Capítulo 1
Límites de Funciones
1
Capítulo 2
Derivada de una Función
2
Capítulo 2
Derivada de una Función
2
Capítulo 3
Integración De…nición F se llama una antiderivada de f si para todo x 2 Df ; F 0 (x) = f (x) :
Se denota denominada también la Nota Observe que si
Z
Z
f (x) dx = F (x) + C;
C
2R
integral inde…nida de f respecto a x:
f (x) dx = F (x) + C; d dx
Z
entonces
f (x) dx
=
d [F (x) + C ] dx
= F 0 (x) = f (x) :
Así, se tiene el siguiente resultado. Teorema (Reglas Básicas de Integración)
1.) 2.) 3.) 4.)
Z Z Z Z
dx = x + C
f (x) dx =
[f (x)
Z
f (x) dx + C
g (x)] dx =
xn dx =
xn+1 + C n+1
3
Z
f (x) dx
(n =
6 1)
Z
g (x) dx
4
Marco Alfaro C.
Ejemplo Hallar la siguiente integral inde…nida
Z
x2
2x + 3
dx:
Solución: Aplicando simultáneamente las reglas 1.) a 4.), se obtiene
Z
x2
2x + 3
Z
=
dx
x3
=
3 x3
=
3
Z
x2
2
dx
x2
2
x dx + 3
Z
dx
+ 3x + C
2
x2 + 3x + C:
Ejemplo Hallar la integral inde…nida
Z
(xm
n 2
x p x
)
dx:
Solución: Desarrollando el respectivo respectivo producto notable, y aplicando nuevamente nuevamente las reglas básicas de integración, tenemos
Z
(xm
n 2
x p x
)
dx
= =
x2m
Z Z
2xp +
m n
x
2m
x
1 2
1
=
+ x2n
x2m+ 2
2m +
1 2
m+n
2x
dx
1 2
+ x2n
1
p
2x2m x = 4m + 1
1 2
dx
1
x2n+ 2 2xm+n+ 2 + + C: m + n + 12 2n + 12
p
p
4xm+n x 2x2n x + + C: 2m + 2n + 1 4n + 1
Teorema (Integral inde…nida de una función compuesta) Sean f y g funciones que satisfacen las condiciones de la regla de la cadena para y = f [g (x)] : Si F es una primitiva de f; entonces
Z o bien, si u = g (x) ; entonces
f [g (x)] g0 (x) dx = F [g (x)] + C
du = g0 (x) dx
Z
y
f (u) du = F (u) + C:
Teorema Si f es una función derivable de x, entonces
Z
[f (x)]n f 0 (x) dx =
[f (x)]n+1 + C; n+1
n=
6 1:
5
Marco Alfaro C.
o bien si
u = f (x), entonces
Z
un du =
un+1 + C; n+1
n=
6 1:
Ejemplo Hallar la siguiente integral inde…nida
Z p
dx
5x
Solución: Colocamos u = 5 x 2; y por lo tanto
2 dx:
du = 5 dx
es decir,
du
5
= dx
Entonces, si se sustituye esto en la integral se llega a
Z p
dx
5x
dx
2
= =
Z Z ! (5x
1 5
1 = 5
3.1
2)
1 2
dx
1
u 2 du 1
u2 1 2
=
2 1 u 2 + C 5
=
2 5x 5
+ C:
p 2 + C:
Sumas de Riemann
De…nición La suma de n términos a1 ; : : : ; an se denota por n
X
ai = a1 + : : : an
i=1
donde i se llama el índice de la suma, e inferior de la suma.
ai
el i-ésimo término de la suma, e i y n los límites superior
Ejemplo 10
a)
X X
i = 1 + 2 + 3 + : : : + 9 + 10 = 55 :
i=1
10
b)
i=1
i2 = 1 2 + 22 + 32 + : : : + 92 + 102 = 385:
6
Marco Alfaro C.
Suponga que se desea calcular el área encerrada por la curva verticales x = a y x = b: Considere la siguiente …gura
a
0
el eje
x
y las rectas
= f ( x)
y
y
y = f (x) ;
xk −1
↑ xk
x
b
b−a n
Figura 1: Suma de Riemann
si dividimos el intervalo [a; b] en n partes iguales, cada uno de longitud puntos de subdivisión son: x0 = a; x1 = a+
b
a ; : : : ; x 1 = a+(k 1) b a ; x n
k
n
k
= a+k
b
a
n
4x = b n a ; entonces los
; : : : ; xn = a+n
b
a
n
=b
Si además mk y M k son el mínimo y el máximo de f (x) en el k -ésimo subintervalo [xk1 ; xk ] respectivamente, entonces el rectángulo de altura M k contiene el área debajo de la curva y = f (x) en el intervalo [xk1 ; xk ] y el rectángulo de altura mk está contenido en el área bajo la curva en el mismo intervalo, así que el área bajo la curva y = f (x) está entre M k (xk xk1 ) y mk (xk xk1 ) en el k -ésimo intervalo.
y = f ( x )
M k mk
xk −1
xk − xk −1
Figura 2: Elemento de Área
xk
7
Marco Alfaro C.
Sumando todos los subintervalos tenemos n
X
n
x 1) Área bajo y = f (x)
mk (xk
k
k =1
X
M k (xk
k =1
(3.1)
x 1) k
Si los extremos de la desigualdad en (3.1) tienden a un límite común cuando este límite se llama la integral de…nida de a a b de f (x) y se denota
n
tiende a in…nito
b
Z
f (x) dx:
a
De esta forma, n
sn =
n
X
mk (xk
x 1) &
S n =
k
k =1
X
M k (xk
k=1
.
b
Z
x 1) k
f (x) dx
a
Se dice que f es integrable según Riemann si los límites coinciden. Según lo visto arriba, la condición para hallar la integral de…nida de f es n
S n
s
n
=
n
X X
M k (xk
k=1
x 1) k
X
mk (xk
k =1
x 1) k
n
=
(M k
k=1
llamada la
m ) (x x 1) ! 0 (n ! +1) k
k
k
condición de integrabilidad .
De…nición Sea f de…nida en [a; b] y 4 una partición arbitraria de [a; b] ; a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b
donde 4xi es el ancho del i-ésimo subintervalo. Si la suma n
X
f (ci )
i=1
se llama una
4x ;
suma de Riemann de f asociada
ci
es cualquier punto del i-ésimo subintervalo,
xi1
i
xx
a la partición
i
4:
Teorema Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a; b] entonces el área de la región limitada por f , el eje x y las líneas verticales x = a y x = b viene dada por b
área =
Z
f (x) dx:
a
Para efectos de simpli…car los cálculos, consideremos el caso en que los subintervalos tienen todos la misma longitud, es decir, la partición es uniforme , y los puntos ci escogidos en cada subintervalo, se toman como los extremos derechos de los mismos, es decir, cada subintervalo tiene medida
4x
i
=
b
a; n
i = 1 ; 2; 3; : : : ; n
(3.2)
8
Marco Alfaro C.
y los puntos extremos
derechos de
cada subintervalo tienen la forma
ci = a +
así que la integral de…nida es
b
a
i = 1 ; 2; 3; : : : ; n
i;
n
n
b
Z
X
f (x) dx = lim
!+1 i=1
n
a
f (ci )
(3.3)
4x : i
En el cálculo concreto de integrales de…nidas, serán de gran utilidad las siguientes fórmulas: (a)
n
P P P P P P
c = c + c + c + : : : + c = nc:
i=1
(b)
n
n (n + 1)
i =1+2+3+ :::+n =
(c)
n
:
2
i=1
i2 = 1 2 + 22 + 32 + : : : + n2 =
n (n + 1)(2n + 1)
6
i=1
(d)
n
i3 = 1 3 + 23 + 33 + : : : + n3 =
n2 (n + 1)
(e)
n
P
f (i) ; c
i=1
n
i=1
:
n
cf (i) = c
i=1
(f)
2
4
i=1
:
[f (i)
2 R:
n
g (i)] =
P
n
f (i) +
i=1
P
g (i) :
i=1
Ejemplo Use la de…nición para calcular la integral de…nida 1
Z
x2
0
x+3
dx:
Solución: Primero, dividimos el intervalo [0; 1] en n subintervalos de longitud
4x
i
=
b
a = 1; n
i = 1 ; 2; 3 : : : ; n :
n
Escojemos los puntos ci como los extremos derechos del subintervalo ci = a +
Así que, tomando f (x) = 1 0
R
b
a
n
i =0 +
1
0
n
i=
i ; n
i = 1 ; 2; 3 : : : ; n :
x + 3; se obtiene según la fórmula (3.3) x2 x + 3 dx = lim f (c ) 4x !+1 =1 x2
n
= lim
!+1
n
= lim
!+1
n
= lim
!+1
n
n i
P P P P
n i=1
n i=1
n i=1
i
i
" # f
1
i n
i n
i2 n3
n
2
i n
i 3 + 2 n n
+3
:
1
n
9
Marco Alfaro C.
