Integrales irracionales
ax + ax + b b b , ax + ax + b b , . . . , cambio ax + tipo R x, ax + b = t 1) Integrando del tipo R p
r
q
s
cx + cx + d d siendo m = m.c.m.(q , s . . . ).
cx + cx + d d
m
cx + cx + d d
Ra´ız de suma o diferencia de cuadrados. 2) Ra´
√
√
ax = c c sen t =⇒ c2 − a2 x2 = c cos t a) R x, c2 − a2 x2 , cambio ax = √ √ c ax = =⇒ a2x2 − c2 = c tan t b) R x, a2 x2 − c2 , cambio ax = cos t √ √ c ax = c c tan t =⇒ a2 x2 + c2 = c) R x, a2 x2 + c2 , cambio ax = cos t Ra´ız de un trinomio. tr inomio. Puede Pued e reducirse red ucirse al a l caso anterior. 3) Ra´ 2
bx + c c = = a) a > 0 =⇒ ax + bx +
2
√
ax + ax +
b b √ + c − . 2
4a 2 a = − (−ax2 − bx − c) = . . . bx + c c = b) a < 0 =⇒ ax2 + bx +
√
etodo de Euler. Integrando del tipo R x, ax2 + bx + bx + c c . 4) M´etodo 0 , cambio a) a > 0, 0 , cambio b) c > 0,
√ ax √
2
+ bx + bx + c c = =
ax2 + bx + bx + c c = = tx tx + +
ız del trinom tri nomio io,, cambio c) α ra´ız
c
√
= t ax2 + bx + bx + c c = t((x − α)
et o do alem al em´ an. a´n. Integrando del tipo 5) M´eto P ( P (x)
√ ax + ax + t t √ P ( P (x) . ax2 + bx + bx + c c
√
√ d √ 2 = Q(x) ax2 + bx + bx + c c + d x ax + bx + bx + c c
√
λ
ax2 + bx + bx + c c
siendo el grado de Q(x) una unidad inferior al de P ( P (x).
6) Integrando del tipo
√ 1
(x − α) p ax2 + bx + bx + c c
, cambio x − α =
1 t
+ bxn )q ; m,n,q ∈ ∈ Q. 7) Integrales binomias. Integrando del tipo xm (a + bx 1 m − n + 1 xn = t =⇒ I = t p (a + bt + bt))q dt, siendo p = n n que tiene soluci´on on en los tres casos siguientes:
= r/s /s)), cambio a + bt + bt = = u u s a) p ∈ Z (q = r
p = r r/s /s)), cambio t = u = u s (si q ∈ ∈ Z− ( p = ∈ N, la integral es inmediata). b) q ∈ + q ∈ ∈ Z c) p + q
a + bt + bt a + bt + bt =⇒ I = t dt, q = r/s, = r/s, cambio cambio = u p+q
q
t
t
s
