Integrales Cíclicas Muchas veces cuando estamos resolviendo integrales usando el método de por partes llegamos l legamos a un punto en el que usar la propiedad:
u·v-
∫v du= ∫u dv
no nos lleva a un respuesta directa y hay que realizar una pequeña sustitución. Por ejemplo: 1) ∫e^3x · cosx dx Resolviendo una integral de este tipo tenemos que: u= e^3x du= e^3x · 3 dx
dv= cosx
∫dv= ∫ cosx dx v= senx
u·v- ∫v du= ∫u dv
e^3x · senx -
∫ senx · e^3x · 3 dx =
= e^3x · senx -3
∫ senx · e^3x dx
Como podemos ver nos quedó otra vez una integral parecida a la original (1). Así que aplicamos por partes. u= e^3x du= e^3x · 3 dx
dv= senx
∫ dv= ∫ senx dx ∫ v= -cosx
e^3x · senx - 3( e^3x · -cosx - ∫e^3x ·3 · -cosx dx ) e^3x · senx - 3( e^3x · -cosx + 3 ∫e^3x · cosx dx ) dx ) Una vez que llegamos a este punto es bastante obvio que se nos formó un ciclo. Así que para poder salirnos de él simplemente hacemos lo siguiente: 1) La integral que estamos tratando de resolver originalmente era:
∫e^3x · cosx dx manipulándola nos quedó así: 3( e^3x · -cosx +3 ∫e^3x · cosx dx ) ∫e^3x · cosx dx = e^3x · senx - 3( Como podemos apreciar tenemos otra variable a esa expresión.
∫e^3x · cosx dx a ambos lados, por lo que le podemos llamar "I" o cualquier
I= e^3x · senx senx - 3( e^3x e^3x · -cosx +3I ) I= e^3x · senx - 3 · e^3x e^3x - 9I
10I= e^3x · senx - 3 · e^3x I= (e^3x · senx - 3 · e^3x) / 10 + C y este es el resultado.
Métodos de integración La integración tiene algunos métodos, llamados técnicas de integración que permiten reducir ciertas integrales a otra ya conocidas (la tabla). Entre esas técnicas se tiene el cambio de variable que se estudia a continuación.
1.- Cambio de Variable o Sustitución Esta técnica no es otra cosa que la regla de la cadena de las integrales. Lo cual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su integral.
∫f(gx) g x dx = F(gx) + C !
10I= e^3x · senx - 3 · e^3x I= (e^3x · senx - 3 · e^3x) / 10 + C y este es el resultado.
Métodos de integración La integración tiene algunos métodos, llamados técnicas de integración que permiten reducir ciertas integrales a otra ya conocidas (la tabla). Entre esas técnicas se tiene el cambio de variable que se estudia a continuación.
1.- Cambio de Variable o Sustitución Esta técnica no es otra cosa que la regla de la cadena de las integrales. Lo cual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su integral.
∫f(gx) g x dx = F(gx) + C !
Ejercicios
Integración por partes
El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuación d(u.v) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si.
∫
d(u.v) =
∫
u dv +
(u.v) =
∫
u dv = u v -
∫
v du
∫
v du
∫
u dv +
(se integra en ambos lados de la fórmula)
∫
v du
(resolviendo la integral)
(despejando, queda la fórmula de la integración por partes)
Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Esta selección es lo más importante y se debe realizar de la siguiente manera
1.- En la parte que corresponde a dv debe ser la función más fácil de integrar, 2.- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva. Las funciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas de trabajar. Una de las reglas para saber si el procedimiento realizado es correcto la integral resultante debe ser más sencilla que la original o sino de igual dificultad.
Ejemplo
Se aplica la fórmula de la integración por partes, el procedimiento se puede repetir tantas veces como la integral lo amerite. La constante de Integración solo debe considerase en la integral principal no en la que completa la fórmula. Ejemplo 2
La siguiente integral no se le puede aplicar la integración por partes directamente, se tiene que realizar un cambio de variable previo. Al observar que la función exponencial en su exponente genera una derivada y que esta debe estar dentro de la integral.
El siguiente ejercicio se conoce como integrales cíclicas, puesto que reaparece la original y debe despejarse como se demuestra a continuación:
Ejercicios
Concepto de Integral Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada asi como la suma es a la resta. Por conveniencia se introduce una notación para la antiderivada de una función
Si F! (x) = f(x), se representa
∫
∫
A este grafo se le llama símbolo de la integral y a la notación f x dx se le llama integral indefinida de f(x) con respecto a x. La función f(x)se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama conste de integración esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.
