Capítulo 3
Integrales Dobles y Triples 3.1. 3. 1.
Objet Obj etiv ivos os
1. Entender el teorema de Fubini para integrales de funciones de varias variables. 2. Establecer Establecer la integral integral iterada ( en un sistem sistemaa de coordenadas dado) dado) igual a una integral doble de una función de dos variables en un dominio del plano dado. 3. Ev Evaluar aluar integrales integrales iteradas. 4. Establ Establecer ecer integrales integrales dobles para calcular calcular el área de una región plana. 5. Establecer integrales dobles o triples para calcular el volumen de una región dada del espac espacio. io. 6. Dar la interpretación del elemento de área cuando se hace un cambio de variable en el plano. 7. Dar una interpretación interpretación del elemento elemento de volumen volumen cuando se hace un cambio de variable en el espacio (como coordenadas cilíndricas, esféricas, etc.) 8. Establecer Establecer integrales integrales iteradas en algún siste sistema ma de coordena coordenadas das como las cartesianas, polares de una integral doble sobre una región dada. 9. Establecer Establecer integrales integrales iteradas en algún siste sistema ma de coordena coordenadas das como las cartesianas, cilíndricas, esféricas de una integral triple sobre una región dada. 10. Utilizar integrales dobles para el cálculo de la masa, centro de masa de una masa. 59
11. Utilizar integrales triples para el cálculo de la masa, centro de masa y momento de inercia respecto a una recta L de un sólido.
3.2.
Trabajo en clase
1. Escriba la definición de
f (x, y)dA : Ω = [a, b]
Ω
¿Cómo se interpreta
≥ 0.
f (x, y)dA f (x, y)
Ω
2. ¿Cómo define
× [c, d].
f (x, y)dA si Ω no es un rectángulo? Explique las
Ω
regiones de tipo I, Ω. En este caso cómo halla las regiones de tipo II. ¿Cómo halla
f (x, y)dA? Explique
Ω
f (x, y)dA para este caso? Dé
Ω
ejemplos.
3. Esbozar las regiones de integración de las siguientes funciones 1
a)
xydydx
b)
−1 x
1
b)
π/ 4 sec θ
1
− 1
2
x2 + y 2 dxdy
x
x
f (t)dt dx =
0
−
x2 + y dydx
x
1
s
0
√
d)
−1 2+y 4. Muestre que
r cos θdrdθ
x 4 x2
0
s)f (s)ds.
(x
0
3
2
a )
Evalúe la integral iterada
b)
Evalúe la integral iterada
c )
Sea S la región acotada por las rectas y = 2x, x = 1, x = 4. Exprese la integra (x + y)dA como una integral iterada. (con respecto a
1
0
5
4
yx2 dxdy x x+y
0
e
dydx.
S
y primero y luego con respecto a x). d )
Exprese la integral
(x3 + y)dA como una integral iterada bajo la
S
región S la cual es acotada por las gráficas y = 1 + x2 y y = 9 − x2. 5. ¿Cómo cambiamos de coordenadas rectangulares a coordenadas polares en una integral doble? Dé ejemplos. 60
4
6. La integral iterada
√
42
−x
2
5dydx representa el volumen de una región −4 √4 −x sólida. Haga un bosquejo de la región de integración y calcule su integral en coordenadas polares.
2
2
7. Si una lámina ocupa una región plana Ω y tiene una función densidad p(x, y). Escriba las fórmulas en términos de integrales dobles de: a) la masa, b) los momentos alrededor de los ejes, c) El centro de masa, d) los momentos de inercia alrededor de los ejes y el origen (lo mismo para integrales triples a )
Si tenemos x = x(u, v), y = y(u, v) de la transformación T . ¿Cuál es el Jacobiano de T ? b ) ¿Cómo se cambia de variable en una integral doble?
