monografia integrales

“año internacional

de la quinua ”

FACULTAD INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES TRIPLES PARA EL CÁLCULO DE VOLUMEN UTILIZANDO COORDENADAS CILÍNDRICAS PARA UNA PROBETA DE CONCRETO - NORMA ASTM-C31 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

PRESENTADO PRESENTADO POR: Autor: ……………………………………. Docente: Lic. Enrique Mamani Mamani JULIACA – PERU 2013

Universidad alas peruanas

DEDICATORIA A Dios. Por haberme permitido llegar hasta este punto y haberme dado salud para lograr mis objetivos, además de su infinita bondad y amor A mi madre MERCEDES. Por haberme apoyado en todo momento, por sus consejos,

sus

valores,

por

la

motivación

constante que me ha permitido ser una persona de bien, pero más que nada, por su amor. A mi padre EDGAR. Por los ejemplos de perseverancia y constancia que lo caracterizan y que me ha infundado siempre, por el valor mostrado para salir adelante y por su amor.

Página 2


AGRADECIMINETO Primero y antes que nada, dar gracias a Dios, por estar conmigo en cada paso que doy, por fortalecer mi corazón e iluminar mi mente y por haber puesto en mi camino a aquellas personas que han sido mi soporte y compañía durante todo el periodo de estudio. Agradecer hoy y siempre a mi familia por el esfuerzo realizado por ellos. El apoyo en mis estudios, de ser así no hubiese sido posible. A mis padres

y demás familiares ya que me

brindan el apoyo, la alegría y me dan la fortaleza necesaria para seguir adelante. Un agradecimiento especial al LIC. Enrique Mamani Mamani, por la colaboración, paciencia, apoyo y sobre todo por esa gran amistad que me brindó

y

me

brinda,

aconsejarme siempre. . Página 3

por

escucharme

y


ÍNDICE INTRODUCCIÓN CAPITULO I EL PROBLEMA 1.3 DEFENICION DEL PRLOBLEMA ………………………………………………………… .….7 1.2 DELIMITACIÓN……………………………………………..………………………………… .….7 1.3 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA……………………………………………………… ..…..7 1.4 PROBLEMAS PRINCIPALES…………………………………………………………….…….7 1.4.1 PROBLEMAS SECUNDARIOS……………………………………………………… .……8 1.5

OBJETIVO GENERAL…………………………………………………………………… ..…8

1.6

OBJETIVO ESPECIFICO………………………………………………………………… .…8

1.6

JUSTIFICACIÓN………………………………………………………………………. .……..8

1.7

HIPÓTESIS……………………………………………………………………………………9

1.8

TÉCNICAS E INSTRUMENTOS…………………………………………………………….9

CAPITULO II

MARCOTEORICO

2.1 ANTECEDENTES……………………………………………………………………….………. 10 2.1.1 INTEGRALES……………………………………………………………………………….. .10 2.1.2 INTEGRALES MÚLTIPLES…………………………………………………… ..…….…….10 Definición (Integral triple)…………………………………………………………………………… .11 2.1.4 Sistema de coordenadas cilíndricas………………………………………………….. .....…13 2.1.4.1Definición………………………………………………………………………………… ..….13 2.1.5 COORDENADAS CILINDRICAS…………………………………… ...………………….….13 VOLUMEN……………………………………………………………………………………………. 15

2.1

PROBETA…………………………………………………………………….……………. 15 Página 4

Universidad alas peruanas 2.2.1 Probetas de concreto – Norma ASTM C31………………………………………………… 15 2.2.2 Equipo necesario………………………………………………………………………… ..…..16 2.2.3 Muestreo…………………………………………………………………………………… .….16 2.2.4 Desmoldado…………………………………………………………………………..…… .….17 2.2.5 Curado………………………………………………………………………………………… ..17 2.2.6 EVALUACIÓN Y ACEPTACIÓN DEL CONCRETO …………………………………… .…18 2.2.7 Preparación de Probetas………………………………………………………...………… ...18 2.2.8 Ensayo de Probetas curadas en el Laboratorio……………………………...…………….18 2.2.9 Ensayo de Probetas Curadas en Obra……………………………………………… ...……19 2.2.10 ANALISIS DE RESULTADOS………………………………………………………..……. 19 2.2.11 Formulas comunes para volumen……………………………………………….………… 21 2.2.12 bases teóricas………………………………………………………………………….. ..….21 CAPITULO III DISCUSIÓN DE RESULTADOS PRESENTACIÓN, ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS CONCLUSIONES……………………………………………………………………………...……19 RECOMENDACIONES……………………………………………………………………….….…19 BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………………….……...20 ANEXOS………………………………………………………………………………………….….21

