1
LA INTEGRAL INDEFINIDA Definición: La función F : I � R , se llama antiderivada o primitiva de f : I � R, Si: Una antiderivada de una función f es una función F tal que F '( x) = f ( x)"x �I o en forma equivalente, en notación diferencial, dF = f ( x) dx ¿u!les son las antiderivadas de f ( x) = 3 x " Las antiderivadas no son únicas, ya que la derivada derivada de una constan constante te es cero. cero. Si F ( x) es una antiderivada de f ( x ) , también F ( x) + c para todo número c.
E#emplo$.- Si f ( x ) = 3x , entonces alunas antiderivadas son! F ( x) "
3 2 3 3 3 3 x + #$ F ( x) " x 2 + %$ F ( x) = x 2 $ F ( x) " x 2 & %$ F ( x) " x 2 - # 2 2 2 2 2
E#emplo%.- la derivada de
3 2 3 x es 3 x , x 2 es una antiderivada de 3 x , sin embaro, no 2 2
es la única como lo muestra el e'emplo %. e(presión ón E#emplo &'( La e(presi
3 2
x 2 + c descri describe be todas las antide antideriv rivada adass de 3 x , podemos
deno denota tarr como como la anti antide deri riva vada da m)s m)s ene enera rall de 3 x como indefinida de ( respecto a ( es decir!
3
3 xdx " x � 2
2
3 xdx , que se lee *interal �
+c
E#emplo ).-Si las representamos r)ficamente en un mismo plano, se tiene!
2
LA INTEGRAL INDEFINIDA Definición: La función F : I � R , se llama antiderivada o primitiva de f : I � R, Si: Una antiderivada de una función f es una función F tal que F '( x) = f ( x)"x �I o en forma equivalente, en notación diferencial, dF = f ( x) dx ¿u!les son las antiderivadas de f ( x) = 3 x " Las antiderivadas no son únicas, ya que la derivada derivada de una constan constante te es cero. cero. Si F ( x) es una antiderivada de f ( x ) , también F ( x) + c para todo número c.
E#emplo$.- Si f ( x ) = 3x , entonces alunas antiderivadas son! F ( x) "
3 2 3 3 3 3 x + #$ F ( x) " x 2 + %$ F ( x) = x 2 $ F ( x) " x 2 & %$ F ( x) " x 2 - # 2 2 2 2 2
E#emplo%.- la derivada de
3 2 3 x es 3 x , x 2 es una antiderivada de 3 x , sin embaro, no 2 2
es la única como lo muestra el e'emplo %. e(presión ón E#emplo &'( La e(presi
3 2
x 2 + c descri describe be todas las antide antideriv rivada adass de 3 x , podemos
deno denota tarr como como la anti antide deri riva vada da m)s m)s ene enera rall de 3 x como indefinida de ( respecto a ( es decir!
3
3 xdx " x � 2
2
3 xdx , que se lee *interal �
+c
E#emplo ).-Si las representamos r)ficamente en un mismo plano, se tiene!
2
este con'unto de r)ficas se le conoce como una familia de antiderivadas, con una derivada en común, que es f ( x) = 3 x . Si F ( x) es una antiderivada de f ( x) , entonces F ( x) + c se llama la inte*ral indefinida de f ( x) . l ad'etivo indefinida se usa porque la constante c es arbitraria o indefinida.
Defi De fini nici ción ón:: Si F es una una anti antide deri riva vada da de f , entonces se e+presa de la forma: f ( x )dx = F ( x) + c si sólo si F '( x) = f ( x) � l cual se lee el inte*ral indefinido de f ( x ) respecto a x es F ( x) + c. l s/mbolo "
"
se conoc conoce e como como el s-m.olo de inte*ración , f ( x ) es el inte*rando y c es la
3 xdx se lee el interal indefinido de 3 x respecto a constante de inte*ración. 'emplo! � x .
Tema: Re*las de inte*ración(Formulas inte*ración(Formulas .!sicas de inte*ración %.- � x dx = n
xn
1
+
n +1
+
c,
n �-1
(1)dx = � dx = x + c #.- � kf ( x)dx = k � f ( x )dx .- �
k e s una constante
( f ( x) �g ( x ))dx = � f ( x )dx �� g (x )dx 0.- � e x dx = x + c 1.- �
2.-
1
dx = ln x + c; � x
x>0
/.servación$: c, k son constants d ( f ( x ) = f ( x) + c /.servación %: �
Sea u = f ( x) , una función diferencia.le en x u n +1 3.- u du = + c, n +1
n
n -1
3
du
4.- � = Ln u + c; u �0 u
eu du = eu + c 3.- �
5.- � a du =
au
u
ln a
du
%6.- �2
u + a2 du
%%.- �2
u -a
%#.-
2
du
� a -u 2
2
+ c, a > 0, a �1 1
=
u arctg ( ) + c a a
=
1 2a
=
ln
1 2a
ln
u-a u+a u+a u-a
+c
+c
7.-ncuentre y su'eta a las condiciones dadas a8
dy
= 3 x - 4 $ y( -1) =
13
b8
dx 2 2 c8 y " = - x - 2 x; y '(1) = 0, y (1) = 1
dy
= x 2 - x $ y (3) = 4
dx d8 y "' = 2 x; y "(-1) = 3, y '(3) = 10, y (0) = 2
e8 y "' = e x + 1; y "(0) = 1, y '(0) = 2, y (0) = 3 d8 y ' = 4 / x y (4) = 10; x = 9 77.-n los siuientes e'ercicios recordar!
