ,θ )  ∂ρ  ∂ z   ∂ ρ

∂x ∂φ ∂y ∂φ ∂z ∂φ

∂x  cos θ senφ ρ cos θ cos φ − ρ senθ senφ  ∂θ      ∂y    det sen θ sen φ ρ sen θ cos φ ρ cos θ sen φ =  ∂θ      ∂z    cos φ 0 − ρ senφ    ∂θ 

∂ ( x, y,z ) = ( ρ 2 sen2θ sen3φ ) + ( ρ 2 cos2 θ cos2 φ senφ )  + ∂ ( ρ ,φ ,θ ) −  − ( ρ 2 sen2θ cos2 φ senφ ) − ( ρ 2 cos2 θ sen3φ ) 


156

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones ∂ ( x, y,z ) = ρ 2  sen3φ ( cos2 θ + sen2θ ) + cos2 φ senφ ( cos2 θ + sen2θ )  ∂ ( ρ ,φ ,θ ) ∂ ( x, y,z ) = ρ 2 ( sen3φ + cos 2 φ senφ ) = ρ 2 senφ ( sen2φ + cos2 φ ) ∂ ( ρ ,φ ,θ ) ∂ ( x, y,z ) = ρ 2 senφ ∂ ( ρ ,φ ,θ )

(IV.47)

Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas esféricas en una integral triple queda enunciado como sigue:

TEOREMA: Cambio a coordenadas esféricas integral triple f : 3 →  una

Sea

función

continua

en

una

en una región

tridimensional B′ , definida como:

{

B′ = ( ρ ,θ ,φ ) ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ2

∧ φ1 ≤ φ ≤ φ 2 } , donde

0 ≤ θ 2 − θ1 < 2π y 0 ≤ φ2 − φ1 < π , entonces:

∫∫∫ f ( x, y, z ) dV = ∫∫∫

B′

B

( ρ cos θ senφ ,

ρ senθ senφ , ρ cos φ ) ρ 2senφ d ρd φd θ

(IV.48)

Existen también otras regiones más generales que se pueden definir en coordenadas esféricas de la siguiente manera: B′ = ( ρ ,θ ,φ ) ρ1 (θ ,φ ) ≤ ρ ≤ ρ2 ( θ ,φ )

{

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ2

∧ φ1 ≤ φ ≤ φ 2 } (IV.49)

En ese caso, la integral triple queda como:

∫∫∫

B

θ2

( x, y, z ) dV = ∫θ

1

φ2

ρ 2 (θ ,φ )

φ1

ρ1 (θ ,φ )

∫ ∫

( ρ cos θ senφ , ρ senθ senφ , ρ cos φ ) ρ 2 senφ d ρ dφ d θ (IV.50)


157

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 4.8

Calcular mediante integrales triples en coordenadas esféricas, el volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4. Solución: El sólido B , en coordenadas cartesianas está definido como:

El volumen pedido en este ejercicio se planteó en el ejemplo 3.17 del capítulo 3; sin embargo, nótese lo fácil que resulta calcular dicho volumen en coordenadas esféricas.

B = {( x, y,z )

1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16}

Y su volumen es V = ∫∫∫ dV B

En la figura 4.24 se muestra el sólido B , pero para poder identificar los valores de ρ , en la figura 4.28 se retira la porción del sólido que se encuentra en el primer y en el quinto en el octante. Valor de ρ a la salida de B

ρ = 4

Figura 4.27 Región tridimensional

φ = 0

B del ejemplo 4.8

φ = π Valor de ρ a la entrada de B

B

ρ = 1

Figura 4.28 Porción de la región tridimensional B del ejemplo 4.8

Para identificar los valores que toma θ a la entrada y salida de la región B , generalmente se proyecta dicha región sobre el plano xy ; sin embargo como en este ejemplo la región es sencilla, ya

que

se

obtienen

dos

círculos

concéntricos,

entonces,

coordenadas esféricas la región tridimensional B es:


en

158

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones B′ = {( ρ ,θ ,φ ) 1 ≤ ρ ≤ 4

Recuerde que el volumen entre dos esferas concéntricas se puede calcular como: 4 V = π R 3 − r 3 3 donde r : radio interno R: radio externo Entonces: 4 V = π ( 64 − 1) = 84π 3

(

)

I =

∫∫∫

π

2π

I =

∫ ∫ 0

B

0

( xyz ) dV =

π

2π

2π

∫ ∫ ∫ 0

0

Resolver la integral triple

4

∫ ∫ ∫ ρ 0

0

21 senφ dθ dφ =

π

EJEMPLO 4.8

∧ 0 ≤ θ ≤ 2π

∫

1

π 0

2

∧ 0 ≤ φ ≤ π }

senφ d ρ dθ d φ

42π senφ dθ d φ = 84π

4 1

ρ 2 senφ d ρ dθ d φ = 84π

∫∫∫ xyzdV planteada en el ejemplo 4.6, B

pero empleando coordenadas esféricas: Solución: En el ejemplo 2.5 se resolvió la integral empleando coordenadas rectangulares, mientras que en el ejemplo 4.6 se empleó coordenadas cilíndricas.

La función T de transformación a coordenadas esféricas es:  ρ cosθ senφ   x          T ( ρ ,θ ,φ ) =  ρ senθ senφ  =  y           ρ cosφ   z  Por otra parte, definición, ρ ≥ 0

por

El sólido B , en coordenadas cartesianas está definido como: B =

{( x, y,z ) x

2

+ y2 + z2 ≤ 4 , x2 + y2 ≥ 1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0}

Transformando a coordenadas esféricas se tiene: x 2 + y 2 + z 2 = 4 ⇒ x 2 + y 2 = 1 ⇒

ρ = 2

2 2 ( ρ senφ cos θ ) + ( ρ senφ senθ ) = 1

x 2 + y 2 = 1 ⇒ ρ 2 sen2φ ( cos 2 θ + sen2θ ) = 1 ⇒ x 2 + y 2 = 1 ⇒ ρ 2 =

1 sen 2φ

ρ 2 sen2φ = 1

⇒ ρ = csc φ

Buscando la intersección entre ρ = 4 y ρ = csc φ

 ρ = 2 1 1  ⇒ 2 = csc φ ⇒ 2 = ⇒ senφ =  senφ 2  ρ = csc φ 


159

Geraldine Cisneros Recuerde que:

0 ≤ φ < π

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones  1  π Luego: φ = arcsen   = 2 6 En la figura 4.29 se muestra la región B y se señalan los límites de integración empleados en coordenadas esféricas.

Valor de ρ a la salida de B

ρ = 2

φ =

θ =

π 6

Valor de ρ a la entrada de B

π

ρ = csc φ

2

B φ =

π 2


θ = 0

Figura 4.30 Proyección del sólido B sobre el plano xy

Entonces la región B′ es:

 

B′ = ( ρ ,θ ,φ )

csc φ ≤ ρ ≤ 4

∧ 0≤θ ≤

π 2

∧ 0 ≤ φ ≤

π 



2

Luego, la función integrando es f ( x, y,z ) = xyz . Al componer dicha función con la transformación: T ( ρ ,θ ,φ ) = ( ρ cos θ senφ , ρ senθ senφ , ρ cos φ )

Se tiene: f T ( ρ ,θ ,φ )  = ( ρ cos θ senφ )( ρ senθ senφ )( ρ cos φ ) = ρ 3 cosθ senθ sen2φ cosφ

Por lo tanto la integral triple es:


160

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones π

I =

∫∫∫ B ( xyz ) dV = ∫ 0

2

I =

π

π

2

2 π

2

∫ ∫ ( ρ 2 π 6

csc φ

2

∫ ∫ ∫ ( ρ 0

6

π

π

2

2 π

∫ ∫

I =

π

0

6

1 6

5

csc φ

3

cos θ senθ sen2φ cos φ ) ρ 2 senφ d ρ dφ d θ

cos θ senθ sen3φ cos φ ) d ρ dφ d θ

sen3φ cos θ senθ cos φ ( 64 − csc6 φ ) dφ d θ

I =

∫

π 2 0

9 4

cos θ senθ d θ =

9 8

Finalmente: π

π

2

2 π

2

∫ ∫ ∫ ( ρ 0

EJEMPLO 4.9

6

cscφ

5

cos θ senθ sen3φ cos φ ) d ρ dφ dθ =

9 8

Calcular el volumen del sólido B definido por las superficies: 2

+ y 2 = 2 x , z = 0 y z = x 2 + y 2 , empleando:

a) Coordenadas cartesianas. b) Un cambio de variable adecuado. Solución: El volumen de un sólido B se obtiene mediante la integral La superficie de ecuación 2 ( x − 1) + y 2 = 1 ,

2

∫∫∫

B

dV .

+ y 2 = 2 x puede escribirse como:

por lo cual dicha ecuación es una superficie

circular cilíndrica. La superficie z = 0 es un plano horizontal y la superficie

z = x 2 + y 2 es un paraboloide. A continuación se

muestra la gráfica del sólido B .


161

Geraldine Cisneros


B


Luego para calcular el volumen de este sólido se debe seleccionar el sistema de coordenadas a emplear:

a) En el sistema de coordenadas cartesianas: La integral de volumen puede resolverse utilizando la integral iterada

∫∫∫

B

dzdydx , por lo que se debe identificar los valores que

toma la variable z a la entrada y salida de dicho sólido. En la figura 4.31 se muestra el primer orden de integración. Valor de z a la salida de B

z = x 2 + y 2

B


z = 0

Figura 4.31 Primer orden de integración en coordenadas cartesianas para el sólido B del ejemplo 4.9


162

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Por lo tanto, el volumen se calcula como:

∫∫ ∫

V =

D

x2 + y 2 0

dzdA

Donde D es la proyección del sólido B en el plano y . Dicha proyección se ilustra en la siguiente figura. Valor de y a la salida de D

y = 2 x − x 2

D


y = − 2 x − x 2


Por lo tanto la región bidimensional D está definida como: D =

{( x, y )

0≤ x≤2

∧ − 2 x − x2 ≤ y ≤ 2 x − x2

}

Por lo cual: V =

2 x − x 2

2

∫ ∫ 0

− 2 x − x

V =

2

∫

0

∫

2

x2 + y 2 0

dzdydx =

2

∫ ∫ 0

2 x− x2

− 2 x− x

2

(x

2

+ y2 )dydx

3 3 2 2 2 2  2 − + − = 2 x x 2 x 2 x x dx π ( )  3  2

2

∫ ∫ 0

2 x − x 2

− 2 x − x

2

∫

x2 + y2 0

dzdydx =

3 2

π

b) El cambio de variable más adecuado para este ejercicio es emplear el sistema de coordenadas cilíndricas, ya que una de las superficies es un cilindro, luego las superficies en este sistema son:


Integrales Multiples

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