INTEGRALES DEPENDIENTES DE PARÁMETROS FUNCIONES (p) y (p,q)
1. INTEGRALES PROPIAS DEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO 1.1 CASO DE LIMITES DE INTEGRACIÓN CONSTANTES 1.1.1 Concepto y objetivo b
f ( x, t ) dx , en la que el
Se trata de considerar una integral de la forma
a
integrando depende de un cierto parámetro t (Variable distinta de la variable x de integración). La integral será una función de t, definida para aquellos valores de t, para los que exista tal integral. x
Más precisamente: Sea f(x,t) una aplicación de un rectángulo en , estando determinado por axb , ctd. Si para cada t[c,d], la función f(x,t) es integrable respecto a x en [a,b], entonces existe la función:
b
a c
d
t
b
F(t) = f ( x, t ) dx
t [c, d] (1)
a
b
Se dice entonces que la integral propia
f ( x, t ) dx
depende del parámetro t
a
en [c,d], o también que F(t) es una función definida en [c,d] por medio de una integral propia con límites de integración constantes. El primer objetivo es ahora estudiar algunas propiedades de la función F(t), con
t
[c,d], a partir de propiedades de f(x,t), con (x,t) . 1.1.2 Continuidad Teorema 1
"Si f(x,t) es continua en , entonces la F(t) dada en (1) es continua en [c,d]" Demostración al final del tema. 1.1.3. Derivabilidad : Fórmula de Leibniz Teorema 2 1
f ( x,t ) son continuas en , entonces la función F(t) dada en (1) t es derivable y con derivada continua en [c,d], siendo: "Si f(x,t) y
F t
b
a
f ( x, t ) dx t [c,d] t
(2) Fórmula Leibniz
de
Demostración al final del tema. 1.1.4 Integrabilidad Se ha visto que si f(x,t) es continua en , entonces F(t) es continua en [c,d]. Luego F(t) es integrable en [c,d]. Se usa la notación: d
F( t ) dt
c
d b
d b f ( x , t ) dx dt dt f ( x , t ) dx c a c a
De forma análoga, cambiando los papeles de x y t podría considerarse la d
función:
G(x) =
f ( x , t ) dt , x [a,b] c
Si f(x,t) es continua en , será G(x) integrable en [a,b]. Se escribe: b
G ( x ) dx a
b d
b d f ( x , t ) dt dx dx f ( x , t ) dt a c a c
Se verifica: Teorema 3 Si f(x,t) es continua en , entonces: b
d
a
c
d
b
c
a
dx f ( x, t ) dt
= (3)
dt f ( x, t ) dx La demostración al final del tema. 1.1.5 Observación Los tres teoremas citados, pueden expresarse en términos de una permutabilidad de operadores, en la forma siguiente.
2
Con las hipótesis citadas en cada teorema, las tesis respectivas son: b
f ( x, t ) dx * lim t t 0
*
d dt
a
b
f (x, t ) dx a
b
d
a
c
b
lim f ( x, t ) dx t t 0
a
b
a
* dx f ( x, t ) dt
f ( x , t ) dx t d
b
c
a
dt f ( x, t ) dx
Es inmediato. 1.2 CASO DE PARÁMETRO
LIMITES
DE
INTEGRACIÓN
FUNCIONES
DEL
1.2.1 Concepto Supóngase ahora que en (1) los límites de integración sean funciones a=a(t) y b=b(t) del parámetro t. La integral será una función de t, definida para aquellos valores de t, para los que exista tal integral.