La función demanda: 9antidad demandada 0
f :precio
por unidad8 es decir! q = f ( p )
c = f (q) s la función de costo total cuando se produce y se comerciali;a q unidades de
un producto dc dq
=
costo marinal es la ra;ón de cambio de c con respecto a q :se interpreta como el
costo apro(imado de una unidad adicional producida8 c=
c
s el costo medio por unidad
q r = f (q ) s la función de inreso total cuando se venden q unidades de un producto dr dq
=
7nreso marinal es la ra;ón a la que el inreso cambia con respecto a las unidades
vendidas :se interpreta como el inreso apro(imado recibido al vender una unidad adicional de producción8 dp dq
= ra;ón de cambio de p con respecto a q
7nreso " :precio8 x : cantidad8,
r = pq
4
n los problemas a8, b8 y c8 encuentre la función de demanda iual a <. dr
a.-
=
dq
dc
0.7
b.-
dr dq
= 275 - q - 0.3q 2
c.-
dr dq
= 10000 - 2(2q + q3 )
es una función de costo marinal y los costos fi'os est)n indicados entre llaves. n los
dq
problemas a y b, encuentre la función de costo total. n los problemas c y d, encuentre el costo total para el valor indicado de q. a.d.-
dc dq dc dq
= 1.35; { 200} , b.-
dc dq
dc
= 2q + 50; { 1000} $ c.-
dq
= 0.09q 2 - 1.2q + 4.5; { 7700} ; q = 10
= 0.000102q 2 - 0.034q + 5; { 10,000} ; q = 100
77.-=etermine las interales indefinidas
a.- 5a
x 6 dx
3.2 x - 2.3 x
e.- (nx )
2 1 + 2 x
i.-
2
(1 + x 2 )
x
x
p.- x s.-
2x
dx
x - x 3 e x + x 2 x 3
2 xe v.- �
d.-
dx
1
f.- �2
.- (r + 1)(r + 2r + 5) 2 dr >.2
x - 4
dx
'.-
ln( x)
e
dx
x
1
y 3 (2 y + )dy ?.- �
dx
l.-
y
dx
m.-
q.-
- x
n.-
+ ex
g ' ( x)
( g ( x))
2
t.- �2
u.-
dx x - 6 x + 5
@.- ( x + 1)( x + 2 x + 5) 2 dx �
dx
x 2 + 1
dx
e
x
;.- � dx x
1 + a 2 x
ax + b
o.- px + p dx
dx
r.- x x ( Ln ( x) + 1)dx
2 x - 6
2
a x Ln( a )
dx
1
2 x ln( x 2 + 1)
(.- �
dx
( Ln ( x ) + 1)dx
x 2 -1
5
dy
1 + ln( x)
3
c.- ( 2 x - 3)
dx
3 x 2 - 5 x + 6
x 2 + 3x - 2
ll.-
dx
( 6 x - 5)
2
�
x
1- n
n
x x dx 4
-
dx
2 x
x
3
b.-
2
e
x
a + be
y.- �
x
1
x (ln x) 2
dx
dx
10 x3 - 5 x
;.- � 4
x - x + 5 2
dx
777.-Aesolver los siuientes problemas a.- Un fabricante >a determinado que la función de costo marinal es!
5
dc dq
= 0.003q 2 - 0.4q + 40 , donde q es el número de unidades producidas. Si el costo
marinal es de B#3.16 cuando q"16 y los costos fi'os son de B1666, ¿9u)l es el costo promedio de producir %66 unidadesC b.-Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiar) a ra;ón de 2 4 + 5t 3 personas por mes. Si la población actual es %6,666. ¿cu)l ser) la población dentro de 4 mesesC c.-Se estima que dentro de t aDos la población de cierta comunidad a la orilla de un lao cambiar) a ra;ón de 0.6t 2 + 0.2t + 0.5 miles de personas al aDo. Los ambientalistas >an encontrado que el nivel de contaminación del lao aumenta a ra;ón de apro(imadamente 1 unidades por %666 personas. ¿n cu)nto aumentar) la contaminación del lao durante los pró(imos # aDosC d.-se estima que dentro de x meses, la población de cierta ciudad cambiar) a ra;ón de p '( x) = 2 + 1.5 x personas al mes. La población actual es 1 666 ¿9u)l ser) la población dentro de 5 mesesC e.- Un fabricante descubrió que el costo marinal es 6q + 1 dólares por unidad cuando se producen q unidades. l costo total :incluidos los astos indirectos8 de producir la primera unidad es B%6. ¿9u)l es el costo total de producir las primeras %6 unidadesC -1
f.-Un fabricante estima que el inreso marinal es 100q 2 dólares por unidad cuando el nivel de producción es q unidades, y el costo marinal correspondiente es 6.0q dólares por unidad. Supona que la utilidad del fabricante es B1#6 cuando el nivel de producción es de %2 unidades. ¿9u)l es la utilidad del fabricante cuando el nivel de producción es de #1 unidadesC .-La utilidad marinal : la derivada de la utilidad8 de cierta compaD/a es 100 - 2q dólares por unidad cuando se producen q unidades. Si la utilidad de la compaD/a es de B366 cuando se producen %6 unidades, ¿9u)l es la utilidad m)(ima posible de la compaD/aC >.-Supona que el inreso marinal obtenido de la producción de x unidades de cierto art/culo es R '( x) = 240 - 4 x dólares por unidad. ¿9u)l es la función de inreso R( x) C Supona que R(0) = 0 . ¿Eué precio se paar) por cada unidad cuando el nivel de producción sea x = 5 unidadesC i.-Una compaD/a determina que el inreso marinal de la producción de unidades es 11 - x R '(x ) = cientos de dólares la unidad, y el costo marinal correspondiente es 14 - x C '( x) = 2 + x + x2 . cientos de dólares la unidad. ¿n cuanto cambia la utilidad cuando el nivel de producción sube de 1 a 5 unidadesC '.- l propietario de la cadena de restaurante de perros calientes =o Fome estima que el precio en dólares de su nuevo producto, Geenie Habies, cambia a ra;ón de !
6
p '(x) =
30 x (3 + x)2
cuando se ofrecen (:miles8 de @eenies por compra. l precio actual es
B#.#1 por @eenie. -Ialle la función oferta p ( x) . ¿ qué precio se ofrecer)n 0666 @eenies :("08 adicionalesC -¿9u)ntos Geenies m)s se ofrecer)n a BC
II'( INTEGRAI1N 2/R 2ARTES! 9onsideremos u = f ( x) y v = g ( x) dos funciones diferenciales en la variable x . =e la fórmula para la diferencial de un producto de dos funciones se tiene d (uv) = udv + vdu � udv = d (uv ) - vdu , udv = uv - � vdu �
interando se tiene!