Ahora, por las fórmulas (a), (c) y (d) se llega …nalmente a 1 0
R
2
x
x+3
= lim
dx
!+1
n
= lim
!+1
n
= lim
!+1
n
= lim
!+1
n
=
17 6
P P P P
n i=1
n i=1
n i=1
n i=1
i2 n3
i 3 + 2 n n
n (n + 1)(2n + 1) 6n3
2n3 + 3n2 + n
n (n + 1) +3 2n2
3n3 3n2 + 18n3 6n3
1
17 + 2 6n 6
Ejemplo Use la de…nición para calcular la integral de…nida 3
Z x2
1 dx:
0
Solución: En este caso, dividimos el intervalo [0; 3] en n subintervalos de longitud
4x
i
=
3
0 = 3; n
i = 1 ; 2; 3 : : : ; n :
n
Escojemos los puntos ci de nuevo como los extremos derechos del subintervalo ci = a +
Dado que aquí f (x) =
b
a
n
i =0 +
1; se llega a 3 x2 1 dx = 0
3
n
i=
3i n
i = 1 ; 2; 3 : : : ; n :
;
x2
R
lim
!+1
n
= lim
!+1
n
= lim
!+1
n
= lim
!+1
n
= lim
!+1
n
n i=1
P P P P P
n i=1
n i=1
n i=1
n i=1
f (ci )
4x
i
" # f
3i
3
n
n
3i
2
n2
3
1
n
9i2
n
3
1
n
27i2
3
n3
n
10
Marco Alfaro C.
Ahora, por las fórmulas (a) y (c) y la de…nición (3.3) se obtiene que 3 0
x2
R
1 dx = lim
!+1
n
= lim
!+1
n
= lim
!+1
n
= lim
!+1
n
= lim
!+1
n
=6
27i2
3
n3
n
P n i=1
27
n (n + 1) (2n + 1)
n3
6
3
27
2n3 + 3n2 + n 6n3
3
27
2n3 + 3n2 + n 6n3
3
6+
27 2n
9
n2
De…nición a) Si f está de…nida en x = a, entonces a
Z
f (x) dx = 0 :
a
b) Si f es integrable en [a; b], entonces a
b
Z
f (x) dx =
b
Z
f (x) dx:
a
Teorema Si f es integrable en los tres intervalos de…nidos por a; b y c; entonces a
Z
c
Z
f (x) dx =
b
a
f (x) dx +
b
Z
f (x) dx:
c
Teorema (Propiedades de integrales de…nidas) Si f y g son integrables en [a; b] y c es una constante, entonces b
a)
Z Z a
b)
b
a
b
c f (x) dx = c
[f (x)
Z a
g (x)] dx =
f (x) dx: a
Z
a
Z
f (x) dx
b
g (x) dx:
b
Teorema Sean f y g integrables en [a; b] : a) Si f es no negativa en [a; b], entonces a
0
Z
f (x) dx:
b
b) Si f (x) g (x) ; para todo x 2 [a; b] ; entonces b
Z a
b
f (x) dx
Z a
g (x) dx:
11
Marco Alfaro C.
Este resultado queda claro de nuestra interpretación de integral de…nida para una función no negativa como área bajo la curva, según podemos ver en la siguiente …gura. y
y = g ( x )
y = f ( x )
0
x
Figura 3: Área bajo la Curva
3.2 Teorema Fundamental del Cálculo A continuación, estudiamos el resultado más importante del cálculo diferencial e integral, que nos relaciona, precisamente, el concepto de derivada con el concepto de integral. Este resultado establece, en términos generales, que ambas operaciones, la derivación e integración, son inversas una de la otra. Teorema ( Fundamental del Cálculo) Supóngase que f es continua en [a; b] . x
1. Si F (x) =
Z
f (t) dt;
entonces F 0 (x) = f (x) : En general
a
d dx
"Z
(x)
#
f (t) dt = f ( (x)) 0 (x) :
a
2. Si F es cualquier antiderivada de
f;
a
(3.4)
es decir, F 0 (x) = f (x) ; entonces
b
Z
x=b
f (x) dx = [ F (x)]x=a = F (b)
F (a) :
Ejemplo Hallar los intervalos de monotonía de la función de…nida por 1 x2
F (x) =
Z 3
t
1 + t2
dt:
(3.5)
12
Marco Alfaro C.
Solución: Primero observamos que en este caso (x) = 1 x2 y acuerdo a (3.4) F 0 (x) = f ( (x)) 0 (x)
f (t) =
t
1 + t2
, por lo que de
x2 1 x2 0 1 + (1 x2 )2 2x 1 x2 = 4 x 2x2 + 2 2x (1 + x) (1 x) : = x4 2x2 + 2 1
=
Aplicando ahora el criterio de la primera derivada, encontramos que la grá…ca de F es estrictamente creciente en el conjunto [1; 0] [ [1; +1[ y es estrictamente decreciente en el conjunto [0; 1] [ ]
1; 1] :
Ejemplo Calcular la integral 3
I =
Z j
2x
0
Solución:
3j dx:
Primero, recordemos que por de…nición de la función valor absoluto tenemos que
8< j j : 8< j j : 2x
lo que equivale a
2x
si 2x 3 0
3; (2x 3) ;
3 =
3 =
2x
si 2x 3 < 0 si
2x
3; (2x 3) ;
x
32
si
x < 32 :
Escribimos entonces el intervalo [0; 3] como [0; 3] = 0; 32 entonces escribirse de la siguiente forma:
3 2; 3
[
, y nuestra integral
3
I =
Z j Z j Z
2x
0
3j dx
3 2
=
0
=
3
2x
3 2
0
3j dx +
Z j j Z 2x
3 dx
3 2
3
(2x
3) dx +
(2x
3) dx
3 2
Como ya sabemos de las reglas básicas de integración,
Z
(2x
3) dx
=
x2
2
3x + C;
I
puede
13
Marco Alfaro C.
x2
es decir, F (x) = 2 (3.5) se tiene que
3x + C es una antiderivada para f (x) = 2x 3; por lo que de acuerdo a
3 2
Z 0
3
(2x
Z
3) dx +
(2x
3 2
3) dx
= = = =
3 2
F
F (0) + F (3)
27 8
27 8
0 + C +
3 2
(2x
0
3) dx =
9 4
27 8
+ C
x2
2
+
92 + 278
Nótese que al hacer la evaluación de la antiderivada F (x) ; la constante casos, por lo que en lo sucesivo la omitimos y escribiremos, por ejemplo
Z
9 2
F 32
3x
x= 3 2
= x=0
C se cancela en todos los
27 : 8
Una interpretación geométrica de este resultado aparece en la siguiente grá…ca. y
y
0
=
3
3 2
2x
−
3
x
Figura 4
Teorema (Integrales de funciones simétricas) Suponga que f es continua en [a; a] : a
1. Si f es par, entonces
Z Z
a
f (x) dx = 2
Z
f (x) dx:
0
a
a
2. Si f es impar, entonces
f (x) dx = 0 :
a
Teorema (Sustitución en integrales de…nidas) Si g 0 es continua en [a; b] y f lo es en la imagen de u = g (x) ; entonces b
Z
f (g (x)) g0 (x) dx =
f (u) du:
g(a)
a
Ejemplo Calcular la integral de…nida I =
g (b)
Z
4
Z q 1
1
x2
1+
1 x
dx:
14
Marco Alfaro C.
