"AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMÁTICO”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
ACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER/A ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICA
INTEGRALES DOBLES CÁTEDRA III
:
CATEDRÁTICO Lu!
:
ESTUDIANTE L!#e$% A&e'(
:
ANÁLISIS MATEMÁTICO ORTEGA VARGAS, Jorge ACOSTA "ARANGA,
ADAUTO MENDO)A, O&(r CHANCHA MENDO)A, *(re+ (#o'( CURASMA CRISIN, Ne#''+ Ar!&e''. HUAMAN MA"HA, Ce!(r HUI)A SOTO, Mgue' A+ge'
AGOSTO - 2014 INTEGRALES DOBLES
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Este trabajo en primer lugar se lo queremos dedicar a Dios, que nos acompaña, ilumina y guía para llegar a nuestras metas. A nuestros padres que con su amor incondicional nos apoyan en todo momento y nos incentivan a seguir adelante. A nuestro profesor que con su dedicación, paciencia, esmero y profesionalismo nos dirige durante todo este trayecto, con el objetivo de enseñarnos e instruirnos para nuestro futuro”.
INTEGRALES DOBLES
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1. ÍNDICE . '. &. . 0. 4. 6.
!"D#$E%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%& (E)*+E"%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%. #"-(D*$$#/"%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%..%%0 12E-#3)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%...%4 2*)-#5#$A$#/"%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%..%.6 A"-E$EDE"-E) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%.%7 +A($ -E/(#$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%.%%.% 6.. DE5#"#$#/" DE 8A #"-E9(A8 D18E%%%%%%%%%%%%..%% 6.'. 5*"$#"E) #"-E9(A8E)%%%%%%%%%%%%%%%%%%.%.' 6.&. :(:#EDADEDE) 5*"DA+E"-A8E) DE 8A #"-E9(A8 D18E%%.%.. 6.. $A+1# DE (DE" DE #"-E9(A$#/"%%%%%%%%%%%%%%.%0 6.0. -E(E+A DE 5*1#"#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%.%.4 6.4. #"-E9(A8E) D18E) +ED#A"-E $(DE"ADA) :8A(E)%%%%..7 6.6. #"-E9(A8E) #-E(ADA) E" $(DE"ADA) :8A(E)%%%%%.....%'; 6.7. $A+1# DE 3A(#A18E E" #"-E9(A8E) D18E)%%%%%%%%%.%' 6.<. A:8#$A$#"E) DE 8A #"-E9(A8 D18E%%%%%%%%%%%%..%..'
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INTEGRALES DOBLES
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2. RESUMEN
8as integrales dobles y triples de funciones de dos o tres variables, son conocidas como integrales m>ltiples y se las emplea en la ingeniería mec?nica, mec?nica teórica, mec?nica de fluidos. -ratamos de e@plicar todo lo concerniente a las integrales dobles, empeamos por la definición, que la integral doble aplicada a funciones de dos variables representa el volumen de una región plana comprendida entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio, seguidamente la interpretación geomBtrica, que la integral doble representa el volumen bajo la curva de superficie. -ambiBn mencionamos como resolver las integrales dobles por medio de coordenadas rectangulares. Algunas de estas integrales son mucCo m?s f?ciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto ocurre especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardiodes de una curva, pBtalos de rosa 2 2 y de integración que contienen x + y Así mismo estudiaremos las aplicaciones de las integrales m>ltiples, en este caso solo trabajaremos con las integrales dobles, entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geomBtricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran el c?lculo del ?rea de una figura plana y el c?lculo de vol>menes de sólidos en el espacio entre las aplicaciones físicas est?n el c?lculo de masa, momentos de inercia para una región bidimensional. $onociendo todo ello, a travBs de sus aplicaciones relacionadas con el entorno, aplicaremos a la solución de diversos problemas propios del c?lculo en materias que se llevaran en los siguientes ciclos superiores, ya que nos ayudar? a entender f?cilmente todas aquellas interpretaciones, demostraciones matem?ticas que se requieren en los c?lculos de nuestra vida profesional como ingenieros $iviles.
INTEGRALES DOBLES
pág. 4
3. INTRODUCCIÓN
El principal objetivo de nuestro trabajo es dar a conocer los conceptos de la integral doble, su funcionamiento, su aplicación en las ramas de la ingeniería, su ayuda en la solución de los c?lculos matem?ticos. Al inicio de nuestra vida universitaria encontramos conceptos interesantes sobre el c?lculo diferencial e integral, pero estos conocimientos no solamente quedan aCí, como todo conocimiento que llega abarcar amplios campos de la ingeniería, el c?lculo avano progresivamente Casta no solamente tener una teoría, sino varias. Al estudiar la integral simple se requirió que la función estuviese definida en un intervalo cerrado del conjunto de n>meros reales. :ara la integral doble de una función de dos variables, se pedir? que la función estuviese definida en una región cerrada de
R
2
. En este trabajo, Cablaremos de sus propiedades, sus
puntos de aplicación, sus c?lculos de volumen y ?reas de superficie, integrales dobles de coordenadas polares y momentos de inercia.
INTEGRALES DOBLES
pág. 5
4. OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
•
Fue el alumno utilice como apoyo el concepto de integral doble y pueda utiliar sus aplicaciones en el ciclo superior de la carrera de #ngeniería $ivil.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• • •
•
Definir integral doble, conocer claramente el concepto de integral doble. Enseñar el c?lculo de la integral doble, utiliando integrales sucesivas. Estudiar con los alumnos, los distintos tipos de dominios y el procedimiento a utiliar en cada tipo de recinto. +ostrar las aplicaciones geomBtricas y físicas de la integral doble.
!. JUSTIFICACIÓN INTEGRALES DOBLES
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El presente trabajo que aborda el tema de integrales dobles Ca sido elaborado con el propósito de que estudiantes de #ngeniería $ivil a partir del ### ciclo tengamos conocimiento de este tema, del cual Caremos uso para algunos temas de las diferentes c?tedras. Adem?s es importante precisar para que nos van a servir las integrales dobles, tanto geomBtricamente como físicamente, y bien es pues en lo primero para el desarrollo de ?reas de figuras planas y vol>menes de sólidos en el espacio mientras que en lo segundo, es decir en lo físico para el c?lculo de masas, centros de masa, momentos est?ticos de figuras planas y momentos de inercia para una región bidimensional. Así como
tambiBn para el c?lculo en coordenadas polares y el empleo de los jacobianos.
