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Integ r al es bi nomi cas
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA
NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS 6. INTEGRALES DE FUNCIONES * Inte Inte grales binóm binómicas icas Se trata de integrales de la la forma:
que incluye integrales de raíces cuadradas (p = 1/2), de raíces cúbicas (p = 1/3), etc.. Nosotros por comodi comodidad dad al referi referirn rnos os a ell ellas, vam vamos os a habl hablar ar de dos ti tipos:
Obsérvese que las integrales de tipo I son las de tipo general pero con a=b=n=1. a=b=n=1. Toda integral binómica tipo general debe debe ser transformada a binómica tipo I para ser integrada. En concreto co ncreto,, toda tod a integral integral binómi binómica ca tipo general genera l se convi co nvirte rte en tipo I con co n el cambio: b x n = a t Esto lo vamos vamos a ver con c on un ejempl eje mplo, o, tranformem t ranformemos os a tipo I la integral: integral:
para ell ello hacem hacemos os el cambi cambio: o: ahora despejamos x despejamos x y y hallamos dx: dx :
y sustituimos en la integral:
donde hemos extraido un 2 del parentesis (2 + 2t)¹/², la integral es de tipo I.
http://www.ehu.eus/j uancar los.g or osti zag a/apoyo/int_binomi cas.htm
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Integrales binomicas
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Forma de integrar una integral binómica tipo I.
Se procede según los exponentes a y b sean números enteros o no , de acuerdo a los tres casos: i) b: entero. Entonces se desarrolla el binomio de Newton, integrales inmediatas.
y se desarrolla en
ii) b=p/q (no entero), a: entero. En este caso se utiliza el cambio:
siendo el exponente de z el denominador del cociente p/q. iii) b=p/q (no entero), a: no entero, pero a + b: entero, en este caso se multiplica y divide a la integral por , entonces ésta puede ser expresada:
y a continuación se realiza el cambio:
siendo el exponente de z , al igual que ántes, el denominador del cociente p/q. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 26: Hallemos la integral indefinida:
Solución: Se trata del ejemplo que hemos comenzado anteriormente, y que como hemos dicho, con el cambio
, queda transformada en integral tipo I:
Esta integral tiene la forma del caso (ii) b=1/2 (no entero), a=2 (entero), por lo tanto el cambio indicado es: 1 + t = z ² es decir, http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/int_binomicas.htm
, con lo que la integral se convierte en inmediata: 2/4
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Integrales binomicas
finalmente sustituiremos el valor de z , y en éste el valor de t :
Ejemplo 27: Hallemos la integral indefinida:
Solución: Se trata de una integral que podemos expresar en la forma
en la que claramente se ve que es binómica tipo general, con m=-4, n=½, p=-½. Para transformarla en tipo I hacemos el cambio:
lo que conduce a:
integral binómica tipo I, en la que tanto a como b son no enteros pero a + b es -3, entero (el signo es indeferente), y por tanto la podemos hacer según el caso (iii): como b=- 1/2, lo primero que hacemos es multiplicar y dividir al integrando por t -1/2 , es decir:
ahora realizamos el cambio:
con lo que la integral resultante es: http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/int_binomicas.htm
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Integrales binomicas
finalmente debemos sustituir el valor de z y el correspondiente a t , y el resultado es:
* * * Algunos ejercicios que puede realizar el alumno:
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