Apuntes universidad sobre integrales multiplesDescripción completa
Descripción: INTEGRALES ELIPTICAS
INTEGRALES DOBLESDescripción completa
Descripción completa
Descripción: Calculo para la Ingenieria
Descripción completa
Explicación detallada del cálculo de integralesDescripción completa
Descripción: Ejercicios de Integrales Triples de la Universidad Tecnologica Metropolitana (UTEM)
Integrales triplesDescripción completa
Descripción: APLICACIÓN DE INTEGRALES TRIPLES PARA EL CALCULO DE VOLUMEN UTILIZANDO COORDENADAS CILÍNDRICAS PARA UNA PROBETA DE CONCRETO
Curso de nivel intermedio de matemarica III dictado en la UPT-TacnaDescripción completa
Metodos de integracionDescripción completa
Descripción: Integrales Eulerianas
Se define la integral indefinida a partir de la determinación del area de la región comprendida entre la gráfica de una función f(x)>0 el eje X y las rectas x=a y x=b....
Calcule cada una de las siguientes integrales iteradas:
1.
a)
c)
2 x2
∫ ∫ 0
0
1 2
∫ ∫ 0
0
y dy dx
( x + 2) dydx
∫ ∫ x 1
∫ ∫
b)
5
0
Rpta Rpt a : 5
1
0
2
+y
2
dxdy
Rpta :
f)
4
0
a
∫ ∫
d)
π
a2 −x 2
a
0
e y
e)
Rpta : 16
a2 − x 2
0
π Cos θ
∫ ∫ 1
0
3 Rpta : a
y dy dx
5
3 a 2 − x 2 − y 2 dydx Rp Rpta : a
Rpta : 1
r Sen θ drdθ
5
3
En los ejercicios siguientes la integral iterada tiene el mismo valor ue la integral doble
2.
∫∫ F ( x! y )dA" En cada caso: a) #rafiue la regi$n D
D
% b) Escriba una integral iterada ( o
suma de integrales iteradas ) con el orden de integraci$n invertida"
a)
d)
e) 3.
3
∫ ∫
4 − y 2 2
y 3
0
25 − y 2
0
4 − y 2
∫−
0 2 5
F ( x ! y ) dx dy
b)
∫− ∫
4
F (x ! y )d x d y y 2
2
c)
4
2
∫∫
&− y 2
2
∫
F ( x ! y ) dx dy +
36 − x 2 x 2
5
25 − y 2
2
0
∫ ∫
F ( x! y ) dy dx +
∫ ∫ 1
16 − y 2
− 16 − y 2
F ( x ! y ) dx dy
F ( x ! y ) dx dy
2 5
∫ ∫
5
3
0
36 − x 2 x2
F ( x! y) dy dx
5
Calcule las siguientes integrales dobles! 'ara la funci$n % la regi$n de integraci$n corres'ondiente D " Rpta : 3
2 2 a) F ( x! y ) = x + y D : limitada 'or y = x ! y = x" 2 2 b) F ( x ! y ) = 2 − x D : lim itada 'or x + y = 4"
4.
10
Rpta Rp ta : &π
1 D : limitada 'or xy = 6! x + y = 5 c) F ( x! y ) = 1
Rpta : 5 + ln 2 2 3
2 2 2 2 d) F ( x! y ) = x + y D : limitada 'or x + y = 25"
Rpta : 625π
Calcular el rea de la regi$n descrita: 2 a) *imitada 'or y = 4 x − x % y = x 2 2 2 b) *imitada 'or y = 2 x! x + y − 4 % = 0
c) *imitada 'or y = x3 − 2 x % y = 6 x − x 3
Rpta : 3
10
Rpta : π − 4 Rpta : 16
3
2
Calcular: I =
5.
∫∫
− x2 y
xe
{
dx dy! donde D = ( x! y) ∈ ¡
2
x ≥ 0!1 ≤ y ≤ 2! y > x2
}
D
Rpta :
3(e − 1) 4e
Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las rectas x = y ! x = 2 y ! x + y = a %
6.
x + 3 y = a (a > 0)
Rpta : +a
2
120
Calcular el rea de la regi$n limitada 'or el eje X ! 'or la 'arbola y 2 = 4ax % la recta
7.
! x + y = 3a"
Rpta : 10a
2
3
2 2 Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las 'arbolas y = 10 x + 25 e y = −6 x + ,
8.