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INTRODUCCIÓN

El presente proyecto de investigación, se centra en el estudio de la aplicación de las integrales triples para el

cálculo de volumen de la probeta mediante la utilización de

coordenadas cilíndricas. El objetivo de este trabajo es dar a conocer las aplicaciones matemáticas en el cálculo de una figura geométrica como es el caso de nuestro problema de la probeta de concreto_ASTM-C31. El problema de los concretos de alta resistencia es que con el pasar de los años han presentado serios problemas de durabilidad y para contrarrestarlos se han invertido millones de dólares para sus respectivas reparaciones. Por tal motivo, el interés de este trabajo en investigar acerca de un material puzolánico que brinde – aparte de altas resistencias a la compresión – mejores propiedades al concreto como la baja permeabilidad, el bajo calor de hidratación, entre otras. Todas estas propiedades han logrado desarrollarse con la microsílice; sin embargo, se trata de un material importado y bastante costoso. Es ahí donde surge la opción de la diatomita que es un material puzolánico que ofrece características similares a la microsílice y que, además, es un producto nacional y económico.

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Capítulo I EL PROBLEMA

1.1 DEFENICION DEL PRLOBLEMA ¿Cómo interviene las integrales triples para el cálculo de volumen de la probeta de concreto_ASTM-C31? 

Propósito

: determinación de volumen del probeta de concreto_ASTM-C31.



Variables

: aplicación de las integrales triples por coordenadas cilíndricas



Unidad de estudio: probeta de concreto_ASTM-C31.



Lugar

: juliaca



Tiempo

: 2012

1.2 DELIMITACIÓN Durante el tiempo de investigación se pretende realizar el levantamiento de información tanto histórica como actual, antecedentes, bases teóricas y las teorías basadas en el cálculo de la probeta de concreto_ ASTM-C31. Posteriormente en los días transcurridos se hiso los análisis correspondientes al problema y se empezó con algunas medidas y criterios matemáticos y por ende se llegó a la resolución del problema que era el cálculo del volumen.

1.3 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 1.3.1PROBLEMAS PRINCIPALES



¿Cómo calcular el volumen De probeta de concreto_ASTM-C31 Mediante integrales triples? Página 7


1.3.2 PROBLEMAS SECUNDARIOS 

Verificar si existen variación en cálculo del volumen del probeta de concreto_ASTM-C31 mediante otros métodos cálculos matemáticos.



Obtener resultados del volumen De probeta de concreto_ASTM-C31 en cuanto a otros cálculos matemáticos.

1.4 OBJETIVO GENERAL 

determinar el volumen De probeta de concreto_ASTM-C31 Mediante integrales triples utilizando coordenadas cilíndricas.

1.5 OBJETIVO ESPECIFICO   

determinar el volumen De probeta de concreto_ASTM-C31 mediante integración aplicación de las coordenadas cilíndricas en la integración establecer las formulas matemáticos que ben considerarse para el normal cálculo del De probeta de concreto_ASTM-C31 mediante integrales triples.

1.6 JUSTIFICACIÓN Antes que nada, de vemos recordar que el probeta de concreto_ASTM-C31 por su carácter es un material de concreto hecho para el uso de cálculo de resistencia del concreto fijados según la normativa de ASTM-C31. La calidad de la probeta de concreto_ASTM-C31 resalta su resistencia del concreto menos el diseño empleado. Recordar también que las integrales triples son para realizar cálculos y resoluciones de problemas matemáticos, mediante la cual nos facilita conocer los resultados de los problemas del volumen. La matemática tiene varias ramas una de ellas es el cálculo vectorial, que en su contenido tiene ciertos temas como es el de integrales triples, dobles de línea, etc. Y en la cual las integrales triples es el método más fácil para hallar volúmenes de objetos tridimensionales Como la figura geométricas y así como De probeta de concreto_ASTMC31 en el caso de nuestro problema q tenemos.

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Universidad alas peruanas 1.7 HIPÓTESIS Dado que integrales triples, es una aplicación matemática practica para hallar el volumen de figuras geométricas tridimensionales, entonces es probable que este método de cálculo, no sea lo adecuado para solucionar este tipo de problemas, en donde por otros métodos puedan darse otros resultados de los volumen de dichas figuras, como el de nuestro volumen de la probeta de concreto_ASTM-C31.