∫f x dx Esto se lee integral de fx del diferencial de x
Propiedades -->
∫ kfx dx = k ∫f x dx ∫ (f x+ gx) dx = ∫f x dx + ∫g x dx
Ejemplos La aplicación de la segunda fórmula
Se aplica nuevamente la fórmula anterior combinada con la propiedad antes descrita
Enlace para la explicación sobre exponentes
-->
Cuando el grado del numerador es mayor o igual es denominador, se debe realizar una división de polinomios
Ejercicios
Integrales de Completación de Cuadrados
Integrales Completación de cuadrados o que contienen un trinomio cuadrado Integrales de la forma
Entre otras formas Este artificio está basado en la completación de cuadrados, es decir, tratar que el denominador se convierta en un binomio al cuadrado más un término independiente. Como se muestra a continuación:
Ejemplos:
1.-
Integrales Racionales o Fracción Simple
Integrales que contienen funciones racionales, es decir polinomios tanto en el numerador como en el denominador
∫[P(x)/Q(x ] dx donde Q(x)≠0
Para poder aplicar el artificio de fracción simple el grado del numerador debe ser menor que el del denominador y que éste último sea factorizable en factores lineales y/o cuadráticos. El denominador debe estar factorizado. (recordar ) El artificio consiste en:
Caso 1: Integrales que contienen en el denominador factores lineales que no se repiten (es decir factores con potencia igual a uno). El artificio consiste en anexar un valor por cada factor lineal presente. Como se muestra a continuación:
Ejemplo
Caso 2:
Los factores del denominador son lineales y estos se repiten. Es decir hay factores con una potencia mayor que 1. (ax + b) n, con n ＞ 1. Para este caso se asume, al igual que en el caso anterior, un nuevo valor para cada factor lineal. Aquellos que tienen una potencia se les anexa uno tantas veces como lo indique el exponente en orden creciente o decreciente, como se ve a continuación:
Caso 3: El denominador tiene factores cuadráticos y estos no se repiten.
Para este caso se asume, un nuevo valor para cada factor lineal y uno para el término independiente.
Caso 4: El denominador tiene factores cuadráticos que se repiten, es decir que
Integrales Irracionales Son aquella integrales que contienen funciones irracionales (raices), la cantidad subradical lineal repetida o no. El artificio consiste en realizar un cambio de variable que permita simplificar las raices presentes, esto se logra elevando la nueva variable al índice de la raiz o el mcm de las raices presentes. (siempre que sean de la misma cantidad subradical). Ejemplo:
Integrar no es fácil, sobre todo en los comienzos, cuando uno se encuentra con la famosa S estirada,
, por primera vez. Creo que en esto estamos de acuerdo.
En lo que pienso que también estaremos de acuerdo es en que, sobre todo en esos momentos, la integración es un arte . La manera en la que los virtuosos de la integral vislumbran la fórmula a utilizar o el método de integración adecuado deja tan sorprendido al resto que no es exagerado, como decía, calificar a estos expertos integradores como auténticos artistas del mundo de Riemann . Lo primero que uno se encuentra cuando comienza con las integrales son, generalmente, las integrales inmediatas, esto es, las que pueden resolverse simplemente utilizando las típicas fórmulas que se encuentran en las tablas habituales (y las propiedades de linealidad de la integral). Aunque en ocasiones uno puede encontrarse integrales inmediatas realmente complicadas de identificar, por norma general éstas se pasan fácilmente. Seguidamente a uno se le presenta el método de integración por partes, y lo primero que ve es la siguiente fórmula:
Después del susto inicial, nos explican que la integral que aparece en la parte izquierda es la nuestra, la que queremos resolver, y la parte derecha es la expresión resultante de la
aplicación del método. Aparte del típico “¿De dónde se ha sacado esto este tío?” (aunque es fácil: derivada de un producto, integrar a
ambos lados de la igualdad y colocar de manera conveniente) uno de los primeros pensamientos que nos vienen a la mente es (en el mejor de los casos) “Vale, otra fórmula que me tengo que empollar”
Y cuando nos dicen que además debemos elegir una parte de la función a integrar y llamarla
y llamar al resto
, la situación se torna en un caso claramente hecho a medida
pde la pitonisa Lola y sus velas negras, Paco Porras y su nabo (ups, perdón) o Sandro Rey y su…mejor me callo:
Vale, y encima tengo que adivinar de qué manera llamar a cada parte
Pues no amigos, no está todo perdido . La mnemotecnia (y los profesores más o menos buenos) va a rescatarnos del pozo en el que nos hayamos metidos, va a eliminar de un plumazo (bueno, de dos) esa desazón que recorre nuestro cuerpo, va a llevarnos por el buen camino de este noble arte de la integración por partes.
Primera cuestión: ¿cómo me aprendo la fórmula? Como hemos comentado, la primera cuestión que se nos viene a la cabeza es que debemos aprendernos esa fórmula de memoria. Pero, como hemos comentado, la mnemotecnia es nuestra amiga, y en este caso nos va a ayudar, y mucho. Son muchísimas las frasecillas que existen para recordar la fórmula base del método de integración por partes, en las que la idea es quedarse con la primera letra de cada palabra para así reconstruir dicha fórmula. En algunas se incluyen palabras comenzando por S para simbolizar dónde hay integrales, en otras no se hace y en otras solamente se incluye la segunda integral. Os dejo aquí unas cuantas sacadas de la Wikipedia en español, los comentarios en “I will derive” en Menéame, una de Twitter y mi experiencia personal:
Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme
Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
Sentado Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
Susana Un Día Vio Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
Unamuno Dice Verdades: Una Verdad menos integra Verdaderas Dudas Universales
Solo Un Día Vi Una Vaca menos flaca Vestida De Uniforme
Un Día Vi Una Vaca sin corbata Vestida De Uniforme
Y las que para mí son las más…especiales:
La integral de Un Día Vi es igual a Una Vaca menos la integral de Vestida De Uniforme (de Juanfran ,
exalumno mío)
Un Día Vi Un Viajero Sobre su Volkswagen De Uranio (de raulf)
Como podéis ver hay para todos los gustos. Primer nivel: SUPERADO.
