Monog Mo nogra rafi fiaa de Calcu Calculo lo III III TEMA : INTEGRALES DOBLES
PROFESOR :ROMAN TELLO HUBERT GAVINO
Integrales dobles
Integrales dobles
RECORDAMOS: ÁREA BAJO UNA CURVA CURVA Y LIMITADA LIMITADA ……
Dividimos en en intervalo [1, 2] en n partes iguales S n 1 1 1 1 1 1 n 3 2n 6n3 n 7 3 13 3 2n 6n
Área Área
7 3 1 3) 7 lim S n lim ( 3 n 3 2n 6n n
Segund Seg undoo teo teorem remaa fun fundam dament ental al Si f(x) es continua continua en [a,b] [a,b] , y F(x) es una primitiva primitiva
b
a f ( ( x)dx F (b) F (a) Ejemplo:
2
1
(2 x2
b
3 x x x)dx 3 2 a 2
2
Segund Seg undoo teo teorem remaa fun fundam dament ental al b
a f ( x)dx F (b) F (a) 2 Ejemplo: 3 x2 x2
2
(2 x2 x)dx
1
3
2
1
2 2 2 3(2)2 (2 3(1) (1) 3(2 ( 2) 3(1 (1 2 3 2 3
2
2
3 2 3 2 2(2 2 x3 x2 (2) 2(1 2(1) (1) 2(2) 2 (2 x x)dx 3 2 3 2 3 2 1 1
44 7 6
37 6
6
Más ejemplos b
f ( x)dx F (b) F (a) a
1 2
z
z
dx 2
1
1
z
2 z
dx
2 2 2 2 x2 x2 3(2) (2)2 3(1)3 (1) 3 2 (2 x ( x)dx2 31) ( 2 1) 2 2 3 30 3 1 0 1 2
1
1
( z 2 1)3 2 zdx 2 0
1 ( z 2 1)2 1 1 (12 1)2 1 (02 1)2 = 2 2 2 2 2 2 0 =-
1 16
4 16
3 16
APLICACIONES Supóngase que durante los primeros 5 años que una mercancía ha estado a la venta en el mercado, se venden y unidades al año cuando han transcurrido x años desde que el producto se presentó por primera vez , donde y= 3000 (x)^(+1/2) +1000 , x varía en [0, 5]. Calcular las ventas totales durante los primeros 4 años
2
2
2 4(2 x x)dx
3 x2 x2 2 (2)2 3(1)2 (1)2 3(2) 3/ 2 4 3 3 2 2 x 2 3 1
(3000 x 1000)dx 0 1
1000 x dx 3/2 3000 3/ 2 4 0 2 3/ 4 x = 1000(4) 1000 3 / 2 x 3 / 23000 3000 0 3000 =20000
03/ 2
100
3 / 20
(0)
Se venden 20 000 unidades durante los 4 primeros años
INTEGRAL DEFINIDA Sea f, función continua y no negativa sobre [a,b] que se divide en n subintervalos de igual longitud x. Si x j es el extremo izquierdo del j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define:
b n lim f(x j )Δx f(x)dx F(b)-F(a) n j 1 a
a
x j
x j+1
b
Gráficamente representa el área bajo la gráfica de f en [a,b]
La integral doble Sea f, continua en una región R del plano XY . Usando líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos de área A. Sea (x j ,y j ) un Pto del j-esimo rectángulo, entonces la integral doble de f sobre R es:
R
( x j, y j)
n
nlim f(x y )ΔA lim j 1 j , y j
f(x,y)dA f(x, y)dA
La integral doble
R
n
f(x, f(x,y)dA y)dA
lim lim f(x j , yy j )ΔA n j1
La integral doble
D
n
f(x, y)dA
nlim f(Pi )A Ai
i 1
i
Interpretación gráfica La integral doble de una función no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) y sobre la región R del plano xy.
z = f(x,y)
Región R
INTEGRALES ITERADAS
INTEGRALES ITERADAS
TIPOS DE REGIONES DE INTEGRACIÓN
Límites de integración Secciones transversales verticales: La región R está limitada por las gráficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por R: a x b ,
g1(x) y
g2(x)
y = g2(x) R
a
y = g1(x) b
R
b g 2 (x)
f(x,y)dA
a g (x) 1
f(x,y)dydx
Límites de integración Secciones transversales horizontales: La región R está limitada por las gráficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por R: c y d , d
h1(y) x
h2(y)
x = h1(x)
x = h2(x) R c
R
c h (y) d
f(x,y)dA
h2 (y) 1
f(x,y)dxdy
TIPOS DE REGIONES DE INTEGRACIÓN
Cálculo de integrales dobles La integral doble de f sobre la región R (Rectángulo), está dada por el valor común de las dos integrales iteradas.
c a f(x,y)dxdy a c d
f(x,y)dA
b
b d
f(x,y)dydx
R
Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R. Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra variable.