1.8 TÉCNICAS E INSTRUMENTOS 

técnicas:

INTEGRALES TRIPLES

 

Aplicación de coordenadas cilíndricas



instrumentos

LABORATORIOS



INTERNET



PERITAJES



LIBROS

 

FORMULAS MATEMÁTICAS

INTERVENCIONES



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CAPITULO II MARCO TEÓRICO

2.2 ANTECEDENTES 2.1.1 INTEGRALES.- el origen de las integrales se remonta a la época de Arquímedes (277_212 a.c.), matemático griego dela antigüedad que tuvo resultados importantes en el cálculo de áreas y volúmenes limitadas pro curvas. El proceso seguido en la definición de integral definida es, en esencia el mismo que utilizo Arquímedes. Dada una región de un plano, su área puede calcularse por medio de integrales definidas. La integral es una generalización practica y sutil en este proceso. Los griegos ya consiguieron resolver algunos problemas relativos a áreas actual mente asociados alas integrales. El cálculo efectivo en cada uno de ellos dependía de alguno procedimiento ingenioso.

2.1.2 INTEGRALES MÚLTIPLES Las integrales se pueden calcular sobre regiones diferentes de los intervalos. En general, una integral sobre un conjunto E de una función f se escribe:

Aquí x no hace falta que sea necesariamente un número real, sino que puede ser cualquier otra cantidad apropiada, por ejemplo, un vector de R3. El teorema de Fubini demuestra que estas integrales pueden reescribirse como una integral iterada. En otras palabras, la integral se puede calcular a base de integrar las coordenadas una por una. De la misma manera que la integral definida de una función positiva representa el área de la región encerrada entre la gráfica de la función y el eje x, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región comprendida entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su Página 10

Universidad alas peruanas dominio. (El mismo volumen puede obtenerse a través de una integral triple — la integral de la función de tres variables — de la función constante f(x, y, z) = 1 sobre la región mencionada antes entre la superficie y el plano, lo mismo se puede hacer con una integral doble para calcular una superficie.) Si el número de variables es mayor, entonces la integral representa un hipervolumen, el volumen de un sólido de más de tres dimensiones que no se puede representar gráficamente. Por ejemplo, el volumen del paralelepípedo de caras 4 × 6 × 5 se puede obtener de dos maneras: -Con la integral doble

Con la integral doble de la función f(x, y) = 5 calculada en la región D del plano xy que es la base del paralelepípedo. Con la integral triple

de la función constante 1 calculada sobre el mismo paralelepípedo (a pesar de que este segundo método también se puede interpretar como el hipervolumen de un hiperparalelepípedo de cuatro dimensiones que tiene como base el paralelepípedo en cuestión y una altura constante de 1, como la altura es 1 el volumen coincide con el área de la base). Puesto que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable, no existen las integrales múltiples indefinidas: tales integrales son todas definidas.

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2.1.3 Definición (Integral triple)

Página 12

Universidad alas peruanas 2.1.4 Sistema de coordenadas cilíndricas 2.1.4.1Definición Las coordenadas cilíndricas constituyen una generalización de las coordenadas polares del plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el eje ), perpendicular al plano , como sigue: •La coordenada radial, es la distancia (en valor ab soluto) del punto al eje. •La coordenada acimutal, es el ángulo que la proyección del vector de posición sobre el plano forma con el eje. •La coordenada vertical, es la distancia (con signo) al plano . Los rangos de variación de estas coordenadas son: El ángulo también puede variar en el intervalo [0,2π).

2.1.5 COORDENADAS CILINDRICAS Un punto representado en coordenadas cilíndricas. Artículo principal: Coordenadas cilíndricas. El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (r, θ, z). Página 13

Universidad alas peruanas Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

    =        Formula

En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P. Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas

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Universidad alas peruanas El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto. 2.2.11 VOLUMEN.-

es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un

objeto. Es una función derivada de longitud, ya que se halla multiplicando las tres dimensiones. En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la prop iedad de los cuerpos físicos de ser extensos o materiales. La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro (que equivale a un decímetro cúbico), el que se utiliza comúnmente en la vida práctica.