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pág. 7
. ANTECEDENTES •
A"-E$EDE"-E
Ayres , 5ranG 2r. H<7
•
A"-E$EDE"-E '
Espinoa (amos Eduardo H';;;I Análisis Matemático III, integrales dobles . El autor afirma que . J:ara la buena compresión de este tema debemos tener el conocimiento de mBtodos de integración, geometría analítica, superficies”. Hp. 07&I '. $onocer el tema de integrales dobles nos facilitara a>n m?s el desarrollo de ?reas, vol>menes y centros de masa. L se denota ∬ f ( x , y ) dxdy Hp. 070I. 8imaM:er> Editorial ED*N:E(*
•
A"-E$EDE"-E &
8eitCold 8ouis H<77I. El Cálculo, integrales dobles . El autor nos manifiesta que . :ara la integral doble de una función de dos variables, se pedir? que la función est? definida en una región cerrada en (', el tipo m?s simple de la región serrana en (' es la región rectangular cerrada, la cual est? definida por A ( a 1. b 1 ) L B ( a 2, b 2) , tales que a 1 ≤ b 1 y a 2 ≤ b 2 , determinan un rect?ngulo cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados los puntos ( a 1. b 1 ) L ( a 2, b 2) se denomina vBrtices del rect?ngulo. Hp. ;'7I f
'. )ea una función de dos variables definida en una región rectangular cerrada (, la integral doble de f en ( denotada y definida por n
❑
∬ ( x , y ) dA =∆lim ∑ f ( ui,vi ) ∆ iA → i= R
0
0
INTEGRALES DOBLES
pág. 8
f
&. )i la integral doble en
#"-E9(A8 D18E en +E=#$A" +A:A)A ).A.
•
en
R e@iste, entonces se dice que f
es
R . Hp. ;'
A"-E$EDE"-E
+A()DE" -(+1Anociones A"-K"L 2. H';;I. Calculo Vectorial. 8os autores 2E((8D nos bridan E. lasLsiguientes . 8a integral doble de f sobre R es el volumen de la región que esta sobre R y bajo la gr?fica de una función no negativa f. )e denota por ❑ ∬ f ( x , y ) dA ¿¿ p.&;I R '. El :rincipio de $avalieri, es un mBtodo f?cil para calcular vol>menes de sólidos , donde se toma un pequeño ?rea de la sección transversal de un sólido y su respectiva ancCura para obtener b
∫ A ( x ) dx
V S=
a
.Hp.&'M&&I
&. 8a #ntegral #terada permite calcular el volumen de una región sólida que se encuentra bajo la gr?fica f(x, y) y definida en la región
[ a , b ] × [ c , d ] donde f es continua y mayor que cero. )e integra primeramente respecto a y o x, luego respecto al otro que falta. Hp.&M&0I . El -eorema de 5ubini es una consecuencia del :rincipio de $avalieri, que se aplica para una función continua f sobre un dominio R= [ a , b ] × [ c , d ] .Entonces rectangular se obtiene que ❑
b
[
d
∬ f ( x , y ) dA =∫ ∫ f ( x , y ) dy R
a
c
] [ d
b
c
a
∫ ∫ f ( x , y ) dx
dx =
]
dy .Hp.&' O &'0I
0. En la #nte gral sobre una región elemental se va a tener una reg ión elemental en el plano, , la cual est? contenida en un rect?ngulo R y una función continua f : D → R dan lugar a
∬ f ( x , y ) dA D
y como
❑
sigue se obtiene
∬R f ¿ ( x , y ) dA
.Hp.&&' O &&&I
4. El cambio en el or den de integración se va a re aliar cuando se tenga un región simple , que es comprendida como el conjunto de los puntos (x, y), los cuales en la integral van a cambiar de valores, en un primer caso x cambia y en el otro caso y cambia, obteniendo así dos integrales que son iguales.Hp.&&
pág. 9
•
A"-E$EDE"-E 0
+itacc +ea +?@imo H';ICalculo III. El autor argumenta que . J*na apreciación las integrales dobles, considerando una función continua f ( x , y ) ≥ 0 suponiendo que est? definido en un rect?ngulo cerrado R= [ a ; b ] × [ c ; d ] , toma una partición : de ( en subMrect?ngulos que realiando el producto cartesianoesta de unadenotada partición por de [ a ; bobtenemos ] × [ c ; d ] cuya ?rea cada subMrect?ngulo A ( Ri , j )= ∆i , j A =∆ x i ∆ y j
” Hp.'
∬ ( x ; y ) dA =V ( S ) D
”
&. :resenta las propiedades fundamentales para poder resolver las integrales dobles en regiones cerradas. Hp.''I. 8ima :er> editorial -KA8E) ).(.8 •
A"-E$EDE"-E 4
+ora 5. Palter H';I. Calculo en Varias Variables . El autor presenta las siguientes definiciones . )ea ( es una región acotada y cerrada del plano, de ?rea AH(I y sea f 2 R → R una función definida y acotada sobre (. )upongamos que +( Q R(,(', ...(nS es un conjunto de n celdas que conforman una malla que cubre (. El ?rea de cada celda (i la denotamos con ∆ Ai.Hp. 6&I '. *na suma de (iemann de f sobre ( es un a e@presión de la forma n
f ( xi , yi ) ∆ Ai ∑ i= 1
donde H@i , yi I
∈
(i. Hp. 6&I
&. )i f es continua y positiva sobre (, entonces f ( xi , yi ) ∆ Ai apro@ima el volumen de cada prisma :i de base (i y altura f H@i , yi I en este caso la suma de (iemann apro@ima el volumen del sólido entre la región ( y el gr?fico de f . Hp. 6I . En el caso de que ( sea una reg ión rectangular, la malla +( se puede tomar como un conjunto de rect?ngulos (i j Q T@i ,@iUV@Ty j , y jUV de ?rea ∆ Ai j Q ∆ @i ∆ y j . En este caso es natural reemplaar el elemento de ?rea d A por d@d y y escribir el límite como
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pág. 10
.
n
m
∬ f ( x , y ) dA = lim ∑ ∑ f ( xi , yj ) ∆Xi∆Yj = = n,m→∞ i 1 i 1
R
0. *na diferencia esencial entre una integral y otra es la manera en que se mide los conjuntos de puntos. 8a integral de (iemann usa medida de 2ordan y la de 8ebesgue, medida de 8ebesgue. Hp.60I 4. #ntegrales iteradas. El teorema de 5ubini establece que si f es continua sobre (, la integral doble se puede evaluar por Jintegración parcial” respecto a cada variable, una a la ve. Este es el mBtodo de Jintegrales iteradas”. :rimero especificar dos maneras una misma región. debemos Hp. 64I. $osta (ica de describir CttpWWXXX.tecM digital.itcr.ac.crWrevistamatematicaW.