Con más precisión: Sea R el conjunto :
( x , t ) 2 / t c, d , a( t ) x b( t )
R=
EMBED PBrush MERGEFORMAT
\s
\*
siendo a(t) y b(t) acotadas en [c,d] Y sea f(x,t) una aplicación de R en , tal que para todo t [c,d], es integrable respecto a x, desde x= a(t) hasta x =b(t). Entonces existe la función:
b( t )
F(t)=
f ( x, t ) dx
t [c,d]
(1*)
a( t )
Se dice entonces que la integral anterior depende del parámetro t en [c,d], con límites de integración funciones del parámetro. 1.2.2 Continuidad Con las notaciones anteriores: Teorema 1* "Si f(x,t) es continua en R y a(t), b(t) son continuas en [c,d], entonces la función F(t) dada en (1*) es continua en [c,d]" 3
(Demostración análoga a la del Teorema 1) 1.2.3 Derivabilidad : Fórmula de Leibniz Teorema 2*
f ( x,t ) son continuas en R y a(t), b(t) tienen derivada continua t en [c,d], entonces la función F(t) dada en (1*), es derivable y con derivada continua en [c,d], siendo : "Si f(x,t) y
b( t )
F ( t)
a( t )
f ( x, t ) dx b ( t )f b ( t ), t a ( t )f a( t ), t t
t c, d
(2*)
(Fórmula de Leibniz) Demostración: La F(t) dada en (1*) es función de t a través del integrando f(x,t) y de los límites de integración a(t) y b(t). Con notación de función compuesta, puede escribirse : t c, d
F(t) = G [t, a(t), b(t)]
Aplicando la regla de derivación de la función compuesta (Regla de la cadena): F (t)
G G G a (t) b ( t) t a b
t c, d
b( t )
* Es
G f ( x , t ) dx , pues en la derivación parcial respecto a la t del integrando, t t a(t )
se consideran a(t) y b(t) como constantes. Basta aplicar (2). *
Según
el
teorema
fundamental
del
Cálculo
Integral,
b( t )
G f ( x , t ) dx f b( t ), t b b a( t ) b( t )
a( t )
G f ( x , t ) dx f ( x , t ) dx f a( t ), t * Análogamente : a a a ( t ) a b( t ) Sustituyendo en la expresión de F (t), se obtiene la fórmula (2*).
Ejemplos t
* Sea F(t) =
x
2
Ch( t x ) dx . Hallar F (0) aplicando repetidamente el
0
teorema de Leibniz para límites de integración variables. Según dicha fórmula es :
4
t
F ( t ) x 2 Sh( t x ) dx t 2 Ch0
Ch 0 1
0
t
F ( t ) x 2 Ch( t x ) dx 2t 0
t
F ( t ) x 2 Sh( t x ) dx t 2 Ch0 2 0
Luego F (0) 2 2. INTEGRALES IMPROPIAS DEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO Se consideran ahora los casos en que las integrales dependientes del parámetro son impropias, por no ser acotado el intervalo de integración o por no serlo la función integrando. Se supondrá que el intervalo no varía con el parámetro. Naturalmente, será necesario exigir condiciones para la convergencia. 2.1 INTEGRAL IMPROPIA DE 1ª ESPECIE 2.1.1 Concepto y convergencia Consideramos el caso siguiente: (Otros casos se establecerían análogamente). Sea f(x,t) definida en [a, ) x [c,d], tal que existe
f ( x, t ) dx
para
a
todo >a y t [c,d].
f ( x , t ) dx , t [c,d] se representa por Si existe el límite finito F(t) = lim a
F ( t ) f ( x, t ) dx , t [c,d] (1 ) y se dice que la integral impropia f ( x , t ) dx **
a
a
converge en [c,d].
2.1.2 Convergencia uniforme La integral impropia (1 ** ) se dice uniformemente convergente hacia F(t) en [c,d], si converge en [c,d] y
F ( t ) f ( x , t ) dx
0 M a / M
(El M depende de , pero no de t)
a
2.1.3 Criterios de convergencia uniforme
5
y t c, d
es
Criterio de Cauchy
"Condición necesaria y suficiente para que
f ( x , t ) dx
converja
a
uniformemente en [c,d] es que:
0,
exista
f ( x, t ) dx
M
M a ,
un
tal
que:
t c, d "
Se deduce inmediatamente de la definición de convergencia uniforme. Una condición suficiente para la convergencia uniforme la da el llamado Criterio de Weierstrass f ( x,t ) g( x ) ( x,t ) , la
"Si
g( x ) dx a
a
f ( x , t ) dx
y t c, d , entonces
es convergente y existe
f ( x, t ) dx
es uniformemente
a
a
convergente en [c,d]." (Se omite la demostración) Ejemplo
Sea
e
x
senx dx con
[c,d]
0
Como
e
x
e x senx e x
en cualquier intervalo [c,d], y además
dx 1 (convergente), entonces según el criterio de Weierstrass, la integral dada
0
converge uniformemente en [c,d].
