LABORATORIO No.2 DE OPTICA Y ONDAS PENDULO DE TORSIÓN Marcela Carrillo – 505190, Monica Forero – 50605 Paola Sierra – 505171
UNIVERSIDAD CATOLICA DE COLOMBIA.
[email protected],
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[email protected]. RESUMEN: Se presenta el péndulo de torsión, como un cuerpo rígido en oscilación, buscando evidenciar la relación entre la dinámica del movimiento armónico simple y el momento de Inercia. Se analiza la dependencia entre el periodo de oscilación, el momento de inercia y la constante de torsión para construir la relación entre variables. A través de la recolección de datos, se realiza un tratamiento estadístico con el fin de estimar el valor experimental de la constante de torsión con su respectiva incertidumbre.
I.
INTRODUCCION
El péndulo de torsión consiste en un hilo o alambre de sección recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia L conocido o fácil de calcular (disco o cilindro). Cualquier movimiento puede descomponerse como combinación de movimientos lineales y de rotación. Al aplicar un momento torsional M en el extremo inferior del hilo, éste experimenta una deformación de torsión. Dentro de los límites de validez de la ley de Hooke, el ángulo de torsión φ es directamente proporcional al momento torsional M aplicado, de modo que
Donde τ es el coeficiente de torsión del hilo o alambre de suspensión, cuyo valor depende de su forma y dimensiones y de la naturaleza del material.
II.
MARCO TEORICO
En el movimiento armónico simple tenemos diferentes clases de péndulos y entre ellos se encuentra el péndulo de torsión. Para este sistema el péndulo de torsión consta de un cuerpo rígido formado por dos cilindros iguales sujetos a una varilla de masa M y longitud L. Para cuerpos rígidos sujetos a un momento de torsión recuperador, el periodo de oscilación depende del momento de inercia 𝐼 y la constante de torsión 𝜅, cuya expresión matemática está dada por: 𝐼
1) 𝑇 = 2𝜋√𝜅
Para el caso de cuerpo rígido el momento de inercia depende de la ubicación del eje de giro. Este momento de inercia suele determinarse a lo largo de un eje de rotación que cruza por el centro de masa del cuerpo, cuando el eje de rotación no se localiza en el centro de masa, se utiliza el teorema de ejes paralelos para hallar el momento de inercia, así: 2) 𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑚𝑟 2
Para un sistema de péndulo de torsión, las ecuaciones (1) y (2) se puede combinar para obtener la expresión:
3) 𝑇 2 = 𝑇02 +
8𝑚𝜋2 2 𝑟 𝜅
Donde 𝑇 es el periodo, 𝑇0 es el periodo de oscilación de la varilla sin masas en los extremos, 𝑟 la distancia de las masas al eje de giro, m la masa de un cilindro y 𝜅 es la constante de torsión. III.
milésimas de segundo.
MONTAJE EXPERIMENTAL
PIE DE REY
El pie de rey, pie de metro, forcípula (para medir árboles) o Vernier, es un aparato destinado a la medida de pequeñas longitudes y espesores, profundidades y diámetros interiores de piezas mecánicas y otros objetos pequeños. Suele medir en centímetros y en fracciones de milímetros (1/10 de milímetro, 1/20 de milímetro, 1/50 de milímetro). En la escala de las pulgadas tiene divisiones equivalentes a 1/16 de pulgada, y, en su nonio, de 1/128 de pulgada.
Se realiza el montaje como se muestra en la figura, el cual consta de una varilla, un trípode pequeño en forma de V, dos cilindros de metal y un cronómetro. Se fija la varilla transversal al eje de torsión y se ubica los cilindros de manera simétrica a 20 cm de éste. Se atornilla los cilindros a la varilla.
CRONOMETRO
Un cronómetro es un reloj de precisión que se emplea para medir fracciones de tiempo muy pequeñas. A diferencia de los relojes convencionales que se utilizan para medir los minutos y las horas que rigen el tiempo cotidiano, los cronómetros suelen usarse en competencias deportivas y en la industria para tener un registro de fracciones temporales más breves, como
BALANZA
Se denomina con el término de balanza al instrumento que sirve y se utiliza para medir o pesar masas. Básicamente, una balanza es una palanca de primer género de brazos iguales la cual a partir del establecimiento de una situación de equilibrio entre los pesos de los dos cuerpos permite realizar las mencionadas mediciones. La medida y también la precisión de una balanza pueden variar, desde varios kilos en las balanzas industriales y comerciales, hasta unos gramos en las balanzas de laboratorio.