•
A"-E$E"-E 6
3illena +uño +oisBs H';;n el autor . 8as integrales dobles son definidas que f en una función de dos variables definida en la región plana (QTa,bV@Tc,dVQRH@,yIW aY@Yb Z cYyYdS n
al lim
m
lim ∑ f ( x´ , y´ ) ∆ x ∆ y ∑ = =
n→ ∞ j 1 m→ ∞ i 1
i
j
i
j
se le denomina la integral doble de f
en ( y se le denota de la siguiente manera b
d
∫∫ f ( x , y ) dxdy a
c
#. MARCO TEÓRICO .1. DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE
*na integral doble es un tipo de integral la cual esta aplicada a funciones de dos variables que representa el volumen de la región plana comprendida entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio, así mismo es la suma de infinitos sumandos muy pequeños y se utilia para el c?lculo de vol>menes de regiones, entre otros. )e define de la siguiente manera
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
8a integral doble representa el volumen del solido bajo la superficie = f ( x , y ) y que tiene como base a la región limitada D la cual tambiBn es interpretada como el ?rea bajo la gr?fica de la función.
❑
∬ f ( x , y ) dA
V ( S )=
D
.2. FUNCIONES IN TEGRABLES D$%&'&(&)' 1 2 *na función f : D ⊂ R → R , es acotada en D, si e@isten r, s
tal que
∈
(,
! ≤ f (x , y )≤ " , ∀ ( x , y )∈ D
)ea f : D ⊂ R2 → R , una función acotada en la región cerrada D del plano y
f ( x , y ) ≥ 0, ∀ ( x , y ) ∈ D . -raaremos rectas paralelas a los
INTEGRALES DOBLES
pág. 12
ejes
y
denotaremos
! 1 ,! 2 ,##,!
n
por
los rect?ngulos
2 contenidos en D ⊂ R
8uego
el
$= { ! 1 , ! 2 ##,!
conjunto n
} , constituye
una partición de la región D. 8a norma de la partición $ representada por |$| se define como la longitud de la diagonal mayor de los rect?ngulos contenidos en D. $onsideremos el i −%"im& rect?ngulo ! i ,i=1,2, # , n contenido en A (! i )= ∆ x i . ∆ y i , y sea
D, el ?rea es
( x i , y i ) un pun to del
!i rect?ngulo 2 8uego la suma de (iemann de la función f : D ⊂ R → R , asociada a
la partición $ ser? f (¿ x i , y i ) ∆ x i . ∆ y i n
f (¿ x i , y i ) A ( ! i )=
¿ ∑ = i 1
n
¿ ∑ = i 1
9eomBtricamente la suma de (iemann representa el volumen apro@imado del sólido bajo la superficie como base la región cerrada D.
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= f ( x , y )
y que tiene
D$%&'&(&)' 2 $onsideremos una función acotada en la región cerrada D,
f (¿ x i , y i ) A (! i ) f :D
⊂
n
2
el límite de la suma de (iemann
R →R
¿ ∑ = i 1
es
un n>mero 8, si f (¿ x i , y i) A (! i )− ) n
∀
' > 0, ∃ ( > 0 , tal que
¿ ∑ = i 1
, para toda partición con
¿ ¿
|$|< ( y (¿ ¿ i , xy i ) ∈ ! 1 , que lo representa por ¿
n
f (¿ x , y ) A ( ! ) ∑ = i
i
i
i 1
)= lim ¿ |$|→0
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)iempre en cuando el límite e@iste.
D$%&'&(&)' 3 *na función acotada
2
f : D ⊂ R → R , es integrable sobre la región
n
f (¿ x , y ) A ( ! ) ∑ = i
cerrada D, si e@iste el n>mero real,
i
i
i 1
)= lim ¿
A Bste n>mero
|$|→0
8 se le llama integral doble de f *n D y se representa por n
f (¿ xi , y i) A ( ! i ) ∑ i= 1
)=∬ f ( x , y ) dA = lim ¿ D
|$|→ 0
.3. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL DOBLE
•
PROPIEDAD 1. )i un dominio D regular en la dirección del eje y lo dividimos en dos dominios D 1 y D 2 , mediante una recta paralela al eje L o al eje @, la integral iterada de segundo orden
+ D e@tendida
por el dominio D ser? igual a la suma de integrales semejantes e@tendidas por los dominios D 1 y D 2 , es decir, + D =+ D + + D 1
•
2
PROPIEDAD 2. HEvaluación de la integral iterada de segundo ordenI. )ean m y M los valores mínimos y m?@imos de la función f(x, y) en el dominio . Designemos por ) el ?rea del dominio . en este caso tenemos la correlación INTEGRALES DOBLES
pág. 15
f (x , y ) y mS ≤
•
b
-2
a
-1 ( x )
∫ ( ∫ ¿ x ) ≤ S . ¿
PROPIEDAD 3. H-eorema de la mediaI. 8a integral iterada de segundo orden + D de una función continua f ( x , y ) , e@tendida por un dominio del ?rea ! es igual al producto de ! por el valor de la función en cierto punto " del dominio , es decir. f ( x , y) y b
-2
a
-1 ( x )
∫ ( ∫ ¿ x )= f ( $ ) S . ¿
•
PROPIEDAD 4. )ean f y g funciones de dos variables continuas en una región R entonces ❑
/dA=¿ /
∬ dA ; ∀ / ∈ R R
❑
∬¿ R
❑
❑
R
R
( f 0 1 ) dA =¿ ∬ fdA0 ∬ 1dA ❑
∬¿ R
❑
dA =¿
❑
∬ dA +∬ dA R1
❑
R2
∬¿ R
.4. EL CAMBIO DE ORDEN DE INTEGRACIÓN
INTEGRALES DOBLES
pág. 16
)e tiene una región simple , la cual se puede e@presar como el conjunto a≤x≤ b y ∅1 ( x ) ≤ y ≤ ∅2 ( x )
de puntos (x, y) tales que de pu ntos (x, y)
tales que
c≤ y ≤d y2
1
o como el conjunto
( y ) ≤ x≤ 2 2( y )
bteniendo las
formulas b
f ( x , y ) dA = a
∅2
( x)
d 22 ( y )
∫ ∫( ) f ( x , y )❑dydx=¿ ∫ ∫( ) f ( x , y ) dxdy ∬¿ ∅
1
x
c 21 y
D
•
Donde se puede observar que la primera integral iterada es igual a la segunda. Esto nos va a ser muy >til ya que si la primera integral iterada fuera muy complicada de desarrollar podemos Callar la segunda y así aCorrar tiempo. H+A()DE" L -(+1A, ';;, p. &&< O &;I
•
:ara E):#"[A H';;;, p. 07&I en mucCos casos una integral doble iterada puede evaluarse m?s f?cilmente si se invierte el orden de las variables en la integración.