6
2.1.4 Regularidad de las integrales impropias con un parámetro Los teoremas 1, 2, y 3 sobre continuidad, derivación y cambio de orden en la integración citados para integrales propias, siguen siendo válidos para las integrales
impropias F(t) = f ( x , t ) dx
t [c,d], siempre que a las hipótesis de los mismos
a
se añadan la condición de la convergencia uniforme en [c,d] de
f ( x, t ) dx
(para los
a
teoremas sobre continuidad e integración), o la de
a
f ( x , t ) dx (para el teorema t
sobre derivación). (Se omiten demostraciones)
2.2 INTEGRAL IMPROPIA DE 2ª ESPECIE Una integral impropia de 2ª especie, dependiente de un parámetro t, es una integral de la forma: b
(x, t) F ( t ) f ( x, t ) dx t c, d , donde para un a , b es: limf x a
La teoría para ellas es análoga a lo visto para las de 1ª especie. 3. CASO DE VARIOS PARÁMETROS Pueden considerarse de manera análoga, integrales con varios parámetros, b
como:
F ( , ) f ( x , , ) dx . a
Se obtienen resultados análogos a los citados para el caso de un parámetro, exigiendo las condiciones equivalentes.
7
4. APLICACIONES AL CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS Aplicando los teoremas sobre derivación (Fórmulas de Leibniz) e integración, pueden resolverse varias integrales definidas cuyas primitivas no son fácilmente expresables, o no pueden expresarse, mediante funciones elementales. Ejemplo 1 1
Calcular I
x1 dx ln x
0
La función
x 1 es continua en [a,b] lnx lim
Además:
x 0 1
Sea
.
F(t) =
0
siendo:
0
x1 x1 x1 0, lim lim 1 lnx x1 ln x x1 x 1
xt 1 dx t 0 . ln x
Supuesto que se cumplan las condiciones para la aplicación del teorema de Leibniz, resulta: F t
1 x t 1 x t 1 t dx x dx 0 t ln x 0 t 1 1
Luego F(t) = k + ln (t+1)
1
0
1 t 1
t 0
Como F(0) = 0, resulta: 0 = k + ln 1. Luego: k = 0 Por tanto : F(t) ln(t 1) t 0 Y en particular
I = F(1) = ln 2
Ejemplo 2
Calcular: F(a) =
0
e ax senx dx x
(a >0). Deducir I =
0
senx dx x
Se trata de un caso especial de integral impropia, dependiente del parámetro a. eax senx No puede calcularse buscando una primitiva de la función , pues tal x primitiva no es expresable mediante funciones elementales en número finito.
8
Supóngase que se cumplen las condiciones exigidas para la aplicación del teorema de Leibniz en este caso impropio.
e ax senx ax F ( a ) dx e senx dx a x 0 0
Entonces:
Mediante integración por partes (2 veces), o por coeficientes indeterminados se obtiene: e ax senx dx
e ax asenx cos x c 1 a2
Por tanto: F (a)
1 , 1 a2
de donde : F(a) = k - arctg a
limF(a) = 0. Por otra parte de la definición de F(a), resulta: a Luego: 0 = lim [k - arctg a] = k - . De donde: k = . a 2 2 F(a) = arctg a Por tanto : 2 En particular I = F(0). Luego :
I=
2
Ejemplo 3
Calcular: I(a) =
dx
0 x
2
a
(a >0)
n1
Se trata de un caso de integral impropia, dependiente del parámetro a. 1
Existe primitiva conocida de la función x 2 a n 1 , pero dada su complejidad, es preferible usar la derivación paramétrica. Supóngase que se cumplen las condiciones exigidas para la aplicación del teorema de Leibniz en este caso de integral impropia. d
1
n 1
Puesto que da x 2 a n 1 x 2 a n 2 , no mejora la situación al intentar calcular I (a) .