8. Escriba la fórmula para el área de una superficie S para los casos siguientes:
→r (u, v), (u, v) ∈ Ω. la función vectorial − b ) S tiene ecuación z = f (x, y), (x, y) ∈ Ω. c ) S es la superficie de revolución obtenida al girar la curva y = f (x), a ≤ x ≤ b alrededor del eje x.
a ) S es parametrizada por
9. Determine el Jacobiano de las siguientes transformaciones a ) x = u + 3v,
10. Calcule
y = 2u
(b) x = set , y = se−t
− 5v.
x cos( yy − )dA donde R es la región trapezoidal con vértices en +x
R
(1, 0), (2, 0), (0, 2) y (0, 1).
−−−−→
11. Sea f (x, y) = 2, Ω∗ = [0, 1] × [0, 1] en el plano u − v y sea r(u, v) = u v v u →r (Ω). Pruebe que + , − . Halle la región Ω tal que Ω∗ = − 2 2 2 2 f (x, y)dxdy = f (x(u, v), y(u, v))dudv. ¿Cuándo estas integrales Ω Ω∗ serán iguales? √ √ 12. Use coordenadas polares para evaluar 0 2 y 4−y 1+x1+y dxdy.
13. Responda las siguientes preguntas. a )
2
2
2
Escriba la definición de la integral triple sobre una caja rectangular V . 61
b)
¿Cómo evalúa
f (x,y,z)dV ?
V
c )
¿Qué una región sólida de tipo I? ¿Cómo evalúa
f (x,y,z)dV para este tipo de regiones?
V
¿Qué otros tipos hay?
Evalúe la integral iterada 01 12z 0y (x − yz)dxdydz. ez dV donde V es el sólido e ) Encuentre los límites para la integral
d )
V
limitado por los planos x + y + z = 4, y = x, x = 1, x = 2, z = 0, y = 0. f )
¿Cómo cambiamos de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas en una integral triple? g ) ¿Cómo cambiamos de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas en una integral triple? h ) ¿En qué situaciones cambiamos de coordenadas cilíndricas a esféricas? i ) Si tenemos x = x(u, v), y = y(u, v) de la transformación T . ¿Cuál es el Jacobiano de T ? j ) ¿Cómo se cambia de variable en una integral doble? k ) ¿Cómo se cambia de variables en una integral triples?
14. Establezca en coordenadas cilíndricas la integral
(x2 + y 2 )dV donde
V
la región de integración es el solido limitado lateralmente por el cilindro x2 + y 2 = 1, arriba por el plano xy, y abajo por el paraboloide z = 4x2 + 4y 2 . (NO EVALÚE LA INTEGRAL). 1
15. Considere la integral
√
−x
1
2
√ −x −y 2
1
2
z x2 + y 2 + z 2 dzdydx. Haga √ −1 − 1−x 0 un bosquejo de la región de integración y exprese la integral en coordenadas esféricas. Evalúe la integral. 2
16. Exprese el volumen del sólido entre las esferas x2 + y 2 + z 2 = 4 y x2 + y 2 + z 2 = 1 y dentro del cono z = √1 x2 + y 2 , usando 3
a )
Coordenadas cartesianas. b ) Coordenadas cilíndricas. c ) Coordenadas esféricas. 62
√
3
√
−x
3
2
3
17. Considere la integral I = √ √ − 3 − 3−x a )
x2 + y 2 dzdydx
2
2
3x +3y
2
Haga un bosquejo del sólido Ω.
b ) Exprese la
integral en coordenadas cilíndricas.
c ) Exprese la
integral en coordenadas esféricas.
d )
Calcule I
18. Transforme la siguiente √ √ integral a coordenadas cartesianas y a coorde2π 2 4−r nadas esféricas r3 zdzdrdθ 2
0
3.3.
r
0
Problemas resueltos
1. Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 Solución. El sólido está comprendido entre las gráficas de z = f (x, y) =
− R2
V ol
x2
−y
2
y z = g(x, y) = − R2 − x2 − y 2 . La región S = (x, y) : x2 + y 2 ≤ R2 .