Esto se obtiene conociendo
perfectamente la región.
•
*na idea muy similar la tiene +#-A$$ H';, p. ''7I, quien en su libro señala que cuando tengamos una cierta integral doble iterada la que debemos evaluar empleando un cierto orden de integración pero Bsta resulta difícil o Casta imposible de calcular, entonces se podr? invertir o cambiar el orden de integración de dxdy a dydx o viceversa para obtener una integral doble iterada m?s simple.
3Base en A"E=) ejercicio 1 y 2
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pág. 17
.!. TEOREMA DE FUBINI El siguiente teorema proporciona un mBtodo pr?ctico para evaluar una integral doble e@pres?ndola como una integral iterada.
TEOREMA 2
f : R → R una función real y continua en el
Sea;
D=[ a . b ] x [ c , d ] , entonces:
rectángulo
d b
b d
c
a
∬ f ( x , y ) dA =∫∫ f ( x , y ) dxdy=∫∫ f ( x , y ) dydx D
a
c
D$*+,/(&)' &'0&&/ $onsidere que la función f
la integral doble
es positiva, es decir, f ( x , y ) ≥ 0 , por lo cual
∬ d ( x , y ) dA D
representa el volumen del sólido
se encuentra arriba del rect?ngulo
D
S
y por debajo de la superficie por
= f ( x , y ) .
El volumen del sólido S tambiBn puede ser calculado empleando el principio de $avalieri, donde el volumen de secciones transversales conocidas se calcula mediante una integral simple.
b
∫ A ( x ) dx #( 1)
V=
a
INTEGRALES DOBLES
pág. 18
que
Donde A ( x ) es el ?rea de la sección transversal del sólido S perpendicular al eje J@” y al plano J@y”, entonces
que es
A ( x ) se puede obtener
como d
∫
A ( x ) = f ( x , y ) dy # ( 2 ) c
)ustituyendo la ecuación # ( 2 ) *n # ( 1 ) b d
f ( x , y ) dydx =¿
∫∫ f ( x , y ) dydx a c
∬¿
V=
D
De la misma manera, el volumen del sólido S se puede obtener como
d
∫ A ( y ) dy #(3 )
V=
c
Donde A ( y ) es el ?rea de la sección transversal del sólido S que es perpendicular al eje Jy” y al plano J@y”, entonces A ( y ) se puede obtener como b
∫ f ( x , y ) dx # ( 4 )
A ( y )=
a
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pág. 19
Al sustituir la e@presión de A ( y ) en la ecuación f ( x , y ) dydx =¿
d
b
c
a
# (3)
se obtiene
∫∫ f ( x , y ) dxdy ∬¿
V=
D
5inalmente, se concluye que la integral doble de f
sobre D es igual a
la integral iterada de la función f , es decir b d
d b
a c
c a
∫∫ f ( x , y ) dydx =¿∫∫ f ( x , y ) dxdy
f ( x , y ) dA =
.. INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENADAS POLARES Este cambio de variable es muy >til cuando la región de integración tiene fronteras a lo largo de las cuales r y 3 son constantes Hcomo en círculos centrados en el srcenI. 3eremos cómo se realia el cambio de variables de una función fH@,yI de las coordenadas H@,yI a las coordenadas polares Hr, 3 I. $onsideremos una región
DR
2
decir
INTEGRALES DOBLES
pág. 20
acotada por
4≤3≤5
y
a≤!≤b
es
-raando rectas a travBs del polo y círculos con centro en el polo, se obtiene una partición : de la región D, que viene a ser una red de \n\ regiones llamadas rect?ngulos curveados.
A la norma de la partición representaremos por |$| y es la longitud de la diagonal m?s grande de los rect?ngulos curveados.
El ?rea del iMBsimo rect?ngulo curveado i es igual a la diferencia de las ?reas de los sectores circulares, es decir
A ( ! i )=
!i
2
2
2 ´ ( 3 i −3 i−1 )− ! i− 1 (3 i − 3i− 1 )= 1 ( ! i + ! i −1 ) ( ! i −! i−1 ) ( 3 i− 3 i−1 )=!i.∆!i.∆3i
2
2
onde# !´ i =
2
! i −! i −1 2
,∆!i =( ! i −! i −1 ) ,∆3i =( 3 i −3 i −1 )
INTEGRALES DOBLES
pág. 21
$= ( x , y ) ∈ R
*n punto
2
se puede especificar en coordenadas polares Hr,
3 I donde r es la distancia del srcen a " y 3 es el ?ngulo medido desde el eje $ contrareloj. 8a conversión de coordenadas polares a coordenadas cartesianas se Cace con la transformación x Q r cosH 3 I y Q r senH 3 I
Entonces .
.
D
D
∬ f ( x , y ) dx d y =∬ ( ! cos ( 3 ) ,! "*n ( 3 )) !d!d3 3Base en A"E=) ejercicio 3 y .#. INTEGRALES ITERADAS EN COORDENADAS POLARES
CASO 1.M )i f D]
⊂R
D]Q { ( ! ; 3 ) / 4≤3≤5,
∅1
2
→R
es una función continua en la región polar
( 3) ≤ ! ≤ ∅2 ( 3 ) }
$ontenido en el plano polar
Donde ∅1
,
∅1 ∅2 :
[ 4 ; 5 ] → R son funciones continuas en T
4 ; 5 V, tal que
( 3 ) ≤ ∅2 ( 3 ) ∀ 3ϵ [ 4 ; 5 ] entonces, la integral iterada de f sobre la región
D] es dada por INTEGRALES DOBLES
pág. 22
f ( ! ; 3 ) !d! ∅2
(3 )
∫ ¿ d3 ∅1
(3 )
¿ ¿
5
f ( ! ; 3 ) dA =∫ ¿ 4
∬¿
CASO 2.M )i f D] D]Q { ( ! ; 3 ) / a≤!≤b,-
⊂R
1
2
→R
es una función continua en la región polar
( ! ) ≤3≤- 2 ( ! ) }
Donde -1 , -2 : [ a; b ] → R son funciones continuas en Ta bV, tal que -1 ( ! ) ≤ - 2 ( ! ) , ∀ ! ∈ [ a; b ] entonces, la integral iterada de f sobre la región
D] es dada por
f ( ! ; 3) !d3 - 2( ! )
∫ ¿ d!
