CURSO: MATEMÁTICA MATEMÁTICA II Integrales dobles
Tema :
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Calcule la integral, sobre los rectángulos indicados
∫∫ x e dxdy, 2 y
a)
Q
∫∫ sin b)
2.
Q = [−1,1] × [0, ln ln 2] 2]
2
(3 x − 2 y )dxdy;
Q = [0,π ] × [0,π ]
Q
Dibuje la región de integración, estudiar la existencia de la integral calcular su !alor
∫∫ x cos( x + y)dx dy a)
D
∫∫ x cos( x + y)dA b)
D
∫∫ xdxdy c)
D 3
d)
, siendo 2− y
∫
∫
−1
0
"iendo D el triángulo de !#rtices
(0,0) ,0),(π ,0) ,0), (π , π )
, siendo D el tra$e%oide de !#rtices (0,0),(1,0), (1,2),(0,1)
{
D = ( x, y ) ∈ R 2 & y ≥ x 2 , y ≤ '
}
2
x y
dxdy
π ' sin x
c ot 2 x ) dy dx ∫ ∫ ( 1 + ' y co
e)
0
0
3. Describe gráica anal*tica+ente la región de integración en la siguiente integral e in!ertir el orden de 1 1
∫ ∫ tan( x2 )dxdy
integración- 0 y
2 '
I =
4.
∫ ∫ 2
x sin xdy dx
0
y "ea la integral doble. a) e$resente e$resente +ediant +ediantee un dibujo dibujo,, la región región de integr integración ación en en el $lano $lano x b) /n!ierte el orden de integración de de la integral doble dada calcular I
5. 0!alu# las siguientes integrales en los recintos ue se i ndican.
∫∫ −2 y ln xdxdy a)
D
∫∫ x y dA b)
R
, donde
{
2
2
}
D = ( x, y ) ∈ R & y = ' − x , y = ' − x
2 , donde R es la región li+itada $or las cur!as cur!as y
1
= x ; x = 3; y = 0
∫∫ x
y 2
+ y2
R
c)
dA,
donde R es el triángulo acotado $or y = x, y = 2 x, x = 2
1
∫∫ x + y dA R
d)
∫∫ x
, siendo R la región acotada $or y = x; x = 1, x = 2; y = 0
2 2
y dxdy
D
e)
siendo x + y
∫∫ e
dxdy ,
R
)
siendo
∫∫ ( x − 1)
1 + e2 y
D
g)
∫∫ x
3
}
{
}
R = ( x, y )∈ R 2 & x + y ≤ 1
, en el recinto li+itado $or la cur!a y = ln x las rectas y = 0, x = 2
ydA con D la región entre el eje
D
)
{
D = ( x, y )∈ R 2 & x y < 1, y > 0,( x − y )( x − 2 y ) < 0
y
2
la $arábola x = −' y + 3
6. Calcule las siguientes integrales dobles utili%ando un ca+bio de !ariable adecuado. x
x 2 e
a)
2
∫∫ y( x2 + y2 )dxdy R
x
2
= 2 y;
x
∫∫ ( x + y ) b)
y
2
, donde región del $ri+er cuadrante li+itado $or las cur!as
x = y ; x = 2 y ;
=y
2 x−y
e
dxdy , siendo R el $aralelogra+o deli+itado $or las rectas
R
x − y = 1, x − y = −1 -
x + y = 1 , x + y = ' ,
∫∫ xydxdy c)
D siendo el $aralelogra+o x − 2 y − 1 = 0, 2 x − y − = 0, x − 2 y − ' = 0, 2 x − y − 2 = 0 D
x =
,
−u + 2v 3
∫∫ ( x − y) d)
ca+bio
de !ariables
-
sin 2 ( x + y ) dxdy D
la región acotada $or el $aralelogra+o de !#rtices
+ y 2 )dxdy
2
+ y 2 )dxdy ,
siendo D la región li+itada $or "ugerencia. use coordenadas $olares D
2
)
+ y dA
R 2
2
∫∫ x
( x2
2 2 las eli$ses x + ' y
D
=1 ;
2 2 x + ' y = ' -
2 siendo R la región anular situada entre las dos circunerencias x
x + y =
)
rectas
2 2 2 2 , siendo D la región acotado $or las circunerencias x + y = ', x + y = 1 , use coordenadas $olares-
∫∫ ( x g)
las
D
∫∫ ( x )
3
, siendo (π , 0), (2π , π ), (π , 2π ) (0, π ) 2
eectuando el
$or
v − 2u
D
∫∫ ln( x
e)
2
, y=
deli+itado
+ y 2 )dxdy , siendo D el $ri+er cuadrante deinido $or
2
x 2 + y 2 ≤ a 2
+ y2 = 1
∫∫ x
3 3
y dxdy
R
i)
,
2
2
siendo 2
2
la 2
región 2
2
contenida
en
el
14
cuadrante
li+itado
$or-
2
x + y = 1; x + y = ' ; x − y = 1; x − y = 2
∫∫ ( x
2
+ y 2 )dxdy
R
j)
7.
