T +1 À 1
AREA DE SUPERFICIE Si tuviésemos una superficie con ecuación D œ 0 ÐBß ÐBß C Ñß y quisiéramos hallar el valor del área de una porción V de la superficie, podemos actuar con la misma metodología con la que hemos resuelto nuestros problemas hasta hasta el el momento; es decir, particionar particionar la región V y luego sumar dando dando lugar a una integral. Observe la gráfica:
z R y dS
R
R x
y R′
dA
x
Llamemos W , al valor del área de la porción V de la superficie, entonces:
Wœ
( (
.W
V
w
El problema es ahora proyectar la superficie al plano \] obteniendo la región V . Podemos pensar en una transformación de ‘$ Ä ‘# Denotemos como V la función vectorial para la superficie, tenemos:
V œ ÐBß ÐBß Cß 0 ÐBß ÐBß C ÑÑ Los vectores derivadas parciales con respecto a B Ð V B Ñ y con respecto a C Ð V C Ñ, serían:
V B œ Ð "ß !ß 0B Ñ
G +6- ?69 /8 /8 @+<3+= @+ @+<3+,6/=
C
V C œ Ð !ß "ß 0C Ñ
T <9 <90 À Z 3- >9< L/ L/8<3; ?/D V9 V94+=
T +1 À 2
¼
¼
.W œ V B ‚ V C .E
Entonces
âââ âââ
âââ âââ
3 4 5 V B ‚ V C œ " ! 0 B œ Ð 0B ß 0C ß " Ñ ! " 0 C
¼
finalmente
Wœ
¼ É
V B ‚ V C œ
" 0B# 0C#
( ( .W œ ( ( É " 0
# B
0C # . E
Vw
V Observación:
Si la ecuación de la superficie está dada en forma implícita, es decir 0 ÐBßCßD Ñ œ !Þ La fórmula anterior se transforma a:
0 0 0 É W œ ( ( ¸ 0 ¸ .E #
#
B
V
#
C
D
D
w
Ejemplo 1: Encuentre el área de superficie de una esfera de radio +Þ
B# C # D# œ +#
Solución: z
z = a 2 − x 2 − y 2
−a
x
La región
Vw
a
y
a
es en este caso y
x 2
−a
G +6- ?69 /8 /8 @+<3+= @+ @+<3+,6/=
+ y
a
2
=
a2
x
T <9 <90 À Z 3- >9< L/ L/8<3; ?/D V9 V94+=
T +1 À 3 \] calcularemos la parte superior y
Como la superficie es simètrica respecto al plano multiplicamos por #.
( ( É
0B# 0C # 0D #
Wœ#
V
œ#
¸¸ 0D
w
( ( È ¸ ¸ ( ( È ¸ ¸
Ð # B Ñ# Ð # C Ñ # Ð # D Ñ # .E #D
.E œ #
Vw
(( È ¸ ¸
B# C# D # .E œ # # D
#
Vw
B# C # D # .E D
Vw
Reemplazamos por la ecuación de la superficie B# C # D # œ +#
œ#
(
+
!
È ( È
+# B# +# B#
È
È
+# .C .B +# B# C#
La integral resulta más sencilla en coordenadas polares
œ #+
( (
!
œ #+
+
È ( È
+# B#
#1
!
+# B#
È
( ( È ¹
" .C .B œ #+ # + B# C# "
Ð + # <# Ñ # # #
¹
(
#1
+
.) œ #+
!
+
"
+# < #
!
< .< .)
#1
#
œ %1+#
+ . ) œ #+ )
!
!
#1
!
Ejemplo #Þ Encuentre el área de la región de la esfera B# C# D # œ * limitada por el cilindro
B# C# $B œ ! z
z = 9 − x 2
−
y2
3
y
3
x
La región
Vw
es en este caso
( x −
3 2 ) 2
+
y2
=
9 4 x
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 4
( ( É
0B# 0C # 0D #
Wœ#
V
œ#
w
¸¸ 0D
( ( È ¸ ¸ ( ( È ¸ ¸
Ð # B Ñ# Ð # C Ñ # Ð # D Ñ # .E #D
.E œ #
Vw
(( È ¸ ¸
B# C# D # .E œ # # D
#
Vw
B# C # D # .E D
Vw
Reemplazamos por la ecuación de la superficie B# C# D # œ *
œ#
( ( È È
* .C .B œ ' * B# C#
Vw
( ( È
" .E * B# C#
Vw
La integral resulta más sencilla en coordenadas polares
B# C# $B œ !haciendo B œ < -9= )
C œ < =/8 )
B# C # œ < #
<# -9=# ) <# =/8# ) $<-9= ) œ ! resulta < œ $ -9= )
luego la integral en coordenadas polares resulta
( ( È $-9= )
1
Wœ
!