Iallar las siuientes interales! %.- Ln( x)dx #.- x.2
x
.- x
dx
2
0.-
e 3 x dx
- x
x
3
1.-
.e
3
dx
x 2 Ln( x )dx
x 1 - xdx 5.- �
2.- Ln
2
( x )dx
x 3e x dx %6.- �
3.-
Ln( x ) x
3
dx 10
3 2 %%.- � x ( x - 1) dx
2
x 3e x dx 4.- � x 2 e x dx %#.- �
%.-Un fabricante descubrió que el costo marinal es (0.1q + 1)e0.03 q dólares la unidad cundo se producen q unidades. Si el costo total de producir %6 unidades es de B#66, ¿9u)l es el costo total de producir las primeras #6 unidadesC %0.-=espués de t >oras de >oras en el traba'o, un traba'ador puede producir 100te 0.5t unidades por >ora. ¿9u)ntas unidades puede producir el traba'ador durante las primeras >orasC %1.-=espués de t semanas, las contribuciones como respuesta a una campaDa local de recolección de fondos lleaban a una ra;ón de 2000te -0.2t dólares a la semana.¿ 9u)nto dinero se recolectó durante las primeras 1 semanasC %2.-Se proyecta que dentro de t aDos la población de cierta ciudad cambiar) a ra;ón de t ln t + 1 miles de personas al aDo. Si la población actual es # millones, ¿9u)l ser) la población dentro de 1 aDosC
7
III'( INTEGRAI1N 2/R DES/32/SII1N EN FRAI/NES 2ARIALES stamos interesados en interar funciones racionales propias, es decir de la forma P( x)
dx � Q( x )
=onde el rado de P( x) < Q( x) . Lueo precisamos escribir
P ( x) Q( x )
como la suma de
fracciones parciales, y lueo el denominador Q( x) factori;ar como un producto de factores lineales y cuadr)ticos.
aso A Q( x) = ( x - a1 )( x - a2 )...( x - an ) se descompone en factores lineales y ninuno se
repite, lueo! P( x) Q( x)
=
A1 x - a1
A2
+
x - a2
+
A3 x - a3
+ ... +
An x - an
, Ai son constantes
'emplo! 9alcular la interal indefinida (4 x - 2)
a8 �3
x - x2 - 2 x
b8
dx
x 2
dx � x + x - 6 2
aso 4 Q( x) = ( x - ai ) p ( x - a2 )...( x - an ) se descompone en factores lineales y alunos se
repiten, lueo! P( x ) Q ( x)
=
A1 ( x - ai ) p
+
A2 ( x - ai )
+ ... p -1
A p -1 ( x - ai )2
+
Ap ( x - ai )
+
Ak x - a2
+ ... +
An x - an
,
Ai son constantes
'emplo! 9alcular la interal indefinida
8
( x3 - 3)
a8 �2
x ( x - 4)
3
b8
dx
� x 3
1 dx 2 + 3x
aso Los factores Q( x) son lineales y cuadr)ticos y ninuno de los factores se repite, tener en cuenta que al factor x 2 + mx + n en el denominador le corresponde una fracción parcial de la forma
Ax + B x + mx + n 2
'emplo! 9alcular la interal indefinida dx
a8 � 3
2 x + x
b8
4 x 3 - 3 x 2 + 2 x - 3
� ( x
2
+ 3)( x + 1)( x - 2)
dx
aso D Los factores de Q( x) son lineales y cuadr)ticos y alunos de los factores cuadr)ticos se repiten. Si ( x 2 + mx + p)n es un factor cuadr)tico de Q( x) que se repite n veces Lueo escribiremos las n fracciones parciales de la siuiente manera! A1 x + B1 ( x 2 + mx + p )n
+
A2 x + B2 ( x 2 + mx + p )
+ ... + n -1
An x + Bn ( x 2 + mx + p )
'emplo! 9alcular la interal indefinida 5 x 4 + 9 x 2 + 3 dx x( x 2 + 1)2
a8 �
b8
3 x3 + 8 x
� ( x
2
+ 2)2
dx
9
INTEGRAI1N 2/R DES/32/SII1N EN FRAI/NES 2ARIALES Iallar las siuientes interales!
%.-
dx
( x + a)( x + b) 5 x 2 + 6 x + 9
( x - 3)
2
.( x + 1) 2
x + 11
0.- �2
x + x - 12
2 x - x - 12 x
dx
x( x + 1)
2
.-
dx
( x - 1) dx
1.- �
dx
17 x - 12
3.- �3
#.-
x ( x 2 - x - 2)
4.- �2
dx
dx
x - 5 x + 6
3 x3 + x
2.- �2
( x + 1) 2
x 2 + 8
5.- �3
x + 4 x
dx
dx
I5'(2R/4LE3AS DI5ERS/S %6.-Supona que la función de costo marinal para el producto de un fabricante est) dado por! 100q 2 - 4998q + 50 , donde c es el costo total en dólares cuando se producen q = dq q 2 - 50 q + 1 unidades. dc
a. =etermine el costo marinal cuando se producen 16 unidades. b. Si los costos fi'os son de B%6,666, encuentre el costo total de producir 16 unidades %%.- si!
dr dq
=
200 ( q + 2)2
es una función de inreso marinal. ncuentre la función de
demanda %#.- si!
dr dq
=
900 (2q + 3)3
es una función de inreso marinal. ncuentre la función de
demanda 10
dc
%.- Si!
dq
=
20
q+5
es una función de costo marinal. ncuentre la función de costo
total si los costos fi'os son de B#666
Función de consumo La función de consumo C = f ( I ) e(presa una relación entre el inreso nacional total I y el consumo nacional total C .Usualmente, tanto I como C se e(presan en miles de millones de dólares e I se restrine a cierto intervalo. La propensión marinal al consumo se define como la ra;ón de cambio del consumo con respecto al inreso.
2ropensión mar*inal al consumo"
dC dI
Si suponemos que la diferencia entre el inreso I y el consumo C es el a>orro S , entonces! S = I - C l diferenciar ambos miembros de la ecuación con respecto a I obtenemos! dS
=
dI
d dI
( I ) -
d dI
(C ) = 1 -
dC dI
Lueo obtenemos la propensión mar*inal al a6orro que indica qué tan r)pido cambia el a>orro con respecto al inreso. propensión mar*inal al a6orro0$(propensión mar*inal al consumo %0.-
dC dI
=
1 I
representa la propensión marinal al consumo. ncuentre la función
de consumo su'eto a la condición C (9) = 8 %1.-
dC dI
=
3 4
1
-
6 I
representa la propensión marinal al consumo. ncuentre la
función de consumo su'eto a la condición C (25) = 23 %2.-
dC dI
=
3 4
1
-
2 3I
; representa
la propensión marinal al consumo. ncuentre la
función de consumo su'eto a la condición C (3) =
11 4
%3.-La propensión marinal al a>orro en cierto pa/s est) dada por! dS dI
=
5 ( I + 2) 2
,
donde S e I representan el a>orro y el inreso total nacional, respectivamente, y est)n medidos en miles de millones de dólares . Si el consumo total nacional es de 11
B3.1 mil millones cuando el inreso total nacional es de B4 mil millones, ¿ para qué valor o valores de I el a>orro total nacional es iual a ceroC
INTEGRAI1N DEFINIDA l concepto de inte*ral definida est) relacionado con el valor que determina el )rea ba'o la curva dada por una función f ( x ) en el intervalo [ a, b ] . :vea la r)fica8 Uno de los primeros pasos para llear a este concepto fue desarrollado por Aiemann, quien abordo el c)lculo del )rea con particiones rectanulares, como se muestra en la siuiente r)fica.
