UNIVERSIDAD DEL CAUCA Departamento de Física Laboratorio de Vibraciones y ondas II Periodo de 2011
Péndulo de Torsión. D. Giraldo, N. Gutiérrez, N. Córdoba. Programa de Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones, Telecomunicaciones, Facultad de Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones, Universidad Universidad del Cauca, CR 3 #3N-11 Campus de Tulcán ingenierías, Popayán - Colombia
Resumen Con ésta práctica buscamos conocer a fondo las características propias de un péndulo de torsión tales como su periodo, el momento de inercia y el torque asociado a este sistema con el objetivo hallar el coeficiente elástico propio de cada material usado, tanto estático como dinámico, para ello se medirá el ángulo de torsión producido por distintas masas y sus respectivos periodos, con los datos obtenidos se realizarán tablas y graficas que nos permitan una mejor comprensión de los valores obtenidos para posteriormente se hacer las respectivas comparaciones comparaciones entre los coeficientes hallados. Durante la práctica se usará un soporte al cual se le ha puesto un disco con su escala respectiva de ángulos, de igual manera se utilizarán barras de distintos materiales como zinc, bronce entre otros, masas de distintos valores, cronómetro para tomar el periodo y un calibrador para poder medir el diámetro de las barras mencionadas Palabras claves: Torque, periodo, constante elástica. Abstract With this practice we get to know the characteristics of a torsion pendulum such as its period, the moment of inertia and torque associated with this system in order to find the proper elastic coefficient of each material used, both static and dynamic, to it will measure the angle of torque produced by different masses and their respective periods, with data from tables and graphs are made that allow us a better understanding of the values obtained for later comparisons to the respective ratios found. during the practice use a support which has put a disk with respective scale of angles, just as it bars use different materials such as zinc, brass and others, masses of different values, to take the time clock and a gauge to measure the diameter of the bars above
Keywords: Torque, period, elastic constant
.
Introducción El péndulo de torsión es un ejemplo de movimiento armónico simple, consiste en un hilo o alambre de sección recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I conocido o fácil de calcular (disco o cilindro). Si se hace girar el disco en la medida de un ángulo el momento de torsión es directamente proporcional al desplazamiento angular. Se tiene:
Donde k’ es una constante que depende del material de que está hecha la barra b arra delgada. El periodo del movimiento armónico simple angular esta dado por:
Donde I es el momento de inercia del sistema de vibración
Péndulo de Torsión
Marco teórico. En 1777, un físico e ingeniero militar llamado Charles Agustín de Coulomb crea el primer péndulo o balanza de torsión con el objetivo de medir fuerzas débiles y para medir la atracción eléctrica y magnética; más tarde Henry Cavendish físico químico británico también empleo el péndulo de torsión con el que además de demostrar la ley de la gravitación universal:
F=G
material reacciona con un par torsor de sentido contrario, oscilando en forma similar a un muelle, está formado por un objeto suspendido de un hilo que por el otro extremo está unido a un punto fijo, cuando el hilo se gira un angulo θ la barra ejerce
un par restaurador de momento M, que tiende a hacer giral el hilo en sentido contrario hasta su posicion de equilibrio y proporcional al ángulo girado, esto es debido a la elasticidad (rigidez) del material empleado, también dependerá de su forma y dimensión; cuando se haga desaparecer el momento torsional aplicado, el sistema se encontrará en las condiciones precisas para iniciar un movimiento oscilatorio de torsión; el principal incoveniente de éste péndulo es precisamente el de estar colgado, esto impidió su utilizacion en relojes de pulsera o de bolsillo, para evitar este percance se invento el sistema de volante con muelle en espiral, el volante esconde enrollado sobre su eje su perfecto complemento, el espiral, esto permitió la fabricación de relojes de bolsillo y sobre todo de cronómetros. Se Estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, si el sistema se somete a una torsión y se libera, se observa un movimiento oscilatorio cuyo periodo viene dado por la expresión:
también calculo la constante de gravitación universal con un error menor del 1% con respecto al actual; la balanza de torsión consistía en una varilla horizontal de 1.8 m de longitud suspendida de un hilo, en cuyos extremos habían dos esferas metálicas Cavendish situó dos esferas de plomo de 175kg cuya acción gravitatoria debía atraer las masas produciendo un giro sobre esta, para evitar perturbaciones de aire realizo el experimento en una habitación aislada de viento y midió la pequeña torsión con un telescopio, de esta manera logró Cavendish con la torsión en el hilo y las masas de las esferas calcular el valor de la constante de gravitación. El pendulo de torsion consiste en un material elastico que reacciona cuando se le aplica una torsion de modo que el
T
2
I k
(1)
siendo I el momento de inercia del cuerpo que oscila respecto al eje del alambre. Ahora si I es conocido se puede calcular k y con él y las dimensiones del alambre se obtiene G (Módulo de rigidez) mediante la ecuación:
(2)
En general, un péndulo de torsión es un objeto que tiene oscilaciones que se deben a la rotación alrededor de algún eje a través del objeto, con este aparato es posible explorar tanto las oscilaciones amortiguadas como las oscilaciones forzadas.