"
* <#
!
< .< .) œ ") Ð 1 # Ñ ?#
Observación: Puede ocurrir que no sea posible proyectar la superficie en el plano \] y que si se pueda proyectar en el plano \^ o ] ^ , en tales casos tenemos: 1)
Proyectando en el plano \^ Þ Si la ecuación de la superficie está dada por C œ 0 ÐBß D Ñ
.W œ
É
" 0 B# 0 C# .B .D
O en forma implícita, si 0 ÐBß Cß D Ñ œ ! entonces:
.W œ #Ñ
É 0
# # # B 0C 0D
¸ 0 ¸ C
.B.D
Proyectando en el plano ] ^ Þ Si la ecuación de la superficie está dada por B œ 0 ÐCßD Ñ
.W œ
É
" 0 C# 0 C# .C .D
O en forma implícita, si 0 ÐBß Cß D Ñ œ ! entonces:
.W œ
É 0
# # # B 0C 0D
¸ 0 ¸
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
B
.C.D
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 5
Ejercicios propuestos:
"Ñ
Encuentre el área de la superficie del plano C D œ %, limitado por el cilindro D œ B# y el plano C œ !
#Ñ
È
$# # $
VÀ
Calcular el área de la superficie dada por D œ 0 Ð Bß C Ñ sobre la región VÞ
+Ñ
0 Ð Bß C Ñ œ #B #C
V À el triángulo de vértices ( 0,0 ), ( 2,0 ), ( 0,2 ) V À '
,Ñ
0 Ð Bß C Ñ œ ) #B #C
VÀ
-Ñ
0 Ð Bß C Ñ œ * B#
V À el cuadrado de vértices Ð !ß ! Ñß Ð $ß ! Ñß Ð !ß $ Ñß Ð $ß $ Ñ V À *# $( $% 68 Ð ' $( Ñ
.Ñ
0 Ð Bß C Ñ œ
/Ñ
Porción del plano D œ #% $B #C en el primer octante
0Ñ
Porción de la esfera B# C# D # œ #&ß al interior del cilindro B# C# œ * V À #!1
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
È
B# C # ß
VÀ
˜
˜
Ð Bß C Ñ À B# C# Ÿ %
È
™
V À "#1
™
È
Ð Bß C Ñ À ! Ÿ 0 Ð Bß C Ñ Ÿ "
V À %)
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
È
"%
T +1 À 6
INTEGRALES TRIPLES 1)
EN COORDENADAS RECTANGULARES
Si 0 Ð Bß Cß D Ñ es una función definida en una región cerrada H y acotada en el espacio, como la región que ocupa una bola sólida o un puñado de arcilla, entonces la integral de J sobre H puede definirse de la manera siguiente. Partimos una región en forma de caja rectangular que contiene a H en celdas rectangulares mediante planos paralelos a los ejes coordenados ( ver figura ). Numeramos las celdas que están dentro de H de 1 hasta 8 en algun orden, donde la 5 ésima celda tiene dimensiones ˜B5 por ˜C5 por ˜D5 y un volumen ˜Z5 œ ˜B5 † ˜C5 † ˜D5 en cada celda z
( xk , yk , z k )
∆ z k
. ∆ xk
y
∆ y k
D
x
! 8
W8 œ
Formemos la suma
5œ"
J Ð B5 ß C5 ß D5 Ñ † ˜Z5
Al límite cuando 8 Ä _ le llamaremos integral triple de J en H y la escribiremos lim W 8 œ
8Ä_
( ( (
J Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B
H
Propiedades de las integrales triples:
"Ñ
(((
5 J Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B œ 5
H
#Ñ
((( ‘
J Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B
H
( ( (
J Ð Bß Cß D Ñ „ K Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B œ
H
œ
(((
J Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B „
H
$Ñ
(((
J Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B œ
H
%Ñ
K Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B
H
(((
J Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B
H"
donde H" H# œ g
(((
(((
J Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B
H# •
H" H# œ H
Si la región H © ‘$ corresponde a un volumen, entonces Z Ð H Ñ œ
( ( (
J Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B
H
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 7
Teorema de Fubini para integrales dobles:
˜ (((
™
Sea 0 una función continua en una región Ð B ß Cß D Ñ − ‘$ Î + Ÿ B Ÿ , ß 2" Ð B Ñ Ÿ C Ÿ 2# Ð B Ñ ß 1 " Ð B ß C Ñ Ÿ D Ÿ 1# Ð Bß C Ñ ß entonces
Hœ
(( ( ,
0 Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B œ
+
2# Ð B Ñ
1# Ð BßC Ñ
2" Ð BÑ
0 Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B
1" Ð BßC Ñ
H Ejemplo:
Hallar
( ( (
B $ C #D . D . C . B
H
en que H está determinado por
! Ÿ B Ÿ "ß
! Ÿ C Ÿ Bß
(( (
entonces
! Ÿ D Ÿ BC
B$ C# D .D .C .B œ
((( !