: Para hallar los nuevos límites de integración, Solución: Sea u = 1 + x1 ; entonces du = dx x sustituimos los valores de x en la expresión que de…ne nuestra nueva variable u así : 2
si
x = 1;
entonces
u =1+
1 =2 1
si
x = 4;
entonces
u =1+
1 5 = : 4 4
Por lo tanto
4
Z q 1
1
1+
x2
5 4
1 x
dx
=
Z p Z hi
udu
2
5 4
=
1
u 2 du
2
= =
3.3
2 3 u2 3
4 3
u= 5 4 u=2
p 2 5 p 5 12
Área entre curvas
Teorema El área entre las grá…cas de las curvas y = f (x) y y = g (x) ; entre las rectas x = a y x = b es b
A=
Z j
f (x)
a
(3.6)
g (x)j dx:
Esto signi…ca que la región de integración debe particionarse en subregiones dependiendo si en tales dominios se cumple g (x) f (x) o bien g (x) f (x) ; lo que entonces nos permitirá decidir el signo de la diferencia f (x) g (x) : y
y = g ( x )
R1
R2
y = f ( x )
0
a
b Figura 5: Área entre Curvas
c
x
15
Marco Alfaro C.
Ejemplo Hallar el área encerrada por las grá…cas de y = 2 x2 , y = x2 : Hacer una interpretación grá…ca.
Solución: Empezamos hallando los puntos de intersección de ambas curvas, con el propósito de dilimitar en forma precisa nuestra región de integración. Como sabemos, dos curvas se intersecan en los puntos que satisfacen ambas ecuaciones, es decir, donde ambas curvas son iguales, luego resolviendo la ecuación
x2 = x2 hallamos que sus soluciones son x = 1 y x = 1, como podemos observar en la Figura 6. 2
y y
−
1
=
x 2
1
x y
=
2
−
x2
ura
La curva f (x) = 2 x2 se encuentra por encima de la curva g (x) = x2 en el intervalo [1; 1], así que según (3.6) el área encerrada por las curvas viene dada por la integral 1
A
=
Z j j Z Z f (x)
g (x) dx
1 1
=
2
x2
x2 dx
1 1
=
2
2x2 dx
1
=
8 3
Nota Algunas regiones se manejan mejor considerando x como función de y: Si una región R está limitada por x = f (y) ; x = g (y) ; y = c y y = d; con f y g continuas con f (y ) g (y ) ; para c y d; su área es: d
A=
Z c
d
[f (y )
g (y)] dy =
en donde xD denota la curva que está a la derecha y respectivamente.
Z c
xI
(xD
x ) dy I
(3.7)
denota la curva que está a la izquierda,
En la Figura 7, a continuación, se considera una de tales regiones, y se indica el correspondiente elemento de área.
16
Marco Alfaro C.
y x = f ( y )
x = g ( y )
0
x
Figura 7: rea entre Curvas
Ejemplo Hallar el área encerrada por el eje y y por la parábola x = 2 y y2 :
Solución: En la Figura 8 aparece la región cuya área se desea calcular. Los límites de integración los calculamos mediante la ecuación 2y
cuyas soluciones son x = 0 y x = 2 :
y2 = 0
y
2
x
=
2 y
−
y
2
0 x
Figura 8
Luego, el área encerrada por la región es, de acuerdo a (3.7) d
=
A
Z Z
[f (y)
c
g (y)] dy
2
=
2y
0
=
4 3
y2 0
dy
Teorema (Valor medio para integrales) Si f es continua en [a; b], existe un c 2 [a; b] tal que b
Z a
f (x) dx = f (c) (b
a) :
(3.8)
17
Marco Alfaro C.
Es decir, en la …gura, el área bajo la curva b a y altura f (c), para algún c 2 [a; b] :
f de a
hasta b es igual al área del rectángulo con base
y = f ( x )
y
f c
a
0
c
b
x
Figura 9: Teorema del Valor Medio
3.4 Integrales de funciones logarítmicas y exponenciales Comenzamos esta sección con una importante de…nición. De…nición La función logaritmo natural es la función de…nida por x
ln x =
Z 1
1 t
(x > 0) :
dt
De esta de…nición resulta inmediato, como consecuencia del Teorema Fundamental del Cálculo, que d 1 (ln x) = : dx x
De acuerdo con lo anterior, tenemos las dos importantes integrales siguientes
Z
dx = ln x + C; x
Z
jj
du = ln u + C: u
jj
Ejemplo Hallar las integrales
(a) I =
1 3x dx 3 + 2x
Z
(b)
Z
x2 + 5x + 7 dx x+3
Solución: (a) Empezamos observando que
1 3x 11 = 3 + 2x 2 (2x + 3)
32
por división de polinomios, por lo que podemos considerar nuestra integral como la suma de las dos integrales siguientes 11 I = 2
Z
dx 2x + 3
3 2
Z
dx:
18
Marco Alfaro C.
Ahora, en la primera integral colocamos u = 2 x + 3, así que du = 2 integral es claramente inmediata. Se llega entonces a I =
11 2
=
11 4
Z Z
du u
Z
3 2
3 2
Z
du
2
:La segunda
dx
dx
j j 32 x + C 3 = 11 4 ln j2x + 3j 2 x + C =
11 4
dx 2x + 3
dx, o bien, dx =
ln u
(b) Nuevamente por división, obtenemos que x2 + 5x + 7 1 = x+2+ x+3 x+3
por lo tanto, si
u = x + 3, entonces du = dx; I =
= =
Z Z Z
= =
y tenemos
x2 + 5x + 7 dx x+3
Z Z
(x + 2) dx + (x + 2) dx +
x2
dx x+3
du u
+ 2x + ln u + C
jj
2 x2
+ 2x + ln x + 3 + C
j
2
j
De manera similar, de nuestra de…nición de función exponencial de base natural como inversa de la función logarítmica (ver la § 2.2), se obtienen las correspondiente integrales
Z
x
x
e
e dx = e + C
Ejemplo Hallar las siguientes integrales.
(a)
2
Z 2
x
x3
1 e
Z
ax dx =
ax + C: ln a
(b)
3x+1 dx
0
Solución: (a) Empezamos haciendo la sustitución
u = x3 du
3
En este caso,
si
x = 0;
si x = 2 ;
=
3x + 1, con du = 3 x2 1 dx:
entonces entonces
u = 03
ex + ex
Z p
ex
x2
e
dx
.
1 dx, o bien,
3 (0) + 1 = 1 u = 2 3 3 (2) + 1 = 3:
x
19
Marco Alfaro C.
Haciendo estos cambios en la integral dada, se llega a 2
Z x2
1 e
x3
Z
=
1 3
[eu ]uu=3 =1
=
1 3
0
(b) En esta integral colocamos
u = ex
x
ex + ex
Z p
ex
eu du
1
e3
e
e , con el correspondiente du = ex + ex
De esta forma
3
1 3
3x+1 dx =
e
x
dx
= =
dx:
du u
Z p Z u
1 2
du
p p = 2 e e = 2 u + C x
x
+ C
3.5 Integrales de funciones trigonométricas De la sección (2.1) ya conocemos la tabla de derivadas 1.) (sen x)0 = cos x 2.) (cos x)0 = sen x 3.) (tan x)0 = sec2 x
4.) (sec x)0 = sec x tan x 5.) (csc x)0 = csc x cot x 6.) (cot x)0 = csc2 x:
Como es claro, esta tabla de derivadas nos lleva a la correspondiente tabla de integrales 1.) 2.) 3.)
Z Z Z
sen x dx =
cos x + C
4.)
cos x dx = sen x + C
5.)
csc2 x dx =
6.)
cot x + C
Z Z Z
sec2 x dx = tan x + c sec x dx = ln sec x + tan x + C
j
csc x dx = ln csc x
j
j
cot xj + C
Es común que las integrales de funciones trigonométricas aparezcan en términos de potencias de las funciones seno y coseno, así como también en términos de potencias de las funciones secante y tangente. Por tal motivo consideramos a continuación una forma de atacar este problema de carácter general.