Pero la forma de la derivada respecto a, sugiere el partir de F(a) =
x 0
Es:
F(a) =
x 0
dx 1 x 1 arctg a 2 = a0 2 a 2 a a
2
Por la fórmula de Leibniz
F ( a ) 0
x
dx 2
a
dx . a
2
Derivando el resultado anterior 1 3 F ( a ) a 2 2 2
2
9
F ( a ) 2
dx
1 3 52 a 2 2 2 -------------------- -----------------------------dx F ( n ) ( a ) ( 1) n n ! n 1 1 3 2 n 1 2 n21 2 F n (a ) 0 x a a 2 2 2 2 Igualando estas últimas expresiones resulta: 0
0
x
x
dx 2
a
2
a
3
F ( a )
n 1
1 3 5 ( 2 n 1) a 2 2n n !
1 n 2
( 2 n 1)!! 1 ( 2n )!! n 12 a
o sea:
I(a)= 2
Ejemplo 4 Calcular
ax
I(a,b) =
e
0
e bx dx x
a,b >0
Se trata de un caso de integral impropia con dos parámetros, convergente.
No puede resolverse como diferencia de integrales pues
0
e ax dx es x
divergente. Tampoco existe primitiva del integrando, expresable con nº finito de funciones elementales. Suponiendo que se cumplen las condiciones exigidas para la aplicación del teorema de Leibniz en este caso de integral impropia, resulta:
I e ax e ax dx a 0 a
0
1 . a
Luego: I(a,b) = k(b) - ln a
Para a = b es: I(a,b) = 0.
Y por tanto: 0 = k(b) - ln b, es decir : k(b) = ln b. b Luego: I(a,b) = ln b - ln a = ln a Otro método (Cambio de orden en la integración) I a , b
ax
0
e
e bx dx x
0
e x x
b a
dx
e x b d b b d a a Ln a Ln a 0 b
0
10
b
dx e x d a
b
x
a d 0
e
dx
5. LAS FUNCIONES (p) y (p,q) DE EULER Hay muchas funciones definidas por integrales dependientes de parámetros, que no son expresables mediante funciones elementales. Es necesario deducir sus propiedades a partir de la propia integral. Dos ejemplos de especial interés por sus aplicaciones, son las llamadas funciones gamma ( (p)) y beta ((p,q)) de Euler. 5.1. LA FUNCIÓN (p) DE EULER 5.1.1 Definición Se llama función gamma, o integral euleriana de 2ª especie a la función :
(p) = x p 1e x dx
p 0
(4)
0
Es una función representada por una integral impropia. Puede demostrarse fácilmente que converge para p >0 y diverge si p0. 1
( p )
(Basta escribir
0
x p 1e x dx x p 1e x dx
y mostrar por los
1
teoremas de comparación que la 1ª integral converge únicamente para p >0 y la 2ª p ). Puede también demostrarse que esta integral impropia cumple las condiciones necesarias para que se dé la continuidad de (p) en su campo de definición y la validez del teorema de Leibniz sobre derivación.
5.1.2. Propiedades principales a) Si p-1 >0 , es (p) =(p-1)(p- 1)
(5) Fórmula de reducción
En efecto : Basta aplicar a (4) la integración por partes con u = x p1 u = x p1 du (p 1)xp 2dx dv = e xdx v e x . Luego:
( p ) lim x p1e x t
t 0
0
0
( p 1) x p 2 e x dx ( p 1) x p 2 e x dx ( p 1) ( p 1)
b) (1) = 1 y si p = n N, entonces (n) = (n-1)!