H
(( ( "
œ
!
"
œ
!
B
Ð B$ C#
!
"
D# Ñ #
¹
.C .B œ
!
!
B"! " B"" .B œ "! "! ""
(( "
BC
¹
"
œ !
B !
B
!
BC
B$ C# D .D .C .B
!
B& C % .C .B œ #
( ¹ "
Ð
!
B& C & "!
B
Ñ .B !
" ""!
Ejercicios propuestos: 1)
3Ñ
333Ñ
@Ñ
@33Ñ
Evalúe las siguientes integrales triples:
( ( ( (
"
(( ( ( È ( È ( ( ( "
"
#
#
#
Ð B C D Ñ .D .C .B
!
!
" !
!
$$BC
.D .C .B
%C#
%C#
#B
!
@3Ñ
!
" !
$$B
!
#
33Ñ
!
#BC
.D .B .C
@3Ñ
!
#BC
.D .C .B
!
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
@333Ñ
( ( ( (
È
( ( (( ( ( È È ( ( #
!
)B# C#
$C
.D .B .C
B# $C#
!
"
1
1
C =/8 D .B .C .D
!
!
"
!
"B#
%B# C
B .D .C .B
!
!
$
$
*B#
*B#
.D .C .B
!
!
!
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 8
CALCULO DE VOLUMEN CON INTEGRALES TRIPLES EN COORD. CARTESIANAS Observación: Cuando planteamos una integral triple para un cálculo de volumen es conveniente trazar dos diagramas: uno de la región sólida y uno de su proyección sobre el plano \] Þ Definimos la integral triple sobre una región acotada I , en donde
˜
™
I œ Ð Bß Cß D ÑÎ Ð Bß CÑ − Hß ?" Ð Bß C Ñ Ÿ D Ÿ ? # Ð Bß C Ñ ß y H es la proyección de I sobre el plano \]
z E
u2 ( x, y)
u1 ( x, y)
a
y = g 1( x )
y
D b
y = g 2 ( x )
x
luego la integral triple del volumen es
(((
(( ( ,
0 Ð Bß Cß D Ñ .D .C .B œ
+
1 # Ð BÑ
1 " Ð BÑ
? # Ð BßC Ñ
0 Ð Bß Cß D Ñ.D .C .B
? " Ð BßC Ñ
I Ejemplos: 1)
Hallar el volumen del tetraedro del primer octante acotado por los planos coordenados y el plano que pasa por los puntos T Ð"ß!ß!Ñß UÐ!ß#ß!Ñß VÐ!ß!ß$ÑÞ La ecuación del plano por tres puntos À
T U œ Ð "ß #ß !Ñ
âââ âââ
T V œ Ð "ß !ß $ Ñ
âââ âââ
3 4 5 T U ‚ T V œ " # ! œ '3 $4 #5 " ! $ luego el plano está dado por Ð B " Ñ † ' $C #5 œ ! o bien 'B $C #D ' œ !