20
Marco Alfaro C.
Z
3.5.1 Integrales del tipo
m n sen x cos x dx
I Caso Si n = 2 k + 1; entonces podemos escribir la integral como
Z
m
n
sen x cos x dx = = =
Z Z Z
senm x cos2k+1 x dx
I =
Z
cos xdx
sen2 x
senm x 1
para luego colocar u = sen x: Ejemplo Calcule la integral
k
senm x cos2 x
k
cos xdx
sen2 x cos5 x dx:
Solución: Según la recomendación, tenemos I =
= = = = =
Z Z Z Z Z Z sen2 x cos5 xdx
sen2 x cos4 x cos xdx 2
sen2 x 1
sen2 x
sen2 x 1
2sen2 x + sen4 x cos xdx
sen2 x cos xdx
sen3 x 3
5x
2sen5
2
+
cos xdx
sen4 x cos xdx +
sen7 x + C 7
Z
sen6 x cos xdx
II Caso Si m = 2 k + 1; entonces
Z
m
n
sen x cos x dx
= = =
y hacemos el cambio de variable
u = cos x:
Ejemplo Hallar la integral I =
Z
Z Z Z
sen2k+1 x cosn x dx sen2 x 1
k
sen x cosn x dx
cos2 x
sen3 x cos4 x dx:
k
sen x cosn x dx
21
Marco Alfaro C.
Solución: En este caso I =
= = = =
Z Z Z Z Z Z sen3 x cos4 x dx
sen2 x cos4 x sen x dx cos2 x cos4 x sen x dx
1
cos4 x
cos6 x sen x dx
cos4 x sen x dx 5
=
cos6 x sen x dx
7
cos5 x + cos7 x + C
III Caso Si ambas potencias son pares, se usan las identidades de ángulo doble sen2 x =
1 (1 2
cos2 x =
cos2x) ;
Ejemplo Calcular la integral I =
Z
1 (1 + cos 2x) . 2
cos4 x dx:
Solución: Usando la segunda identidad de ángulo doble, tenemos I =
=
=
=
Z Z Z Z Z
cos4 x dx 1 + cos 2x 2
dx
1 cos2x cos2 2x + + 4 2 4
dx
Z
1 cos2x 1 + cos 4x dx + + 4 2 8
1 = 4 =
2
x
4
+
1 dx + 2
Z
1 cos2x dx + 8
sen2x x sen4x + + + C 4 8 32
1 dx + 8
Z
cos4x dx
22
Marco Alfaro C.
3.5.2
Integrales del tipo
Z
tan
m
n
x sec x dx
I Caso Si n = 2 k; entonces
Z
2k
m
tan x sec
x dx
= =
y hacemos el cambio de variable
Z Z
tanm x sec2 x
I =
Z
tanm x 1 + tan2 x
u = tan x:
Ejemplo Hallar la integral
k 1
sec2 x dx
k 1
sec2 x dx
sec4 (3x)tan3 (3x) dx
Solución: Descomponemos las potencias de sec x y tan x según lo comentado, para obtener I =
= = = = =
Z Z Z Z Z
sec4 (3x)tan3 (3x) dx sec2 (3x)tan3 (3x)sec2 (3x) dx 1 + tan2 (3x)
tan3 (3x)sec2 (3x) dx
tan3 (3x) + tan5 (3x) sec2 (3x) dx 3
2
tan (3x)sec (3x) dx +
tan4 x tan6 (3x) + + C 12 18
Z
tan5 (3x)sec2 (3x) dx
Caso II Si m = 2 k + 1; entonces colocamos
Z
2k+1
tan
n
x sec x dx
= =
y hacemos el cambio
u = sec x:
Z Z
Ejemplo Calcular la integral I =
Solución: En este caso obtenemos
tan2 x sec2 x
k
secn1 x sec x tan x dx
1
k
tan3 x dx: sec x
Z p
secn1 x sec x tan x dx
23
Marco Alfaro C.
I =
= = = = =
tan3 x dx sec x
Z p Z Z Z Z h Z (sec x)
1
tan3 x dx
3
tan2 x (sec x tan x) dx
2
(sec x)
2
3
(sec x)
2
sec2 x
1
(sec x) 2
1
(sec x)
i
3 2
1 2
(sec x tan x) dx (sec x tan x) dx
(sec x) (sec x tan x) dx 3
Z
1 2 (sec x) 2 = + 2 (sec x) 2 + C 3
(sec x)
3 2
(sec x tan x) dx
3.6 Sustitución Trigonométrica Cuando se calculan integrales de la forma trigonometría
Z p a2
sen2 x + cos2 x = 1 ;
x2 dx,
las conocidas identidades pitagóricas de
y sec2 x = 1 + tan 2 x
nos permiten eliminar el radical del integrando, pues por ejemplo, si se tiene x = a sen t; se llega a la expresión más simple
p q a2
x2 =
a2
(a sen t)2 =
p
a2 (1
p a2 x2 y colocamos
sen2 x) = a jcos xj :
Note que aquí en realidad estamos aplicando una sustitución inversa de la forma x = f (t), en donde suponemos a f como una función que posee inversa, es decir biunívoca, en cierto intervalo. Resumiendo, tenemos 1. Si la integral contiene el radical
p a2 x2; generalmente se coloca x = a sen t;
de donde
p a2
2. Si la integral contiene el radical
t 2
p x2
3. Si la integral contiene el radical
x2 = a cos t:
p x2 a2; se coloca
x = a sec t; 0
de donde
ó
t 32
a2 = a tan t:
p x2 + a2; se coloca x = a tan t;
de donde
2 t 2
p
2 t 2
x2 + a2 = a sec t:
24
Marco Alfaro C.
Ejemplo Hallar la integral I =
Z
p x2 dx:
x3 9
Solución: Colocamos en este caso x = 3sen t
por lo que dx = 3cos t dt:
Por lo tanto, tenemos I =
= =
Z p Z q Z p Z p Z Z Z Z Z x3 9
x2 dx
(3 sen t)3
9
(3sen t)2 3cos t dt
34 sen3 t
9(1
sen2 t)cos t dt
= 35
sen3 t
sen2 t cos t dt
1
= 243
sen3 t cos t cos t dt
= 243
sen3 t cos2 t dt
= 243
sen2 t cos2 t sen t dt cos2 t cos2 t sen t dt
= 243
1
= 243
cos2 t
= 243
cos5 t 5
cos4 t sen t dt
cos3 t 3
+ C:
Ahora, para deshacer el cambio de variable, considere el siguiente triángulo rectángulo en el que hemos colocado a t como un ángulo agudo en el cual x3 = sen t:
3 x
t
9
− x2
25
Marco Alfaro C.
El cateto que falta, como bien sabemos, se obtiene el Teorema de Pitágoras. Finalmente, p 9aplicando x obtenemos la expresión requerida como cos t = 3 ; por lo que nuestro resultado para la integral 1 p 9x 5 1 p 9x 3 propuesta es I = 243 + C 2
2
5
2
3
3
3
3.7 Integrales de Funciones Trigonométricas Inversas De acuerdo con lo encontrado en la sección (2.5), tenemos que 1.)
d sen1 u = dx
p 1du u2
4.)
d csc1 u = dx
up udu2 1
2.)
d cos1 u = dx
p 1du u2
5.)
d du sec1 u = dx u u2
3.)
d du tan1 u = dx 1 + u2
6.)
d cot1 u = dx
p 1
1 +duu2 :
Según la tabla anterior, se tienen las correspondientes integrales inde…nidas que aparecen a continuación: 1.) 2.) 3.)
du
Z p Z Z p Z a2
u2
du
u2
= arcsen
a2
+
=
1
du
u
u2
arctan
a
=
a2
1 a
u a
+ C
u a
+ C
arcsec
juj + C: a
3x2
2 dx: x2 + 4
Ejemplo Calcular la integral I =
Solución: Observe que si se hace la división de polinomios indicada se llega a
Z
3x2
2 dx
x2 + 4
= =
=
Ejemplo Calcular la integral I =
Z Z
3x
Z
x2
dx
2x dx 2 x +4
Z
3xdx
3x2 2
12x + 2 x2 + 4 6
6 ln x2 + 4
2
arctan
dx : + 6x + 13
Solución: Si se completa el cuadrado, se obtiene x2 + 6x + 13
= x2 + 6x + 9 + 4
dx
Z
= ( x + 3)2 + 4:
x2
x
2
+4 + C
26
Marco Alfaro C.