VARILLA
Barra larga y fina, generalmente de metal o de madera, que forma el armazón o la estructura de un objeto.
CILINDROS METALICOS
TRIPODE EN FORMA DE V CON RESORTE DE TORSION
Un resorte de torsión es un resorte que trabaja a torsión o girando, eso es, mediante la elasticidad es capaz de almacenar energía mecánica cuando es girado y puede devolverla cuando se libera en forma de giro. La cantidad de fuerza que libera es proporcional a la cantidad total que sea girado. Existen dos tipos: La barra de torsión es una barra recta y rígida de metal o goma que se gira absorbiendo la fuerza mediante tensión cortante alrededor de su eje al ejercer un esfuerzo de torsión en uno de sus extremos.
Los cilindros metálicos de acero de calidad especial, fabricados sin uniones soldadas y tratados térmicamente para optimizar sus propiedades de resistencia y elasticidad. Estos cilindros son llenados a alta presión, comprimiendo el gas en el reducido espacio interior del cilindro. La fuerza ejercida por el gas sobre las paredes del recipiente al tratar de conservar su volumen en condiciones naturales, genera el efecto llamado "presión".
Es
LLAVE BRISTOL la
herramienta
atornillar/desatornillar
tornillos
usada
para
que
tienen
cabeza hexagonal interior medida en milímetros, que se diferencia de las Whitworth que la tienen
en pulgadas. En comparación con un tornillo Philips resiste mayor par.
IV.
RESULTADOS
1. TABLA DE OBSERVACIONES:
Masa Varilla Longitud Varilla masa 1
R
131 0,131 kg 61 0,61 m 239,5 0,2359 kg
TIEMPO DE 3 OSCILACIONES
t1 0,2 15,13 0,15 12,14 0,1 9.43 0,05 12,11 0 6,42
t2 t3 15,38 15,35 12,02 12,04 9.67 9.25 12,26 11,99 6,53 6,22
t4 15.36 12,01 9,64 12,32 6,50
Prom. 15,29 12,05 9,64 12,17 6,42
2. CALCULO DE T (PERIODO) y k (CONSTANTE DE TORSION) DE LOS DATOS EXPERIMENTALES La incertidumbre para la toma de datos fue la siguiente: -
ΔL: longitud de R 0.001 (siendo milímetro la menor unidad observada en el Flexómetro) ΔT : Periodo: 0.01 (siendo una centésima de segundo la menor unidad observada en el cronometro)
El T (Periodo), es la división entre el promedio del tiempo total tomado y el número de oscilaciones que en este caso fue: 5.
Para obtener k se parte de la ecuación: 𝐼 𝑘
𝑇 = 2𝜋√ 𝑃
Despejando k, obtenemos: 𝑇 2 =
4𝜋2 .𝐼𝑝
𝑘=
𝑘
4𝜋2 .𝐼𝑝 𝑇2
Sabiendo que Ip (inercia), 𝐼𝑝 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑚𝑑2 Donde 𝐼𝑐𝑚 =
1 𝑚𝐿2 12
Ósea que 𝐼𝑝 =
1 𝑚𝐿2 + 𝑚𝑑2 12
Calculamos para cada toma de dato el (Ip), y ya se puede calcular k (constante de torsión), obteniendo así la siguiente tabla: TIEMPO DE 3 OSCILACIONES
L (x)
t1
t2
t3
Prom.