11
(6)
(1) =
En efecto : De (4) se deduce:
e 0
x
t
dx = lim e x 1 0 t
Basta aplicar ahora (5) sucesivamente. c) En general, la fórmula de reducción permite hallar los valores de (p) para todo p >0, si se conoce (p) en un intervalo cualquiera (a,a +1] con a0. Así, por ejemplo, si se conoce 1 2 resulta : 7 2
5 53 531 5 2 3 2 1 2 2 22 222
5.1.3 Fórmula de los complementos Si 0
(7)
senp
Se omite la demostración 5.1.4 Representación gráfica A partir de la definición y de las (5)-(6)-(7), puede conseguirse una aproximación a la representación gráfica de (p). (p) lim (p) Verifica: plim p 0
5.1.5 Otras expresiones Efectuando diversos cambios de variable en la integral (4), se obtienen otras expresiones de la función (p). El interés de las mismas estriba en que permiten calcular varias integrales definidas en términos de la función (p). He aquí algunos casos más interesantes:
12
a) Efectuando en (4) el cambio y = x p , es decir x = y1 p, se obtiene :
1 (p) = y p0 ( p )
1 p
p 1 p
1
e y
1 p
1
y p dy
1 p 1 e y dy , luego : p0
x e dx ó 1 p p e x dx 1 p
0
0
e
Por tanto:
p
x p
dx 1 1 p
0
b) Análogamente, efectuando en (4) los cambios x = ay (a >0) ó x = ay 2 , se obtiene respectivamente:
( p ) a p x p 1e ax dx
ó
( p) 2a p
x
2 p 1 ax 2
e
dx
0
0
5.2 LA FUNCIÓN (p,q) DE EULER 5.2.1 Definición Se llama función beta o integral euleriana de 1ª especie a la función:
( p, q )
1
x
p 1
( 1 x ) q 1 dx
, p, q 0
0
(8)
Es una función representada por una integral definida, con dos parámetros. El integrando es discontinuo en 0 y 1 si p <1, q <1 . Puede demostrarse fácilmente que converge para p >0,q >0 y diverge en los demás casos. 5.2.2 Simetría Es
( p, q) ( q, p ) p, q 0
Para demostrarlo, basta hacer en (8) el cambio x = 1-y
13
5.2.3 Otras expresiones Como en el caso de la función , al efectuar diversos cambios de variable en (8), se obtienen otras expresiones de la función (p,q). Estas expresiones permitirán calcular varias integrales definidas usuales en términos de la (p,q). a) Efectuando en (8) el cambio x = sen 2 y, se obtiene:
( p, q )
2
sen
2 p2
0
y 1 sen y 2
2
Luego:
( p, q ) = 2
2seny cos y dy 2 sen 2 p 1 y cos 2 q 1 y dy 0
sen 2p 1 x cos 2q 1 x dx
(9)
y 1 en (8), resulta: 1-x = 1 y 1 y
Luego:
2
0
b) Con el cambio x =
Por tanto:
q 1
y (p,q) = 1 y 0
( p, q ) =
p 1
x p 1
p q 0 1 x
1 1 y
dx
q 1
dy
1 y 2
(10)
5.2.4 Relación entre las funciones y Cualesquiera que sean p >0, q >0, se verifica :
( p, q ) =
( p ) ( q) ( p q)
Se omite la demostración
14
(11)
dx =
dy
1 y 2 y p 1
1 y 0
p q
dy
5.2.5 Valores de y en algunos casos simples * Si p,q N es : (p) = (p-1)! (p,q) =
según (6) y según (11)
(p) (q) (p 1)!(q 1)! = (p q) (p q 1)! 2
1 1 * Según (9) es , 2 dx 2 2 0
Luego
1 2 1 2 1 1 1 , 2 . De donde : 2 2 2 (1)
:
1 2
* Usando repetidamente la fórmula (5) de reducción para la función resulta para n N:
2n 1 !! 1 1 3 3 1 1 n n n 2 2 2 2 2 2 2n
5.3 APLICACIONES A LA RESOLUCIÓN DE ALGUNAS INTEGRALES He aquí algunos ejemplos de integrales que pueden resolverse fácilmente por medio de las funciones y .