2.3

PROBETA 2.2.1 Probetas de concreto – Norma ASTM C31 Este resumen solamente contempla los procedimientos necesarios para preparar y curar probetas cilíndricas de concreto

compactadas mediante varillado y que además contengan mezclas con agregado grueso de 2″ como tamaño máximo. La norma ASTM C31 también contempla los procedimientos para obtención de muestras “tipo viga”, las que se compactan mediante vibrado y también para el muestreo de concretos preparados con agregados de diámetros mayores a la 2″ (revisar la norma ASTM C172).

Página 15

Universidad alas peruanas 2.2.2 Equipo necesario: Moldes: deben ser de acero, hierro forjado, PVC ú otro material no absorbente y que no reaccione con el cemento. Antes de usarse los moldes deben ser cubiertos ligeramente con aceite mineral o un agente separador de encofrado no reactivo. Varilla: debe ser de fierro liso diámetro 5/8”, de 60 cm de largo y con una de sus extremos boleados. Mazo: debe usarse un mazo de goma que pese entre 0.60 y 0.80 Kg. Equipo adicional: badilejo, plancha de metal y depósito que contenga el íntegro de la mezcla a colocar en la probeta (una carretilla de obra cumple este requerimiento).

2.2.3 Muestreo: 1. Los especímenes deben ser cilindros de concreto vaciado y fraguado en posición vertical, de altura igual a dos veces el diámetro, siendo el espécimen estándar de 6×12 pulgadas, ó de 4×8 pulgadas para agregado de tamaño máximo que no excede las 2”. 2. Las muestras deben ser obtenidas al azar, por un método adecuado y sin tener en cuenta la aparente calidad del concreto. Se deberá obtener una muestra por cada 120 m3 de concreto producido ó 500 m2 de superficie llenada y en todo caso no menos de una diaria. Este ya es un tema sujeto al criterio del ingeniero residente ó del supervisor de obra, ya que la importancia de determinado elemento estructural puede ameritar la toma de un mayor número de muestras para control. 3. Colocar el molde sobre una superficie rígida, horizontal, nivelada y libre de vibración. 4. Colocar el concreto en el interior del molde, depositándolo con cuidado alrededor del borde para asegurar la correcta distribución del concreto y una segregación mínima. 5. Llenar el molde en tres capas de igual volumen. En la última capa agregar la cantidad de concreto suficiente para que el molde quede lleno después de la compactación. Ajustar el sobrante ó faltante de concreto con una porción de mezcla y completar el número de golpes faltantes. Cada capa se debe compactar con 25 penetraciones de la varilla, distribuyéndolas uniformemente en forma de espiral y terminando en el centro. La capa inferior se compacta en todo su espesor; la segunda Página 16

Universidad alas peruanas y tercera capa se compacta penetrando no más de 1” en la capa anterior. Después de compactar cada capa golpear a los lados del molde ligeramente de 10 a 15 veces con el mazo de goma para liberar las burbujas de aire que puedan estar atrapadas (es usual dar pequeños golpes con la varilla de fierro en caso de no contar con el mazo de goma). 6. Enrasar el exceso de concreto con la varilla de compactación y completar con una llana metálica para mejorar el acabado superior. Debe darse el menor número de pasadas para obtener una superficie lisa y acabada. 7. Identificar los especímenes con la información correcta respecto a la fecha, tipo de mezcla y lugar de colocación. Hay que proteger adecuadamente la cara descubierta de los moldes con telas humedecidas ó películas plásticas para evitar la pérdida de agua por evaporación. 8. Después de elaboradas las probetas se transportarán al lugar de almacenamiento donde deberán permanecer sin ser perturbados durante el periodo de curado inicial. Si la parte superior de la probeta se daña durante el traslado se debe dar nuevamente el acabado. Durante las primeras 24 horas los moldes deberán estar a las siguientes temperaturas: para f´c>422 kg/cm2 : entre 20 y 26°C y para f´c<422 kg/cm2 : entre 16 y 27°C. 9. No deben transcurrir más de 15 minutos entre las operaciones de muestreo y moldeo del pastón de concreto. Se deben preparar al menos (02) probetas de ensayo de cada muestra para evaluar la resistencia a la compresión en determinada edad por el promedio. Lo usual es evalúar resistencias a los 7 y 28 días.

2.2.4 Desmoldado: 1. Las probetas se retirarán de los moldes entre las 18 y 24 horas después de moldeadas. Hecho esto se marcarán en la cara circular de la probeta las anotaciones de la tarjeta de identificación del molde. Luego de esto deben pasar a curado.