- 1( ! )
¿ ¿
b
f ( ! ; 3 ) dA =∫ ¿ a
∬¿ INTEGRALES DOBLES
pág. 23
O,$/(&)'.M :ara pasar de una integral doble en coordenadas cartesianas a una integral doble en coordenadas polares se tiene la relación
x =!c&"3 , y =!"*n3 , por lo tanto se tiene
∬ f ( x ; y ) dxdy=∬ f ( !c&"3 ; !"*n3) !d!d3
3Base en A"E=) ejercicio y ! p?g.
.. CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES DOBLES O CAMBIO DE COORDENADAS RECTANGULARES )upongamos que se tiene la siguiente transformación
{ == ((
x x u,v) y y u,v)
Aplicando la integral doble siguiente ❑
∬ f ( x , y ) dA R
Fuedaría de la siguiente forma
∬ f ( x ( u , v ), y (u , v )) dA R
R 6 ser? una nueva región de integración en el plano tanto el dA ser? el correspondiente. Donde
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pág. 24
u,v
por
Determinemos un nuevo dA . bserve la figura
Kaciendo un an?lisis vectorial $=( x ( u + ∆u,v )− x ( u , v ) ; y ( u + ∆u,v ) − y ( u , v ) )
⃗
7=( x ( u , v + ∆ v )− x ( u , v ) ; y ( u , v + ∆ v )− y ( u , v )) Dividiendo y multiplicando al vector $ para ∆ u y tomando límite $= lim x ( u + ∆u,v ) − x ( u , v ) ; lim y ( u + ∆u,v ) − y ( u , v ) ∆ u =( x ; y ) ∆u ∆u u u ∆u→0 ∆u→0
⃗
(
)
Dividiendo y multiplicando al vector 7 para ∆ v y tomando límite
7= ⃗
(
lim ∆ u →0
El ?rea de la región R esta dada por
dA =‖$∗7‖ ⃗
El producto cru ser?
INTEGRALES DOBLES
pág. 25
)
x ( u , v + ∆ v )− x ( u , v ) y (u , v + ∆ v ) − y ( u , v ) x y ; lim ∆ v =( ; ) ∆v ∆v v v ∆ u →0
|
|| |
i x u $∗7 = u x v v
⃗
⃗
j 8 x y u 0 u = u x y v 0 v v
y u dudv8 y v
Al determinar menor resultante se le denomina 2A$1#A" y se le denota por
x ( x , y ) u = (u , v ) x v
y u y v
| |
:or tanto $∗7 =
⃗
⃗
|
dA =
( x , y ) dudv8 (u , v )
|
( x , y ) dudv (u , v) ❑
f ( x , y ) dA =¿
∬ R
(x, y) f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ( u , v ) dudv ❑
∴
∬¿
|
|
R
"A!%! "ARA REA&I'AR E& CAMI% E VARIA&E E &A I*E+RA& %&E# ❑
∬ f ( x , y ) dydy R
I Elemento de ?rea E@presar el elemento de ?rea
|d*9 : ( u , v )|dudv . 'I #ntegrando escribir el inte grando
f ( x , y)
dydy
como
en tBrminos de las nuevas
variables. &I 8ímites de integración Describir la región de intersección en tBrminos de las nuevas variables y Callar los nuevos límites de integración de las integrales iteradas.
INTEGRALES DOBLES
pág. 26
3Base en A"E=) ejercicio " y #
.. APLICACIONES DE L A INTEGRAL DOBLE $?lculo de ?reas y vol>menes por integrales dobles
CALCULO DE VOLUMEN $onsideremos que la f : D ⊂ R2 → R
,
continua
función sobre
la
CALCULO DEARE AS $onsideremos que f : D ⊂ R2 → R
la
función
, continua en la región
región cerrada D. El volumen del solido cerrada D. -al que fH@,yIQ, ) bajo la superficie , representada por la ∀ ( x , y ) ∈ D , entonces el ?rea de la e@presión siguiente región plana D es dada por ❑ ❑ V ( S )=∬ f ( x , y ) dxdy A ( D )=∬ f ( x , y ) dA =∬ dA D D
D
3Base en A"E=), ejercicio $ y 1% Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geomBtricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran el c?lculo del ?rea de una figura plana y el c?lculo de vol>menes de sólidos en el espacio entre las aplicaciones físicas est?n el c?lculo de masa, momentos est?ticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional.
MASA DE UNA FIGURA PLANA A continuación, se e@plica cómo determinar la masa de una figura plana no ComogBnea, de ?rea , como la región mostrada en la figura &.4 es decir para regiones donde la densidad varía en cada punto H x, yI ϵ
.
INTEGRALES DOBLES
pág. 27
)i se escoge un punto arbitrario H xi,yI
ϵ
i,
entonces la mas de este subrectangulo, denotada como mi , se obtiene como#
:or lo tanto la masa de la placa plana de ?rea
A , se puede
estimar mediante la doble suma de (iemannD
)i se aumenta el n>mero de subintervalos, de manera que la norma de la partición " tienda a cero, se tieneD
Entonces, el c?lculo de la masa de una figura plana se obtiene medianteD
INTEGRALES DOBLES
pág. 28
3Base en A"E=), ejercicio 11 •
MOMENTOS EST5TICOS DE FIGURAS PLANAS
El momento est ?tico de una partí cula alrededo r de un eje se define como el producto de su masa y la distancia que la separa de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los momentos est?ticos de una figura plana alrededor de los ejes coordenados. $onsidere una l?mina o placa plana , dividida en subrectangulos i, tal como se muestra en la figura
x , para cada Entonces, el momento est?tico alrededor del eje subrectangulo ij , denotado como Mxi,, viene dado por
)umando el momento est?tico alrededor del eje subrectangulo, se tiene que INTEGRALES DOBLES
pág. 29
x
para cada
-omando el límite cuando el n>mero de subrect?ngulos aumenta en la e@presión anterior
An?logamente, el momento est?tico alrededor del eje My, se obtiene como
y , que se denota
3Base en A"E=), ejercicio 12
CENTRO DE MASA El centro de gravedad de una figura plana , es un punto de coordenadas en el cual la región se equilibra
"
Coriontalmente. 8as coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones INTEGRALES DOBLES
pág. 30
Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos est?ticos se calculan por medio de integrales dobles.