Péndulo de Torsión
Resultados y Análisis.
Masa(Kg)
Ө
τ
0,8
12
0,0216
0,28
25
0,15
0,48
40
0,346
0,98
75
0,856
En un principio partimos con el siguiente montaje:
1 0.8
posteriormente se eligieron las masas que se emplearían y de cada una se obtendrá su respectivo periodo, de esta manera se eligieron las siguientes masas:
) τ
( e u q r o T
0.6 0.4 0.2 0 0
20
-0.2
40
60
80
Ángulo de Torsión ( Ө)
Se trabajó en el disco con un único radio de 0.1m y se empezó a variar las masas suspendidas en él. Nuestro principal objetivo es hallar las constantes elásticas de cada material ( K ), tanto estática como dinámica, para hallar el coeficiente dinámico tenemos en cuenta el ángulo de torsión y la fuerza que produce cada masa sobre el sistema, y para el coeficiente dinámico también tenemos en cuenta el ángulo de torsión, pero en lugar de la fuerza tenemos en cuenta el periodo del sistema; los resultados obtenidos se describen a continuación.
COEFICIENTE ESTÁTICO. Para esta parte de la práctica usaremos 4 barras de distintos materiales y diámetros, las mediciones y cálculos correspondientes son los siguientes (para cada barra se hace un procedimiento similar a la primera barra, por esto solo se hará de manera detallada para el primer caso)
Barra 1. Material: Cobre, Diámetro = 2.05mm
puede observarse que a medida que aumenta la masa, el torque también lo hace al igual que el ángulo de torsión, aunque para barras de menor diámetro el aumento del ángulo de torsión se hace mayor que para las barras de mayor diámetro, tomando masas iguales, esto indicaría que la constante de torsión es menor. De la grafica podemos decir que el ángulo de torsión), depende del torque y en consecuencia de los diferentes valores de masa que han sido suspendidos ésta gráfica, responde a la ecuación:
Donde la pendiente corresponde a la constante de torsión (k). Luego se toman dos puntos de la grafica y se halla el valor de k:
Péndulo de Torsión
Luego se requiere hallar el modulo de rigidez (G), por lo que se hace uso de la ecuación 2, y despejamos, obtenemos:
Donde la pendiente corresponde a la constante de torsión (k). se halla el valor de k:
En la que l es la longitud del alambre y r su radio. Con esta ecuación, y los datos de la constante de torsión y dimensiones de cada varilla, obtenemos su módulo de torsión,
) )
Luego se requiere hallar el modulo de rigidez (G), por lo que se hace uso de la ecuación 2, y despejamos, obtenemos:
)
) )
)
Barra 3. Material: Zinc, Diámetro = 2.11 mm Barra 2. Material: Bronce, Diámetro = 2 mm
Masa(Kg)
Ө
0,8
20
18
τ 0,092
τ 0,044
0,28
40
0,2
0,28
35
0,21
0,48
55
0,4
0,48
48
0,42
0,98
80
0,75
0,98
70
0,92
Masa(Kg)
Ө
0,8
0.8 0.7
1
0.6 ) τ
0.8 ) τ
( e u q r o T
( e u q r o T
0.6
0.5 0.4 0.3 0.2
0.4
0.1 0.2
0 0
0 0
20
40
60
80
50
100
Ángulo de Torsión ( Ө)
Ángulo de Torsión ( Ө)
Donde la pendiente corresponde a la constante de torsión (k). se halla el valor de k:
Péndulo de Torsión
Luego se requiere hallar el modulo de rigidez (G), por lo que se hace uso de la ecuación 2, y despejamos, obtenemos:
Luego se requiere hallar el modulo de rigidez (G), por lo que se hace uso de la ecuación 2, y despejamos, obtenemos:
) )
)
Barra 3. Material: Aluminio, Diámetro=2.99 mm Ө
τ
0,8
15
0,014
0,28
22
0,122
0,48
33
0,303
0,98
55
0,8191
) τ
) )
)
COEFICIENTE DINÁMICO. en esta segunda parte solo se hiso el análisis del coeficiente estático para una sola barra, ya que el procedimiento es bastante dispendioso, pues se tiene que linealizar la función periodo, algo que no es del todo sencillo, trabajamos con la barra de Zinc de diámetro 2.11mm.
0.8
Considerando una larga varilla uniforme, firmemente atada en un extremo y soportando en su otro extremo un disco con inercia I, si k es la constante de torsión de la varilla entonces k es el torque requerido para girar más abajo en un
0.6
ángulo θ y entonces soltarlo, el torque restaurador es: k θ; este torque causa en el disco un tambaleo
1
( e u q r o T
Masa(Kg)
en su posición de equilibrio con una aceleración
0.4
angular. Si α es la aceleración angular del disco cuando su desplazamiento es θ entonces se dice
0.2
que:
0 0 -0.2
20
40
60
Ángulo de Torsión ( Ө)
L= αI - k θ= I -k/I θ = (2)
(el signo menos es porque el torque es restaurador) De esta manera la aceleración angular de un desplazamiento angular θ es proporcional a θ y en
Donde la pendiente corresponde a la constante de torsión (k). se halla el valor de k:
la dirección opuesta esta condición es para que el disco ejecute un movimiento armónico simple.
Péndulo de Torsión
2
Si w = k/I
y
T=2 π/w
T= 2 π Entonces: Posteriormente se realizó el siguiente montaje:
El momento de inercia de todo el sistema esta dado por: I Total n =
2mid
2
inercia de la barra + inercia disco +
I total n = 1/12*mb*L
2
+ ½*md*a2 + 2mid2
I total 1 = 1/12*(0.0753kg)*(0.37m)
2
+ ½(0.0685)*(0.0195m) + 2*(0.08kg)*(0.1m)2 -3 2 I total 1 = 2.472071063*10 (kg*m ) 2
8.720710625*10-4 (kg*m2) + 2*(0.28kg)*(0.1m)2 -3 2 I total 2 = 6.472071063*10 (kg*m ) I total 2 =
8.720710625*10-4 (kg*m2) + 2*(0.48kg)*(0.1m)2 -2 2 I total 3 = 1.0472071*10 (kg*m ) I total 3 =
8.720710625*10-4 (kg*m2) + 2*(0.98kg)*(0.1m)2 -2 2 I total 4 = 2.0472071*10 (kg*m ) I total 4 =
Para el cual se obtuvo la siguiente tabla: N 1 2 3 4
Masa=m(kg) 0.08 0.28 0.48 0.98
Periodo= T(s) 0.319 0.5335 0.6875 0.961
Formando la tabla: n
Inercia = I(kg*m )
1 2 3 4
2.472071063*10 6.472071063*101.0472071*10-2 2.0472071*10-2
-3
Periodo= T(s) 0.319 0.5335 0.6875 0.961
Sin embargo en la formula (2) aparece I. entonces esa I será la inercia total del montaje según el siguiente grafico:
d=0.1m Mb=0.0753kg L=0.37m Md=0.0685kg a=0.0195m
Como se puede apreciar la grafica no es lineal, por eso la formula: T= 2 π
Péndulo de Torsión
se transforma en: T 2 = (4 π 2 /k)* I total i
Ahora: =
2
Donde:
M = 4 π /k
Y finalmente:
K=4π
=
2
/M
Las unidades son (F*m) = 0.01427 F*m
Inercia = I(kg*m2)
T2(s2)
1
2.47207*10-
0.101
2.51*10-
6.14*10-
2 3
6.47207*10-3 1.04720*10-
0.284 0.472
1.84*10-3 4.94*10-
4.18*10-5 1.09*10-
4
2.0472*10-2
0.923
1.89*10-2
4.19*10-4
0.039888 Σx
1.78 Σy
0.02594 Σ(x y)
5.76*10 2 Σ(x )
n
I*T2
I2 De esta manera podemos ver que hay consistencia entre el coeficiente elástico estático y dinámico hallado de la barra de zinc.