2.2.5 Curado: 1. Después de desmoldar las probetas y antes de que transcurran 30 minutos después de haber removido los moldes, almacene las probetas en condiciones adecuadas de humedad, siempre cubiertas por agua a una temperatura de entre 23 y 25°C. Deben Página 17

Universidad alas peruanas mantenerse las probetas en las mismas condiciones de la estructura origen (protección, humedad, temperatura, etc). 2. El laboratorio, además de certificar la resistencia, debe dejar constancia del peso y dimensiones de las probetas, de la fecha y hora del ensayo. Referencia: ingesite

2.2.6 EVALUACIÓN Y ACEPTACIÓN DEL CONCRETO Frecuencia de los Ensayos Las muestras para ensayos de resistencia en compresión de cada clase de concreto colocado cada día deberán ser tomadas: ● No menos de una muestra por día. ● No menos de una muestra de ensayo por cada 50 m3 de concreto colocado. ● No menos de una muestra de ensayo por cada 300 m2 de área superficial para losas o veredas. Si el volumen total de concreto de una clase dada es tal que la cantidad de ensayos de resistencia en compresión ha de ser menor de cinco, el Supervisor ordenará ensayos de por lo menos cinco tandas tomadas al azar, o de cada tanda si va ha haber menos de cinco. En elementos que no resistan fuerzas de sismo si el volumen total de concreto de una clase dada es menor de 40 m3, el Supervisor podrá disponer la supresión de los ensayos de resistencia en compresión si, a su juicio, está garantizada la calidad de concreto.

2.2.7 Preparación de Probetas Las muestras de concreto a ser utilizadas en la preparación de las probetas cilíndricas a ser empleadas en los ensayos de resistencia en compresión, se tomarán de acuerdo al procedimiento indicado en la norma ITINTEC 339.036. Las probetas serán moldeadas de acuerdo a la Norma ITINTEC 339.033.

2.2.8 Ensayo de Probetas curadas en el Laboratorio Seguirán las recomendaciones de la Norma ASTM C 192 y ensayadas de acuerdo a la norma ITINTEC 339.034. Se considerarán satisfactorios los resultados de los ensayos Página 18

Universidad alas peruanas de resistencia a la compresión a los 28 días de una clase de concreto, si se cumplen las dos condiciones siguientes: ● El promedio de todas las series de tres ensayos consecutivos es igual o mayor que la resistencia de diseño. ● Ningún ensayo individual de resistencia está por debajo de la resistencia de diseño en más de 35 KG/CM2. Si no se cumplen los requisitos de la sección anterior, el Supervisor dispondrá las medidas que permitan incrementar el promedio de los siguientes resultados:

2.2.9 Ensayo de Probetas Curadas en Obra El Supervisor puede solicitar resultados de ensayos de resistencia en compresión de probetas curadas bajo condiciones de obra, con la finalidad de verificar la calidad de los procesos de curado y protección del concreto. El curado de las probetas bajo condiciones de obra deberá realizarse en condiciones similares a las del elemento estructural al cual ellas representan. Las probetas que han de ser curadas bajo condiciones de obra deberán ser moldeadas al mismo tiempo y de la misma muestra de concreto con la que se preparan las probetas a ser curadas en el laboratorio. No se permitirá trabajar con relación agua/cemento mayor que las indicaciones. El residente al inicio de la obra, hará los diseños de mezcla correspondientes, los cuales deberán estar avalados por algún Laboratorio competente especializado, con la historia de todos los ensayos, realizados para llegar al diseño óptimo. Los gastos de estos ensayos correrán por cuenta del residente; el diseño de mezcla que proponga el Residente será aprobado previamente por el Ingeniero Supervisor. El Ingeniero Supervisor dispondrá lo conveniente para el control de agregados en la planta, así como el control de la dosificación. Se deberá guardar uniformidad en cuanto a la cantidad de material por cada tanda lo cual garantizará homogeneidad en todo el proceso y posteriormente respecto a las resistencias. 2.2.10 ANALISIS DE RESULTADOS. · Datos del ensayo: cilindro de 14.5 cm de diámetro y 1 pie de altura Página 19