1.3. MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia que la separa de ese eje y se considera como una medida de la oposición a girar del cuerpo cuando act>a sobre Bl una fuera de rotación. 8os segundos momentos m?s importantes son los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del srcen. El procedimiento para obtener estos momentos como integrales dobles es similar al que se ilustro para los momentos est?ticos, por lo tanto, el momento de inercia de una plac a , res- ecto al ee como
x , denotado
INTEGRALES DOBLES
pág. 31
+
x
, se calcula
An?logamente, el momento de inercia alrededor del eje +
y
y se denota como
y se obtiene como
8a suma de estos dos momentos se conoce como momento de inercia alrededor del srcen, + ; , donde
. BASES TEÓRICAS
)e quiere conseguir el objetivo claro de comprender el concepto de integral doble con la incorporación de varios elementos Asociación con la asociación de las sumas de (iemann, acercamiento al concepto matem?tico, aplicación matem?tica y utilitaria en el campo de la ingeniería civil. 5A$*8-AD DE #"9E"#E(!A O *""E H';'I J8a división de una región en n subregiones de ?reas pequeñísimas, y se formara la suma de estas subregiones, la suma crecería de forma infinita entonces se define la integral doble de la función en una región”. 9E(A8D#"E $#)"E() H';;I 6Sea f
una función de dos variables
definida en una región rectangular cerrada R, la integral do ble de denotada y definida por: n
❑
∬ ( x , y ) dA =∆lim ∑ f ( ui,vi ) ∆ iA → i= R
0
0
INTEGRALES DOBLES
pág. 32
f
en R”
E):#"[A (A+) ED*A(D H';'I J$onocer el tema de integrales dobles nos facilitara a>n m?s el desarrollo de ?reas, vol>menes y
∬ f ( x , y ) dx dy
centros de masa. L se denota
”.
+#-A$$ +E[A +^=#+ H';I J*na apreciación las integrales dobles, considerando una función continua
f ( x , y) ≥0
suponiendo que est?
definido en un rect?ngulo cerrado R= [ a ; b ] × [ c ; d ] , toma una partición : de ( en subMrect?ngulos
que obtenemos realiando el producto
cartesiano de una partición de
[ a ; b ] × [ c ; d ] cuya ?rea cada subM
rect?ngulo esta denotada por A ( Ri , j )= ∆i , j A =∆ x i ∆ y j ”
INTEGRALES DOBLES
pág. 33
.CONCLUSIÓN
Este trabajo nos sirvió para entender un poco las aplicaciones que tienen las integrales HdoblesI para el uso matem?tico en la ingeniería primordialmente. Es una Cerramienta muy >til para el c?lculo de ?reas, vol>menes, superficies, etc. Difíciles de solucionar mediante los mBtodos convencionales o por tener formas poco conformes. Eso no quiere decir que solo con la realiación de este trabajo, sea entendible el amplio campo que abarcan como en la matem?tica, física, etc. En todas estas aplicaciones ya que solo se lograría esto mediante la pr?ctica constante y minuciosa de cada caso.
INTEGRALES DOBLES
pág. 34
17. RECOMENDACIONES
•
*tiliar una integral doble para representar el volumen de una región
• •
sólida. *tiliar las propiedades de las integrales dobles. Al emplear la transformación a coordenadas polares, se deben definir los
•
nuevos límites de integración. (ecuerde que emplear un cambio de variable de un integral definida implica que el cambio afecta el intervalo de integración, el integrando y
•
la diferencial. Debemos recalcar que las integrales son muy fundamentales, tenemos que aprender a integrar, porque nos van a servir en el transcurso de nuestra vida, porque en todo lo que realicemos vamos a encontrar problemas relacionados con estos temas, las integrales son elementales.
INTEGRALES DOBLES
pág. 35
11. BIBLIOGRAFIA
Ayres , 5ranG 2r. H<7
+itacc +ea +?@imo H';ICalculo III. +ora 5. Palter H';I. Calculo en Varias Variables. 3illena +uño +oisBs H';;
LINCOGRAFIA
• •
• •
CttpWWXXX.ing.uc.edu.veW_gcisnerosWpdfW#ntDobles.pdf CttpWWXXX.monografias.comWtrabajos7&WintegralesMmultiplesWintegralesM multiples.sCtml`integraleb CttpWWCtml.rincondelvago.comWintegralesMdobles.Ctml CttpWWes.slidesCare.netWclaualemanaWconcursoMadjuntaMclaudia
12. ANE8OS 12.1. EJERCICIOS E2E($#$# $ambiando el orden de integración, calcular
INTEGRALES DOBLES
pág. 36
a
( a −x ) /
2 1 2
2
∫ ∫ ( a − y ) / dydx 2 1 2
2
0
&
)8*$#" 1
3emos que x varía entre y a , y que para x fija se tiene
0 ≤ y ≤ (a
2
− x2 ) 2
❑ 2
Así la integral iterada es equivalente a la integral doble
D (a − x ) ∬
dydx 1
0 ≤x≤a
donde es el conjunto de puntos (x, y) tales que
1 2 2
y
0 ≤ y ≤ (a
2
− x2 ) 2 .