− −
= V =
[f (x, y)
√ −
R
= 8
[
0
g(x, y)]dxdy = 2
S R2 x2
R2
0
√
f (x, y)dxdy
S
x2
2
− y dy]dx
Hagamos A = R2 − x2 o sea A2 = R2 −x2 por lo tanto R2 − x2 − y 2 = y 2 A2 − y 2 = A 1 − ( A ) . Si hacemos el cambio de variable y = A sen θ obteniendo dy = A cos θdθ tenemos
63
V ol(V )
=
2
− − − − − − − f (x, y)dxdy
S
√R
2
R
=
8
0
8
√R −x 2
0
8
A2 cos2 θdθ]dx
0
1 + cos2θ 1 = θ 2 2
A2
0
R
8
π/ 2
π/ 2
0
=
0
=
dx
0
π 2 π A dx = 8 4 4 3
=
sen2 θ cos θdθ dx
1
π/ 2
[
R
8
y 2 dy dx
0
0
=
A2
2
A2
R
8
y 2 dy dx
π/ 2
0
=
x2
0
R
=
R2
0
R
=
2
−x
R
(R2
x2 )dx
0
R
x ) = 2π(R3 3 0 2 4 2π R3 = πR 3 . 3 3 2π (R2 x
R3 ) 3
2. Hallemos el volumen del sólido limitado por el elipsoide x2 y2 z 2 + + 2 = 1. a2 b2 c Solución. El sólido está comprendido entre las gráficas de z = f (x, y) =
− − c 1
x2 a2
−
y2 b2
Hagamos A = 2
− −
y z = g(x, y) = c 1
− − 1
x2 a2
o sea A2 = 1 −
x2 a2 x2 a2
− yb
2
2
. La región S = (x, y) :
por lo tanto
− 1
x2 a2
− yb
2
2
x2 a2
=
y 2 A2 yb = A 1 ( Ab ) . Si hacemos el cambio de variable y = Ab sen θ dy = Ab cos θdθ , tenemos 2
64
+
y2 b2
≤1
.
V ol(V )
=
2
− − − − | − − − f (x, y)dxdy
S
a
=
=
A2
0
0
a
π/ 2
sen2 θ cos θdθ dx
0
a
π/ 2
A2 b
8c
0
cos2 θdθ dx
0
π/ 2
a
=
y2 dy dx b2
y2 dy dx b2
A2 b 1
0
=
1
bA
8c 8
x2 a2
2
0
a
=
1
8c
0
2
− xa
b
1 + cos 2θ dθ 2
A2
8bc
0
0
a
= = = =
1 π/ A2 θ 0 2 dx 2 0 a π 2 π a x2 8bc A dx = 8bc (1 )dx 4 0 a2 0 4 a x3 a3 2πbc (x ) = 2πbc(a ) 3a2 0 3a2 2 4 2πbc a = πabc 3 3 8bc
Observemos que en el caso de que a = b = c tenemos el resultado del ejemplo 1. 3. Considere la integral x
1
[
0
f (x, y)dy]dx
x2
Bosqueje la región de integración, y cambie el orden de integración. solución. La región de integración está dada por S = (x, y) : 0
2
≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x 65
Así, intercambiando el orden de integración tenemos x
1
[
f (x, y)dy]dx =
x2
0
√y
1
[
0
f (x, y)dx]dy
y
4. Evaluar la integral 6
2
x y 3 + 1dy]dx.
[
0
x/3
La región de integración es S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 6, x/3 ≤ y ≤ 2} . Solución. Observemos que la integral y 3 + 1 no tiene antiderivada elemental. No la podemos calcular exactamente. Veamos que ocurre si invertimos el orden de integración. S lo podemos expresar también en la forma
S = (x, y) : 0
{
≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 3y} 66
Así la integral la podemos expresar como 6
2
0
|
3
[
3y
2
x y + 1dy]dx =
[
x/3
y 3 + 1dx]dy
x
0
0
3y
2
3
=
y + 1[
0
2
y 3 + 1[
=
0
2
=
9 2 y 2
0
5. Calcular
− a2
donde S =
3y 0
]dy
2 0
= 26
2
− y dxdy S √ (x, y); 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a − x
−
Solución.
x2
x2 2
y 3 + 1dy
(y 3 + 1)3/2
=
xdx]dy
0
− − 2
2
.
