Trabajo Final Momento 6 Señales y Sistemas Fernando Muñoz, Cristian Solarte, Cristiam Prieto, Tito Rodríguez Profesor: Freddy alderrama !nad "ru#o: $%&%'$($ )ogot* +C, Colombia
—It is increasingly important that we as Abstract telecommunications engineering students develop teamwork skills to solve the problem proposed in the course. On the the othe otherr hand hand it is impo import rtan antt to the the abil abilit ityy to manipulate tools to signal processing such as, Convolution, Fourier analysis, transformed Z. eveloped in this work it will be displayed in the course of time time with within in ! work workin ingg thro throug ugh h coll collab abor orat ativ ivee work work methodology. Fourier, Palabras Clave — "e#al, sistema, an$lisis de Fourier, convoluci%n, transformada Z, dominio del tiempo, dominio de la frecuencia. frecuencia.
Momento 6 ;rti.ulo =---
Figura -. Metodología del .urso señales y sistemas
a. Momen Momento to 1: Lectur Lectura a y análi análisis sis.. -n la +omento - +onde se #uede de.ir 2ue:
I. I&'(O)CCI*& -l estudiante de tele.omuni.a.iones debe desarrollar /abilidades de dar solu.i0n solu.i0n a #roble #roblema mass de la 1ida 1ida real real a#li. a#li.and ando o los .ono.imientos ad2uiridos en los .ursos, es este .aso bajo la metodología de trabajo .olaborati1o basado en #roye.tos, donde es im#ortante .ono.er an*lisis y tratar señales y sistemas .omo tener la .a#a.idad de a#li.ar un modelo matem*ti.o .on el fin de minimizar la .om#lejidad de las o#era.iones
Figura . Señal 4t5 +onde:
II. +etodologa -l desa desarr rrol ollo lo de la asig asigna natu tura ra se lle1 lle10 0 a .abo .abo en 3 momentos 4Ver Figura 1.5 1.5
{
Si 0.5 < t ≤ 0.6 entonc entonces es v =0.3
Si 0.7 ≤ t < 0.721 entonce entonces s v =−1
x ( t )= Si 0.721 ≤ t ≤ 0.7503 entonces entonces v =2 Si 0.755 ≤ t < 0.8 entonce entonces s v =−3
Para el resto de volores de t v = 0
Momento 9 e.tura y ;n*lisis
Momento $ +es.ri#.i0n de señales y sistemas
Momento & +etermina.i0n de 1ariables des.ono.idas
Momento ' Transformadas: Transformadas: a#la.e y <
-sta señal no re#resenta fielmente un ele.tro.ardiograma ya 2ue esta señal es de #ulsos de am#litud .onstante7 a #esar 2ue 2ue la 1ari 1ariab able le de#e de#end ndie ient ntee sea sea igua iguall a la seña señall del del ele.tr ele.tro.a o.ardi rdiogr ograma ama 1oltaj 1oltajee y la 1ariab 1ariable le inde#e inde#endi ndient entee tiem#o7 adem*s se #uede argumentar 2ue el fen0meno físi.o 2ue da origen a la am#litud de la señal es la diferen.ia de #oten.ial de la a.ti1idad el8.tri.a el8.tri.a del .oraz0n .oraz0n
b. Mome Moment nto o 2: Desc Descri ripc pció ión n de seña señale less y sistemas.