L como est? es la representación de un cuarto del disco de radio a ubicado en un cuadrante positivo, entonces tambiBn se puede describir como el 0 ≤ y ≤a conjunto de puntos (x, y) que satisfacen lo siguiente y 0 ≤ x ≤( a
2
1 /2
− y2)
a ( a −x 2
.bteniendo así que
2 1/ 2
∫ ∫
)
(a −y ) / 2
2 1 2
a ( a2− x 2)
(a − y ) /
2 1 2
2
/ ∫ ∫ ( a − y ) dx
&
0
[
a
dydx =
0 1/ 2
2 1 2
2
&
a
|
]
dy
2 1 /2
/ / ∫ ∫ ( a − y ) dydx=∫ [ x ( a − y ) ] ( a −0y ) 2
2 1 2
&
0
0
(a − x ) /
2 1 2
2
2 1 2
2
2
a
∫ ( a − y ) / dydx=¿∫ ( a − y ) / ( a − y ) / dy 2
2 1 2
2
&
2 1 2
2
0
a
∫¿ 0
(a − x ) /
2 1 2
2
a
/ ∫ ( a − y ) dydx=¿∫ ( a − y ) dy 2
2 1 2
2
&
2
0
a
∫¿ 0
(a − x ) /
2 1 2
2
∫ ( a − y ) / dydx=¿ 2
2 1 2
&
(
2
a y−
a
∫¿ 0
INTEGRALES DOBLES
pág. 37
)|
y2 y a 3
0
2 1 2
dy
(a − x ) /
2 1 2
2
3
∫ ( a − y ) / dydx=a −¿ a3 2 1 2
2
3
&
a
∫¿ 0
(a − x ) /
2 1 2
2
3
1 2
( a2− y 2 ) /
∫ &
dydx =¿ 2 a 3
E2E($#$# '
4
2
0
√y
∫∫ yc&" x
Evaluar la integral
5
dxdy
)8*$#" )ea 0 ≤ y ≤ 4 y √ y≤x≤ 2 )e grafica la región , la cual tiene como puntos importantes a x = √ y ; x = 2 y = 0 ; y =4 8uego se obtiene que 4
2
∫∫ yc&" x 0
√y
4
2
∫∫ yc&" x 0
√y
4
2
∫∫ yc&" x 0
√y
4
2
∫∫ yc&" x 0
√y
4
2
∫∫√ yc&" x 0
y
( ∫ (∫ 4
5
5
0
√y
2
x2
0
0
∫
dxdy=
0
5
dxdy=
1 2
(
y
5
dx dy
5
dxdy=
2
5
) )
4
∫ ∫ yc&" x
dxdy=
yc&" x dy dx
2
cos x
2
5
)|
2
x dx 0
2
∫x
4
5
cos x dx
0 5
5
dxdy= "*nx 2 10
4
∴
|
0
2
∫∫ yc&" x dxdy= "*n1032 5
0
√y
INTEGRALES DOBLES
pág. 38
E2E($#$# & $alcular el ?rea Ac del círculo de radio a.
)8*$#" :ara este c?lculo podemos usar un círculo de radio a, centrado en el srcen. 8a 2 2 2 circunferencia del círculo tiene ecuación cartesiana x + y =a .
:ara obtener la ecuación en polares, sustituimos
x =! cos 3
2
e
y =! "*n 3
2
y
despejamos r 2
2
2
2
2
2
2
x + y =a →! cos 3 + ! "*n3 =a → ! =a
2
Así, en coordenadas polares, la región de integración va desde
!= a
y
0 ≤3 ≤ 2
INTEGRALES DOBLES
pág. 39
!= 0
Casta
.
2 a
2
2
a
2
0
0
2
2
∬ dA =∫ ∫ !d!d3 =∫ !2 ¿ d3=∫ a2 d3= a2 3
Ac =
D
R<9a : a
0
0
0
2
¿ = a2 0
2
E2E($#$#
$alcular la integral doble
∬ √1 − x − y dxdy 2
2
, donde D es la cuarta parte de
2 2 un círculo x + y ≤ 1 , que se Calla en el primer cuadrante.
SOLUCIÓN
)ea x =!c&"3, y =!"*n3 2
2
x + y =1
( !c&"3)2+( !"*n3 )2=1
→! 2=1
! =1
Entonces
∬ √1 − x − y dxdy =∬ √ 1−! 2
2
2
!d!d3
INTEGRALES DOBLES
pág. 40
√ 1−! 2 !d! 1
∫ ¿ d3 0
¿ ¿
2
¿∫ ¿ 0
2
3 2 2
∬ √1 − x − y dxdy =∫ −31 ( 1−! ) /10 d3 2
2
0
2
∬ √1 − x − y dxdy =∫ 13 d3 2
2
0
∴
∬ √1 − x − y 2
2
dxdy=
6
E2E($#$# 0 $alcule el volumen del sólido limitado posteriormente por la superficie = =√ 4 − x − y 2
circunferencia
2
e inferiormente por la regi ón limitada por la gr?fi ca de la ! =2 c&"3
SOLUCIÓN En coordenadas polares, la región de integración en el plano polar es
INTEGRALES DOBLES
pág. 41
{
D= ( ! ; 3 ) / 0 ≤ ! ≤ 2 c&"3,
− 2
≤3≤
2
}
Adem?s, para x =!c&"3 y y =!"*n3 la ecuación de la superficie es =√ 4 − x − y = √ 4 −! c&"3 −! "*n3 = √ 4 −! 2
2
2
2
2
2
2
:or tanto, el volumen 3 del sólido est? dado por
∬ √ 4− x − y 2
V=
2 2c&"3
2
dA =
∫∫ −
√ 4 −! 2 !d!d3
0
2
2
8 − 8 "*n3 3
V =∫ −
3
d3
2
∴V
(
=
)
8 32 3 − u 3 9
E2E($#$# 4 $alcular el ?rea de la región plano @y encerrada por la lemniscata cuya 2 2 ecuación en coordenadas polares es ! = a cos 2 3
SOLUCIÓN En T; 'V la lemniscata est? definida en los intervalos T; WV, T&W 0WV y T6W 'V es decir, allí donde
cos2 3 ≥ 0
INTEGRALES DOBLES
pág. 42
Descripción de ( 0 ≤3 ≤
4
√ cos2 3
0 ≤!≤a
Entonces
>!*a=∬ f ( x ; y ) dxdy =4 ∬ 1 dxdy 4 a √cos2 3
¿ 4∫ 0
∫
!d!d3
0
2
A!*a = a
APLICACION DEL JACOVIANO 9J:
E2E($#$# 6
INTEGRALES DOBLES
pág. 43
❑
∬x
3amos calcular la integral doble
3
2
y dydy
siendo * la región limitada por
?