Conclusiones.
-4
La grafica de la anterior tabla es:
1,0
linelizaciond ede t vs I m o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
dem o
0,8
0,6
T * T
0,4
0,2
0,0 0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
inercia = I( kg*m*m)
M=
M=
) ) ) – )) ) – )) ) – ) 3
M = 2,766*10 (F*m)
Ésta práctica tiene un elevado error aleatorio pues las medidas varían mucho con un mínimo fallo en el tiempo, la medida más fiable es el cálculo del momento de inercia calculado con el radio y la masa, también pudimos darnos cuenta que el momento de la fuerza aumenta para ángulos mayores pues el alambre opone más resistencia, el método que recomendaríamos para hallar la constante de torsión es el estático ya que no incurrimos en tantos errores en la toma de mediciones como se hace en el dinámico a través de las oscilaciones ya que entra a influir la velocidad de reacción del observador que es de 0,2 seg. Cada material se deforma más a mayor peso ya que hay mayor torque, por lo tanto el ángulo de torsión ) aumenta; pudimos darnos cuenta que en algunas barras fue necesario colocar más masa, para deformarlos un poco más porque su constante de torsión (k) es mayor, ya que depende del material y sus dimensiones. Si se desconoce la naturaleza del material previamente, los resultados no pueden ser concluyentes pues a partir de esta práctica no podemos asegurar de que material se trata ya que tendríamos varias opciones a las que podría corresponder la constante hallada, además ya hemos señalado que los valores son validos para una muestra concreta, pero pueden variar algo con respecto a otros materiales del mismo tipo.
Péndulo de Torsión
Al obtener el periodo del péndulo de torsión es interesante ver que este solamente depende del momento del coeficiente de torsión del alambre y el momento de inercia, es decir para determinar experimentalmente el momento de inercia de un sólido rígido basta suspenderlo de un alambre cuyo coeficiente de torsión sea conocido y así determinar su periodo. La práctica fue un poco complicada en cuanto a la precisión de las medidas, puesto que en ellas influye el no mirar con tanta precisión el instante en el que el péndulo da la oscilación y por lo tanto se producirá un error que se incrementará al ir haciendo las operaciones correspondientes para nuestra medición de la constante elástica tanto dinámica como estática, fue de vital importancia hacer varias mediciones con cada una de las masas seleccionadas, ya que posteriormente se hiso un promedio y se logró reducir considerablemente el margen de error. En nuestro caso ideal, no se tuvo en cuenta factores externos como la resistencia del aire o los defectos que puedan tener nuestros elementos de medida; a pesar de esto, los resultados de y tuvieron una muy buena aproximación entre sí, con lo cual podemos concluir que las diferentes medidas y consideraciones hechas a lo largo de la práctica fueron acertadas, concisas e ideales, logrando comprender claramente cada una de las propiedades que tiene todo péndulo de torsión.