Ê
D œ ' $B $# C
la recta en el plano \] pasa por los puntos Ð "ß ! Ñ C Ð !ß # Ñ luego su ecuación es C œ #B #
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 9 y z (0,0,3)
2 y = −2 x + 2 (0,2,0)
(1,0,0)
1
y
x
x
Proyección sobre el plano \]
Región sólida
Hœ
luego
˜ (( (
Ð Bß Cß D Ñ − ‘$ Î 0 Ÿ B Ÿ 1 ß "
Z œ
!
œ
(
" !
'$B $# B
#B#
!
#
œ Ð B 'B *BÑ
#Ñ
(( "
.D .C .B œ
!
#B#
!
¹
¹
(
"
#B#
$ Ð 'C $BC C# Ñ %
$
0 Ÿ C Ÿ #B # ß
.B œ
!
™
! Ÿ D Ÿ ' $B #$ B
$ Ð ' $B C Ñ .C .B #
Ð $B# "#B *Ñ .B
!
!
"
œ " ' * œ %? $ !
Hallar el volumen de la región del primer octante acotada por los planos coordenados y la superficie D œ % B# C
z
y
x
Si D œ ! Si C œ !
Hœ
luego
˜
œ
(( ( !
œ
(
# !
ec. de una parábola en el plano \] en el primer octante
Ð Bß Cß D Ñ − ‘$ Î 0 Ÿ B Ÿ # ß %B#
#
Z
C œ % B# Bœ#
Ê Ê
!
%B# C
.D .C .B œ
!
¹
" Ð %C B C C# Ñ #
%B#
(
#
.B œ
!
!
™
! Ÿ D Ÿ % B# C
Ð% B# C Ñ .C .B
!
( Ð B% %B# ) Ñ .B #
#
( & œ Ð "! B $% B $ )B Ñ œ
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
((
%B#
#
!
#
¹
0 Ÿ C Ÿ % B# ß
!
)$# $!
?$
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 10 $Ñ
Hallar el volumen de la región del primer octante acotada por los planos C œ !ß B C œ #ß #C B œ ' y el cilindro C# D # œ % z
y 2 + z 2
=4
x + y
=
2
2
2 y + x
3
=6
2
y 6
Hœ
˜
x
Ð Bß Cß D Ñ − ‘$ Î # C Ÿ B Ÿ ' #C ß
Z
œ
!
œ
È
(( ( ( È ¹ È #
#
%C#
'#C
#C
B†
œ Ð #C
( ( È ( È È ¹ #
% C#
.C œ
% C#
#C
Ð% CÑ
!
#C
È ™
% C# .B .C
!
#
'#C
!ŸDŸ
'#C
.D .B .C œ
!
! !
0 Ÿ C Ÿ #ß
% C# .C
% C# Ñ $ Ñ $
C " Ð % C# )+<-=/8 # $
#
œ ) +<-=/8 " !
1 ) ) ) œ ) † œ Ð %1 Ñ ?$ * # * *
Ejercicios propuestos Usando integrales triples determine el volumenn de:
3Ñ
La región indicada en la figura z
plano y + z = 1
y = x 2
-1 (−1,1,0)
1 y x (1,1,0)
Hœ
˜
Ð Bß Cß D Ñ − ‘$ Î " Ÿ B Ÿ " ß
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
B# Ÿ C Ÿ " ß
! ŸD Ÿ "C
™
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 11 33Ñ
El siguiente dominio de integración z
(0,−1,1
z = y 2
(1,−1,1)
(1,−1,0)
y
1
x
333Ñ
La región entre el cilindro D œ C# y el plano \] que está acotada por los planos
B œ !ß B œ "ß C œ "ß C œ "
z
y x
3@Ñ
La región del primer octante acotada por los planos B D œ "ß
C #D œ #
z
y x
@Ñ
La región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano C D œ # y el cilindro
B œ % C# z
y
x
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 12
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS Recuerdo: Las coordenadas rectangulares Ð Bß Cß D Ñ y las coordenadas cilíndricas Ð <ß ) ß D Ñ de un punto del espacio están ligadas por las relaciones
Ú ÛÜ
ÚÝÝ È ÝÝ ÛÝÝ È ÝÝÜ È
B# C# C ) œ +<->1 B C =/8 ) œ B# C # B -9= ) œ # B C# <œ
B œ < -9= ) C œ < =/8 ) DœD
de donde
Z
.