Ahora, identi…cando u = x + 3 y a = 2 , se obtiene la integral
Z
dx x2 + 6x + 13
=
= = =
3.8
Z Z 1 a
dx
(x + 3)2 + 4 du u2
+ a2
arctan
1 arctan 2
u a
+ C
x+3
2
+ C
Integración por partes
De la fórmula de derivada para un producto de funciones, sabemos que 0 (f g ) = f 0 g + f g 0 : Si integramos formalmente esta identidad, se sigue que f (x) g (x) =
es decir
Z
Si se hace la sustitución
Z
[f (x) g 0 (x)] dx = f (x) g (x)
u = f (x)
Z Z
[f 0 (x) g (x)] dx +
[f (x) g 0 (x)] dx
[f 0 (x) g (x)] dx:
y v = g (x) ; se llega a la fórmula más conveniente
Z
u dv = uv
Z
(3.9)
v du:
denominada fórmula de integración por partes . Para el caso en que la integral es de…nida, se tiene b
Z
udv = uv
a
b
Z j b a
vdu:
a
Como veremos, esta fórmula será útil para integrar un producto de funciones, en las que, dependiendo de las características que éstas cumplan, se sugiere además seguir alguno de los siguientes modelos, con el objetivo que la integral resultante en el miembro de la izquierda en (3.9), sea más simple de calcular que la integral original. Pasamos entonces a ver estos modelos. 1. Para integrales del tipo
Z
n ax
x e
dx;
Z
n
x sen ax dx;
Z
xn cos axdx
se sugiere colocar u = xn ; dv = eax dx y dv = sen ax dx ó dv = cos ax dx.
27
Marco Alfaro C.
2. Para integrales del tipo
Z
Z
n
x ln xdx;
n
x arcsen ax dx;
Z
xn arctan axdx
coloque u = ln x; arcsen ax ó arctan ax y dv = xn dx: 3. Para integrales del tipo
Z
ax
e
Z
sen bxdx;
eax cos bxdx
coloque u = sen bx ó cos bx y dv = eax dx: Ejemplo Integrar por partes I =
Z
x2 ex dx:
Solución: En este caso, queremos integrar el producto de una función exponencial y un polinomio, por lo que seguiremos el primer modelo sugerido. Colocamos entonces
Así se sigue que
u = x2
dv = ex dx
du = 2 x dx
v = ex :
Z
2 x
2 x
x e dx = x e
Z 2
xex dx:
La última integral, en el miembro de la derecha en la igualdad anterior, tiene a su vez una estructura similar a la integral dada, por lo que le aplicamos nuevamente el procedimiento de integración por partes, siguiendo el modelo en cuestión. Se tiene entonces ahora
Así que
Z
u=x
dv = ex dx
du = dx
v = ex :
x2 ex dx
= x2 ex = x2 ex = x2 ex = x2 ex
Ejemplo Integrar I =
xex dx
R R R 2
2 xex
ex dx
2xex + 2
ex dx
x
2xe
+ 2ex + C:
1
Z
arctan x dx
0
Solución: En este caso no contamos con muchas opciones, por lo que se tiene necesariamente u = arctan x du =
dx 1 + x2
dv = dx v = x:
28
Marco Alfaro C.
De donde, por la fórmula de integración por partes (3.9) se llega a 1
Z
arctan x dx
0
= [ x arctan x]10
En la última integral, recurrimos a la sustitución u = 1 + x2 ;
1
x
Z
1 + x2
0
dx:
du = 2 x dx
y al respectivo cambio de límites de integración, para obtener …nalmente 1
Z
arctan x dx
0
1
Z Z
= [ x arctan x]10
1 2
ln 2 4 2
2
1
dx
du u
12 [ln juj]21
= [ x arctan x]10 =
1 + x2
0
= [ x arctan x]10
x
3.9 Fracciones Simples A continuación, estudiamos el problema de integrar una una integral de la forma I =
Z
función racional , es decir, se quiere hallar
P (x) dx Q (x)
en donde P y Q son polinomios. Para ello, dividiremos el problema en los siguientes dos casos, cuya justi…cación formal, además de ardua, trasciende los objetivos del curso, por lo que solamente nos limitaremos a utilizarlos para …nes prácticos. P (x)
1. Si la fracción es impropia , es decir, grado (P (x)) Q (x) de polinomios para obtener
grado(Q (x)) ; se hace la división
P (x) P 1 (x) = R (x) + Q (x) Q (x)
donde grado(P 1 (x)) < grado(Q (x)) : P (x)
2. Si la fracción es propia , esto es, si grado (P (x)) < grado(Q (x)) ; se factoriza compleQ (x) tamente el denominador en factores del tipo (ax + b)m
y
donde ax2 + bx + c es irreducible: En este caso
ax2 + bx + c
n
(a) Por cada factor lineal repetido (ax + b)m debe incluirse una suma de la forma A1 A2 Am + +:::+ 2 (ax + b) (ax + b) (ax + b)m
(3.10)
29
Marco Alfaro C.
(b) Por cada factor cuadrático repetido
ax2 + bx + c
n
debe incluirse una suma de la forma
B1 x + C 1 B2 x + C 2 Bn x + C n + + : : : + : (ax2 + bx + c) (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)n
Ejemplo Hallar I =
Z
(3.11)
9 dx: x2 + 3x 10 x
Solución: Nuestra integral contiene una fracción propia y al factorizar el denominador se llega a I =
Z
9 dx = 2 x + 3x 10 x
Z
x
9
(x + 5) (x
2) dx
por lo que tenemos dos factores lineales distintos, así que según (3.10) la fracción racional se descompone como x9 A B : (3.12) = + (x + 5) (x
2)
x+5
x
2
Reduciendo a común denominador la expresión de la derecha se llega a x
9
(x + 5) (x
2)
=
A (x 2) + B (x + 5) ; (x + 5) (x 2)
igualando los numeradores respectivos, se obtiene x
9 = ( A + B ) x + (5B 2A)
de donde resulta, igualando ahora los respectivos coe…cientes de las potencias de la variable sistema de ecuaciones 1
que tiene por solución
A = 2; B =
8< : Z Z
x,
el
A+B =1
5B
2A = 9
1: Por lo tanto, de (3.12) se llega a la expresión
I =
=2
2 x+5 dx
x+5
1
x2
Z
dx
dx
2 = 2ln jx + 5j ln jx 2j + C 3x2 4x + 5 dx: Ejemplo Calcular la integral I = (x 1) (x2 + 1) x
Z
Solución: La fracción es propia, y el denominador presenta un factor lineal y un factor cuadrático irreducible (con discriminante negativo) no repetidos. Luego, según (3.10) y (3.11), la descomposición en fracciones simples de esta expresión tiene la forma 3x2 (x 1 El
4x + 5
1) (x2
+ 1)
=
A x
1
+
Bx + C : x2 + 1
(3.13)
polinomio p(x) = an xn + an1 xn1 + : : : + a1 x + a0 es igual a q(x) = bn xn + bn1 xn1 + : : : + b1 x + b0 si y solamente si ai = bi para i = 0 ; 1; 2; : : : ; n :
30
Marco Alfaro C.