Suma de Riemann Si f es una función continua, la suma i;quierda de Aiemann con n subdivisiones iuales para f sobre el intervalo [ a, b ] se define como siue!
ace una partición del intervalo [ a, b ] en n partes iuales. D x =
b-a n
x0 = a x1 = a + Dx x2 = a + 2Dx
M xi = a + iDx
M
a
JJJJJJJJ: 8
xn = a + nDx = b
Lueo, se suma los n productos f ( x0 ) Dx, f (x1 )Dx, f (x2 )Dx ,...., f (xn -1 )Dx , para
12
obtener la suma de Aiemann n -1
n
i =0
i =1
ntonces, Suma :7;quierda8 de Aiemann" � f ( xi +1 )Dx = �f ( xi )Dx La suma i;quierda de Aiemann da el )rea visto en
a
.
7REA 4A8/ 9NA 9R5A 7rea como l-mite de una suma Si f ( x) es continua y satisface f ( x) 0 en el intervalo a x b , entonces la reión ba'o la curva y = f ( x) y sobre el intervalo a x b tiene )rea! A( R) = lím[ f ( x1 ) + f ( x2 ) + K + f ( xn )Dx n ��
donde
x
es el e(tremo i;quierdo de '-ésimo subintervalo, si el intervalo
se divide en n partes iuales de lonitud D x = A( R) = l!
n
�f ( x )Dx
n ��
i
;
Dx =
i =1
b-a n
;
a x b
b-a n
xi = a + iD x
LA INTEGRAL DEFINIDA Sea f ( x) es continua en el intervalo partes iuales, cada una de lonitud
a x b . Si este intervalo se subdivide en n b-a D x = y se establece que x sea un n
número seleccionado del '-ésimo intervalo, para '"%, #, J,n, entonces la interal b
definida de
f ( x)
sobre
a x b
se denota mediante
f ( x) dx
y est) dada
a
por el l/mite
[ f ( x1 ) + f ( x 2 ) + + f ( xn )Dx f ( x) dx = lím n b
a
TE/RE3A F9NDA3ENTAL DEL 7L9L/'( Si la función f ( x ) es continua en el intervalo a �x �b , entonces b
� a
b
f ( x )dx = F ( x ) a = F (b ) - F (a )
13
=onde F ( x) es cualquier antiderivada de f ( x ) en a �x �b
2ropiedades de la inte*ral definida b
%.- Si f es continua y f ( x) �0 en Ka, b, entonces
f ( x) dx puede interpretarse � a
como el )rea de la reión limitada por la curva y = f ( x) , el e'e ( y las l/neas x = a # x = b b
b
a
a
kf ( x)dx = k � f ( x )dx , k " constante #.- � b
b
b
a
a
a
[ f ( x) �g ( x)dx = � f ( x )dx �� g ( x )dx. ..- �
0.-Si f es continua sobre un intervalo I y a, b, # c est)n en I, entonces c
b
c
a
a
b
f ( x) dx = � f ( x) dx + � f ( x) dx. � b
f ( x) dx, donde a < b. 1.-
a
a
b
f ( x)dx = - � f ( x)dx �
7rea .a#o una curva Si f ( x) es continua y
f ( x) 0 en
el intervalo
a x b ,
entonces la reión ba'o la b
curva
y = f ( x)
en
a x b
tiene como )rea!
A = f ( x)dx a
7rea entre dos curvas Si f ( x) y g ( x) son continuas en el intervalo a x b con f ( x) g ( x) , y si A es la reión acotada por las r)ficas de f y de y las rectas verticales ( " a y ( " b, entonces b
Mrea de A " [ f ( x) - g ( x)dx a
14
Nbservación! Si la reión R es limitada por las curvas x = g ( y) , x = !( y) tal que g ( y ) >= !( y ) " y [ c, d ] y las rectas y = c, y = d , entonces, el )rea de la reión R d
est) dada por la e(presión! A( R) = ( g ( y ) - !( y))dy c
E#ercicios Aecordar! n
%8
n
k = nk , ? es constante
#8
i =1
1=1 n
08
i=
n ( n + 1)
n (n + 1) 2
3 i =
2
4
i =1
n
18
i4 =
2
n
n( n + 1)( 2 n + 1)
i =1
6
2 8 i =
n( n + 1)(6n 3 + 9n 2 + n - 1) 30
i =1
.- valúe la sumatoria indicada. 5
%.- �(i + 4) i =1
15
#.- �(5 - 2k )
0.- �(3n - 7) 2
n=2
4
( -1) k (k + 1)
1.- �
2k
k = 3
6
450
3- �(n)
4.- �3i
n =1
.- �(-1)
=1
k =12
3
10
2
i =1
3
( -1) -1 (1 - 2 )
=1
2.- � 8
5.- �( ) 2 =1
2
%6.- Una compaD/a tiene un activo cuyo valor oriinal es de B ,#66 y no tiene valor de recuperación. l costo de mantenimiento anual es de B%66 y se incrementa B%66 anualmente. =emuestre que el costo promedio total anual 9 en un periodo de n aDos es. ! C=
3200 n
+ 50(n + 1) .
ncuentre el valor de n que minimi;a a 9.¿9u)l es el costo promedio anual para este valor de nC H.- allar el 7rea como l-mite de una suma
$'(Ialle el )rea de la reión acotada por la curva y = - x 2 + 4 x - 3 y el e'e x #.-ncontrar el )rea de la reión limitada por la curva y = x2 + 2 x + 2 , el e'e x y las l/neas x = -2 y x = 1 .-Iallar el )rea de la reión A acotada por y = ( x - 3)2 + 2 , el e'e O y las rectas x "6 , x "2.