t4
T (s)
T2 (y)
0,2 ± 0.001 15,13 ±0.01 15,38 ±0.01 15,35 ±0.01 15.36 ±0.01 15,29 ±0.01 3,06 ± 0.01 9,347 0,2 ± 0.001 12,14 ±0.01 12,02 ±0.01 12,04 ±0.01 12,01 ±0.01 12,05 ±0.01 2,41 ± 0.01 5,811 0,1 ± 0.001
9.43
±0.01
9.67
±0.01
9.25
±0.01
9,64
±0.01
9,64
±0.01 1,93 ± 0.01 3,717
0,1 ± 0.001 12,11 ±0.01 12,26 ±0.01 11,99 ±0.01 12,32 ±0.01 12,17 ±0.01 2,43 ± 0.01 5,919 0
± 0.001
6,42
±0.01
6,53
±0.01
6,22
±0.01
6,50
±0.01
6,42
±0.01 1,28 ± 0.01 1,647
La incertidumbre de cada k hallada, se usó la siguiente ecuación. 𝑇2
1
𝛥𝑘 = ( 𝐿2 ) 𝛥𝐿 + 𝐿 . ∆𝑇
9.347
1
𝛥𝑘 = ( 0.22 ) 0.001 + 0.2 𝑥 0.01
𝛥𝑔 = 0.7 , este sería para la primera línea
3. CALCULO DE m (PENDIENTE) y b (PUNTO DE CORTE) EN CALCULADORA De la ecuación de función lineal: 𝒀 = 𝒎𝑿 + 𝒃 Siendo el eje Y: T2, Y el eje X: R2 (Longitud de la Varilla) Obtenemos: 𝑇 2 = 𝑚𝑅 2 + 𝑏. Mediante el uso de calculadora en Modo registro lineal: MODE
3 =REG,
1= LINE
Ingresamos los datos a la memoria de la calculadora: (R2, T2)
M+ , se almacena un registro, evidenciado en la pantala como n=1
De esta manera ingresamos n=5, registros (siendo el caso de este laboratorio) Posteriormente; SHIFT
2 ,adelantamos la pantalla y quedar en (A B r), siendo 1 = A y 2=B en la calculadora
Pero para nuestra ecuacion lineal; A = punto de corte (b) y B= pendiente de la recta (m). Obteniendo, b= 3.388 m=567.421 𝑇 2 = 567.421 𝑅 2 + 3.388
4. CALCULO DE m (PENDIENTE) y b (PUNTO DE CORTE) DE MANERA MANUAL 𝒎=
De la ecuación pendiente de la recta:
𝑚=
𝑵∑𝒙.𝒚− ∑𝒙 . ∑𝒚 𝑵∑𝒙𝟐 −(∑𝒙)𝟐
en función de variable T2 y L quedaria:
𝑁∑𝑅 2 . 𝑇 2 − ∑𝑅 2 . ∑𝑇 2 𝑁∑𝑇 2 − (∑𝑇)2
R
T (s)
T2 (y)
R2 (x)
R4
R2 x T2
0.2 0.15 0.1 0.05
5.10 4.02 3.17 2.43
26.025 16.136 10.022 5.919
0.040 0.023 0.010 0.003
0.00160 0.00051 0.00010 0.00001
1.04 0.36 0.10 0.01
1.43
2.032 12.027 60.135
0.000 0.019 0.075
0.00000
0.00
0.002
1.519
SIN MASAS 0 Promedio= 0.100 ∑= 0.5 N=
3
𝑚=
3 (0.075𝑥60.135) − (0.075 𝑥 10.648) 3𝑥 0.0752 − (2.5)2
Operando: 𝑚 = 567.421 Para calcular b (punto de corte):
𝑇 2 = 𝑚𝑅 2 + 𝑏,
̅̅̅2̅ Despejo b quedando: 𝑏 = ̅𝑇̅̅2̅ − 𝑚𝑅
R
T (s)
T2 (y)
R2 (x)
0.2 0.15 0.1 0.05
5.10 4.02 3.17 2.43
26.025 16.136 10.022 5.919
0.040 0.023 0.010 0.003
1.43
2.032 12.027
0.000 0.019
SIN MASAS 0 Promedio= 0.100 N= 3
𝑏 = 12.027 − 567.421 𝑥 0.019 𝑏 = 3.338
5. CALCULO DE k (CONSTANTE DE TORSION) Podemos calcularla a partir de la ecuación de la recta hallada en el paso 3.4 o a partir de los datos obtenidos en el experimento (promedios) 5.1. Constante De Torsión (k), mediante ecuación de la recta (Ajuste lineal): 𝑇2 =
8.𝑚𝜋2 𝑘
+ 𝑇0
Y 𝑇 2 = 567.421 𝑅2 + 3.388
Se pueden igualar las m: 567.421 =
8𝑚𝜋2 𝑘
𝑘 =
8𝑚𝜋2 567.421
,
Siendo m la masa del cilindro (0.2359 Kg) 𝑘 =
18.626 567.421
Tenemos que:
𝑘 = 0.0328 𝑚⁄ 2 𝑠
5.2. Constante De Torsión, mediante promedios tomados en el laboratorio Es el resultado del promediar las constantes de torsión (k) obtenidas en cada uno de los tiempos tomados, en n cantidad de R, pariendo de la ecuación:
𝐼
𝑇 = 2𝜋√ 𝑘𝑃
Despejando k, obtenemos: 𝑇 2 =
4𝜋2 .𝐼𝑝 𝑘
𝑘=
4𝜋2 .𝐼𝑝 𝑇2
Este procedimiento se realizó en el paso 3.2
R 0,2 0,15 0,1 0,05 SIN MASAS 0 Promedio= 0,100 ∑= 0,5
TIEMPO DE 3 OSCILACIONES t1 t2 t3 t4 15,13 15,38 15,35 15.36 12,14 12,02 12,04 12,01 9.43 9.67 9.25 9,64 12,11 12,26 11,99 12,32 6,42 6,53 6,22 6,50
Prom.