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1
-n este momento se analizaron las señales y sistemas in1olu.rados en el #roblema donde se e1iden.io 2ue: -n .uanto a los sistemas tenemos: a señal 4t5, es #eri0di.a ya 2ue se .re0 .on res#e.to a un ele.tro.ardiograma, aun2ue s0lo se tom0 un inter1alo7 adem*s, 4t5 no es #ar ni im#ar #uesto 2ue se realiza el .riterio de e1alua.i0n gr*fi.o mediante la imagen del eje imaginario en 4y5 y el eje imaginario a 9&3> -sta señal es .ausal ya 2ue sus límites son de %,3 ? t ?%,@ a señal es .ontinua ya 2ue el dominio %?A t?A9 tiene una imagen en el eje 4y5 -sta señal es de #oten.ia ya 2ue es #eri0di.a a señal n4t5 es sinusoidal #ura, %%%9sen49$%Bt5, .on am#litud de 99%(& D!E, fre.uen.ia angular de 49$%B5rad, #eriodo 96,6 DmsE, Fre.uen.ia 6%,$' DzE a señal es #eri0di.a, .ontinua e im#ar ya 2ue f4(5A( f45Gadem*s es una señal de #oten.ia, afirmar 2ue es .ausal ya 2ue trabajamos el #roblema #ara tiem#os mayores iguales a 4%5
S9: -s un sistema 2ue adelanta la señal de entrada en %,3 segundo, es de.ir eiste un des#lazamiento en el tiem#o /a.ia el lado iz2uierdo .on1irtiendo a 4t5 en 4tH%,35 #ero su res#uesta en el eje IyJ 41oltaje5 se mantiene .onstante Con lo .ual se #uede dedu.ir 2ue es .ontinuo, lineal e in1ariante en el tiem#o Su salida de#ende Kni.amente de la entrada #or tal es est*ti.o a salida no de#ende de entradas tales de la forma 4tH95, es de.ir entradas futuras, #or ende es .ausal -l sistema no tiene memoria ya 2ue la salida en .ual2uier tiem#o de#ende solo del 1alor de la entrada en ese mismo tiem#o S$: -s un sistema 2ue est* .ara.terizado #or yL H93%y A 93%m, #or la forma de la e.ua.i0n diferen.ial y 2ue no #osee t8rminos .omo .onstantes se dedu.e 2ue es un sistema lineal e in1ariante en el tiem#o a salida no tiene la forma y4t5 y no .ontiene t8rminos 4tHa5 #or tal es .ausal y al eistir deri1adas el sistema es din*mi.o o eisten #untos donde se indetermine la e.ua.i0n lo 2ue indi.a 2ue es .ontinuo S&: -s un sistema 2ue est* .ara.terizado #or z4N5 Ay4N( 3%5o 2ue im#li.a 2ue /ay un des#lazamiento de señal a la dere./a de 3% muestras, el resultado de este sistema es lineal e in1ariante en el tiem#o, no es .ontinuo -s un sistema din*mi.o ya 2ue de#ende de su /istoria #asada
c. Momento : Determinación de variables desconocidas. l(t)=p(t)O4tH%,35A 4.os4$%%Bt55O44tH%,355
Figura /. Señal %%%9sen49$%Bt5
D9E
l(t)+ n(t)= (cos(200πt)*x(t+0.5))+(0.001sen(120πt)) D$E m(t)= p(t)O (l(t)+ n(t))
a señal #4t5 .osenoidal #ura, .os4$%%Bt5, .on am#litud de 9D!E, fre.uen.ia angular de 4$%%B5rad, #eriodo 9% DmsE, Fre.uen.ia 9%% DzE a señal es #eri0di.a, .ontinua y #ar ya 2ue f4(5Af45Gadem*s es una señal de #oten.ia, tambi8n se #ude afirmar 2ue es .ausal ya 2ue trabajamos el #roblema #ara tiem#os mayores iguales a 4%5
A
( cos ( 200 πt )∗(cos (200 πt )∗ x (t + 0.5))+0.001 sen ( 120 πt c.-. "erie de Fourier a serie de Fourier de #4t5 A .os 4$%% B t 5 se analiza 2ue: a integral de 1alor medio de una señal sim8tri.a es % #or ende la .om#onente +C o 1alor ao es igual a 4%5 as .om#onentes bn son iguales a 4%5 #uesto 2ue la fun.i0n es #ar a .om#onente a9 es igual a la am#litud es de.ir 9 as .om#onente an, donde n97 tendr* 1alores .ero +onde se .on.luye 2ue la fun.i0n resultante de la transformada es igual a #4t5 #uesto 2ue esta es una fun.i0n .osenoidal #ura
Figura 0. Señal .os4$%%Bt5 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
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y as .om#onentes an son iguales a 4%5 #uesto 2ue la fun.i0n es im#ar
⇔ %,3( ( # + # 0 ) + %,3( ( # − # % ) t rect ⇔ t % senc( t % # ) t %
.os( $π# 0 t )
a serie de Fourier de n4t5 A %%%9sen 49$% B t 5 se analiza 2ue: a integral de 1alor medio de una señal sim8tri.a es % #or ende la .om#onente +C o 1alor ao es igual a 4%5
Si
a .om#onente b9 es igual a la am#litud es de.ir %%%9
D6E
as .om#onente bn, donde n97 tendr* 1alores .ero
#or #ro#iedades de la .on1olu.i0n se obtiene:
) ( t ) = [ %,3( ( # + 9%% ) + %,3( ( # − 9%% ) ] ∗ %,9 senc ( %,9 # )
+onde se .on.luye 2ue la fun.i0n resultante de la transformada es igual a n4t5 #uesto 2ue esta es una fun.i0n sinusoidal #ura
# + 3 + %,%3 senc # − 3 9% 9%
) ( # ) = %,%3 senc
c.. 1nerga de 23t4 DQE
a energía est* determinada #or enton.es
∞
%,6
%,Q9
%,Q3
b -n.uentre 4f5
%,QR@
∫ | x( t )| dt = ∫ |%,&| dt + ∫ |− %,9| dt + ∫ |$| dt + ∫ |− &| dt $
E =
$
−∞
%,3
∞
E =
$
$
%,Q
%,Q$
%,6
$
%,Q33
%,Q9
%,Q3
%,QR@
∫ | x( t )| dt = %,%%R ∫ dt + %,%9 ∫ dt + ' ∫ dt + R ∫ $
−∞
%,3
%,Q
.on
%,Q$
&* ( t ) + 93% & ( t ) = 93% m( t )
( , $π# + 93% ) ( # ) = 93% ) ( # ) D@E
%,Q33
Cono.iendo 2ue
! ( # ) =
E = %,3969 D'E
! ( # ) =
a( -n.uentre M4f5 de m4t5A #4t5re.t49%t5
% = $%%π =
, $π# + 93% DE
$
( # ) = ! ( # ) ) ( # ) D3E
si a/ora
enton.es t % = %,9
%
( # ) = 4
93% , $π# + 93%
5×
[ %,%3 senc( %,9 # + 3) + %,%3 senc( %,9 # − 3) ]
m( t ) = .os( $%%πt ) rect (9%t ) Si
93%
$π
enton.es $ = %,%9 # % = 9%% !"