Propiedades a)
K.f(x, y)dA
R
b)
K f(x, y)dA R
f(x,y) g(x, y)dA
R
f(x,y)dA g(x,y)dA R
c) Si f(x,y)
R
0, (x, y) R ,
f(x,y)dA
0
R
d) Si R
R
R 1 R 2 , donde R 1 y
f(x,y)dA
R 2 no se sobreponen
f(x,y)dA f(x,y)dA R1
R2
X
n
sn =
Formamos la sumatoria
L k=1
f (xk’ Yk ).~ Ak n
Calculamos el límite cuando n aumenta ya que los rectángulos son cada vez más
límn~CXJsn
pequen- os
L
=
f (xk, Yk ).~ Ak
k= 1
Cuando existe el límite la función es integrable y se conoce como la integral doble
lim
Sn
f(x, y) dA,
n~OO
Si f{x,y} es continua
Es integrable
El límite o integral doble es el volumen del sólido sobre la base R.
Cuando n crece, las sumas de Riemman se aproximan al volumen del sólido
Por lo tanto, las integrales iteradas con cualquier orden de integración dan el volumen y es igual a la integral doble
TEOREMA DE FUBINI: Si f(x,y) es continua en la región rectangular R, entonces:
INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES
PROPIEDAD DE LAS INTEGRALES DOBLES
VOLUMEN =
El área de una región plana cerrada y acotada R es
MASA:
M
(x, y)dA donde (x,y) es la función densidad o masa por unidad de área
R
Momentos de inercias: Mx
y.(x,y)dA
R
Centro de masa:
My Mx ; y x M M
My
R
x.(x, y)dA
EJEMPLO 1: Hallar la masa de la lámina triangular de vértices (0,0); (0,3) y (2,3), si su densidad en (x, y) es: ( x, y) 2 x y Solución: Considerando la integral que se forma con la función se tiene: 3
0
2 y 3
0
(2 x y )dxdy
3
dy 0
2 y 3
0
2 y 23 y (2 x y )dx dy 2 xdx 3 ydx 0 0 0 3|
Cálculo de la masa de una lámina en el espacio tridimensional
EJEMPLO 2: La figura muestra una lámina S con la forma del cono
z 4 2 x y , 0 z 4 2
2
En cada punto de S la densidad es proporcional a su distancia al eje z. Hallar la masa de la lámina Solución: Consideraciones importantes
La proyección de S sobre el plano xy da S : z 4 2 x y g ( x, y), 0 z 4 2
2
R : x y 4 2
2
con densidad ( x, y, z) k
x y 2
2
Usando una integral de superficie la masa se calcula así:
m ( x, y, z)ds S
Convirtiendo la integral de superficie a una integral de área se tiene:
m ( x, y, z)ds k x y 1 g ( x, y) g ( x, y) dA 2
S
2
2
S
m k x y 2
1
2
S
2
x
4 x
4y
2
x y 2
2
2
x y 2
y
2
dA
4 y dA m k x y 1 x y 2
4x
2
S
2
2
2
y dA m k x y 1 x y m 5 x y dA m k 5r rdrd 5k r drd 2
2
4 x
2
S
2
2
2
2
2
2
S
2
2
2
2
0
0
0
0
3
5k 3
r d 2
0
3
0
2
m 5k 2 0 d 8 5k d 8 5k 3 3 3 1 2 0
3
3
2
0
0
m 8
83 5k 2 163 5k
5k 2 0 3
2
EJERCICIOS PARA LA CARPETA
y
(2 x y)dxdy 4
3 0
0
5
0
2 y
0
3
(2 x y)dxdy
INTEGRALES TRIPLES
