LEY DE GAUSS
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1.- Una superficie plana que tiene un área de 3.2 m se rota en un campo eléctrico uniforme de 5 intensidad E = 6.2x10 [N/C]. Calcule flujo a través del área, cuándo cu ándo el campo eléctrico está (a) Perpendicular a la superficie. (b) Paralela a la superficie. (c) Formando un ángulo de 75° con el plano de la superficie. 2.- Un campo eléctrico uniforme del tipo →
^
^
E = a i+ b j
intersecta una superficie de área A. Determine el flujo a través de área, si la superficie se encuentra (a) En el plano YZ. (b) En el plano XZ. (c) En el plano XY.
3.- Un campo eléctrico uniforme del tipo ^ ^ →
E= 2 x a i+ 3 b j
intersecta una superficie de área A perteneciente a un cubo de 2 [m] de arista centrado en el origen. Determine el flujo neto a través del cubo.
4.- Un campo eléctrico uniforme del tipo → 1 ^ 1 ^ 1
E= ax
2
i+a y 1/2
2
j+az
^ 2
k
siendo a = 800 [N/Cm ] intersecta una superficie de área A perteneciente a un cubo de 10 [cm] de arista ubicado como lo muestra la figura. Calculese (a) El flujo neto que pasa por el cubo, y (b) la carga dentro del cubo.
5.- Una pequeña esfera cuya masa es m y carga q, se encuentra suspendida de un hilo muy delgado de seda que forma un ángulo θ con una gran lámina conductora cargada como se muestra en la figura. Calcúlese la densidad superficial de carga σ de la lámina.
6.- Una carga puntual, localizada en el origen del sistema de coordenadas, se encuentra rodeada por un esfera centrada de radio R, como lo indica la figura. (a) Demuestre que el flujo eléctrico a través de una tapa circular que subtiende un ángulo θ con el eje z, está dado por
Φ=
Q
1 − Cos (θ ) 2ε0
(b) ¿Cuál es el flujo para θ = 90° y θ = 180°.
7.- Una carga puntual se encuentra localizada en el origen del sistema de coordenadas, como lo indica la figura. Encontrar el flujo que atraviesa una concha esférica descrita por α ≤ θ ≤ β. ¿ Cual es el resultado si α = 0 y β = π/2 ?.
8.- Un casquete esférico delgado y uniformemente cargado tiene una carga total Q = -87 nC y un radio R = 55 mm. (a)¿ Cuánto vale su densidad superficial de carga ?. (b) Estimar el campo eléctrico generado por esta distribución a distancias de r = 25, 50, 75 y 100 mm del centro del casquete.
9.- Demostar que la intensidad del campo eléctrico creado por una corteza esférica uniformemente cargada de radio R, puede ser expresado en términos de su densidad superficial de carga como
E= 0
( r< R)
σ R 2 E= ε 0 r 2
( r> R)
10.- Demostar que la intensidad del campo eléctrico creado por una esfera maciza uniformemente cargada de radio R, puede ser expresado en términos de su densidad volumétrica de carga como
ρ r 3ε 0 ρ R3 E= 3 ε 0 r 2 E=
( R)
11.- Una carga puntual q se ubica en el centro de un casquete esférico conductor de radio interior a y exterior b, y carga Q, como lo indica la figura. Determine (a) La carga neta encerrada por una superfice esférica de de radio r, tal que a < r < b. (b) Carga neta encerrada por una superfice esférica de de radio r, tal qua r > b. (c) Campo eléctrico en a < r < b. (d) Campo eléctrico para r > b.
12.- Una esfera conductora sólida de radio a tiene una carga neta positiva de 2Q. Un cascarón conductor esférico de radio interno b y radio esterno c es concéntrico con la esfera sólida y tiene una carga neta de –Q. Determine la distribución de cargas sobre el cascarón esférico exterior, y la magnitud del campo eléctrico en las regiones (I), (II), (III) y (IV).
13.- Un pequeño casquete esférico conductor de radio interior a y exterior b, esta cargado es concéntrico con un casquete conductor esférico mayor, de radio interior c y exterior d, como lo muestra la figura. El casquete interior tiene una carga neta +2Q y el casquete exterior, de + 4Q. (a) Calcule la intensidad del campo eléctrico en función de la distancia r, medida desde el centro común de los dos casquetes para (i) r < a (ii) a < r < b (iii) b < r < c (iv)c < r < d (v) r > d
14.- Repita el problema anterior considerando ahora que el casquete exterior tiene una carga neta de –2Q, y el casquete interior conserva su carga.