P= ( x,y,z ) z
y x θ
Y
r
X
Ejemplo1: Hallar las coordenadas rectangulares de los puntos dados en coordenadas cilíndricas Ð <ß )ß D Ñ
+Ñ
,Ñ
Ð "ß %&º, # Ñ
Ð #ß "#!º, % Ñ
ÚÝ ÛÝÜ ÚÝ ÛÝÜ
È È C œ " =/8%&º œ B œ " -9=%&º œ
#
#
luego corresponde a Ð
#
#
È ß È ß # Ñ #
#
#
#
D œ # " #
B œ # -9="#!º œ # †
œ "
È œ È $ C œ # =/8 "#!º œ # † $
#
Dœ%
luego corresponde a Ð "ß
È
$ß % Ñ
Ejemplo 2: Hallar las coordenadas cilíndricas de los puntos dados en coordenadas rectangulares:
+Ñ
Ð $ß %ß ( Ñ
È
< œ $# %# œ & ) œ +<->1 %$ œ &$Þ"$º luego corresponde a Ð &ß &$Þ"$ºß ( Ñ
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 13 Ejemplo 3: Transformar de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas:
+Ñ
#B œ C
C B
Ê
œ#
luego la representación en coordenadas cilíndricas es ) œ +<->1 #
B# C # #C œ ! Ê
,Ñ
<# #< =/8 ) œ !
luego la representación en coordenadas cilíndricas es
B# D # œ %
-Ñ
< œ # =/8 )
<# -9= # ) D # œ %
Ê
Ejemplo 4: Transformar de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares:
È
B# C # œ #
+Ñ
<œ#
Ê
,Ñ
< Ð -9= ) =/8 ) Ñ D œ %
”
B# C # œ %
Ê
< -9= ) < =/8 ) D œ %
luego la representación en coordenadas rectangulares es B C D œ % Ejemplo &:
Demuestre que la ecuación dada en coordenadas cilíndricas corresponde a una superficie cilíndrica.
< œ # =/8 )
È
B# C # œ # †
Ê
È
C B# C#
B# C# #C " œ "
Ê
B# C # #C œ !
Ê
B# Ð C " Ñ# œ "
directriz de la superficie es una circunferencia de radio " y centro Ð !ß " Ñ corresponde a una superficie cilíndrica.
CAMBIO DE VARIABLES GENERAL EN UNA INTEGRAL TRIPLE El cambio de variable en una integral triple, de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas y a esféricas es un caso particular de la transformación de coordenadas en el espacio.
B œ 9 Ð Bß Cß D Ñ C œ < Ð Bß Cß D Ñ D œ 7 Ð Bß Cß D Ñ
Supongamos que las funciones
representan biunívocamente el dominio Z en las coordenadas cartesianas Ð Bß Cß D Ñ en un dominio Z w en las coordenadas curvilineas Ð?ß>ßAÑÞ Supongamos que el dominio elemental o elemento de volumen ˜Z ( variación de volumen ) de Z se transforma en el elemento ˜Z w del dominio de Z w y que lim
˜Z wÄ!
¸¸
˜Z œ M ˜Z w
Entonces:
(((
0 Ð Bß Cß D Ñ .B .C .D œ
Z
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
( ( (
0 9 Ð Bß Cß D Ñß < Ð Bß Cß D Ñß 7 Ð Bß Cß D Ñ
‘¸ ¸
M .? .> .A
Z w
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 14
Como en el caso de la integral doble, también aquí M se llama jacobiano de la transformación en que
` Ð Bß C ß D Ñ œ M ` Ð?ß>ßA Ñ
œ
âââ âââ â
`B `? `C `? `D `?
`B `> `C `> `D `>
`B `A `C `A `D `A
âââ âââ â
Ejemplo de cálculo de jacobiano Hallar
` Ð BßC Ñ ` Ð ?ß@ Ñ
` Ð BßC Ñ ` Ð ?ß@ Ñ
B œ "# Ð ? @ Ñß
si
œ
»
`B `? `C `?
`B `@ `C `@
» » œ
" # " #
" # " #
Cœ
» ¸
" #
œ
Ð? @Ñ " %
" %
¸
œ
" #
Ejercicios propuestos À Hallar el jacobiano para el cambio de variable propuesto:
+Ñ
B œ $? #@ %Aà
C œ ? @ $Aà
,Ñ
B œ ? =/8) @ =/8 ) A -9= )à
D œ %? @ A
C œ ? -9= ) @ -9= ) A =/8 )à
D œ ?@A
Así, cuando se trata de coordenadas cilíndricas, tenemos:
B œ 3 -9= )ß
C œ 3 =/8 )ß
DœD
luego
ââ -9= ) â M œ â =/8 ) ââ !