Cambiando a coordenadas polares, tenemos a2
a
r2 rdrdθ
=
T
π/ 2
a2
[
0
r2 rdθ]dr
0
a
=
π/2
r
a2
r2 dr
0
−(a − r ) / 2
= =
67
π/2
2 3 2
3
3
π/6a
a 0
Si multiplicamos este resultado por 8 obtenemos el volumen de la bola igual a 4/3πa 3.
6. Hallar el volumen de la parte del cono z = x2 + y 2 intersectada por la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 . Solución. Haciendo el cambio a coordenadas esféricas, tenemos: V ol =
dxdydz =
V
ρ2 sen φdρdθdφ
T
donde T = {(ρ,θ,φ) : 0 ≤ ρ ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π/4}. 2π
V ol
a
π/ 4
=
0
0
7. Calcule la integral
2
2
ρ sen φdφdρdθ =
− √2 πa .
0
3
3
(x2 + y 2 )dxdydz
V
donde V es el volumen limitado por la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0 y cortada por el cilindro x2 + y 2 = 1 . Solución: Utilizando coordenadas cilíndricas tenemos que este volumen puede verse como T =
{(r,θ,z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤
Por lo tanto la integral está dada por
2π
2
2
(x + y )dxdydz =
V
1
0
0
2π
=
0
1
0
0
2π
=
√4−r
2
√
2
− −r
4
− 4
r2
}
r2 rdzdrdθ r3 dzdrdθ
0
1
r3
[
0
64 = 2π( 15
0
−
4
r2 dr]dθ
√
11 3 ). 5
8. Exprese el volumen del sólido entre las esferas x2 + y 2 + z 2 = 4 y x2 + y 2 + z 2 = 1 y dentro del cono z = √13 x2 + y 2 , usando
a )
Coordenadas cartesianas b ) Coordenadas cilíndricas. 68
c )
Coordenadas esféricas.
d )
Calcule la integral en el sistema que usted considere más apropiado.
Solución:
En coordenadas cartesianas hallamos los cortes de las esferas 1 con el cono. La intersección con la esfera de radio 1, es x2 + y 2 + (x2 + 3 y 2 ) = 1, entonces x2 + y 2 = 3/4. La intersección con la esfera de radio 2 es dada por x2 + y 2 = 3. Así tenemos que
√3 √3−x
V ol
√ −x −y 2
4
2
=
−
2
dzdydx
√ −√3−x √ 3 √ x +y √ √1−x −y √ 3/4−x 3/2 2
1
2
2
3
2
− −
√
3/2
2
√ √x − / −x 3 4
2
2
1 √
2
3
dzdydx
+y 2
En coordenadas cilíndricas consideraremos la integral anterior y le hacemos el cambio de coordenadas. Así para√la primera integral tenemos √ 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π, √1 r ≤ z ≤ 4 − r2 y para la segunda in-
√3
3
tegral tenemos 0 ≤ r ≤ , 0 ≤ θ ≤ 2π , √13 r 2 volumen en coordenadas cilíndricas es dado por 2π
V ol
=
√ √ 3
−r
4
0
0
1 √
3
2
2π
rdzdrdθ
3/2
2
√
−r
1
− 0
r
√
≤ z ≤ √1 − r . Así el
0
1 √
3
2
rdzdrdθ.
r
Para hallar el volumen en coordenadas esféricas consideremos un corte del sólido en el plano xz . en este caso, en el plano xz, √ y = 0 por lo tanto 1 − 1 √ si x ≥ 0, tenemos z = 3 x, donde ϕ = π/2 − tan (1/ 3) = π/3. Así en coordenadas esféricas tenemos 1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π/3 69
Así el volumen en coordenadas esféricas es dado por 2π 2
V ol =
π/ 3
0
1
ρ2 sen ϕdϕdρdθ.