T (s)
T2 (y)
Ip
15,29 12,05 9,64 12,17 6,42 11,112
5,10 4,02 3,21 4,06 2,14
25,965 16,140 10,326 16,443 4,576 14,690 73,450
0,0135 0,0094 0,0064 0,0047 0,0041
k (N/m) 0,0205 0,0229 0,0246 0,0112 0,0350 0,0228
± ± ± ± ±
0,70 0,78 1,13 6,78 0,00
Siendo 0.0357 (N/m), la k (constante de Torsión por método de promedios (experimental) Resumiendo en una tabla: k Valor Teórico 0.025 𝑁⁄𝑚
k Grafica (ajuste Lineal 0.0328 𝑁⁄𝑚
k Experimental (Promedios) 0.0357 𝑁⁄𝑚
6. CALCULO DE INCERTIDUMBRES Obtenidas las constantes de torsión, desde los métodos experimentales y Grafico, se procede a calculas las incertidumbres, que son los grados de confianza de cada uno de los valores (k) obtenidos: 6.1. Calculo de Sigma de m (pendiente) y b (punto de corte) De las ecuaciones: Sigma de la pendiente:
Donde :
Sigma del punto de corte:
R
T (s)
T2 (y)
R2 (x)
R4
R2 x T2
(T2(mR2+b))2
0.2 0.15 0.1 0.05
5.10 4.02 3.17 2.43
26.025 16.136 10.022 5.919
0.040 0.023 0.010 0.003
0.00160 0.00051 0.00010 0.00001
1.04 0.36 0.10 0.01
3.76586 3.92610 8.76093 9.69115
1.43
2.032 12.027 60.135
0.000 0.019 0.075
0.00000
0.00
0.41496
0.002
1.519
26.559
SIN MASAS 0 Promedio= 0.100 ∑= 0.5 N= 3
Hallamos б: 26.559 3−2
б=√
б = 2.975
Hallamos бb: 0.002
б𝑏 = 2.975√(3 𝑥 0.002)−0.0752
б𝑏 = ±1.898
Hallamos бM: 5
б𝑚 = 2.975√(3 𝑥 0.075)−0.02
б𝑚 = ±41.331
Ecuación final de la recta: 𝑇 2 = (567.421 ± 41.331)𝑅2 + (3.338 ± 1.898)
6.2. Calculo de la incertidumbre para la k promedio (datos de laboratorio) Partiendo de la ecuación de mínimos cuadrados:
2 ∑(𝑘̅ − 𝑘𝑖 ) √ ∆𝑘̅ = 𝑁(𝑁 − 1)
R
T (s)
T2 (y)
0.2 0.15 0.1 0.05
5.10 4.02 3.17 2.43
26.025 16.136 10.022 5.919
1.43
2.032 0.0789 12.027 0.0357 60.135
SIN MASAS 0 Promedio= 0.100 ∑= 0.5 N= 3
0.002 ∆𝑘̅ = √ 20
k (N/m) 0.0205 0.0229 0.0253 0.0310
± ± ± ± ±
R2 (x)
Kprom -Ki
(gprom -gi)2
0.70 0.78 1.10 2.57
0.040 0.023 0.010 0.003
0.02 0.01 0.01 0.00
0.0002 0.0002 0.0001 0.0000
0.00
0.000 0.019 0.075
-0.04
0.0019 0.002
∆𝑘̅ = 0.011
7. CALCULO ERROR PORCENTUAL El error porcentual es el que nos define cuál de los dos datos (promedios o gráfico) ha sido el más preciso para este laboratorio. 7.1. Error porcentual del método grafico o ajustado linealmente 𝑒𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =
𝛥𝑘 𝑘
𝑥 100%
𝑒𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =
0.011 0.0328
𝑥 100
𝑒𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = ±33.323%
7.2. Error porcentual del método experimental (promedios) 𝑒𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =
𝛥𝑘 𝑘
𝑥 100%
𝑒𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =
0.011 0.0357
𝑥 100
𝑒𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = ±30.616%
8. CALCULO ERROR RELATIVO El error relativo es el que nos define cuál de los dos datos (promedios o gráfico) ha sido el más exacto para este laboratorio.
