PÉNDULO FÍSICO COMPUESTO Juan David Benavides 1223393, Juan David Muriel 1226173, Juan David Aguirre 1225219, Sebastián Torres 1226205 Experimentación Física III Universidad del Valle Resumen - El objetivo de este informe de laboratorio es realizar un estudio experimental del péndulo físico compuesto mediante el uso de dos reglas superpuestas que oscilan en un eje fijo. Además, se determinó la variación del periodo de oscilación, en dependencia de la variación de su momento de inercia y se realizó una estimación experimental de la aceleración de la gravedad en Cali. Lo anteriormente nombrado, se realizó teniendo una de las reglas fija en el punto de oscilación mientras la otra se desplaza de manera longitudinal. Esto, modificaba el centro de masa del sistema al igual que el tiempo de oscilación del sistema. A partir de estos resultados se obtuvo una aceleración de la gravedad experimental de
g=12,66 ± 0,45
m/s2.
Introducción Un péndulo físico compuesto, consta de dos o más cuerpos rígidos suspendidos de un eje fijo que no pasa por su centro de masa, en contraste con el modelo idealizado de péndulo simple en el que toda la masa se concentra en un punto. Cuando se separa un ángulo θ de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento. En este caso el sólido es un par de reglas superpuestas En el presente informe se determinara el comportamiento de un péndulo físico compuesto sometido a variaciones de longitud, esto con el fin de modificar el centro de masa del péndulo y con esto el tiempo de oscilación del péndulo además, se realizara una estimación de la aceleración de la gravedad local y se analizaran los resultados obtenidos.
Marco teórico Un péndulo físico compuesto, consta de dos o más cuerpos rígidos suspendidos de un eje fijo que no pasa por su centro de masa. El sistema oscilara cuando este se desplaza a partir de la posición de equilibrio. Suponiendo que la amplitud de la oscilación es pequeña se puede considerar que
sin θ ≈ θ y entonces la ecuación del movimiento será:
d 2 θ mgLcm + θ=0 2 I dt ( 1) Donde g es la aceleración de la gravedad en el lugar donde el péndulo oscila, m es su masa, I es el momento de inercia total del sistema y Lcm es la distancia del eje de rotación al centro de masa del sistema. Al solucionar la ecuación diferencia (1) se puede demostrar que la frecuencia angular (ὠ) al cuadrado de la oscilación es: 2
ω=
mgLcm I (2)
Y por lo tanto el periodo T de la oscilación del péndulo compuesto será:
T =2 π
√
I mgLCM
(3) Al calcular la distancia Lcm del eje de rotación (O) al centro de masa del sistema se obtiene:
Lcm=
L+h 2
(4) De otro lado el momento de inercia total del péndulo físico es la suma de los momentos de inercia
I =I 1 + I 2 con respecto al punto O, donde:
individuales de las reglas
L1 2 ¿ ¿ M1 2 I1 = L +M1 ¿ 12 1
Y
L2 +h 2 ¿ ¿ M2 2 I2 = L +M2 ¿ 12 2
(5)
Aquí, M1, M2, L1 y L2 son las masas de las reglas y sus longitudes respectivamente y h es la distancia que se desplaza una regla con respecto a la otra. Para el caso cuando
M 1=M 2=M y L 1=L 2=L , la expresión para el periodo de la oscilación, reemplazando (4)
y (5) en (3) resulta ser:
T2=
4 π 2 3 h2 +3 L cmh+2 Lcm 2 ( ) 3g Lcm +h (6)
Para el cálculo de la aceleración de la gravedad se hace uso de la formula internacional de la gravedad a nivel del mal, que está dada por la expresión: 2
2
g=978,0495(1+0,005289 sinθ −0,0000073 sin 2θ ) (7) Donde Ɵ es la latitud del lugar. La latitud aproximada de la universidad del Valle es 3,375º.
Materiales y arreglo experimental El montaje experimental consiste de dos reglas que son unidas con cintas, un soporte fijo superior donde son sujetadas las reglas que oscilan como se puede observar en la Figura 1.
Reglas de 1 m de longitud (péndulo físico compuesto). Regla graduada en milímetros. Cronometro digital calibrado en centésimas de segundo.
Figura 1. Montaje experimental
Resultados y análisis En la tabla 1. Se muestra los valores experimentales de la longitud de la regla, tiempo que le tomo al sistema efectuar tres oscilaciones y el periodo de oscilación del sistema. La incertidumbre del valor de longitud y tiempo fue dado por la medida mínima que brindaba la regla y el cronometro. El periodo de oscilación y su incertidumbre se hallaron de la siguiente manera.
T=
|
|
tprom ∂T δ tprom ± δT → δT = δtprom → δT = 3 ∂ tprom 3
(Lcm±0,1x10 (h±0,1x10-3) m 3) m 0,5 0,5 0,6 0,6 0,6 0,6 0,7 0,7 0,7
0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4
(t1 ± 0,4) s
(t2 ± 0,4) s
(t3 ± 0,4) s
(tprom ± 0,4) s
4,90 4,96 5,11 5,32 5,29 5,56 5,51 5,75 5,76
4,84 5,01 5,13 5,21 5,38 5,43 5,45 5,74 5,77
4,94 5,08 5,19 5,30 5,33 5,43 5,54 5,69 5,85
4,89 5,02 5,14 5,28 5,33 5,47 5,50 5,73 5,79
Period o (T± 0,13) s 1,63 1,67 1,71 1,76 1,78 1,82 1,83 1,91 1,93
0,7 0,8 0,8 0,8 0,8 0,9 0,9 0,9
0,5 0,5 0,6 0,6 0,7 0,7 0,8 0,8
5,96 5,98 6,14 6,17 6,39 6,39 6,86 6,83
5,91 5,97 6,11 6,26 6,36 6,44 6,80 6,89
5,89 6,07 6,06 6,10 6,46 6,51 6,78 6,94
5,92 6,01 6,10 6,18 6,40 6,45 6,81 6,89
Tabla 1. Datos de longitudes, tiempo y periodo
Con base en los datos de la tabla 1 y la ecuación xxx. Se muestra en la tabla xxx los valores del periodo cuadrado y una relación de longitudes del sistema.