Nuevamente, por reducción a común denominador, se llega a 3x2 (x
4x + 5
1) (x2
=
+ 1)
A x2 + 1 + (Bx + C ) (x
(x
1) (x2
+ 1)
1)
y haciendo las multiplicaciones indicadas en el numerador de la fracción del miembro de la derecha se obtiene 2 2 3x
(x
4x + 5
1) (x2
(A + B ) x + (C B ) x + (A (x 1) (x2 + 1)
=
+ 1)
C ) :
Igualando los coe…cientes de los respectivos numeradores, se obtiene ahora el sistema de ecuaciones
8> >< >>:
A+B
=3
B = 4 A C = 5 cuya solución viene dada por A = 2 ; B = 1 ; C = 3: Así que de (3.13) se concluye que x3 2 I = dx + 2 x1 x +1
Z Z
=2
C
dx
1
x
+
Z
x x2 + 1
dx
Z 3
dx x2 + 1
:
Finalmente, colocando u = x 1 en la primera integral, t = x2 + 1 en la segunda integral, y usando la integral de tabla
Z
se llega a I = 2
Z
du
a2
+
u2
du 1 + u 2
Z
= dt t
Z 3
u a
+ C;
dx x2
+1
j j 3 arctan x + C
jj
j 1j + 12 ln
= 2ln x
Ejemplo Calcular la integral I =
a
arctan
1 ln t 2
= 2ln u +
Z
1
x2
x2 + 1
(x2 + 1)2
3 arctan x + C
dx:
Solución: En este caso se tiene un factor cuadrático repetido, puesto que ponemos el cociente como la suma de fracciones simples x2
(x2 + 1)
2
=
=
=
Ax + B Cx + D + x2 + 1 (x2 + 1)2
(Ax + B ) x2 + 1 + Cx + D
(x2 + 1)2
Ax3 + Bx 2 + (A + C ) x + (B + D)
(x2 + 1)2
M<
0; así que descom-
31
Marco Alfaro C.
Igualando los coe…cientes se llega al sistema
cuya solución es reduce a
8> >>< >> >:
A
=0
B
=1
A + C
=0
B +D
=0
A = 0; B = 1; C = 0; D = I =
Z
dx x2 + 1
1: Tomando en cuenta esto, nuestra integral se
Z
dx
(x2 + 1)2
= I 1
I 2:
La primera integral I 1 , corresponde a un arcotangente, nos concentramos entonces en resolver la segunda integral I 2 . Para ello hacemos el cambio de variable u = tan t; por lo que dx = sec2 t dt
x2 + 1 = sec 2 t:
y
Esta integral toma entonces la forma I 2
=
= = = =
Z Z Z Z
dx
(x2 + 1)
2
sec2 t dt sec4 t
cos2 t dt
1 2 t
2
+
(1 + cos 2t) dt sen2t + C 4
p p
arctan x 1 = + 2 2 1 = 2
1
x
x2 + 1
arctan x +
x
x2
+1
x2 + 1
+ C
+ C:
Sumando los resultados de ambas integrales, llegamos …nalmente a 1 I = arctan x + 2
arctan x +
x x2 + 1
+ C
32
Marco Alfaro C.
3.10
Sustitución de Weierstrass
Considere, para < x < ; la sustitución x
u = tan
2
:
Entonces, de las propiedades de funciones trigonométricas, se sigue que cos
x
1
=
2
x
r sec
2
1
=
x
1 + tan 2
2
p 1 +1 u2 :
=
También, sen
x
= cos
2
=
Ahora, nótese que
cos x = cos2
Finalmente, como u = tan
x
2
;
x
tan
2
2
p 1 u+ u2 :
x
x
sen x = 2 sen
y por otra parte,
x
2
x
2
cos
2
sen2
x
2
=
2u 1 + u2
=
1 u2 : 1 + u2
tomando inversas, se llega a x = 2 arctan u
así que dx =
2 du : 1 + u2
En resumen, se tienen el conjunto de sustituciones u = tan
x
2
;
sen x =
2u ; 1 + u2
cos x =
1 u2 ; 1 + u2
dx =
2 du 1 + u2
las cuales tienen la ventaja de convertir cualquier función racional de sen x y cos x en una función racional de u:
33
Marco Alfaro C.
Ejemplo Calcular la integral I =
Solución:
Z
dx
3sen x + 4 cos x
:
Haciendo las sustituciones del caso, tenemos que I =
=
Z
dx
3sen x + 4 cos x 2 du 1 + u2
Z 3
=
= = = =
Z
2u 1 + u2
1 u2 1 + u2
+4
2 du 1 + u2 6u + 4 4u2 1 + u2
du 3u
Z Z 2u2
2
du
(2u + 1) (u
1 5
ln u +
1 5
ln tan
1 2
x
2
1 5
+
2)
ln (u
1 2
1 5
2) + C
ln tan
x
2
2 + C:
34
Marco Alfaro C.
Fórmulas Básicas de Integración 1.)
Z
2.)
Z
3.)
Z
4.)
Z
5.)
Z
6.)
Z
7.)
Z
8.)
Z
un+1 u du = + C; n = n+1 n
6 1
sen u du =
cos u + C
cos u du = sen u + C
2u
csc
du =
tan u dx =
cot u + C
ln jcos uj + C
sec u du = ln sec u + tan u + C
j
j
sec u tan u du = sec u + C
cot u du = ln sen u + C
j
j
9.)
Z
10.)
Z
csc u dx = ln csc u
j
csc u cot u du =
11.)
Z p
12.)
Z
13.)
du
a2
u2
du a2
+ u2
Z p
=
du
u u2
a2
cot uj + C
csc u + C
= arcsen
1 a
=
arctan
1 a
u a
+ C
u a
+ C
arcsec
14.)
Z
sec2 u du = tan u + C
15.)
Z
eu du = eu + C
16.)
Z
du = ln u + C u
jj
juj + C a
35
Marco Alfaro C.
3.11 Ejercicios 1. Veri…que que la función F (x) =
8< :
x;
si x < 1
x2
x + 1; si x 1
es una antiderivada de f (x) = x + jx 1j en R: 2. Hallar una función (a) (b) (c) (d)
y = f (x)
f 00 (x) = 5x;
que satisfaga las condiciones dadas
f 0 (1) = 2 ;
f 00 (x) = 20x3
f 0 (1) =
10; p f 00 (x) = x + x; p f 00 (x) = x + x;
f 0 (1) = 2;
f (2) = 5
5;
f 0 (1) = 2;
f (1) = 1 : f (1) = 1: f (1) = 1:
3. Calcule las siguientes integrales. (a) (b) (c) (d) (e) (f)
Z Z p Z p Z p p Z p Z p x2
1
x4
x2
5
5
x4
(g)
2x + 3 dx 1
+
4
(i)
4x3 dt
7
+
(h)
dx
x
3
(j)
2 x x2 dx
x
x2 1 + x dx
(k)
x 3
(l)
x dx
10x2 dx 1 + x3
Z p Z p Z p Z Z p Z p
2
(xm
xn ) dx x
x
2x
1
dx
x+1
(x2 + 2x t
2t2 + 1 x
x2
3)2
dx
dt
4
8x + 1 dx
4. Encontrar la solución de la ecuación diferencial dada, que satisface la condición de frontera indicada. (a) (b)
dy = x2 dx dy = dx
2x 4; pasa por P (3; 6) :
q
x 3
;
pasa por P (1; 0) :
4 (1 + x2 )
(c)
dy = ( x + 1) (x + 2) ; dx
pasa por P
3 2
3;
:
36
Marco Alfaro C.
5. Use el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar las siguientes integrales de…nidas. En los ejercicios a) al g), haga una grá…ca de la región cuya área viene dada por la integral propuesta. 3
(a)
Z Z Z Z Z Z (2x
1) dx
2
(g)
1
(x + 4) dx
(h)
9 dx
6
(i)
3
x2 + x + 2 dx
x
x
dx
(k)
1 dx
1
x (x
x2; y = x: f (x) = x3 6x2 + 8x; g (x) = x2 4x: y = x2 + 2; y = x; x = 0 ; x = 1 : f (x) = x3 ; g (x) = 2x3 + x2 2x: y = x2 + 2x; y = x + 4: 1 (f) f (x) = 2 ; g (x) = x2 ; x = 1 ; x = 2 : x (g) f (x) = 3x 4x2 + x3 , g (x) = x2 x: (h) f (x) = x2 + 2x + 8; g (x) = 2x + 3: (i) x = y 3 y; x = 1 y 4 : (j) f (x) = x3 2x; g (x) = x: (k) f (x) = x2 + 1; g (x) = 3 x2 ; x = 2: y =2
x dx
2 1) dx
4
(l)
x2
1
6. Dibuje la región y calcule el área encerrada por las siguientes curvas. (a) (b) (c) (d) (e)
dx
0
2
x2
x 3
1
0
(f)
3
0
1
(e)
2x
3
(j)
1
3
x) dx
x
2
2
(d)
x (1
0
4
x2
1 dx
1
0
(c)
2x
0
2
(b)
Z j j Z p Z p Z p Z Z x
2 dx
37
Marco Alfaro C.
