INTEGRALES TRIPLES
Z
1. DEFINICIÓN: Sea w = f ( x, y, z ) una función definida en una región S ⊂ ℜ3 . La Integral Triple de f sobre S , denotada por
∫∫∫ ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz S
f ( x, y , z ) dxdydz ∫ ∫ ∫ S
, está definida como: m
= lím
P →0
n
p
z = h2 ( x, y )
Sólido S
z = h2 ( x, y )
∑∑∑ f ( x, y, z )dx
Y
i =1 j =1 k =1
Si tal límite existe, se dice que “ f es integrable sobre S ”. 1.1.Observación: Con respecto a la definición dada: a) P es la Partición de S en paralelepípedos: Z 3 S ⊂ ℜ : Es el dominio de integración de la función: w = f ( x, y, z )
Y
x
=
a
R x = b y = g 1 ( x)
X
y = g 2 ( x) 1
Ejemplo 1. Calcular ∫ ∫ ∫ 0 ∫ x
x
2
xy xy
∫ 0
xyzdzdydx
Ejempl Ejemplo2. o2.Cal Calcul cular ar el volume volumen n del Sólido Sólido S ⊂ ℜ3 limitado por los planos: z = 0 , z = 2 , x = 0 , y = 0 , x + y =1
3.CAMBIO DE VARIABLE EN INT. TRIPLES: X b) P es la Norma de la Partición P y se define como: P = máx .{∆ x i , ∆ y j , ∆z k } c) El Volumen de la región S está dado por: S ) = ∫ ∫ ∫ dxdydz Volumen ( S ) S
2.CÁLCULO DE LAS INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE LAS “INTEGRALES ITERADAS”: Una forma práctica de resolver integrales triples, sin hacer uso de la definición dada es mediante las integrales iteradas. Se presentan 6 órdenes: a) dxdydz c) dxdzdy e) dydzdx b) dydxdz
d) dzdxdy
f) dzdydx
Describirem Describiremos os la región S y la integral triple para la orden dzdydx:
( x, y, z ) ∈ ℜ / a ≤ x ≤ b , g 1 ( x) ≤ y ≤ g 2 ( x) , h1 ( x, y ) ≤ z ≤ h2 ( x, y ) 3
S =
∫∫∫
f ( x, y , z ) dxdydz
S
b
=∫
a
g 2 ( x )
∫
g 1 ( x )
h2 ( x , y )
∫
h1 ( x , y )
f ( x, y , z ) dz
Geométricamente la descomposición de S para la orden dzdydx es de la forma: f orma:
El jacobiano J de la transformación(
ϕ i
∈C 1 ):
y = ϕ 2 (u, v, w) ;
x = ϕ 1 (u , v, w) ; z = ϕ 3 (u , v, w)
viene dado por el determinante: ∂ x ∂ x ∂ x ∂u ∂v ∂w ∂ y ∂ y ∂ y = j ( u , v, w ) = ∂u ∂v ∂w ∂u ∂ z ∂ z ∂ z ∂ x ∂u ∂v ∂w ∂v ∂ x ∂w ∂ x
1
∂u ∂ y ∂v ∂ y ∂w ∂ y
∂u ∂ z ∂v ∂ z ∂w ∂ z
Y la fórmula para calcular la integral triple con el cambio de variable, está dado por:
∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫∫ f (ϕ (u , v, w), ϕ (u , v, w), ϕ (u , v, w) ) J (u , v, w) S
T
1
2
3
x dxdydz , donde: Ejemplo 3. Calcular ∫∫∫ S S = {−1 ≤ x − z ≤ 1, 0 ≤ y + z ≤ 2 , 0 ≤ x + z ≤ 1} Ejemplo 4: Hallar el volumen de la región limitada por los cilindros hiperbólicos: 2
xy xy =1 , xy xy = 9 , xz xz = 4 , xz xz = 36 , yz yz = 25 , yz = 49
4. COORDENADAS CILÍNDRICAS:
cos( x ∫ ∫ ∫
2
S
sólido
+ y 2 + z 2 )dxdydz , don donde de
superficies x + y = 2 , x + y = 4 , z = 0 , z = 4 . 5. COORDENADAS ESFÉRICAS: 2
Gráfica de las Coordenadas Cilíndricas:
ρ > 0
acotado
2
2
por
S es el
las
2
Gráfica de las coordenadas esféricas:
0 ≤ θ ≤ 2π
ρ > 0
El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una una integr integral al triple triple,, es conven convenien iente te especi especialm alment entee cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z. La func funció ión n se trans transfo form rmaa medi median ante te la sigu siguie ient ntee relación.
El determinate jacobiano de la transformación es el siguiente:
0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ ϕ ≤ π
Cuando existe simetría esférica en un dominio en R 3, es posib osible le utili tiliza zarr una tran transf sfo ormac rmació ión n hacia acia coordenadas coordenadas esféricas para simplificar simplificar una integral integral triple. La función es transformada por la relación: f ( x, y , z ) → f ( ρ cos θ sen ϕ , ρ sen θ sen ϕ , ρ cos ϕ )
El determinate jacobiano de la transformación es el Notar que: que : x 2
+
y2
siguiente:
2 = ρ
cos θ sen ϕ − ρ sen θ sen ϕ ρ cos θ cos
∂( x , y , z ) = sen θ sen ϕ ∂( ρ , θ , ϕ )
Por lo tanto, se puede derivar la siguiente fórmula de integración:
ρ cos θ sen ϕ
cos ϕ
Notar que: que: x 2
+
y 2
+
z 2
0
ρ sen θ cos
− ρ sen ϕ
2 = ρ
Toma Tomand ndo o el valo valorr abso absolu luto to del del dete determ rmin inant antee se obtiene el factor que se debe añadir a la integral.
Ejemplo 5: Hallar el volumen de la región sólida S limitada por la esfera E y el cilindro C , dados por: 2 2 2 2 E : x + y + z = 4 ; C : x + ( y − 1) = 1 2
Por lo tanto los diferenciales dx dy dz se transforman 2 en: dxdydz → ρ sen ϕ d ρ d θ d ϕ Finalmente se obtiene la fórmula de integración:
∫∫∫ f ( x, y, z ) dx dy dz = ∫∫∫ f ( ρ cos θ sen ϕ , ρ sen θ sen ϕ , ρ cos ϕ ) ρ sen ϕ d ρ S
Ejemp Ejemplo lo 6: Calcul Calcular ar el volum volumen en del sólido sólido S , 2 limitado por el cilindro x + y 2 = 2 x , el parabo paraboloi loide de z =
( x 2
1
2
+ y
2
)
y el
plano XY XY
Ejemplo Calcular
7:
2
T
Ejem Ejempl plo o 8: Haci Hacien endo do uso de la in inte tegr gral al tr trip iple le,, encontrar una fórmula para calcular el volumen del sólido limitado por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = r 2 . Ejemplo 9: Hallar el volumen de la región sólida S limitada inferiormente por el interior de la hoja superior del cono z 2 = x 2 + y 2 y superiormente por la esfera 2 2 2 x + y + z = 9 .