* I1
e
x2
dx
0
Se ha visto que
e 0
xp
1 1 1 1 dx 1 . Luego I1 1 p 2 2 2 2
2
* I2
sen
2n
x dx
con n N
0
1 (p,q) con 2p-1= 2n, 2q-1 = 0, es decir : 2 1 n 1 2 1 2n 1 1 1 1 2 n 1 !! ( 2 n 1)!! 2 I2 , 2 2 2 2 ( n 1) 2 2n n ! ( 2n )!! 2
Según (9) es : I 2
15
2
sen
* I3
2 n 1
x dx
con n N
0
De manera análoga, se obtiene : I 3 2
2n ( Las integrales cos x dx e 0
2n !! ( 2 n 1)!!
2
cos
2 n 1
dx toman los mismos valores que
0
I 2 e I 3 respectivamente. Basta hacer en éstas el cambio x =
* I4 0
dx
t) 2
n N, n 1
1 x
2 n
Efectuando el cambio x = tg t , resulta :
1 tg t dt 1 tg t cos
2
I4
0
2
2
2
n
2 n 2
t dt
0
( 2 n 3)!! ( 2 n 2 )!! 2
Puede resolverse también efectuando en I 4 el cambio x 2 t , y teniendo en cuenta la expresión (10) de ( p, q ) .
16
DEMOSTRACIONES DE ALGUNOS TEOREMAS TEOREMA 1 Por ser f(x,t) continua en , considerada como función de x es continua en [a,b], cualquiera que sea t [c,d]. Luego es integrable en [a,b] respecto a x, es decir, existe la función F(t) dada en (1). Va a ser demostrado que F(t) es uniformemente continua en [c,d]. Sea >0. Ha de verse que existe 0 tal que si t t y t, t c, d , entonces F(t) F(t ) Como f(x,t) es continua en (cerrado y acotado), es uniformemente continua en . Luego dado , existe tal que si (x,t), (x, t ) y d (x, t),(x, t ) , b a entonces f (x, t) f (x, t ) b a Si en particular se hace x = x , resulta: , existe tal que si (x,t), ( x , t ) con t t , se verifica: b a f (x, t) f (x, t ) b a Dado
Entonces, si t, t c, d y t t resulta : b
F (t ) F (t )
f ( x, t ) a
b
f ( x , t ) dx f ( x , t ) f ( x , t ) dx a
(b a ) ba
Por tanto F(t) es uniformemente continua en [c,d], luego es continua en [c,d] c.q.d. TEOREMA 2 b
Sea t [c,d]. Entonces F ( t h) F ( t ) h
f ( x, t h) f ( x, t ) dx a
h
f (x, t) son continuas en , según la fórmula de los incrementos t finitos, considerada f(x,t) como función de t en [c,d], resulta : Como f(x,t) y
f(x,t+h)-f(x,t) = h
f (x, t h) 0 1 t 17
siendo válida para x [a,b].
F ( t h) F ( t ) h
Luego:
Por ser
b
a
f ( x , t h ) dx t
f (x, t) continua en , según el Teorema 1: t b
lim h 0
F ( t h) F ( t ) f ( x , t h) lim dx h 0 h t a
b
a lim h 0 b
Luego F(t) es derivable en t y F ( t )
a
b
f ( x , t h) f ( x , t ) dx dx t t a
f ( x , t ) dx c.q.d. t
TEOREMA 3 Con las notaciones citadas en 1.1.4, se consideran las funciones de : ( )
F ( t ) dt
b
c
a
dt f ( x , t ) dx y ( )
c
b
a
c
dx f ( x, t ) dx ,
c,d
Cumplen (c) (c) 0 Como F(t) es continua en [c,d], por el teorema fundamental del Cálculo resulta: b
c, d
( ) F ( ) f ( x , ) dx , a
Y como g( x , ) f ( x , t ) dt es continua y con derivada continua en , se c
deduce: (2) d dx f ( x , t ) dt f ( x , t ) dt dx f ( x , ) dx F ( ), d a c c a a b
( )
b
Luego: ( ) ( )
b
c, d . Y como (c) (c) 0, resulta:
( ) ( ) c,d . En particular, para d, se obtiene (d) (d) , es decir : d
b
c
a
dt f ( x, t ) dx
c, d
b
d
a
c
dx f ( x, t ) dt c.q.d.
18