15
0.-Iallar el )rea de la reión A acotada por y = ( x + 3)2 , el e'e x y las rectas x "-, x "6 1.-Iallar el )rea de la reión A comprendida por y = x 2 , y = 4 - 3x 2 . 2.- .-Iallar el )rea de la reión A acotada por y = x 2 + 2 x + 1 , el e'e O y las rectas x "-% , x ". 3.-Iallar el )rea de la reión A acotada por y =
x 2 4
+ 1 , el e'e O y las rectas x "6 , x
". 4.- Iallar el )rea de la reión A acotada por y = 2 x , el e'e O y las rectas x "6 , x "0. 5.-valué la interal definida dada tomando el l/mite de una suma. Use el e(tremo derec>o de cada subintervalo. sboce la r)fica, en el intervalo dado, de la función a interar. 3
2
1
%6.-ncuentre
-4 xdx c8 �
( x + 2) dx b8 �
( x + x) dx a8 � 0 2
0
1
3
2
-1
0
g ( x) dx sin usar l/mites, donde f ( x) dx y � �
� � 1, s! x �1 � 2 - x, s! 1 �x �2 f ( x) = � � x � -1 + , s! x > 2 � 2
� 2 4 x , � � g ( x) = � � 2 x , �
1 0 �x � 2 1 s! �x �2 2
s!
%%.-valúe la interal definida -1
2 x ( x - 1) dx (3" - " - 1)d" b8 � a8 � 2
-2 1
e -1
1
2
3
3
c8
0
2 x3 + x
f8 �2
dx 4 + + x x 1 0
1
dx � x + 1 0
3
( x + 1)e 8 �
1
1
2 x +2 x
dx
>8
1
q q + 3dq d8 � eln x
dx i8 � � x 1+ e x
-1
3
3
2
2
1
3
1
x dx e8 �
-1 4
1
1
2
-2
4
dx
x - 2 dx '8 � -4
f ( x) dx = 3 , encuentre � f ( x) dx = 4 y � f ( x) dx %#.-Si �
%.-l economista a establecido una ley emp/rica de distribución de inresos superiores que da el número P de personas que reciben ( o m)s dólares. 16
Si
d# dx
= - Ax - B , donde y H son constantes, obtena una interal definida que dé
el número total de personas con inresos entre a y b, siendo aQb. %0.-
�l (t )dt
da el número esperado de ente en la población que tiene entre
x
e(actamente ( y (+n aDos, inclusive. Si l ( x) = 10000 100 - x , determine el número de ente que tiene e(actamente entre 2 y 20 aDos inclusive. =é su respuesta al entero m)s cercano ya que respuestas fraccionarias no tiene sentido. %1-La función de costo marinal de una fabricante es !
dc dq
= 0.2q + 3 .
Si c est) en dólares, determine el costo de incrementar la producción de 26 a 36 unidades. %2.- La función de costo marinal de una fabricante es !
dc dq
= 0.003q 2 - 0.6q + 40 .
Si c est) en dólares, determine el costo de incrementar la producción de %66 a #66 unidades. dr 1000 %3.-La función de inreso marinal de un fabricante es! = . Si r est) en dq 100q dólares, encuentre el cambio en el inreso total del fabricante si la producción aumenta de 066 a 566 unidades. %4.-La función de inreso marinal de un fabricante es!
dr dq
= 250 + 90q - 3q 2 . Si r
est) en dólares, encuentre el cambio en el inreso total del fabricante si la producción aumenta de %6 a #6 unidades. %5.-Use la interal definida para encontrar el )rea de la reión limitada por la curva, el e'e x y las l/neas dadas. a8 y = 4 x, x = 2
b8 y = 3x + 2, x = 2 x = 3
c8 y = x 2 , x = 2 x = 3 f8 y =
1
8 y = x + 9, x = -9, x = 0
>8 y = x3 , x = -2, x = 4
, x = 2, x = 3 x 2 i8 y = 2 x - x2 , x = 1, x = 3
'8 y = x , x = -2 x = 2
?8 y = 2 x x = 0, x = 4
l8 y = 2 x 2 - 8x, x = 1, x = 3
d8 y = x 2 + 9, x = - 1, x = 2 e8 y = x 2 - 2 x, x = -3, x = -1
#6.-ncuentre el )rea de la reión limitada por las r)ficas de las ecuaciones dadas. 17
a8 y = x 2 , y = 2 x
b8 y = 4 - x 2 , y = - 3x
f8 4 x + 4 y + 17 = 0 y =
d8 2 y = 4 x - x 2 , 2 y = x - 4 e8 y = x3 , y = x 8 y =
2 x
, el e'e ( y las rectas ("-# y ("%
1 + x i8 y = 4 x y = x3 + 3x 2 2
c8 y 2 = x, y = x - 2 1 x
>8 y = 2(1 - x 2 ), y = x 2 - 1 x = - 2, x = 2
'8 f ( x) = 3x3 - x 2 - 10 x = y, g ( x ) = - x 2 + 2x = y
#%.-E+cedente de productores consumidores 7ndica el precio p por unidad al que un fabricante vender) :o suministrar)8 q unidades. l diarama también muestra la curva de demanda para el producto. 7ndica el precio p por unidad al que los consumidores comprar)n : o demandar)n8 q unidades. l punto (q0 , p0 ) en el que las curvas se intersecan se llama punto de equilibrio. qu/, p0 es el precio por unidad al que los consumidores comprar)n la misma cantidad q0 de un producto que los productores desean vender a ese precio. n resumen, p0 es el precio en el que se presenta estabilidad en la relación productor-consumidor.
+ $u%&a e
$*
oe%ta
p0 $u%&a e eana
+*
q0
18
%8 Feométricamente véase la fiura, el e+ecedente de los consumidores se representa por el )rea entre la l/nea p = p0 y la curva de demanda p = f ( q) entre q = 0 y q = q0
sta interal, ba'o ciertas condiciones, representa la anancia total de los consumidores que est)n dispuestos a paar m)s que el precio de equilibrio. sta anancia total se llama e(cedente de los consumidores y se abrevia S. Si la función de demanda est) dada por p = f ( q) , entonces S q0
�
CS = [ f (q ) - p0 dq
0;cantidad total
0
pa*ar por q0 unidades= ( ; *asto real del consumidor en q0 unidades= #8 Feométricamente véase la fiura, el e+ecedente de los 2roductores se representa por el )rea entre la l/nea p = p0 y la curva de oferta p = g ( q) entre q = 0 y q = q0
sta interal, ba'o ciertas condiciones, representa la anancia total de los productores que est)n dispuestos a suministrar el producto a precios menores que p0 . sta anancia total se llama e+cedente de los productores y se abrevia 2S . Si la función de oferta est) dada por p = g (q) , entonces 2S q0
�
PS = [ P0 - g (q )dq
0;*asto real del consumidor por q0 unidades=(;cantidad
0
total
50
,
p = g ( q) =
q+5 p = f (q ) = 100(10 - q ),
q
+ 4.5 10 p = g (q ) = 80(q - 1) q
d8 p = f (q ) = 100 - q , p = g (q ) = - 10 2
##.-La ecuación de demanda de un producto es q = 10 100 - p . 9alcule el e(cedente de consumidores ba'o equilibrio del mercado, que ocurre a un precio de B40.