0
Como puede observarse el cálculo más sencillo es en coordenadas esféricas, por lo tanto 2π 2
V ol =
π/ 3
0
1
ρ4 ρ2 sen ϕdϕdρdθ. = 2π 4
0
= 2π(4
− 1/4) ( − cos ϕ)|π/ 0
3
2
π/ 3
1
sen ϕdϕ =
0
= 15π/4
9. Suponga que la densidad de una lámina semicircular es proporcional a la distancia desde el centro del círculo. Determine el centro de masa de la lámina. Solución. Si consideramos la lámina como la mitad de círculo x2 + y 2 ≤ a2 , l a distancia desde un punto (x, y) del círculo al origen está dada por x2 + y 2 . Por lo tanto la densidad está dada por ρ(x, y) = K x2 + y 2 , donde K es una constante de proporcionalidad. Así, la masa está dada por
m=
K x2 + y 2 dxdy.
S
Para calcular esta integral hacemos un cambio de variable a coordenadas polares. En este caso la región estaría dada por 0 ≤ r ≤ a y 0 ≤ θ ≤ π, y 70
esta integral sería
π
K x2 + y 2 dxdy = K
m =
S π
= K
a
dθ
0
0
r3 r dr = Kπ 3 2
0
a
a
r rdrdθ
0
Kπa3 = . 3
0
Puesto que la lámina y la función de densidad es simétrica respecto al eje y, el centro de masa está sobre el eje y, esto es x = 0. Puesto que y
1 m
=
3 yρ(x, y)dxdy = Kπa3
S
3 πa 3
=
π
a
sen θdθ
0
S π
3 r dr = πa3
a
r sen θ r rdrdθ
0
S
=
yK x2 + y 2 dxdy
3 x2 + y 2 dxdy = πa 3
y
3 πa 3
− | 0
π
3
cos θ 0
0
r4 4
a 0
=
3a . 2π
10. Determine los momentos de inercia de I x , I y , I o de un disco D con centro en el origen y frontera x2 + y 2 = a2 homogéneo con densidad ρ(x, y) = ρ constante Solución.
I o
Puesto que =
2
2
(x + y )ρ(x, y)dxdy = ρ
D
2π
0
0
(x2 + y 2 )dxdy
D
a
= ρ
2π
2
r rdrdθ = ρ
a
dθ
0
71
0
a4 πρa 4 = r dr = 2πρ . 4 2 3
Debido a la simetría del problema I x = I y y esto nos permite calcular I x y I y , puesto que I o = I x + I y . Por lo tanto I x = ly =
I o πρa 4 = 2 4
πρa 4
Puesto que I o = y la masa del disco es m = ρ πa2 , entonces I o = 12 ma2 . 2 Por lo tanto si incrementamos la masa o el radio, aumentamos el momento de inercia. El momento de inercia de una rueda es lo que dificulta comenzar el movimiento de un automóvil o detenerlo.
3.4.
Exámenes cortos realizados
QUIZ 1
1. Para cada una de las siguientes integrales 1
1
−
(a)
1
0
(b)
y 4 dydx
1/3
x
ln(x2 + y 2 )dxdy
x2 +y 2 4
≤ dibuje la región de integración y calcule la integral. 2. Calcule el volumen del sólido que yace debajo del cono z = 2 − arriba por el plano xy.
x2 + y 2 y
QUIZ 2
1. Establezca en coordenadas cilíndricas la integral
x2 dV donde la
V
región de integración es el solido limitado lateralmente por el cilindro x2 + y 2 = 1, arriba por el plano xy, y abajo por el cono z 2 = 4x2 + 4y 2 . (NO EVALÚE LA INTEGRAL).