15.- Una esfera conductora sólida de radio R tiene una carga positiva total Q. La esfera esta rodeada por un casquete aislante de radio interior R, radio exterior 2R, y densidad de carga volumétrica uniforme ρ, como lo indica la figura. (a) Encuentre el valor de ρ de manera que la carga neta del sistema entera sea cero. (b) A partir del valor encontardo anteriormente, encuentre la intensidad del campo eléctrico en las regiones (I), (II) y (III).
16.- Una esfera aislante sólida de radio R tiene una densidad de carga no uniforme que varía 2 con r de acuerdo con la expresión ρ = A r , donde A es una constante y r < R se mide desde el centro de ala esfera. (a) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico exterior a la esfera ( r > R ) es
E =
A R 5 5 ε 0 r 5
(b) Muestre que la magnitud de campo eléctrico interior es (r < R )
E =
A r 3 5ε0
17.- Una esfera aislante sólida de radio b tiene una densidad de carga no uniforme que varía con r de acuerdo con la expresión ρ = C r para 0 < r ≤ b, donde C es una constante. Encuentre una expresión para la carga contenida dentro del radio de la esfera, y la magnitud del campo eléctrico al interior y fuera de la esfera.
18.- Considerar un cilíndro de radio R hueco muy delgado y largo, cargado con densidad de carga λ uniforme. Deducir expresiones de la intensidad del campoeléctrico para diversas distancias r del eje del tubo, considerando tanto r < R, como r > R. Suponga -8 que la densidad de carga λ = 2x10 [C/m] y R = 3 cm, para que construya el gráfico entre r =0 y r=5 cm.
19.- Un almabre recto y largo esta rodeado por un cilíndro conductor hueco, cuyo eje coincide con el alambre. El alambre tiene una carga total +Q, mientras que el cilíndro tiene una carga neta + 2Q. Determine (a) La carga en la superficie externa e interna del cilíndro. (b) El campo eléctrico en el exterior del cilíndro hueco. (c) El campo eléctrico entre el alambre y la cara interior del cilíndro hueco.
20.- Un cilíndro conductor largo que tiene una carga total +Q está rodeado por un cascarón cilíndrico conductor de carga total –2Q, como lo muestra la figura. Encontrar (a) La intesidad del campo eléctrico en puntos fuera del cascarón conductor. (b) La distribución de carga del cascarón conductor. (c) La intesidad del campo eléctrico en la región comprendida entre los cilíndros.
21.- Un cilíndro macizo de radio R y muy largo tiene una carga distribuída en su volumen con densidad ρ. Obtener el campo eléctrico producido por esta distribución en las regiones r > R y r < R.
22.- Un cilindro aislante infinitamente largo de radio R tiene una densidad de carga volumétrica que varía con el radio como
r ρ = ρ0 a − b donde ρ0, a y b son constantes positivas, y r es la distancia desde el eje del cilindro. Determinar la magnitud del campo eléctrico a distancias radiales (a) r < R y (b) r > R.
23.- Una esfera aislante de radio R tiene una densidad de carga uniforme ρ . La esfera se encuentra centrada en el origen y posee un agujero esférico de radio a en su interior, centrado a una distancia b del centro de la esfera, donde a < b < R,según lo muestra la figura. Encuentre el campo eléctrico dentro de agujero.
24.- Un cilíndro sólido aislante muy largo de radio R tiene un agujero cilíndrico de radio a a lo largo de toda su longitud. El eje del agujero está a una distancia b del eje de simetría del cilíndro, donde a < b < R, según lo muestra la figura. El cilíndro esta cargado uniformemente con densidad ρ. Encontrar el campo eléctrico dentro del agujero.
25.- Calcule el campo eléctrico producido por una placa muy grande de espesor 2 a, con densidad de carga uniforme +ρ.
26.- Dos láminas muy grandes hechas de material no conductor se ubican en paralelo, según lo muestra la figura. La lámina de la izquierda esta cargada positivamente, mientras que la de la derecha negativamente, ambas con densidad de carga uniforme. Calcule el valor de la intensidad del campo eléctrico para (a) Puntos a la izquierda de las láminas. (b) Puntos entre las láminas. (c) Puntos a la derecha de las láminas.
27.- Repetir el problema anterior, pero ahora considere que ambas placas tienen densidades de carga iguales y positivas.
28.- Una placa de material aislante tiene una densidad de carga positiva no uniforme dada por
ρ = ρ0 x2 donde ρ0 es una contante y x es la distancia medida desde el centro de la placa. La placa es muy grande en los ejes z e y. Obtenga una expresión para el campo eléctrico en las regiones exteriores y entre las placas.