19
#.- La ecuación de demanda para un producto es
p = 60 -
50q 2 q + 3600
y la
ecuación de oferta es p = 10 ln(q + 20) - 26 . =etermine el e(cedente de consumidores y el de productores ba'o equilibrio del mercado. Aedondee sus respuestas al entero m)s cercano.
INTEGRAI1N A2LIADA A LAS AN9ALIDADES $
A =
f (t )e �
- rt
dt >';$=
0
=onde A es el valor actual de una anualidad continua a la tasa anual r :compuesta continuamente8 durante R aDos, si un pao en el tiempo t es a la tasa de f (t ) por aDo. =ecimos que la ecuación :%8 da el valor actual de una corriente continua de inreso. ace un pao en el tiempo t, entonces tiene un cierto valor al final del periodo de la anualidad, esto es ,; T(t 8aDos después. ste valor es! :9antidad paada8+ :interés sobre este pao durante R-t aDos8. Si S es el total de esos valores para todos los paos, entonces S se llama monto acumulado de una anualidad continua y est) dada por la siuiente fórmula. $
S=
f (t )e �
r ($ - t )
dt
0
=onde S es el monto acumulado de una anualidad continua al final de R aDos a la tasa anual r :compuesta continuamente8, cuando un pao al tiempo t es a la tasa de f (t ) por aDo. #0.-ncuentre el valor presente, al dólar m)s cercano, de una anualidad continua a un interés anual de r durante R aDos, si el pao en el tiempo t es a la tasa de f (t ) dólares por aDo, dado que! a8 r = 0.06, $ = 10, f (t ) = 5000 b8 r = 0.05, $ = 8, f (t ) = 200t #1 ncuentre el monto acumulado, al dólar m)s cercano, de una anualidad continua a un interés anual de r durante R aDos si el pao en el tiempo t es a ra;ón de f (t ) dólares al aDo, dado que a8 r = 0.06, $ = 10, f (t ) = 400 b8 r = 0.04, $ = 5, f (t ) = 40t
5AL/R 2R/3EDI/ DE 9NA F9NI1N l valor medio de una función continua f ( x ) en el intervalo a �x �b est) dado por la interal definida! %& =
1 b-a
b
f ( x) dx � a
20
#2.-La utilidad < : en dólares8 de un neocio est) dada por! p = p (q) = 396q - 2.1q 2 - 400 , donde q es el número de unidades del producto vendido. ncuentre la utilidad promedio sobre el intervalo de q"6 a q "%66. #3.-Supona que el costo c : en dólares8 de producir q unidades de un producto est) dado por! c = 4000 + 10q + 0.1q 2 . ncuentre el costo promedio sobre el intervalo de q = 100 a q = 500 . #4.-Una inversión de B666 ana interés a una tasa anual de %6 compuesto continuamente. =espués de t aDos, su valor S :en dólares8 est) dado por S = 3000e0.10 t . ncuentre el valor promedio de la inversión en dos aDos. #5.-ncuentre el valor promedio de la función f (t ) = t t 2 + 9 $ K6,0.
21
-/$- -$. AFL =L RA<TN7= AFL = S7V
Sea a>ora y " f:(8 una función continua en el intervalo Ka, b . Se trata de usar el c)lculo numérico para >allar el valor apro(imado de la interal de f en el intervalo Ka , b. =ividimos el intervalo en n sub. 7ntervalos iuales de lonitud. !=
b-a n
ntonces los e(tremos de cada intervalo son! x0 = a;
x1 = x0 + !;
x2 = x0 + 2!;
Sean los valores de f en
x3 = x0 + 3!,...xn = x0 + n! = b
x 0 , x1 , x 2 ,...., x n -1 , x n , ,
y 0 = f ( x 0 ), y1 = f ( x1 ), y 2 = f ( x 2 ),...... y n -1 = f ( x n -1 ), y n = f ( x n ) .
=eseamos encontrar
una fórmula para un valor apro(imado de la interal.
REGLA DEL TRA2E?/IDE Feométricamente, la interal definida se interpreta como el )rea de una reión ba'o una curva, con esta idea, los productos !y representan )reas de rect)nulos de anc>o > y altura y :el número !y ser) neativo si y < 0 8. ntonces, una fórmula de b
apro(imación ser/a! f ( x ) dx !y 0 + !y1 + !y 2 + .... + !y n -1, , a
b
otra apro(imación ser/a!
f ( x )dx !y
1
+ !y 2 + !y 3 + ... + !y n
a
obtenemos la fórmula apro(imada.
Re*la del Trapecio i
@ $ % '
xi
yi = f ( xi )
F
F yi
@' @' y0 $ $B y1 $
' ' n( $ n
xn
1
-
yn
1
-
$
$B yn
@' @'B yn Suma El valor de n es par o impar xn
yn
22
b
f ( x)dx �! 'uma Lueo! � a
Re*la del Simpson i
@ $ % ' ' ' n( $ n
yi = f ( xi )
xi
xn
1
-
xn
yn
1
-
yn
F
F yi
$ ) %
$B y0 )B y1 %B y2
)
)B yn
$
$B yn Suma
El valor de n es par b
!