7. Calcule las siguientes integrales. (a) (b) (c)
(g) (h)
1 3x dx 3 + 2x
(i)
e
1 dx x ln x
(j)
(f)
4 dx 1 5 + 4x + 9 x
(x + 1)2
(k) (l)
dx
1 x (3 + ln x)
2
(m)
dx
(n)
dx x (ln ln x) ln x
(ñ) (o)
p
x2 x3
2x
3x2
+1
x2
dx x (3ln x + 4)
1
3 dx 4+ x
(p)
dx
x+1 dx + 2x + 3
Z Z Z Z Z p p Z p 8
2x + 3 dx 2x + 1
1
0
7
(e)
Z Z Z Z Z Z 1
ax + b dx 2 ax + 2bx + c
e4
(d)
e
1 + 4x dx 1 + x + 2x2
Z Z Z Z p Z p Z
x2 + 1 dx x 1
(2 + ln x)2 x
1 x (1 +
5
x+1 dx x 3
(q)
dx
x)
dx
dx
2+
1
x
1
8. Hallar la derivada de las siguientes funciones usando el Teorema Fundamental del Cálculo: d dx
(x)
Z
f (t) dt = f ( (x)) 0 (x) y
a
(a) F (x) =
2
cos t
(x)
Z
f (t) dt = f [ (x)] 0 (x)
(x)
dt
(e) F (x) = (f)
F (x) =
0
(t + sen t) dt
1
(d) F (x) =
3x
2x
u2 1 du u2 + 1
tan t dt cos t t
3
x3
(c) F (x) =
x
p x
x2
1 + t3 dt
Z Z Z Z 2
x
(b) F (x) =
f [ (x)] 0 (x)
1
2
Z Z p Z Z
d dx
1
(g) F (x) =
1 3x
x3
(h) F (x) = p x
dt
u3 du 1 + u2
p t sen t dt
38
Marco Alfaro C.
9. Hallar la derivada de las siguientes funciones. Use derivación logarítmica. 2
(b) f (x) = x
(e)
(c)
3
x2
f (x) =
(f) f (x) =
x2 + 1
x
p x 1
q q r 3
f (x) = x
1
(d) f (x) = 1 +
p x
r
x
(x + 2) (a) f (x) = (x + 1)3 (x + 3)4
(x + 2)2
(x + 3)3
x (x 1) x 2
10. Hallar las siguientes integrales aplicando el método de fracciones parciales. (a) (b)
x2
dx 5x + 6
(d)
5x2 + 20x + 6 dx x3 + 2x2 + x
(h)
(x2 x2
x3
+ 2)
2
(i)
dx
4x + 7
x2 + x + 3
(j)
dx
x dx
1) (x + 1)2
(x
(g)
8x3 + 13x
Z Z Z Z Z
(f)
3x + 4 dx 3 x 2x 4
(c)
(e)
Z Z Z Z Z
x dx
(x
1) (x + 1)2
cos x dx 2 sen x 2sen x + 5
(k) (l)
x2 + 5x + 7 dx x+3
(m)
x2 + x + 1 dx x2 2x + 1
(n)
2x + 3 dx x2 + 2x + 5
(ñ)
x3 + x + 1 dx x (x2 + 1)
Z Z Z Z Z
3x2 7x dx 3x + 2
x3
dx 2x2 + x
x+1
(x2 + 4x + 5)
2
dx
11. Hallar las siguientes integrales. 2
(a)
Z Z 0
(b)
(c) (d) (e)
(f)
2x dx + 6x + 13
(g)
x2
x2
1
dx 2x + 2
x+2
Z p Z Z x2
4x
dx
Z Z
dx 2 x + 6x + 13
3
dx
(x 1 p
Z Z Z
(h)
2
0
1)
(i)
2x 5 dx 2 x + 2x + 2
(j)
1
x2
(x
1
2)
2 dx
+4
2
2
1)
p
3 + (x
3x2
q
arccos x dx 1 x2
2
8x3 + 13x dx (x2 + 2)2
(k)
dx
(l)
4
Z p Z p
(m) (n) (ñ)
dx
e2x
1
x+2
4
Z Z Z
x2 dx
ex dx (e2x + 1) (ex
2x2
x4
1)
dx 8x + 10
x dx + 2x2 + 2
39
Marco Alfaro C.
12. Hallar las siguientes integrales.
Z
(a)
(b)
1
(g)
ln x dx
(c)
(d)
Z
(e)
Z
(f)
Z
arcsen x dx
(h)
dx
Z Z 2
ln 1 + x
dx
(i)
arctan x dx
x2
cos x dx
arcsen x dx
x sen x dx
1
(c) (d)
dx 2 x + 4x + 5
Z Z Z Z Z p 0
(b)
x
e cos2x dx
(j)
Z
(k)
Z p
(l)
Z
(f)
x arctan x dx
ln x x
dx
x cos3x dx
(g)
ex sen x dx
(h)
1 2
arccos x dx
(i)
1
x x+1
dx
(j)
x3
Z p Z p Z p p Z Z
ln2 x dx
0
(e)
(ñ)
Z
0
13. Hallar las siguientes integrales. (a)
(n)
Z
1
x2 ex
x2 + 1
3
(k)
dx
dx
(l)
x+2
x
dx
3
x+
4
e2x dx e2x + 3ex + 2
1
x + 2x2
x (x2
+ 1)
2
x3
(n) dx
(ñ)
x3
dx
x cos3x dx
x dx ex xex
(o)
Z
(p)
Z
(q)
Z
(x + 1)
2
dx
x2 e3x dx
x2
2x
3
Z Z p Z Z Z
(m)
x
ln x
(m)
Z
0
Z Z
Z
(x
2
1)
2x + 5
ex dx
dx
x+4 dx x
x4 2x2 + 4x + 1 dx x3 x2 x + 1
2x2
x3
x+4 dx + 4x
dx
x3
+1
40
Marco Alfaro C.