√ √9−x
−x −y
9
2
3
2
2
2. Considere la integral −3 z x2 + y 2 + z 2 dzdydx. Haga √ 0 − 9−x un bosquejo de la región de integración y exprese la integral en coordenadas esféricas. Evalúe la integral. 2
QUIZ 3
1. Determine los momentos de inercia I x , I y , y I o de un disco homogéneo Ω con densidad ρ(x, y) = ρ (constante), con centro en el origen y radio a. 72
2. Considere la integral
√
1
−x
1
√ −x −y 2
1
2
2
0
√x
0
2
zdzdydx
+y 2
(a) Establezca la integral en coordenadas esféricas. (NO RESUELVA LA INTEGRAL). (b) Calcule la integral en coordenadas cilíndricas. QUIZ 4
Exprese la integral
x2 + y 2 + z 2 dV , en coordenadas cartesianas, cilín-
Ω
dricas y esféricas donde Ω es la región acotada por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4, dentro del cono z = x2 + y 2 . Calcule la integral en el sistema de coordenadas que usted considere más conveniente. QUIZ 5
Seleccione la respuesta correcta 1. Al invertir el orden de integración de la integral 2 2−x f (x, y)dxdy, obtenemos
1
a ) b)
c ) d )
0
x
1
0
0
1
−y f (x, y)dydx
2
y
0
1
f (x, y)dxdy +
−x
2
2
0
1
1
x
0
0
f (x, y)dxdy +
f (x, y)dxdy
−y f (x, y)dxdy
2
y
0
y 2 2 y 1
−
f (x, y)dydx
2. Sea x = uv, y = u2 − v2 u > 0, v > 0. Al hacer el cambio de variable y transformar la región T = [0, 1] × [0, 1] en el plano uv, por la región Ω en el plano xy acotada por las gráficas de las funciones y = 1 − x2 y y = x2 − 1, la integral f (x, y)dxdy se convierte en Ω a ) b) c ) d )
1
1
f uv,u2
− 0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
− − − − v2 dudv
2f uv,u2
v2 uvdudv
2f uv,u2
v2
2f uv,u2
v2
u2 + v2 dudv u2 + v2 dudv
73
3. [i.] Al representar la integral
x2 + y 2 dA en coordenadas polares en
Ω
la región
A. C.
2
π/ 4 2 π/ 2 r dθdr π/ 4 3 π/ 2 r dθdr
1 2
1
B.
− −
D.
2
π/ 4
2
1 2 1
−π/2 r drdθ . π/ 4 3 −π/ 2 r drdθ
[ii.] Al invertir el orden de integración, tenemos que la integral es igual a A. C.
1
1
y
1
0
2
ex dydx x x e dydx 1
B. D.
0
2
0 1
1
1 x2 x e dydx x x2
0
0
1
1
0
y
2
ex dxdy
e dydx
[iii.] Dos de estas afirmaciones son correctas; señálelas. El volumen del solido que se muestra en la figura es
A. C.
1
√x √0 x (11−y y)dydx
− 0 1
0
0
0
B. D.
dxdydz
1
√x (1 y)dxdy 1√ x 1−y
− 0 1 0
0
0
dzdydx
[iv.] El volumen del sólido bajo el paraboloide z = 3(x2 + y 2 ), arriba del plano xy y dentro del cilindro x2 + y 2 = 4 es 74
A. C.
2π
r2
2
0 2π
0 2
0 2 3r
dzdrdθ
B.
2
2π
2
3r
0 2π
0 2
0 3/4
dzdrdθ
rdzdrdθ D. 0 0 3r rdzdrdθ u [v.] Sea x = , y = u v u > 0, v > 0. Al hacer el cambio de variable y v transformar la región T en el plano uv, por la región Ω en el plano xy, integral Ω f (x, y)dxdy se convierte en u u u A. f , uv dudv B. 2 T f , uv dudv T vu v v u u u C. 2 T f , uv dudv D. f , uv dudv T v v v v 0
0
0
−
75
2