3 =/8 ) 3 -9= ) !
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
Ð 3 œ ?ß ) œ >ß D œ A Ñ
ââ ââ ââ
! ! œ3 "
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 15
CAMBIO DE VARIABLE A COORDENADAS CILÍNDRICAS. ¿ Cómo hacer la conversión ?
I
Supongamos que descrita en coordenadas polares
H sobre el plano
es una región cuya proyección
\] , está
z E
z = u 2 ( x, y )
z = u1 ( x, y )
a
y
r = h1 ( ϑ )
D
b
r = h2 ϑ ( )
x
Iœ Hœ
˜ ˜
™
ÐBßCßD ÑÎÐ BßCÑ − Hß ?" ÐBßC Ñ Ÿ D Ÿ ? # ÐBßC Ñ Ð<ß ) ÑÎ ! Ÿ ) Ÿ " ß 2 " Ð ) Ñ Ÿ < Ÿ 2 # Ð ) Ñ
™
Así entonces la conversion de la integral resulta
(((
(( ( 2 # Ð) Ñ
"
0 Ð Bß Cß D Ñ .Z œ
!
2 " Ð) Ñ
? # Ð < -9= Ð ) Ñ ß< =/8 Ð ) Ñ Ñ
0 Ð < -9= Ð ) Ñß < =/8 Ð ) Ñß D Ñ < .D .< .)
? " Ð< -9= Ð ) Ñß < =/8 Ð ) Ñ Ñ
Ejemplos: 1)
Exprese y evalue la integral en coordenadas cilíndricas
Hœ
˜ ˜
(
"
È ( È
"
"B#
(
#B# C#
$
Ð B# C# Ñ # .D .C . B
"B# B# C#
Ð Bß C ÑÎ " Ÿ B Ÿ "ß
È
" B# Ÿ C Ÿ
È ™ ™ " B#
I œ ÐBßCßD ÑÎ ÐBßCÑ − Hß B# C# Ÿ D Ÿ # B# C#
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 16
La superficie H es y
x
2
2
+ y
=1
r θ
-1
1
x
Podemos observar queß para cubrir todos los puntos de la superficie ! Ÿ ) Ÿ #1ß y ! Ÿ < Ÿ "
Iœ
˜
™
Ð Bß Cß D ÑÎ Ð Bß CÑ − Hß B# C# Ÿ D Ÿ # B# C#
<# Ÿ D Ÿ # <#
Ê
Luego la integral en coordenadas cilíndricas resulta
( ( ( 21
0
2)
#r #
1
$
Ð r# Ñ # r .D . r .) œ
r #
0
)1 $&
Evaluar la integral en coordenadas cilíndricas
( (( #1
!
È
#<#
"
!
.D < .< .) œ
<
È
( ( ¹ ( ’( È ( È È ( #1
#<#
"
D
!
< .< .) œ
!
#1
"
!
"
!
#1
œ
!
#1
œ
!
Ð
<# .< .)
!
# < # Ñ$ < $ $ $
## $
# <# <Ñ < .< .)
Ð
!
# <# .<
<
"
!
<
œ
( ( È ( “ ‘¹ È ¹ #1
#
.) œ Ð
"
.)
!
## $
#
#1
Ñ
œ !
#1 # # Ð $ $
È #
Ñ
Ejercicios propuestos: Evaluar las integrales en coordenadas cilíndricas
3Ñ
1
!
!
<# $
) 1
$
!
!
$
!
.D < .< .)
33Ñ
" #
"#
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
( ( ( ( ( ( È ( (( !
%<#
#1
!
.D < .< .)
!
#1
D .D < .< .)
#
$#%<#
)
#1
%<#
#1
@Ñ
")<#
$
!
333Ñ
È
( (( È ( ( ( È ( (( #1
3@Ñ
!
#
#
Ð < =/8 ) D Ñ .D < .< .)
" #<#
"
!
#1
$ .D < .< .)
<
%<#
#
@3Ñ
.D < .< .)
!
!