f ( x) dx � 'uma Lueo! � a
3
23
%.-ncontrar un valor apro(imado para las siuientes interales. 9omparar resultados. 2
1
a8 �dx; n = 10 x 1
2
1
x dx b8 �
(ln x)dx n"4 n"%6 c8 �
3
1
0
#-Un tramo recto de carretera va a lo laro de un lao. Un topórafo que desea conocer el )rea apro(imada del lao, mide la distancia desde varios puntos de la carretera a las orillas cercanas y le'ana del lao y obtiene los siuientes valores. =istancia a lo laro de la carretera 6.6 6.1 %.6 %.1 #.6 #.1 .6 .1 0.6 :Wm8 =istancia a la orilla cercana:Wm8 6.1 6. 6.3 %.6 6.1 6.# 6.1 6.4 %.6 =istancia a la orilla le'ana :Wm8 6.1 #. #.# .6 #.1 #.# %.6 %. %.6 =ibu'e un croquis de la posición eor)fica. Lueo use la rela de simpson para estimar la me'or apro(imación del )rea del lao. =e su respuesta en forma de fracción . n ab%!cante est! su costo a%!nal ($) # su !n%eso a%!nal () ;a%a &a%!os n!&eles e ;%oucc!n (). /sas est!ac!ones se uest%an en la s!u!ente tabla: E unidades 6 #6 06 26 46 %66 %#6 Vc :B por #26 #11 #06 #06 #01 #16 #11 unidad8 VA:B por unidad8 0%1 26 #6 #56 #36 #26 #11 a8 9on la rela del Rrapecio, estime los costos totales variables de producción para %#6 unidades. b8 9on la rela de Simpson, estime el inreso total en la venta de %#6 unidades. c8 si se supone que la utilidad m)(ima ocurre cuando VA"V9, esto es, cuando q"%#6, estime la utilidad m)(ima si los costos fi'os son de B%166. dr
7nreso Varinal " dq , donde dc
r = f (q ) = es
9osto Varinal " dq , donde, c "
f ( q) es
función de inreso total
la función de costo total
La inte*ral impropia
para i8 x a , ii8 x b y iii8
Si f ( x) es continua entonces! +�
b
b
f ( x )dx = l! � f ( x )dx i8 � b �+� a
f ( x) es
b
f ( x)dx = l!" f ( x) dx iii8
ii8
r - r
-
a
+�
continua " x R
b
0
f ( x)dx = l! � f ( x )dx + l! � f ( x )dx � + a� �
�
b� �
a
0
Si el l/mite que define la interal impropia es un número finito, se dice que la interal convere. =e lo contrario se dice que la interal divere. /.servación: Si el l/mite es converente Si el l/mite no es diverente.
+
1
%8 x
dx A.%X# 3
#8
1
1
+
1
x
dx
A.div
8
1
2 x - 1
+
dx
A. div
3
08
( x
x 3
1
2
+ 2) 2
dx
A.%X5 +
+
= e -
- x
dx
28
0
5e
-2x
+
dx
38 x
2
e
-x
+
dx
0
48 x .e
-x2
dx
-
Aplicación a la Estad-stica Las interales impropias también aparecen en el estudio de probabilidad y estad/stica >erramienta importante en ciertas )reas de las ciencias sociales, administrativas, económicas y biolóicas. Se mostrara una breve introducción a esta aplicación.
5aria.les aleatorias continuas Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier valor de alún intervalo o intervalos y representa usualmente datos que son medidos, como alturas, pesos, distancias y periodos. n eneral, con una variable aleatoria continua nos interesa saber cu)l es la probabilidad de que caia dentro de un intervalo y no de que tome un valor particular. Definición Si ( es una variable aleatoria, entonces una función y = f ( x) se llama función de densidad : de probabilidad8 de ( , si y sólo si, tiene las siuientes propiedades! %,- f ( x) �0
�
#.-
f ( x) dx = 1 � -� b
f ( x )dx .- P(a �x �b) = � a
Definición Una función de densidad :de probabilidad8 f de una variable ( , donde x toma todos los valores en el intervalo Ka, b, tiene las siuientes propiedades! b
%.- f ( x) �0
f ( x) dx = 1 #.- � a
.-La probabilidad de x tome un valor entre c y d , que se escribe P(c �x �d ) , donde a �c �d �b , se representa por el )rea de la reión limitada por la rafica de f y el e'e x entre x = c y x = d .
P (c �x �d ) =
f ( x )dx � c
Yunción de densidad uniforme
1 , x B 'iA f x( ) = B - A en los dem)s casos 0 Yunción de densidad e(ponencial
ke-kx 'ix , 0 f x( ) = 0 'ix < 0 /.servación: i8Si x 0 es cualquier valor espec/fico de la variable aleatoria continua entonces! x0
P [ ( = x0
" P [ x0 ( x0 = f ( x)dx = 0 : P ( A) = 0 no implica x0
ii8 P [a ( b = P [a ( < b " P [a < ( b " P [a < x < b
A = ! =
( ,
n los siuientes problemas f:(8 es una función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria particular O. Utilice la interación para >allar las probabilidades indicadas! %.-Supona que ( es una variable aleatoria continua con una función de �1 � ( x + 1),s! 1 �x �3 densidad dad por. f ( x) = �6 � 0 a%a ot%os &alo%es � 3
a8 ncuentre p(1 < ( < 2) b8 ncuentre p( ( < 2.5) c8 ncuentre p ( ( � ) 2
x s! 0 = 2 #.- f ( x) = 2 0 en los 'e"
( 2)
b8 P (1
( 2)
c8 P ( ( 1)
1 - x10 e s! = 0 .- f ( x) = 10 0 s! = < 0 a8 P (0
( < + )
b8 P ( ( 2)
c8 P ( ( 5)
0.- onfia.ilidad de un producto ! La vida útil de las bombillas fabricadas por cierta compaD/a se mide mediante una variable aleatoria O cuya función de densidad de probabilidad es f ( x) = 0.01e -0.01 x , donde ( denota la duración :en >oras8 de una bombilla seleccionada aleatoriamente. a8¿9u)l es la probabilidad de que la duración de una bombilla seleccionada aleatoriamente esté entre 16 y 26 >orasC b8¿9u)l es la probabilidad de que la duración de una bombilla seleccionada aleatoriamente sea menor o iual a 26 >orasC c8 ¿9u)l es la probabilidad de que la duración de una bombilla seleccionada aleatoriamente sea mayor que 26 >orasC 1.-La vida de un electrodoméstico se mide mediante una variable aleatoria O cuya función de densidad de probabilidad es f ( x) = 0.2e -0.2 x , donde x denota la vida :en meses8 de un electrodoméstico seleccionado aleatoriamente. a8¿cu)l es la probabilidad de que un electrodoméstico seleccionado aleatoriamente dure entre %6 y %1 mesesC b8¿cu)l es la probabilidad de que un electrodoméstico seleccionado aleatoriamente dure menos de 4 mesesC.
c8¿cu)l es la probabilidad de que aleatoriamente dure m)s de un aDoC
un electrodoméstico
seleccionado
2.-Supona que el inreso familiar mensual en miles de unidades monetarias :u.m8 en una ciudad, es una variable aleatoria O con función de densidad de probabilidad!