Segunda cuestión: ¿cómo aplico el método? Superada la primera parte, queda la que todos (ay, bendita ignorancia) pensamos que es la más difícil: ¿qué uso para determinar cómo asignar
y
de forma correcta? ¿La bola de
cristal? ¿O será más conveniente preguntar a los posos de café? ¿Me dirá el ahorcado del Tarot cuál es la mejor asignación? No, nada de eso. Dejemos estos métodos de engañación a un lado y descubramos, por fin, la regla de oro, la panacea del sujeto integrador, el método esperado, llegado del mundo de la mnemotecnia. Señoras y señores, con ustedes la regla ALPES. ¿En qué consiste esta regla? Primero descubramos qué significado tienen cada una de las letras de esta alpina palabra:
A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente)
L: Logaritmos
P: Potencias (de exponente numérico)
E: Exponenciales
S: Seno y coseno
Bien, ¿cómo usamos todo esto? Muy sencillo: 1. Convendrá utilizar el método de integración por partes cuando tengamos enfrente una integral de una función arco solamente , un logaritmo solamente o un producto de dos funciones que
pertenezcan a dos de esos cinco tipos . 2. En el primero caso, sólo una función arco, llamaremos
a esa función arco y
caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos
al logaritmo y
en el tercer caso, el más interesante, el del producto, llamaremos primero en ALPES y
al resto (que ahora será la otra función por
Por ejemplo, la integral
al resto (
en este
al resto (también
); y
a la función cuyo tipo aparezca ).
es un producto de , que pertenece a P, y
, que entra en L. Como en ALPES la L
aparece antes que la P, la asignación será: A partir de ellos calcularemos hemos llamado
(derivando lo que hemos llamado ) y
(integrando lo que
), y aplicaremos la fórmula base del método (sí, la de la vaca, el soldadito o
el uranio). Se entiende que la integral que nos quedará por resolver será sencilla. Generalmente será inmediata o susceptible de aplicarle de nuevo integración por partes. En inglés, este método se denomina LIATE
Logarithmic functions
Inverse trigonometric functions
Algebraic functions
Trigonometric functions
Exponential functions)
y al parecer fue propuesto por Herbert Kasube, profesor de la Universidad de Bradley que podéis ver a la derecha de estas líneas con una sonrisa más bien forzada aderezada con un buen mostacho (imagen tomada de su perfil en la web de la Universidad de Bradley ), en “A Technique for Integration by Parts” (American Mathematical Monthly, March 1983, page 210)
que, hablando de todo un poco, no he conseguido encontrar. Aunque, para que coincidiera plenamente con nuestro montañoso método debería ser ILATE. No hay problema, las dos sirven. Por cierto, el orden de las dos últimas, SE ó ES en español y TE ó ET en inglés, es indiferente. Se toma ES en español y TE en inglés porque la palabrita queda mejor. Después de todo esto a uno se le abren los ojos, se hace la luz y ve con claridad el camino a seguir. Por fin encontramos una regla infalible para resolver todas las int ¡¡UN
MOMENTO!! ¿Quién ha dicho que la regla sea infalible? No, amigos, por desgracia la regla no es infalible. Hay casos en los que no sirve de nada, ya que la función a integrar no tiene primitiva elemental (recordad este post), y en otro casos hay que tener cuidado, mucho cuidado, al aplicar el método. Por ejemplo, si para resolver la integral
tomamos
y
, llegaremos a que no podemos calcular , ya que esa función no
tiene primitiva elemental. Sin embargo, tomando y
sí podremos terminar nuestra integral. Como se puede ver es un pequeño apaño para conseguir que
tenga primitiva elemental.
Pero aunque no tenemos fiabilidad total, es evidente que ALPES funciona de maravilla en la gran mayoría de los casos, y que nos evitará tener que estar meditando cuál de las funciones es más adecuada para colgarle el cartel de . Nunca lo olvidéis, los ALPES son vuestros amigos. Nivel dos: SUPERADO.
Solución de I :
Solución de la integral I :
Se trata de una integral racional que resolveremos dividiendo numerador entre denominador y aplicando la regla del cociente. Ver integrales racionales.
Solución de
I1 :
Solución de I :
Observamos que nos ha salido de nuevo la integral I . Solución de
I :
Resolvemos la ecuación despejando I :
Solución de
I :