Periodo (T^2 ± 0,003) s^2 2,66 2,80 2,94 3,10 3,16 3,32 3,36 3,65 3,72 3,89 4,01 4,13 4,24 4,55 4,62 5,15 5,27
(3h^2+3Lcmh+2 Lcm^2)/(Lcm +h) 1,0 1,1 1,2 1,4 1,5 1,6 1,8 1,9 2,1 2,2 2,4 2,6 2,7 2,9 3,0 3,2 3,4
Tabla 2. Datos de periodo cuadrado y relación de longitudes
Con los datos obtenidos en la tabla 2, se grafica el periodo cuadrado y la relación de longitudes del sistema como se muestra en la gráfica 1. A partir de esto, se realiza una aproximación lineal para posteriormente obtener la aceleración de gravedad en la ciudad de Cali.
1,97 2,00 2,03 2,06 2,13 2,15 2,27 2,30
� ^� �� (��^�+�����+����^� )/(���+� ) 6.00 5.00
1.04x + 1.6 �^� f(x) �� = (��^�+�����+����^� )/(���+�) R² = 0.98
4.00
(�^�) s^2
3.00 2.00 1.00
Linear (�^� �� (��^�+�����+����^�)/(���+�))
0.00 0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
((��^�+�����+����^� )/(���+� )) m
Grafica 1. Periodo cuadrado vs Relación de longitudes
A partir de la ecuación (6) y de la regresión lineal se puede calcular la aceleración de la gravedad de Cali de la siguiente manera.
T2=
4 π 2 3 h2 +3 Lcmh+2 Lcm2 ∗( ) 3g Lcm+ h
Donde
3 h 2+3 Lcmh +2 Lcm 2 4 π2 4 π2 Y =T ; X= ; m= : g= Lcm+h 3g 3m 2
(
)
La pendiente de la regresión lineal está dado por;
m=1,039 ± 0,037
s2 m
La incertidumbre de la aceleración de la gravedad de Cali se determina de la siguiente manera.
|∂∂mg |δm
δg=
| | 2
δg=
−4 π δm 2 3m
Por lo tanto la aceleración de la gravedad de Cali es;
g=12,66 ± 0,45
m s2
La incertidumbre relativa es:
δg ∗100 =3,55 g
Utilizando la ecuación (7) se halla el valor teórico de la aceleración de la gravedad para la ciudad de Cali.
gteo=9,87
m s2
El porcentaje de error del cálculo de la aceleración de la gravedad es:
| |
g teo−g ∗100=29,25 gteo
Preguntas propuestas en el análisis
Obtenga el momento de inercia del sistema oscilante en función de h de acuerdo a las ecuaciones arriba indicadas. El momento de inercia total en términos de h se presenta en la siguiente expresión: 2
I=
mgT (L+ h) 8 π2
¿Es posible obtener el valor del momento de inercia de la primera regla (la que esta fija)? ¿Cómo lo haría?
Si es posible obtener el valor del momento de inercia de una de las reglas ya sea la primera o la segunda para esto ya teniendo el periodo de oscilación se despejaría la inercia total y haciendo uso de la ecuación (5) se tendría el momento de inercia para cualquiera de ellas, siempre y cuando se conozca la masa de ambas reglas. ¿Es este método útil para conocer el valor numérico del momento de inercia de cuerpos con formas geométricas no regulares? ¿Cómo lo haría? Si, ya que con la ecuación del periodo para un péndulo compuesto se puede determinar el momento de inercia de un cuerpo con forma no regular. Para eso se necesitaría conocer información de la forma geométrica no regular como lo es su centro de gravedad, este se puede determinar por balance de masa. Ya sabiendo esto se coloca un centro de giro y se mide la distancia de este al centro de masa. Con esto se coloca a oscilar el sistema, con un ángulo pequeño para poder hacer uso de la fórmula del periodo para un péndulo compuesto y de ahí despejar la inercia.
I=
mgLcmT 2 4 π2
Conclusiones.
Al realizar el experimento se pudo comprobar que el sistema péndulo compuesto permite la interacción entre muchos factores físicos como lo son masa, gravedad, longitud, entre otras unidades de medida.
Se pudo concluir que la masa es una variable del sistema que no posee ninguna influencia al momento de hacer los cálculos del periodo del péndulo, por lo tanto esta variable y la física del péndulo son independientes del funcionamiento dl sistema.
Se obtuvo un porcentaje de error igual a 29,25 %. Este resultado puede ser debido a errores humanos y que a la hora de efectuar los cálculos no se tomó en cuenta varios factores como la temperatura, fuerza de fricción del aire, entre otros.
REFERENCIAS
[1] Guía de laboratorio No 1. Estudio del movimiento periódico del sistema masaresorte. Universidad del Valle.
[2] Física Universitaria Sears - Zemansky - 12 Edición – Vol1