<
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 17
En los siguientes ejercicios use coordenadas cilíndricas para calcular la integral:
+Ñ
( ( (
Ð B# C # Ñ .Z
, donde I es el sólido acotado por el cilindro B # C # œ % y los planos
I
de ecuaciones D œ "ß D œ #
,Ñ
( ( ( È
donde I es el sólido acotado por el paraboloide D œ * B# C # y
( ( (
C .Z
, donde I es el sólido acotado por los cilindros B# C # œ %ß B# C œ "
( ( (
BD .Z ß
( ( (
B# .Z ß
B# C# .Z ß
I
-Ñ
I
.Ñ
#
sobre el plano \] y bajo el plano D œ B # donde I es el sólido acotado por los planos D œ !ß D œ C y el cilíndro
B# C# œ "ß en el semiespacio C !
I
/Ñ
el plano \]
I
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
, donde I es el sólido acotado por el cilindro B# C # œ "ß sobre el plano
D œ ! y bajo el cono %B# %C# œ D #
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 18
CAMBIO DE VARIABLE A COORDENADAS ESFÉRICAS. Teorema: Las coordenadas rectangulares Ð Bß Cß D Ñ y las coordenadas esféricas Ð 3ß 9ß ) Ñ de un punto en el espacio, están ligadas por las relaciones:
Ú ÛÜ
B œ 3 † =/8 9 † - 9= ) C œ 3 † =/8 9 † =/8 ) D œ 3 † - 9= 9
despejando <ß 9ß ) se obtiene À Z
C
s
.
P= ( x,y,z )
r
φ
ÚÝÝ È ÛÝÝ È Ü 3œ
B#
C#
9 œ +<--9= ) œ +<->1
C B
z y
A
D#
D B# C # D #
x
θ
Y
B
θ L
X
Ejemplo: La ecuación rectangular de una superficie es coordenadas esféricas. Solución:
Las ecuaciones de transformación son
Ú ÛÜ
B# C# D # %C œ !Þ Expresar su ecuación en
B œ 3 † =/8 9 † -9= ) C œ 3 † =/8 9 † =/8 ) D œ 3 † -9= 9
, luego reemplazando se obtiene:
Ð3 =/8 9 -9= ) Ñ# Ð 3 =/8 9 =/8 ) Ñ# Ð 3 -9= 9 Ñ # œ % 3 =/8 9 =/8 ) 3# =/8# 9 -9=# ) 3# =/8 # 9 =/8# ) 3 # -9= # 9 œ % 3 =/8 9 =/8 ) 3# =/8# 9 Ð -9=# ) =/8# ) Ñ 3 # -9= # 9 œ % 3 =/8 9 =/8 ) 3# Ð =/8# 9 -9=# 9 Ñ œ % 3 =/8 9 =/8 ) 3# œ % 3 =/8 9 =/8 )
expresión que representa la superficie en coordenadas esféricas.
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 19
C œ 3 † =/8 9 † =/8 )
3# œ B# C # D # à
más simple
3# % 3 † =/8 9 † =/8 )
luego la superficie es
œ!
3# œ % 3 =/8 9 =/8 )
esto es
Para el cambio de cooredenadas es imprescindible calcular el jacobiano de la transformación. En el caso de las coordenadas esféricas, en que
` ÐBßCßD Ñ ` Ð ?ß>ßA Ñ
œ M
œ
âââ âââ â
`B `? `C `? `D `?
`B `> `C `> `D `>
`B `A `C `A `D `A
âââ âââ â
Así, cuando se trata de coordenadas esféricas, tenemos:
Ú ÛÜ
B œ 3 † =/8 9 † -9= ) C œ 3 † =/8 9 † =/8 ) D œ 3 † - 9= 9
Ð 3 œ ?ß ) œ >ß D œ 9 Ñ
ââ =/8 9 -9= ) â M œ â =/8 9 =/8 ) ââ -9= 9
luego
ââ ââ ââ
3 =/8 9 =/8 ) 3 -9= 9 -9= ) 3 =/8 9 -9= ) 3 -9= 9 =/8 ) œ 3# =/8 9 ! 3 =/8 )
Ejemplo: Exprese en coordenadas esféricas la integral:
((
È
$
!