2 2 2 2 la siguientes curvas de ecuaciones x + y =2 , x + y =4 ,
2
2
x − y =1
2
2
x − y =2
L
{
cambio de variable
2
, en el cuadrante positivo. ACora usaremos el
2
u= x + y 2 2 v= x − y
, con lo que el transformado de ?
por este
cambio de variables es @= { ( u , v ) ∈ R : 2 ≤ u ≤ 4.1 ≤ v ≤ 2 }=[ 2,4 ] x [ 1,2 ] 2
. bserva que es posible obtener
x=
el cambio de inverso, de CecCo, se verifique que
( x , y ) 1 = ( u , v ) 8 xy
adem?s tenemos que
❑
∬x
| |
❑
3
3
∬x
y dydy=
?
2
2
y . xy
@
1 32
∫ 1
[
52 −2 v 2 dv 3
]
INTEGRALES DOBLES
pág. 44
e
y=
√ u− v √2
entonces
(x , y) 1 dudv = 32 ( v , u)
2
¿
√u + v √2
❑
2
[
4
∬ ( u −v ) dudv= 321 ∫ ∫ ( u − v ) du 2
@
2
1
2
2
2
]
dv
R&'(
E2E($#$# 7 $alcular ∬ ( x + y + 1) dA R
y − x =1 ,
¿
7 16
, donde
R es la región limitada por las rectas
y − x =−1 , x + y =2 , x + y =1
)olución •
Elegimos la sustitución u= y − x v = x+ y
$alculamos el 2acobiano
•
: (u , v )=
1
: (x , y )
[ ] u
x : ( x , y )=d*9 v x
u y =d*9 −1 1 =−2 v 1 1 y
[ ]
9raficar
• ' M
•
En la integral )i 1 −1 : ( u , v )= = : (x , y ) 2 : ( x , y )=−2
INTEGRALES DOBLES
pág. 45
1
∫ ( v + 1) −1
|− |du] dv 1 2
[¿¿
2
( x + y + 1 ) dA =∫ ¿ 1
∬¿ 1
1 1 1 1 1 2 −1 ( v + 1 ) du= 2 ¿ −1 ¿= 2 [ ( v + 1 )−(−v −1 )]= 2 [ 2 v + 2 ]= v + 1
∫
2
( v + 1 ) dv =( v + v ) 2
2
∫ ¿ 21 ¿= 1
( ) ( )= 2
2 2
2
1 +1 2
+2 −
5 2
E2E($#$# < $alcular el volumen del solido limitado superiormente por el paraboloide = 4 − x 2− 2 y 2
Ce inferiormente por el plano =L.
SOLUCION :royectando al plano =L, se tienes [Q; de donde 2
y =0 ,
2
x +2 y = 4 ,
y =0 √ 2 ,
x =0 2 dy 4− x (¿ ¿ 2 −2 y2 ) dy 2
4− x
√∫ 2
4− x 2
¿ dx =4 ∫ (
0
√∫
0
2
2
¿ dx )
0
¿ ¿
2
v =4
∫¿ 0
INTEGRALES DOBLES
pág. 46
x =0 ,
2
v =4
0
2
v =4
[
∫ ( 4 − x ) y − 23 y
∫ 0
[(
2
2
4−x
−
3
]|√
∫
( )) ] ( √ )
2 4−x 3
2
2 4− x 2 dx = 0 0
2
4− x
2
[(
4− x
)
− 2 y2 y 3
2
2
2
2
dx =4
∫ 23 ( 4 − x ) 2
0
]|√
√
2
4− x 2 dx 0
4− x 2
2
dx
2
v = 4 √ 2 ( 4 − x 2 ) √ 4 − x 2 dx = 4 √ 2 ∫ 4 cos2 3 .2cos 3 . 2cos 3.d3 3
3
0
v=
64 √ 2 3
2
∫ 4cos
4
3.d3 =
0
64 √ 2 3
2
3 ∫ 4 ( 1 +cos2 ) d3 2 2
0
v = 16 √ 2 3
2
∫ ( 1 +2cos 3 + cos 2 3 ) d3 2
0
2
(+
16 √ 2 v= 3
∫
v = 16 √ 2 3
( ∫(
1+ 2cos 3 +
0
1 cos 4 3 2
v=
0
(
3 3 + 2cos 3 + cos4 2 2
(
16 √ 2 3 x sin4 3 + sin2 3 + 3 2 8
)|
d3
)
2
)
)) d3 2 0
v = 4 √2 u
3
E2E($#$#; Kallar el ?rea por integración doble de la región limitada por las par?bolas y =√ x , y =2 √ x y la recta @Q.
INTEGRALES DOBLES
pág. 47
SOLUCION ❑
4
R
0
( ) 2 √x
∬ dxdy=∫ ∫ dy
A ( R )=
4
dx
√x
|
A ( R )=∫ y 2 √ x dx √x 0 4
∫ ( 2 √ x −√ x ) dx
A ( R )=
0 4
∫ ( √ x ) dx
A ( R )=
0
3
|
2 A ( R )= x 2 4 3 0
A ( R )=
16 2 u 3
E2E($#$# Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas x = y 2 M y
x =2 y 2−2 , cuya densidad es igual a la unidad.
SOLUCIÓN
INTEGRALES DOBLES
pág. 48
(ecuerde que la densidad se calcula como tanto para esta placa se tiene
, por lo
ACora, se debe identificar la región para definir los límites de integración
Entonces la región est? definida comoD
:or lo tantoD
E2E($#$#'
Determine los momentos est?ticos de la placa descrita en el ejemplo de masas.
INTEGRALES DOBLES
pág. 49
SOLUCIÓN 8os momentos est?ticos se calculan de la siguiente manera
Entonces
:or lo tanto, los momentos est?ticos para una l?mina con la forma de la región del ejemplo de masas son
E2E($#$#&
Determine el centro de masa de la placa plana descrita en ejemplo de masas.
SOLUCIÓN El centro de masa es un punto tal que sus coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones dadas para el centro de masa en el cuadro. $omo ya se calculó la masa y los momentos est?ticos para esta región, entonces solo INTEGRALES DOBLES
pág. 50
queda sustituir ecuaciones
en
las
Entonces
En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedad de la placa descrita en el ejemplo de masas.
E2E($#$#&
Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en ejemplo de masas.
SOLUCIÓN
INTEGRALES DOBLES
pág. 51
8os momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se calculan de la siguiente manera
"ótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se acaba d ilustrar, sin embargo, tambiBn puede obtenerse a partir de
Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita en el ejemplo de masas son
11.2. FOTOS
INTEGRALES DOBLES
pág. 52
INTEGRALES DOBLES
pág. 53
INTEGRALES DOBLES
pág. 54