Universidad alas peruanas · Carga máxima: la carga máxima (pmax ) alcanzada en el ensayo fue de 20567 kg lo cual corresponde al valor de 20.567 toneladas en el cual el cilindro de concreto fallo. · Resistencia ultima: La resistencia última se determina a partir de la siguiente ecuación: Rum=Pmax/S Donde P: carga máxima aplicada. S: sección transversal del cilindro utilizado S=π*(15cm)2/4 S=176.71cm2 A partir de esto se determinó la resistencia última o el esfuerzo máximo: Rum=esfuerzo máximo= 20567kg/176.71cm2 Rum= 116.39kg/cm2 Esfuerzo máximo=116.39kg/cm2/0.07=1662.71psi Este valor obtenido para el esfuerzo máximo corresponde al valor teórico porque como ya se ha visto la norma el cilindro de concreto es de 15 cm de diámetro. El valor real de la resistencia última se calcula utilizando el diámetro de 14.5 cm de esta manera el valor es: Sreal=π*(14.5cm)2/4 Sreal=165.129cm2 Rum=20567 kg/165.129cm2 Rum=124.55kg/cm2 Esfuerzo máximo=124.55kg/cm2/0.07=1779.29psi A partir de los datos obtenidos de resistencia se procedió a calcular el módulo de elasticidad del concreto de la siguiente manera: Ec=0.034 Wc(f’c)1/1.5 Donde Wc= peso unitario del concreto f’c= resistencia del concreto Ec= módulo de elasticidad del concreto Asumiendo el valor del peso unitario de un concreto normal como el valor medio entre 1450-2450 (kg/cm3) y así se obtuvo un valor para el módulo de elasticidad: Ec=0.034*1950kg/cm3*(1779.29kg/cm2)1/1.5 Ec=954049180.3Mpa Página 20

Universidad alas peruanas Ahora utilizando la formula Δ=PL/AE se puede obtener un valor aproximado de la deformación a partir del módulo de elasticidad calculado: Δ=20567kg*30cm/(165.129cm2*9735.19kg/cm2) Δ=0.38cm Δ=3.83mm

2.2.2 Formulas comunes para volumen forma

formula

variables

 =  ∗  ∗ 



Cubo



Prisma regular

L∗∗

L= largo, w= ancho, h= altura



Cilindro (prisma

  ∗

R= radio dela cara circular H =

circular) 

Esfera

4   3

V= longitud del vértice

distancia entre caras R = radio dela esfera que es la primera integral de la fórmula para el área superficial de la esfera



Elipsoide



pirámide

4 ∗  ∗  ∗  3 1  ∗ 3

a,b,c =semiejes del elipsoide A=área dela base, h = altura dela base al vértice superior

2.2.12 bases teóricas Calculo del proveta ASTM-C31 aplicando integrales triples 1. dado los datos de proveta ASTM-C31 Radio = 0.075 cm altura0 = 0.30 cm Página 21

Universidad alas peruanas Solución Formulas _ Coordenadas cilíndricas

_ integrales triples

 = ∫ ∫ ∫     v (total) = volunen (1)

 . .  =         . 0.30  =   ] 0    = ∫ 0.30 ] .   (0.075)  =  0.30 2  (0.075) 2

=0.30 2 ] 0  (0. 0 75) =0.30 2 2

  = 0.0053014376 

Página 22


CAPITULO III Presentación análisis e interpretación de resultados 3.1Conclusiones 

Este método de integración es una fórmula para resolución de volúmenes de cualquier figura geométrica.



Usando integrales triples se solución el volumen del figura geométrica del PROBETA



En que este método matemático es método de cálculo exacto para volúmenes



Que las formulas empleadas, son la más fácil para el cálculo del volumen de dicho problema planteado.



Es un método de aplicación matemático más adecuado para resolver volúmenes

3.2 Recomendaciones 

Que la aplicación de este método es fácil para el cálculo de volúmenes



la aplicación de las integrales triples puede funcionar también con otras coordenadas como coordenadas esféricas.



Que este meto es aplicable para la resolución de volúmenes de cilindros.

Página 23


BIBLIOGRAFÍA 

[1] Chilov, G. E. Analyse Mathématique, Fonctions de plusieurs variables réelles, Éditions Mir, moscou, 1975. ASOCEM 2000 La Microsílice, Adición en el Concreto (consulta: 2 de agosto) En: Boletín Técnico ASOCEM No 084 http:/www.construccion.org.pe CABRERA LA ROSA, Augusto 1963 Minerales no - metálicos. Lima: Ministerio de Fomento y Obras Públicas http:/www.ingemmet.gob.pe/biblioteca_virtual/inifm/min_no_met_bentonita_diatomita.p df



http://www.google.com.



http://www.wikepedia.org/wiki/puentes

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A NE XOS

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Haciendo la prueba de ensayo

La probeta des pues del ensayo

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monografia integrales

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