INTEGRALES IMPROPIAS
1
INDICE
INTRODUCCION ............................................................................................................. 3 OBJETIVOS ...................................................................................................................... 4 MARCO TEORICO .......................................................................................................... 5 1.
DEFINICIÓN: ............................................................................................................ 5
INTEGRALES IMPROPIAS CON LÍMITES DE INTEGRACIÓN DE INFINITOS ......................................................................................................................... 6 2. 3.
ASÍNTOTAS VERTICALES EN LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN ............... 9
4.
VALORES PRINCIPALES DE CAUCHY ............................................................ 9
5.
CARÁCTER Y VALOR DE LAS INTEGRALES IMPROPIAS ......................... 9
6.
PROBLEMAS ......................................................................................................... 11
CONCLUSIÓN ................................................................................................................ 14 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................. 15
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INTRODUCCION En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites. Al estudiar las series infinitas, uno de los primeros criterios de convergencia que se presentan es el Criterio de la Integral. Su planteo tradicional dice, a grandes rasgos, que si ƒ es una función continu a, positiva y decreciente en, ∞] entonces la integral impropia converge si y sólo si la serie. En este veremos que las hipótesis de continuidad y positividad son innecesarias. Con sólo suponer que ƒ sea decreciente ya se puede demostrar la equivalencia entre las convergencias de la integral y de la serie. Y hay más: resulta que ni siquiera es necesario que ƒ sea decreciente. Veremos que hay una condición aún más débil que sigue siendo suficiente en el Criterio de la Integral, pero reservamos los detalles para la última sección.
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OBJETIVOS El
alumno
identificará
el
concepto
de
integral
impropia
Desarrollar habilidades y destrezas que le permitan interpretar, comprender, plantear y resolver problemas.
Aplicar los principios
del método matemático
en la solución de
problemas de la física, electrónica y de la vida diaria. Determinará si una integral es impropia y
la clasificará
Evaluará si una integral impropia es convergente o si es divergente.
Calculará integrales impropias con las funciones especiales.
Conceptualizar la antiderivada y calcular integrales indefinidas mediante las técnicas de integración.
Aplicar el concepto de integración definida en diferentes campos del conocimiento.
Reconocer y diferenciar las diferentes series, estableciendo sus intervalos de convergencia.
Calcular integrales impropias.
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MARCO TEORICO 1. DEFINICIÓN: En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞.
“Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral.
Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma: En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas “integrales impropias”, es decir, aquellas cuyos
valores
no
pueden
definirse
excepto
como
límites.
La integral puede interpretarse como: Pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio, interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor. En contraste al caso anterior, no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que, esta es una “verdadera” integral impropia.
Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites. Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que “ocultar” el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más 5
avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real. 2. INTEGRALES IMPROPIAS CON LÍMITES DE INTEGRACIÓN DE
INFINITOS La definición de una integral definida: Refiere que el
intervalo [a, b] sea finito. Además, el teorema
fundamental del cálculo por el que se han estado evaluando las integrales definidas, refiere que ƒ sea continuo en [a, b]. En esta sección se estudiara un procedimiento para evaluar integrales que normalmente no satisfacen estos requisitos porque cualquiera de los dos límites de integración de infinitos, o
ƒ tiene un número finito de
discontinuidades infinitas en el intervalo [a, b]. Las integrales que poseen estas características son las integrales impropias. Notar que en una función se dice que ƒ tiene una discontinuidad infinita en c si, por la derecha o la izquierda, Para conseguir una idea de cómo evaluar una integral impropia, considerar la integral. La cual puede interpretarse como el área de la región sombreada mostrada en la figura 8.17. Tomando el límite como b→∞ produce
Esta integral impropia se interpreta como el área de la región no acotada entre la grafica de ƒ(x)= 1/x² y el eje x (a la derecha de x=1).
Definición de integrales impropias con límites de integración infinitos 1.
Si
ƒ
es
continuo
en
el
intervalo
[a,
∞),
entonces
2.
Si
ƒ
es
continuo
en
el
intervalo
(-∞,
b],
entonces
3.
Si
ƒ es continuo en el intervalo (-∞,
∞),
entonces
6
Donde c es cualquier número real (ver ejercicio 110). En los primeros dos casos, la integral impropia converge si el limite existe, en caso contrario, la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impropia a la izquierda diverge si cualquiera de las integrales impropias a la derecha diverge.
EJEMPLO 1: Una integral impropia divergente
NOTA: Intentar comparar las regiones mostradas en las figuras 8.17 y 8.18. Ellas parecen similares, sin embargo, la región en la figura 8.17 tiene una área finita de 1 y la región en la figura 8.18 tiene un área infinita. EJEMPLO 2: Integrales impropias convergentes Evaluar cada integral impropia.
EJEMPLO 3. Usando la
regla de Hôpital con una integral impropia.
EJEMPLO 4. Limites superior e inferior de integración infinitos
Solución: Notar que el integrado es continuo en (-∞, ∞). Para evaluar la integral, puede descomponer en dos partes eligiendo c=0 como un valor conveniente. Integrales El segundo
impropias
con
discontinuidades
infinitas
tipo básico de integrales impropia es uno que tiene una
discontinuidad
infinita
en
o
entre
los
límites
de
integración.