Rpta : 16
3
15
Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las grficas de:
9.
y = 4 x − x 2 ! y = 0 % y = −3 x + 6 Rpta : 15
2
2 Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: y = 4 x − x ! y = x
10.
Rpta : ,
2
2 Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: xy = a ! x + y =
11.
5 2
a! (a > 0)
Rpta : 15 − 2 Ln 2 & Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las grficas de:
12.
y
2
=
2 px + p 2 ! y 2 = −2 qx + q 2 ( p > 0! q > 0) Rpta :
13.
Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: y = x! y = 5 x! x = 1" Rpta : 2
14.
Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: y = x3 ! y = 2 x − x3
Rpta :
3+ 12
2 &
( p + q ) pq
Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: y = − x3 + 4 x 2 − 3 x! y = x3 − 3 x 2 + 2 x
15.
Rpta :
3253 ,6
Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: y = 3x − x 2 ! y = 3 x 2 − x3
16.
Rpta :
3+ 12
3 3 Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: y = x − 2 x! y = 6 x − x
17.
Rpta : 16 Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: xy = 1! y ( x 2 + 1) = x! a la derec-a
18.
de la recta x = 1" Rpta :
2
Ln 2
Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: y =
19.
1 2
x + 1
Calcular el rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: y = x!
20.
5
Rpta :
2
5−
!
x
y=e
!
x = 1 ! Rpta :
y = − x + 2! y = ( x − 1)
2
e −1−
!
20 3
Calcular las siguientes integrales iteradas:
21.
a)
c)
e) 22.
1
2
1
∫0 ∫ 1
dy
0
( x 2 + 2 y )dx
1 x 2 dy
∫0 ∫ 1 + y dx
3
0
5
∫−3 ∫ y2 −4 dy
Calcular:
2
Rpta :
( x + 2 y )dx
Rpta : 4
2 3
π
4
b)
d)
12 Rpta : 50"4
f)
2
dy
∫3 ∫ ( x + y ) 2
dx
1
x
x 2 dy
∫1 ∫ x 1 + y ∫
dx
2π
0
1
dθ
2
a
∫ aSen
θ
2
r dr
Rpta : Ln 25
Rpta :
, 4
2 Rpta : π a
2
∫∫ F ( x! y )dA ! si: D
a) F ( x! y ) = x + y + 1 D :limitada 'or y − x = 1! y − x = −1! y + x = 1! y + x = 2 Rpta : 5 2 2 2 b) F ( x! y ) = x y D :limitada 'or xy = 1! xy = 2! y =
x 2
! y = 3x
Rpta : + Ln 6 6
2 2 2 −3 c) F ( x! y ) = x D :limitada 'or y = 2x ! y = x! y = 2 x
Rpta : 1 Ln 2 3
d) F ( x! y ) = x + y D :{ ( x ! y ) ∈ ¡
Rpta : 14
2
1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4! x ≥ 0! y ≥ 0}
3
π
4
2 2 2 e) F ( x! y ) = x D :limitada 'or x = − y ! x = 2 y − y ! x = 2 − y − 2 y
Rpta : 1
4&
2 2 2 2 2 Encontrar el volumen del s$lido limitado 'or las su'erficies: x + y = z % x + y = 3z
23.
Rpta : ,π u 3 2 2 2 2 2 Encontrar el volumen del s$lido limitado 'or las su'erficies: x + y − z = a !
24.
3 Rpta : π a
x 2 + y 2 = 2az % z = 0
3
u3
2 2 2 2 Encontrar el volumen del s$lido limitado 'or las su'erficies: x + y + z = 3a !
25.
3 Rpta : π a
x 2 + y 2 = 2az
3
u3
Encontrar el volumen del s$lido limitado su'eriormente 'or el cono z = a − x 2 + y 2 !
26.