, siendo
{
R = ( x, y ) & x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 1
}
5alle las áreas de las siguientes regiones $lanas. a)
2 2 6i+itada $or y = ' − x; y = ' − ' x
b) De la región D interior a la cardiode r = cos θ + 1 exterior al c*rculo r = 1 c) De la región li+itada $or r = cos3θ -
R
d) "ea
la
13 23
x = u
8.
v
región
, y =u
li+itada
$or
y =
x ; y = 2 x ; y = x2 3; y = x2 '
,
usa
el
ca+bio
2 3 13
v
, $ara allar el área
Calcule los !ol7+enes de los sólidos li+itados $or las su$ericies siguientes. a) 8lantee la integral $ara calcular el !olu+en del sólido ue está $or debajo del $araboloide 2
2
2
2
z = x + y enci+a del disco x + y ≤ '
b) Del sólido li+itado su$erior+ente $or el
9.
x2 y 2 z = 1 − 9 + 1÷÷ sobre el $lano XY $araboloide
:se coordenadas $olares $ara allar el !olu+en de la región sólida li+itada su$erior+ente $or el e+iserio
z = 1 − x 2 − y 2
2 2 e inerior+ente $or la región circular R dada $or x + y = '
10.
(0,3) (2,3) 5alle la +asa de la lá+ina triangular de !#rtices (0,0) , , su$uesta la densidad en ( x, y ) ( x, y ) = 2 x + y dada $or ρ
11.
5alle la +asa de la lá+ina corres$ondiente a la $orción del $ri+er cuadrante en el c*rculo 2 2 x + y = ' , siendo la densidad en el $unto ( x, y ) $ro$orcional a la distancia entre el $unto el centro-
12.
Considere una lá+ina +etálica delgada ue está en el $ri+er cuadrante del $lano
= + = 2 las cur!as y 2 x 1, y x
xy , li+itada $or
+ 1 - "u$onga ue la densidad de la lá+ina en cualuier $unto
( x, y ) está
2
dada $or ρ ( x, y ) = x y - Calcule la +asa total de la lá+ina l as coordenadas de su centro de gra!edad-
13.
2 ; 5alle el centroide de la región acotada $or las cur!as y = x − x
x+ y =-
y = 2 x y = x, x = 2 , cua densidad está
14.
Calcule el centro de gra!edad de la lá+ina li+itada $or = dada $or la unción ρ ( x, y ) 2 x
15.
Calcule los +o+entos de inercia res$ecto a los ejes de coordenadas al origen de una lá+ina o+og#nea de densidad ρ ( x, y ) = 1 ue la región li+itada $or la cur!a xy = 3 la recta x + y =
3
16.
y 5alle el radio de giro res$ecto al eje de la lá+ina corres$ondiente a la región R . 0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ π donde la densidad en ( x, y ) !ienen dada $or ρ ( x, y ) = x
17.
"u$onga ue una lá+ina tiene la or+a de un se+ic*rculo ue la +edida de la densidad es $ro$orcional a la +edida de la distancia del $unto ( x, y ) a $artir del diá+etro- "i la +asa se +ide en ilogra+os la distancia en +etros, calcule el radio de giro de la lá+ina con res$ecto al eje x
'