t 'irect &setienerect (9%t ) t
) ( # )
enton.es,
c./. 'ransformada de Fourier
p( t ) = .os( $%%πt )
( # )
D9%E enton.es se .onsidera
el #rodu.to de .os4$%%B t5 y re.t49%t5
c. Momento !: "rans#ormadas: Laplace y $.
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!n sistema es no .ausal si los t8rminos de la salida tiene la forma y4t5 y .ual2uier termino .ontiene 4tHa5 a%
Transformada de a#la.e #ara S9:
t =u− 0 . 5 ∞
L
∞
∫ x ( t + 0.5) e
− st
∫ x (u ) e− ( − s u
dt =
0.5
0.5 )
du =e
0.5 s
X ( s )
0
a serie de Fourier es una /erramienta im#ortante en el trabajo de tener señales #eri0di.as las .uales se #ueden des.om#oner en la sumatorias de senosoidales la #rimera .omo fundamental y las otras .omo mKlti#los o arm0ni.os Si la señal es #ar las .om#onentes b n son .ero
D99E
Si la señal es im#ar las .om#onentes a n son .ero
L{x(t+0.5)}=e^0.5s*X(s) [12] Transformada de a#la.e #ara S$:
S$: yH93%y A 93%m7 de a.uerdo a las #ro#iedades de la transformada de una deri1ada: s4s5(y4%5H93% 4S5A 93%M4s5 D9&E Se asume y4%5A% Fa.torizando la 4s5 tenemos: 4s5O4sH93%5A93%M4s5 D9'E -nton.es: 4s5A 493%M4s5U4sH93%5 D93E +onde esta es la transformada de a#la.e de S$
a transformada de a#la.e es una /erramienta im#ortante #ara dar solu.i0n a #roblemas 2ue se en.uentran en el dominio del tiem#o y se trabajan de una manera m*s sen.illa de solu.i0n en el dominio de la fre.uen.ia a transformada < es una /erramienta 2ue nos sir1e #ara las señales en el dominio del tiem#o dis.reto, al dominio de la 1ariable de fre.uen.ia .om#leja
Se evidencio de las tas!o"aciones de la in!o"aci#n de las se$ales "ediante %ocedi"ientos "ate"&ticos a%licando inte'ales ecaciones di!eenciales de esta "anea el !to %o!esional %od& ace so de este conoci"iento %aa la inte%etaci#n so de las se$ales.
Transformada de a#la.e #ara S&:
6I. 7I75IO8(9F:9
S&:
•
Señales ;nal0gi.as 4$%%65 =n ; ;mbardar, Pro.esamiento de señales anal0gi.as y digitales 4$nd ed5 Mei.o City: Cengage earning Retrie1ed /tt#:UUgogalegrou#.omU#sUidoX idA";YQCC'%6%&%%%9'Z1A$9ZuAunadZitArZ#A" RZs[A[ZasidAQb$3%.9@3e'&%bf3$$63.$'a @f6&39 /tt#s:UUes[iNi#ediaorgU[iNiU\nda
•
/tt#:UU[[[mailmail.omU.urso(fisi.a(imagenes(
•
Cuando se resta una .onstante eiste un des#lazamiento /a.ia la dere./a de la señal de salida y a#li.ando la transformada se obser1a: −k
y ( k −50 )∗ z
¿
∝
∑¿
(3%
A z O 4z5 D96E
0
III. CO&C5)"IO&1"
ondas(senalesUfre.uen.ia(#eriodo
•
tt%s,--es.i/i%edia.o'-i/i-nci 343nectan'la
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