14. Calcule las siguientes integrales, mediante una sustitución trigonométrica. (a) (b) (c)
1
Z p Z p Z p Z p Z p Z p Z p x2 x2
x3 9
x3
p
16
(e) (f) (g)
x2
x2
1
p 2 t3
t2
1 25
4x2
1
9x2
1
x2
(k)
dx
4
x
3
(ñ)
dx
(o)
dx
dx
(p)
9 + x2
0
x3
2
(j)
dx
x2 + 9
0
(i)
x2 dx
2 3
(d)
9
(h)
dx
Z p Z p Z p Z p Z p Z p Z 2 3
x3 4
(q)
9x2 dx
0
dt
(l)
dx
(m)
2
(n)
x3 x2 + 4 dx
0
15. Demuestre que
Z p
dx
x2 + a2
(r)
x2 dx
2x
1 + 6x
9x2
(s)
dx
8
dx
(x2
+ 2x + 2)
(t)
2
dt
Z p Z p Z p Z p Z p Z p Z p t2
6t + 13
x2
dx
x2
1
x3
x2
2
dx
x2 a2 dx x
x2 + 1 dx x dx
x2
1
4
x2
x2 dx
p
= ln x +
x2 + a2 + C:
3.12 Respuestas 3
4
2.) (a) f (x) = 5x6 x2 23 : (b) f (x) = x12 + 6x + 3: (c) f (x) = x5 5x2 + 5: x 4 5 + 56x 15 7 4x3 + C: (d) f (x) = x6 + 415 . 3.) (a) x3 x2 +3 x + C: (b) 3x1 + 4x3 + C: (c) 72 3 x 47 x +C: (e) 27 (1 + x) 45 (1 + x) + 23 (1 + x) +C: (f) 25 (3 x) 2 (3 x) +C: (d) x5 + 10 p 1 + x3 + C: (h) 2x 4x 2x 1 1 (g) 20 3 4m+1 2m+2n+1 + 4n+1 + C: (i) 6 (2x 1) + 2 (2x 1) + C: p p 1 x2 8x + 1 + C: 4.) (a) y = x3 x2 4x + 6 : (j) 2(x +2 + C: (k) 12 2t2 + 1 + C: (l) x3) 1 : (c) y = x3 + 3x2 + 2 x: 5.) (a) 6. (b) 10. (c) 10 : (d) 92 : (e) 14 . (b) y = 4p 1+1 x 4p 3 2 p 3: (k) 1 : (l) 79 : 6.) (a) A = 9 : (b) A = 71 . (c) A = 17 : 4 : (i) 22 : (j) 12 (f) 83 : (g) 52 : (h) 15 3 5 12 6 2 6 6 125 17 71 8 : A : A : A : A : A : A : A : (d) A = 37 (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) = = = = 36 = = 9 = 8 12 6 6 6 5 1 11 3 3 2 2 7.) (a) ln 2x + x + 1 +p C: (b) 2 ln ax + 2bx + c + C: (c) 4 ln x + 2 2 x + C: (d) 2: p p 5+5 1 1 : (f) ln jx + 1j + x+1 : (h) x + ln x + 12 + C . (e) 148 20 + 10ln p 37+5 (g) 12 + C: (i) ln(lnln x) + C: (j) 6 + 24ln 45 : (k) 13 ln x3 3x2 + 1 + C: (l) x + 4 l n (x 3) + C: e :(ñ) x + 12 x2 + 2 ln (x 1) + C: (m) 12 ln 2x + x2 + 3 + C: (n) 13 ln ln512 4 p (o) 4 ln x +2ln2 x + 13 ln3 x + C: (p) 2 ln j x + 1j + C: (q) 4 4 l n 2: 8.) (a) F 0 (x) = cos x2 : 5 2
3
10 3
3 4
3
7 2
7 2
2m+ 1 2
3 3 2
5 2
+n+ 1 2
2n+ 1 2
m
5 2
3 2
6 5
3 2
1 2
3
2
3
2
2
4
41
Marco Alfaro C.
p +36x 1 : (b)F 0 (x) = 2x 1 + x6 : (c)F 0 (x) = 3x2 x3 + sen x3 : (d) F 0 (x) = (425x x+1)(9 x +1) p p tan( ) cos sen x x 27x3 3 : (f) F 0 (x) = 2x x : (g) F 0 (x) = 81x9x81 (e) F 0 (x) = 6x+2 : (h) 3x sen x 2 p x : x p (x+2)(5x +19x+20) x x : (b)x x 1 + ln2x : (c) 3(3xx +5 : (d) 1 + x1 9.)(a) (x+1) ln 1 + x1 1+1 x : x +1 +1) (x+3) 5x +x24 : (f) p x 4x+2 : (e) 2 x(x1)(x2) 3(x1) (x+2) (x+3) 9 10.) (a) ln jx 3jln jx 2j+C: (b) 6 ln xln jx + 1j x+1 +C: (c) ln jx 2j 12 ln x2 + 2x + 2 +C: (d) 4 ln x2 + 2 + 2x 3+4 + C: (e) 2 ln jx + 1j 12 ln x2 2x + 3 + C: (f) 14 ln jx 1j 14 ln jx + 1j 2x1+2 +C: (g) 14 ln jx 1j 14 ln jx + 1j 2x1+2 +C: (h) 12 arctan sen 2x1 + 3 1 1 2 2 C:(i) x + 3ln jx 1j x 1 + C:(j) ln x + 2x + 1 x+1 + C: (k)x + ln jxj 2 ln x + 1 + C: (l) 2x + 12 x2 + ln jx + 3j + C: (m) 12 x2 3x + 2ln 3x3+2 + C: (n) ln jxj ln jx 1j x1 1 + C: +3 12 arctan( x + 2) + C: (ñ) 2(x x+4 x+5)
1
x
2
2
4
1 2
5
2
1 2
5 3
5 2
2
q
2
3
2
3
2
2
2
4
h i
2
2
7 2
2
2
2
3
4
2
11.) (a) 2 : (b) ln x2 + 6x + 13 3 arctan x+3 + C: (c) x (x 4) + C: 2 3 2 2 (d) 4 ln x + 2 + 2x +4 + C: (e) ln x + 2x + 2 7arctan(x + 1)+ C: (f) 8 : (g) 12 arcsec jx2 1j + C: p p : (i) 183 : (j) 3x 7 arctan x2 + C: (k) arcsec ex + C: (l) 2 arcsen x2 4 x2 + C: (h) 332 (m) 12 arctan ex + 12 ln jex 1j 14 ln e2x + 1 : (n) 12 arctan( x 2) + C: (ñ) 12 arctan x2 + 1 : 2
2
p
1 2 C: (c) x arctan x 12.) (a) x ln jxj x + C: (b) 2ex 2xex + x2 ex + p 2 ln x + 1 + C: (d) 2x cos x 2sen x + x2 sen x + C: (e) x arcsen x + 1 x2 + C: (f) sen x x cos x + C: (g) 2 1: (h) 2 +ln2 2: (i) 15 ex cos2x + 25 ex sen2x + C: (j) 12 arctan x 12 x 14 + 12 x2 arctan x + C: (k) p 1x (2x ln jxj 4x) + C: (l) 19 cos3x + 13 x sen3x + C: (m) 4x1 2x1 ln jxj + C: 2 3x e 29 xe3x + 13 x2 e3x + C: (n) 19 cos3x + 13 x sen3x + C: (ñ) ex xex + C: (0) xe+1 + C: (p) 27 (q)5ex x2 ex + C: 2
2
x
p
13.) (a)arctan3 arctan 2: (b) x ln2 jxj 2 ln jxj + 2 +C: (c) e2 sen x e2 cos x+C: (d) 16 12 3+ p x + 2 2 1 ln p x + 2 + 1 + 3 2 9 1 x C: (g) 1: (e) ln jxj ln jx + 2j + C:(f) x2 + 1 + ln 10 20 3 3
2 3
C:
x
x
p
60 84 + 2x72 12 + 32 x96 + 12ln x12 + 1 + C: (h) 6x24 12x12 4x36 + 3x48 12 5 x 7 x 1 C: (i) ex + ln(ex + 1) 4 l n (ex + 2) + C: (j) ln jxj arctan x 12 ln x2 + 1 2x +2 + p p 1 (k) 2 ln jx 1j + x1 + C: (l) 2 x + 4 + 2 ln x + 4 2 2 ln x + 4 + 2 + C: x 1 2 2 1 1 2 (m) x + 2 x + ln jx 1j ln jx + 1j x1 + C: (n) ln jxj + 2 ln x + 4 2 arctan 2 + C: 1 + p arctan 2xp 31 + C: (ñ) 16 ln x(x+1) x+1 3 2
h
2
2
i
p
p
p
p
p
54 14.) p (a) 91x x2 p 9 + C . (b) 65 x2 9 x2 p 9 x2 + 15 x2 9 x2 95 x2 9 x2 +C . 5 p p 2+ 64 . 1 x2 + 9 + C . (d) 40 : (e) 24 + 18 3 14 : (f) 251x 25 x2 + C . (g) 64 (c) 13 x2 x2 + 9 6 p 3 p 15 15 p 64 (h) 14 arcsen (2x) + x2 1 4x2 + C: (i) 9x2 4 2 arcsec 32x + C: (j) ln 2 + 1 + C: (k) 1215 . p x+1 (l) tan x+ 13 tan3 x+C: (m) 13 ln 3x + 1 + 9x2 + 6x 8 +C: (n) 12 arctan( x + 1) + x +2 +C: x+2
q
32 t + 134 32 + C: (o) p p p (p) 3 2 x2 43 2 x2 + C:(q) x2 a2 arcsen p p (s) 44 + C:(t) 2 1 x2 + 12 arcsen x + C: (ñ)
1 2t
ln
x
2
x2
x
+
1 2 4t
x
h
2
2 p 1 x2 + 12 arcsen x + C: p x2 + 1 p 1 + + C: (r) x2 + 1 ln + C: x
a x
i
x