0.4 x 'i 0 x 1 f x( ) = 0.17 (5 - x) 'i 1 x 5 9alcular el porcenta'e de familias con inresos mensuales de a lo m)s # mil u.m 3.-l tiempo de espera de un pasa'ero en un paradero de ómnibus en el intervalo K6,1: en minutos8 es una Z.a continua O cuya f.d.p es! �c � , s! 0 � x �5 f ( x) = �5 � 0 en ot%os casos �
a8 9alcule la probabilidad de que el pasa'ero espere a lo m)s # minutos, e(actamente # minutos. b8 9u)nto es el tiempo m)(imo de espera para que tome el ómnibus con probabilidad X1C 4.-
anual r compuesto continuamente, est) dada por!
p(t )e �
- rt
dt donde p (t ) es
la
0
utilidad anual en dólares en el tiempo t. 9on p(t ) = 240000 y r = 0.06 , evalúe esta interal.
2rof' Cctor erna 3a*uia
E9AI/NES DIFERENIALES =Y7P797[P! Una ecuación diferencial es la que contiene derivadas o diferenciales de una función desconocida. 9LS7Y7997[P = LS 9U97NPS =7YAP97LS a8 Ecuación Diferencial /rdinaria! Si la función incónita depende de una sola variable independiente, en la cual sólo aparecen derivadas ordinarias. 'emplo!
dy + 2 y = y 2e - x , y = f ( x ) es dx
la incónita
b8 Las ecuaciones diferenciales parciales son aquellas que contienen como incónita una función con dos o m)s variables independientes! 2" 2" 2" e'emplo! x 2 + y 2 + ) 2 = 0, one" = f ( x, y, ) ) :cuación diferencial de Laplace8
/rden de una Ecuación Diferencial /rdinaria ! sta dado por el orden mayor de su derivada. Grado de una Ecuación Diferencial /rdinaria ! st) dado por el e(ponente del mayor orden de su derivada. e'emplo!
dy dx
e'emplo! (
+ p( x ) y = q ( x ) es de primer orden y de %er. rado.
d 3 y
) 2 - 2( 3
dy
) 4 + xy = 0 es
dx dx 2 d y dy 'emplo! e x 2 + 'enx = x es dx dx
de tercer orden y de #do. Frado.
de #do. orden y de %er rado.
S/L9I1N DE 9NA E9AI1N DIFERENIAL /RDINARIA
Si y"Y:(8 es una función y f es la derivada de Y, es decir! donde! dy dx
dy dx
= F ' ' ( x ) = f ( x ) de
= f ( x)....(a ) es una ecuación diferencial ordinaria.
9omo Y es la antiderivada de f, entonces F:(8"Y:(8+c. donde c es una constante, es decir! d (* ( x )) = d ( F ( x) + c ) = F '( x )dx = f ( x )dx Lueo! y = *( x) = F ( x) + c.......( # ) Se llama solución completa o solución *eneral de la ecuación diferencial : a 8 -1
%.-Zerificar que las funciones y = x , y = x 2 ,(\6,satisfacen a la ecuación 1 2 diferencial
2 x 2 y"+3 xy '- y = 0 #.- Zerificar que las funciones y1 = x -2 , y 2 = x -2 Lenx, ,(\6,satisfacen a la ecuación diferencial
x 2 y"+5 xy'+4 y = 0 R7
= g ( x, y ) .podemos e(presar de la forma & ( x, y ) dx + # ( x, y) dy = 0 JJJ..:]8
%.-ZA7HLS S<AHLS! n este caso la ecuación:]8 se presenta de la forma! & ( x)dx + # ( y )dy = 0 , esto indica que *V es función sólo de (^ y *P es función sólo de y^ se resuelve, tan solo interando cada término. s/!
7.Aesuelva las ecuaciones diferenciales A. y = -
%. y ' = 2 xy 2 #. y ' = e x y 3 .
dy dx
+
xe x
=
0
1 2 x + C
& ( x)dx + # ( y )dy = C
0. y>= 1 + x + y + xy 2
A. arctgy - x -
2
1. e x - y dx + e y - xdy = 0
A. e2 x + e2 y
y
3. A.
dx
2
=
C
C
A. y = Cx
2. y>= , x, y > 0 x dy
=
x 2
3
- 3 x x 2 + 1 = 0
A. y = ( x 2 + 1) 2 + C
77.Aesolver cada una de las ecuaciones diferenciales su'etas a las condiciones dadas. %8. y ' = e x- y ; y(0) = 0 #8 (3 x + 2) y '- xy = 0; y (0) = 2
3
2
8 2 y ( x + 2 x + 1) 3
dy dx
=
3x 2 + 2
y +9 2
;
3
A. y =
2
48(3 x 2 + 2)2 4 + 31(3 x 2 + 2)2
y (0) = 0
3
08 x( y 2 + 1) dx = e x ydy; y (0) = 0 2
2
18 2
dy dx
=
xe - y x +3 2
, y (1) = 0
. y = Ln(
1 2
x 2 + 3)
2.-ncuentre la función de costo c = f (q) de un fabricante, dado que ( q + 1) 2
dc dq
= cq y el costo fi'o es e .
1
A. C = (q + 1)e q +1
3.-ncuentre f (2), ao ue f (1) = 0 # ue f ( x) sat!sace la ecuac!n !e%enc!al: dy dx
= xe x - y
recimiento decaimiento e+ponencial dS dt
= rS /sta ecuac!n !e%enc!al s!n!!ca ue cuano el !nte%?s es co;uesto en o%a
cont!nua, la %a@n e cab!o e la cant!a e !ne%o ;%esente en el t!e;o t es ;%o;o%c!onal a la cant!a ;%esente en el t!e;o t . Aa constante e ;%o;o%c!onal!a es r . +a%a ete%!na% la unc!n *, se %esuel&e la ecuac!n !e%enc!al ;o% el ?too e &a%!ables se;a%ables: ecue%e ue S (0) = P , esto s!n!!ca ue en el t!e;o t B0 el onto es !ual al ;%!nc!;al o tab!?n llaao ca;!tal. 