Definición de integrales impropias con discontinuidades infinitas: 1. Si
ƒ es continuo en el intervalo [a,b) y tiene una discontinuidad
infinita en b, entonces
2. Si
ƒ es continuo en el intervalo (a,b] y tiene una discontinuidad
infinita en a, entonces
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3. Si (a,b),
ƒ es continuo en el intervalo [a,b], excepto para algún c en en
que
ƒ
tiene
una
discontinuidad
infinita,
entonces
En los primeros dos casos, la integral impropia converge si el limite existe, de otra forma, la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impropia en la izquierda diverge si algunas de las integrales impropias a la derecha divergen.
EJEMPLO 5. Una integral impropia con una discontinuidad infinita
Solución: El integrado tiene una discontinuidad infinita en x=0, como demuestra en la figura 8.24. Se puede evaluar esta integral como se muestra abajo.
EJEMPLO 6. Una integral impropia divergente
Solución: Porque el integrando tiene una discontinuidad infinita en x=0, se puede escribir
Así pues, se puede concluir que la integral impropia divergente.
EJEMPLO 7. Una integral impropia con una discontinuidad interior Solución: esta
integral es impropia por que el integrando tiene una
discontinuidad infinita en el punto interior x=0, como se muestra en la figura 8.25. Así se puede escribir
Del ejemplo 6 se sabe que la segunda integral diverge. Así, la integral impropia original también diverge. NOTA: Cuando se investiga si una integral es impropia o no, hay que averiguar si tiene discontinuidad infinita en un punto
terminal o en un
punto interior del intervalo de integración. Por ejemplo, si no se hubiera reconocido que la integral en el ejemplo 7 era
impropia,
se
habría
obtenido 8
el
resultado
incorrecto.
La integral en el próximo ejemplo es impropia por 2 razones. Un límite de integración es infinito, y el integrando tiene una discontinuidad infinita en el límite exterior de integración. EJEMPLO 8. Una integral doblemente impropia
Solución: para evaluar esta integral, elegir un punto conveniente (por ejemplo, x=1) y escribir. 3. ASÍNTOTAS VERTICALES EN LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN
Considera
Esta integral involucra una función con una asíntota vertical en x = 0. Uno puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y entonces tomando el límite como b tendiendo a 0. Nótese que la antiderivativa de la anterior función es 3x1 / 3.
La cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor
El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3. 4. VALORES PRINCIPALES DE CAUCHY
Considera la diferencia en los valores de dos límites: La primera es el valor principal de Cauchy
Similarmente, tenemos pero. La primera es el valor principal Todos los límites anteriores son casos de la forma de indeterminación ∞ − ∞. 5. CARÁCTER Y VALOR DE LAS INTEGRALES IMPROPIAS
Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar 9
su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:
1-Primera especie Son del tipo: ó Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos el primer caso de primera especie, con el segundo es equivalente): Si existe él y es finito y en ese caso , entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente si es + ó - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.
Integrales impropias de primera especie (función continua en
una semirrecta): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la aditividad respecto del intervalo; Condición necesaria para la convergencia; Teorema sobre la linealidad; No oscilación de integrales con integrando no negativo; Criterios de comparación;
Criterio
de
convergencia
dominada;
Criterio
de
convergencia absoluta y la integral de Poisson.
2-Segunda Especie Son del tipo: y que f(x) no está definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración. Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a): Si el existe y es finito y en este caso, entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso. Integrales impropias de segunda especie (funciones continuas en un intervalo acotado, salvo en uno de los extremos del intervalo): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la relación entre las integrales impropias de segunda especie y las de primera especie.
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3-Tercera Especie Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración. Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge. Integrales impropias mixtas (funciones continuas en un intervalo, acotado o no acotado, salvo en un número finito de puntos del intervalo): Definición de integral convergente, o no convergente; Las funciones Beta y Gama de Euler y Generalización del teorema fundamental. 6. PROBLEMAS Ejemplo: f ( x ) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:
ln x
dx =
ln x
dx =
x ln x - x
= - 1. El recinto tendrá 1 u.a.
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=- 1 -
ln
Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f ( x ) = entre x = 0 y x = 2. La función no está acotada en x = 1.
S =
dx +
dx =
dx +
dx =
= 1+
)=
+
-
=
(
- 1) +
(-
.
La integral impropia es divergente.
Otras aplicaciones. Ejemplo: Después de x semanas, se prevé que se recauden f ( x ) = xe3 x
millones de pesetas por semana. ¿En qué momento la afluencia de
dinero será máxima?. ¿Cuánto será lo recaudado en las tres primeras semanas?. ¿Cuánto se recaudaría si el tiempo fuese i limitado?.
f ( x )
= - e3 - x -1 + x = 0
x =
1.
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La afluencia de dinero será máxima en la primera semana. Lo recaudado en las tres primeras semanas será:
f ( x )dx =
- 4 + e3
16.086 millones de pesetas.
En tiempo ilimitado, la recaudación sería:
f ( x )dx =
( xe3
- x
)dx =
-4e3
- x
+ e3
- x
3 - x
=
=
- e3 - b - e3 - bb + e3 = e3
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20.086 millones de pesetas.
CONCLUSIÓN Después de haber realizado esta investigación llegamos a la conclusión de que una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Le damos las gracias al Ing. Sergio García Méndez por habernos apoyado en la realización de este trabajo.
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BIBLIOGRAFÍA
Nombre del libro: Calculo con Geometría Analítica. Nombre del autor: Ron Larson y Robert P. Hostetler Editorial: McGraw-Hill Edición: Octava
Páginas de internet: * http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_impropia
* http://usuarios.multimania.es/calculoint21/id49.htm
* http://www.guiamath.net/
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ANEXOS
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