8.1. Error relativo del método grafico o ajustado linealmente
𝑒𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝑉𝑡 −𝑉𝑒𝑥 𝑉𝑡
𝑥 100
𝑒𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
0.025 𝑁⁄𝑚− 0.328𝑁⁄𝑚 0.025𝑁⁄𝑚
x 100
𝑒𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = ±31.302 %
8.2. Error relativo del método experimental (promedios)
𝑒𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝑉𝑡 −𝑉𝑒𝑥 𝑉𝑡
𝑥 100
𝑒𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
0.025 𝑁⁄𝑚− 0.357𝑁⁄𝑚 0.025𝑁⁄𝑚
x 100
𝑒𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = ±42.908 % 9. RESUMEN DE CALCULOS E INCERTIDUMBRES
Teórico
Calculo de la k para un péndulo de Torsión Experimental Grafica (Ajuste Lineal) (Promedios)
Kteorico= 0.025 N/m Kexperimental= 0.0328 N/m
kexperimental =
0.0357 N/m
e porcentual =
±
33.323 %
eporcentual= ± 30.616 %
e relativo=
±
31.302 %
e relativo=
± 42.908 %
V.
ANALISIS DE RESULTADOS
VI.
Después de haber realizado las mediciones y cálculos respectivos con respecto al péndulo de torsión, se ha llegado a las siguientes conclusiones:
Gráfica de T² en función de R². PENDULO DE TORSION 30
y = 568.96x + 3.3786 R² = 0.99
25
El periodo de oscilación depende del momento de inercia 𝐼 y la constante de
20
T²
CONCLUSIONES:
torsión 𝜅.
15
10
A mayor distancia entre los dos cilindros mayor es el período.
5
0 0
0,01
0,02
0,03
0,04
material y la forma del resorte de torsión.
0,05
R²
“k” es constante y depende únicamente del
Hay que aplicar una fuerza para poder presenciar una oscilación en un péndulo de
¿Cuál de los dos métodos de cálculo de la constante de torsión de este laboratorio es más preciso? Explique su respuesta. RTA/: El método más preciso es: k experimental por promedios; ya que el cálculo del valor de la constante de torsión por la ecuación de la recta nos arroja un valor más exacto que el valor obtenido por los promedios.
Escriba dos conclusiones finales de esta práctica de laboratorio. RTA/:
torsión.
Preguntas
“k” es constante y depende únicamente del material y la forma del resorte de torsión. A mayor distancia entre los dos cilindros mayor es el período.
VII.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS LIBROS
Sears F. W., Zemansky M. W., Young H. D., Freddman R. A., Física Universitaria, Vol. I, Pearson Addison Wesley, México, 2005. 11ª Edición TEXTO GUIA
SERWAY, Raymond A. y JEWETT, Jhon W. (2005) Física I Texto basado en cálculo, 6a Ed. Editorial Thomson.
Ángel Franco García, Física con ordenador, (2011), www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/
Leybold Didactics Mechanics Leaflets. Rotational motions of a rigid body. Moment of inertia. http://www.lddidactic.de/literatur/hb/e/p1/p1451_e.pdf