*C#
È ( È
")B# C#
Ð B # C# D # Ñ.D .B . C
B# C#
!
debemos expresar la integral como
( ( (
0 Ð 3ß 9ß ) Ñ 3#=/8 Ð 9Ñ .9 . ) .3
Z
En la integral cartesiana los dominios estan dados por: 0 Ÿ C Ÿ $à
!ŸBŸ
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
È
* C# à
È
B# C# Ÿ D Ÿ
È
") B# C#
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 20 En el plano \] se tiene
y 3 9 − y2 θ
x
!Ÿ)Ÿ
observamos que el ángulo ) tiene dominio
1
#
observemos ahora la variable D
Dœ Dœ
È È
B# C#
Ê
D # œ B# C #
") B# C#
Ê
B# C# D # œ
corresponde a un cono eliptico
È
")
#
corresponde a una esfera
luego la superficie resulta z
x 2
+ y
2
+
z 2
= 18
(0,3,3)
z 2 = x 2
+ y
2
φ
3
θ
y
x
La intersección del cono con la esf era se produce cuando
D # œ B# C # D# œ ") B# C# y como 9
œ +<--9=
È
Ê
#D# œ ")
D Ê B# C # D #
Ê
9 œ +<--9=
esto nos muestra que el dominio del ángulo 9 es tiene radio
È
") ß esto nos indica que el dominio de 3 es
Dœ$
È
!Ÿ9Ÿ !Ÿ3Ÿ
$
")
1
È %
œ
1
% además como la esfera
")
finalmente podemos escribir el volumen en coordenadas esféricas
È
( ( ( 1
")
Z œ
!
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
1
#
!
%
3# † 3# =/8 Ð 9 Ñ .9 .) .3
!
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 21
È Z œ3 ( ( È
1
")
%
#
(
1
%
=/8 Ð 9 Ñ .9 .) .3
( ( È È (È ¹ È È !
!
")
%
1
#
œ3
!
œ3
!
#
Ð
#
!
1
")
# # % 3 Z œ # ! & ") 1 † Ð# œ #!
#
)
!
#Ñ
%
È
( ( 1
")
!
#
-9= Ð 9 Ñ
!
¹
1
%
.) .3 !
" Ñ .) .3
È ( È
# # .3 œ † # # 1
")
!
È ¹È
# # 3& 3 .3 œ † # # & 1
%
")
!
?$
Ejercicios propuestos: En los siguientes ejercicios use coordenadas esféricas para calcular la integral
+Ñ
'''
donde I es el sólido que está encima del cono 9 = 1$ bajo la esfera 3 œ #-9= 9Þ
.Z ß
I
Solución: La figura es z
2
ρ
ρ = 2 cos(φ )
π 3
y x
Dominio de definición de las variables: 0 Ÿ ) Ÿ #1
( ( ( #
Luego Z œ
!
,Ñ
''' ''' '''
à 1
#1
!
!Ÿ9Ÿ
$
!
Ð # -9= Ð 9 Ñ
1
$
1
$
à
!Ÿ3Ÿ#
Ñ 3# =/8 Ð 9 Ñ .9 . ) .3 œ
% 1 Ð * #1 Ñ ¸ $Þ(*$$ *
Ð B# C # D # Ñ .Z ß donde F es la bola unitaria de ecuación B# C # D # œ "
F
-Ñ
Ð B# C # Ñ .Z ß
L
.)
B /ÐB
# C# D#
Ñ
.Z ß
I
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
la esfera de donde L es el sólido sobre el plano \] bajo # # # ecuación B C D œ " donde I es el sólido encerrado entre las esferas de ecuaciones B# C# D # œ "ß B# C# D # œ % en el primer octante.
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
T +1 À 22
/Ñ
''' È ''' ( ( (
B# C# D # Ñ .Z ß
I
0Ñ
B# .Z ß
I
1Ñ
B# .Z ß
I
G +6-?69 /8 @+<3+= @+<3+,6/=
donde I es el sólido bajo el cono de ecuación 9 œ de la esfera de ecuación 3 œ #
1
'
y encima
donde I es el sólido encerrado por las esferas 3 œ "ß 3 œ $ y sobre el cono 9 œ 1% Þ donde I es el sólido acotado por el cilindro B# C # œ "ß sobre el plano D œ ! y bajo el cono %B# %C# œ D #Þ
T <90 À Z 3->9< L/8<3;?/D V94+=