2 2 inferiormente 'or el 'lano XY % lateralmente 'or el cilindro! x + y = 1
Rpta :
2 3
(& − 3 3)π u 3
Encontrar el volumen del s$lido limitado su'eriormente 'or la su'erficie esf.rica
27.
x 2 + y 2 + z 2 = 4 ! inferiormente 'or el 'lano XY % lateralmente 'or el cilindro! x 2 + y 2 = az Rpta : a
3
36
(,π − 16)u 3
Calcular a'licando coordenadas 'olares o coordenadas 'olares modificadas:
28.
a)
R
∫ ∫ 0
b)
R2 − x 2
0
Ln (12 + x 2 + y 2 )dydx
1 − x 2 − y 2
∫∫ 1 + x
2
R
c)
+y
dx dy donde R = { ( x! y ) ∈ ¡ 2
y
∫∫ arctg x dx dy 2
∫ ∫ 0
e)
∫∫
4 − x 2
0
e
− x 2 − y 2
donde E = ( x! y ) ∈ ¡
E
d)
Rpta :
dydx
16 − x 2 − y 2 dydx
2
2
π
/(1 + R 2 ) Ln (1 + R 2 ) − R 2
2 2 x + y ≤ 1! x ≥ 0! y ≥ 0} ! Rpta :
1 ≤ x 2 + y 2 ≤ ,!
Rpta :
4
π
4
∫∫ ( x
2
&
1 ≤ y ≤ 3 x ! Rpta : π 2 6 3
x
(1 − e −4 )
donde R : egi$n limitada 'or: x 2 + y 2 − 4 y = 0!
Rpta :
R
f)
π (π − 2)
64
π
3
− y 2 )dxdy donde : egi$n limitada 'or: x 2 + y 2 = 4! x 2 + y 2 = ,! xy = 1! xy = 4!
D
con 0 ≤ x ≤ y"
Rpta :
15 2
29.
Calcular a'licando coordenadas 'olares o coordenadas 'olares modificadas: a) El rea de la regi$n ue est dentro del crculo x 2 + y 2 ≤ a 2 % fuera del cardioide r = a (1 − Cos θ )
Rpta : 4π
b) El rea de la regi$n ue est dentro del crculo x 2 + y 2 ≤ 6 x % fuera del cardioide r = 2(1 + Cos θ )
Rpta : 4π + 12 3
c) El rea de la regi$n en el 1 cuadrante ue est dentro de la circunferencia x 2 + y 2 = 4 x % fuera de la circunferencia x 2 + y 2 = 4
Rpta :
d) El rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: x 2 + y 2 = 2 x ! x 2 + y 2 = 4 x ! y = x ! y = 0 Rpta : 3( π + 1 ) 4 2 e) El rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: r Cos θ = 1 % r = 2" % ue no contiene al 'olo"
Rpta : 3( π + 1 ) 4 2
f) El rea de la regi$n limitada 'or las grficas de: r = a(1 + Cos θ ) % r = a Cos θ ! (a > 0) Rpta : 30.
5 4
π a
2
Calcular el rea de la 'orci$n de la su'erficie de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2ay ue es cortada 'or la su'erficie c$nica"
31.
allar el rea de la su'erficie S ue es 'arte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 dentro del cono x 2 + y 2 = z 2 ! 'ara z > 0"
32.
allar el rea de la su'erficie S : 6 x + 3 y + 2 z = 12 ue est situada en el 'rimer octante"
33.
Calcular el rea de la su'erficie cortada en el 'lano 2 x + y + z = 4 'or los 'lanos: x = 0! y = 0 % y = 1 "
34.
allar el rea de la su'erficie esf.rica S x 2 + y 2 + z 2 = & y ue est dentro del
'araboloide y 2 = x 2 + z 2 " 35.
Encuentre el centroide de la regi$n semicircular limitada 'or el eje X % la curva y = 1 − x 2
36.
Encuentre el momento de inercia % radio de giro res'ecto al eje X de una 'laca delgada limitada 'or la 'arbola x = y − y 2 % la recta x + y = 0 si δ ( x! y ) = x + y "
Encuentre el centro de masa de una 'laca triangular delgada limitada 'or el eje Y % las
37.
rectas y = x % y = 2 − x si δ ( x! y ) = 6 x + 3 y + 3 " 38.
Encuentre el centroide de la regi$n encerrada 'or el cardioide r = 1 + Cos θ "
39.
n s$lido de revoluci$n S se genera al rotar la regi$n 'lana R ! limitada 'or x = 0! x = 4 1 − y % y = 3x! alrededor de la recta y =
1 3
x" allar el volumen de S
7ea la regi$n R limitada 'or las grficas de las ecuaciones: y = x 2 ! y = 0! x = 1"
40.
etermine el volumen del s$lido generado 'or la rotaci$n de la regi$n R alrededor de la recta x = 0" Calcular las siguientes integrales im'ro'ias: