Informe 3 - Movimiento Pendular (1)

“MOVIMIENTO PENDULAR”

INTRODUCCIÓN

En este este capí capítu tulo lo trat tratar arem emos os el tema tema del del movi movimi mien ento to pend pendul ular ar,, daremos una serie de explicaciones detalladamente, de las gráfcas del movimiento que se realizara durante esta práctica. En la naturaleza encontramos diversos enómenos; algunos relativos al cambio de posición, y entre ellos se encuentran los que acen, en orma recta; otros, en parábolas y otros en orma circular, un e!emplo de este "ltimo es el p#ndulo que simula la rotación de un cuerpo por medio de un e!e, e!e, el cual cual solo solo le perm permit ite e descr describ ibir ir un movi movimi mien ento to repet epetit itiv ivo o a su alrede alrededor dor.. $ero el p#ndul p#ndulo o solo solo nos muestr muestra a este este movimi movimient ento o en una porción, la cual comprende en su punto más ba!o y sus alrededores, que in%uenciado por la gravedad; nos permite darnos un concepto de otros enómenos y por qu# tienen ese movimiento; un e!emplo de ello es el movimiento realizado por los planetas alrededor del sol. Este Este movi movimi mien ento to ue ue estr estruc uctu tura rado do por por prim primer era a vez vez por por &a &alil lileo eo &alilei, el cual constr struyó varios ios p#ndulos para demostr strar sus razonamientos. '( a)os despu#s *uygens aplico el movimiento pendular al movimiento de los relo!es. +(( a)os despu#s eón -ucalt descubre que el movimiento pendular se debe principalmente al movimiento de rotación de la tierra. El p#ndulo simple es un sistema de sencilla uncionalidad y que consta de una masa colgada a un extremo de un ilo muy fno, el cual está su!eto a una superfcie inmóvil. a undamentación de este aparato radica principalmente en la capacidad de relacionar sus componentes ísicos con los actores de interacción externa, como lo es la gravedad. Espe Esperramos amos que que este ste ino inorrme sea sea de su agra agrad do así así tambi ambi#n #n transmitir la inormación que aprendimos aprendimos de esta práctica de laboratorio.

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INTRODUCCIÓN

En este este capí capítu tulo lo trat tratar arem emos os el tema tema del del movi movimi mien ento to pend pendul ular ar,, daremos una serie de explicaciones detalladamente, de las gráfcas del movimiento que se realizara durante esta práctica. En la naturaleza encontramos diversos enómenos; algunos relativos al cambio de posición, y entre ellos se encuentran los que acen, en orma recta; otros, en parábolas y otros en orma circular, un e!emplo de este "ltimo es el p#ndulo que simula la rotación de un cuerpo por medio de un e!e, e!e, el cual cual solo solo le perm permit ite e descr describ ibir ir un movi movimi mien ento to repet epetit itiv ivo o a su alrede alrededor dor.. $ero el p#ndul p#ndulo o solo solo nos muestr muestra a este este movimi movimient ento o en una porción, la cual comprende en su punto más ba!o y sus alrededores, que in%uenciado por la gravedad; nos permite darnos un concepto de otros enómenos y por qu# tienen ese movimiento; un e!emplo de ello es el movimiento realizado por los planetas alrededor del sol. Este Este movi movimi mien ento to ue ue estr estruc uctu tura rado do por por prim primer era a vez vez por por &a &alil lileo eo &alilei, el cual constr struyó varios ios p#ndulos para demostr strar sus razonamientos. '( a)os despu#s *uygens aplico el movimiento pendular al movimiento de los relo!es. +(( a)os despu#s eón -ucalt descubre que el movimiento pendular se debe principalmente al movimiento de rotación de la tierra. El p#ndulo simple es un sistema de sencilla uncionalidad y que consta de una masa colgada a un extremo de un ilo muy fno, el cual está su!eto a una superfcie inmóvil. a undamentación de este aparato radica principalmente en la capacidad de relacionar sus componentes ísicos con los actores de interacción externa, como lo es la gravedad. Espe Esperramos amos que que este ste ino inorrme sea sea de su agra agrad do así así tambi ambi#n #n transmitir la inormación que aprendimos aprendimos de esta práctica de laboratorio.

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I.

RESU RESUME MEN N

En esta práctica de laboratorio realizamos el movimiento pendular, aprendimos a medir las oscilaciones completas que da un p#ndulo, a trav#s de un cronometro. cronometro. eterminamos el tiempo mediante la longitud tomada para cada caso, tambi#n se puede determinar el tiempo con la cantidad de masa del ob!eto y el ángulo que realiza el p#ndulo, así tendremos el periodo y podremos determinar la rela elación del valor teórico con el valor experimental para cada caso como en el primer experimento. experimento.

II. II.

OBJE OB JETIV TIVOS OS

•

Establecer una ley mediante el movimiento de un p#ndulo simple.

•

/edir tiempos de eventos con una precisión determinada.

•

0alcular la aceleración de la gravedad experimental en el laboratorio.

I.

MARCO MAR CO TEÓRICO TEÓR ICO::

Péndulo simple

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1e defne el p#ndulo simple como una masa puntual que depende de un ilo inextensible. En la fgura se ilustra una posición general de un p#ndulo simple oscilando. En la misma fgura se representa las uerzas que act"an sobre la masa pendular.

Péndulo idel! simple o m"em#"i$o: 1e denomina así a todo

cuerpo de masa m 2de peque)as dimensiones3 suspendido por medio de un ilo inextensible y sin peso. Estas dos "ltimas condiciones son ideales; pero todo el estudio que realizaremos reerente al p#ndulo, se acilita admitiendo ese supuesto.

Péndulo %&si$o: 1i en el extremo de un ilo suspendido su!etamos

un cuerpo cualquiera, abremos construido un p#ndulo ísico. $or esto, todos los p#ndulos que se nos presentan 2columpios, p#ndulo de relo!, una lámpara suspendida, la plomada3 son p#ndulos ísicos. UNMSM

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Elemen"os ' de un péndulo:

(on)i"ud del péndulo *l+: Es la distancia entre el punto de

suspensión y el centro de gravedad del p#ndulo.

Os$il$i,n simple: Es la trayectoria descrita entre dos posiciones

extremas 2arco 453.

Os$il$i,n $omple" o do-le os$il$i,n: Es la trayectoria

realizada desde una posición extrema asta volver a ella, pasando por la otra extrema 2arco 4543.

An)ulo de mpli"ud o mpli"ud *l%+: Es el ángulo ormado por

la posición de reposo 2equilibrio3 y una de las posiciones extremas.

Peiodo o "iempo de os$il$i,n do-le *T+: Es el tiempo que

emplea el p#ndulo en eectuar una oscilación doble.

Tiempo de os$il$i,n simple *"+: Es el tiempo que emplea el

p#ndulo en eectuar una oscilación simple.

Elon)$i,n *e+: Es la distancia entre la posición de reposo 67 y cualquier otra posición.

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M#/im elon)$i,n: Es la distancia entre la posición de reposo y la posición extrema o de máxima amplitud. 0e$uen$i *%+: Es el n"mero de oscilaciones en cada unidad de tiempo.

Peiodo *T+: Es la inversa de la recuencia.

o p m e i t ; s e n o i c a l i c s o e d o r e m " n : f

(e'es del péndulo:

1uspendamos de un soporte tres ilos de coser de igual longitud y en sus extremos atemos sendos ob!etos de masas y sustancias dierentes. $or e!emplo8 una piedra, un trozo de ierro y un corco. 1aqu#moslo del reposo simultáneamente. 9erifcaremos que todos tardan el mismo tiempo en UNMSM

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cumplir las oscilaciones, es decir, simultáneamente. Esto nos permite enunciar la ley de las masas8

que

todos

y

vienen=

de (e' de mss: as tres masas la fgura son distintas entre sí, pero el periodo 2>3 de oscilación es el mismo. 2>+:>?:>@3. <os tiempos de oscilación de varios p#ndulos de igual longitud son independientes de sus masas y de su naturaleza, o tambi#n. El tiempo de oscilación de un p#ndulo es independiente de su masa y de su naturaleza=.

(e' del Is,$ono

ispongamos dos p#ndulos de misma longitud. 1epar#moslos de sus posiciones de equilibrio, de tal modo que los ángulos de amplitud sean distintos 2pero no mayores de A o B grados3. e!#moslos libres8 comienzan a oscilar, y notaremos que, tambi#n en este caso, los p#ndulos
<$ara peque)os ángulos de amplitud, el tiempo de oscilación de un p#ndulo es independiente de la amplitud 2o sea, las oscilaciones de peque)a amplitud son isócronas3=.

(e' de ls lon)i"udes:

1uspendamos aora tres p#ndulos cuyas longitudes sean8 $#ndulo 4 : 2+(cm3 + dm. $#ndulo 5 : 2C( cm3 C dm. $#ndulo 0 : 2D( cm3 : D dm.

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$rocedamos a sacarlos del reposo en el siguiente orden8

+3 El de + dm. y el deCdm. ?3 El de + dm. y el deDdm. 6bservaremos entonces que8 a3 El de menor longitud va más ligero que el otro, o sea8
<os tiempos de oscilación 2>3 de dos p#ndulos de distinta longitud 2en el mismo lugar de la >ierra3, son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de sus longitudes=. En símbolos8

T 1 T 2

=

√

l1 l2

(e' de ls $ele$iones de ls )1eddes

4l estudiar el enómeno de la oscilación de!amos aclarado que la acción gravitatoria tiende a acer parar el p#ndulo, pues esa es la posición más cercana a la >ierra. 1ignifca esto, en principio, que la aceleración de la UNMSM

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gravedad e!erce una acción primordial que evidentemente debe modifcar el tiempo de oscilación del p#ndulo.

1i tenemos presente que la aceleración de la gravedad varía con la latitud del lugar, resultará que los tiempos de oscilación an de surir variaciones seg"n el lugar de la >ierra. En eecto, al experimentar con un mismo p#ndulo en distintos lugares de la >ierra 2gravedad distinta3 se pudo comprobar que la acción de la aceleración de la gravedad modifca el tiempo de oscilación del p#ndulo.

$or e!emplo8 si en 5uenos 4ires el tiempo de oscilación es >+, y la gravedad g+, en 7ío de aneiro el tiempo de oscilación es >? y la gravedad g?, se verifca la siguiente proporcionalidad8

7epitiendo los experimentos para lugares de distinta latitud 2por tanto, distinta gravedad3 se puede verifcar proporcionalidad seme!ante. e lo cual surge el siguiente enunciado de la ey de las aceleraciones de la gravedad8

<os tiempos de oscilación de un mismo p#ndulo en distintos lugares de la >ierra son inversamente proporcionales a las raíces cuadradas de las aceleraciones de la gravedad=.

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8


0,mul del "iempo de os$il$i,n del péndulo

$ara poder obtener el tiempo de oscilación de un p#ndulo se aplica la siguiente expresión8

t8 tiempo de oscilación; l8 longitud de p#ndulo; g8 aceleración de la gravedad. que equivale al período o tiempo de oscilación completa. 1i uera el correspondiente para una oscilación simple, aplicamos8

Esta órmula condensa en sí las cuatro leyes del p#ndulo. En eecto, observamos8 +3 En esa expresión no fgura la masa m del p#ndulo, por lo que
@3 a @ra.y Cta.leyes están incluidas en el actor8 ,es decir8 Flos tiempos de oscilación son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de las longitudes e inversamente proporcionales a la de las aceleraciones de las gravedades=. UNMSM

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III.

E2UIPOS 3 MATERIA(ES: 4+ P5NDU(O:

6+ JUE7O DE PESAS:

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8+ CRONOMETRO:

9+ RE7(A M5TRICA

+ TRANSPORTADOR CIRCU(AR

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    

IV.

1oporte universal $rensas 0uerda *o!as de papel milimetrado *o!a de papel logarítmico

PROCEDIMIENTO E;PERIMENTA(3 TABU(ACION:

PRIMERA PARTE 4. 6bserve el cronómetro y analice sus características. 4prenda su mane!o. G0uál es el valor mínimo en la escalaH G0uál es el error instrumental a considerar, consulte con su proesorH 6. isponga un p#ndulo de masa: '( g y de longitud :+(( cm. 8. 4le!e ligeramente la masa a una posición cerca de la posición de ° equilibrio ormando un ángulo θ , (θ ≤ 12 ) 9. 1uelte la masa y mida con el cronómetro, el tiempo t que se tarda en realizar +( oscilaciones completas. . 0uando el p#ndulo se mueve con una  igual a +(( cm, que por °

deecto de ser desplazado a una amplitud de 12 de la posición de equilibrio, inicia un movimiento de vaiv#n acia el otro extremo equidistante de esta posición, y continua este movimiento oscilatorio de ?( segundos que corresponden aproximadamente a +( oscilaciones completas; n"mero y tiempo óptimo para medir el tiempo > de una oscilación completa.

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<. etermine el periodo > de una oscilación completa experimental de

acuerdo a la siguiente relación8

t T = N

, donde I es el n"mero de

oscilaciones completas. =. 4 continuación revisar la medida de L del p#ndulo que izo oscilar. 6bserve si la cuerda tiene el comportamiento de cuerda inextensible o ay una variación en su medidaH 0oloque la nueva medida como  fnal en la >abla IJ+. >. *acer mediciones para +( oscilaciones completas para cada medida

de , revisando las

Li

como el paso B3; colocar lo

la >abla IJ+ así como los nuevos valores

Li

T i

medidos en

.

TAB(A N?4

ongitud 4ntes 2cm3 +(( K( A( '( C( @( ?( +(

t de +( 6scilaciones 0ompletas 2s3 2experiment al3 ?+.(A +K.AB +A.A+ +'.C? +C.@' +?.'@ +(.BD K.BB

> periodo 2s3 2experiment al3

>? 2s?3 2experiment al3

?.+(A +.KAB +.AA+ +.'C? +.C@' +.?'@ +.(BD (.KBB

C.C@' @.CK' ?.B'K ?.@BB ?.('D +.'B( +.+AC (.BAD

@. En el papel milimetrado grafque > versus L y L versus > GMu# gráfcas obtieneH G0uál es más ácil reconocer, seg"n sus estudiosH 7pta8 En el primer caso es una curva que se obtiene de una ecuación exponencial o logarítmica, mientras que en el segundo caso no es UNMSM

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ácil de reconocer la ecuación. Es por ello que el primer caso 2> versus N3 es más ácil de reconocerlo. > vs ,

, vs>

En el mismo papel milimetrado, grafque > ? versus L. GMu# tipo 4. de gráfca obtiene usted aoraH En este caso se obtiene una grafca recta.

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>? vs 

G1e establece una proporcionalidad directa entre > ? y LH Ose la 44. pendiente para expresar la órmula experimental. a linea recta nos indica que si se establece una proporcionalidad directa entre

2

T

y , el cual es de la siguiente orma8 2

L=mx T + b 2

C.C@' @.CK' ?.B'K ?.@BB ?.('D +.'B( +.+AC (.BAD

∑ T =¿ 2

2

T x

 +(( K( A( '( C( @( ?( +(

T

+K.A+A

∑ L=¿



CC@.' ?BK.K +A'.CK ++K.K' K?.@A CB.+ ?@.?K B.AD @D(

∑ T xL =1167.06 2

4

T

+D.AAD +?.+C' B.A(B '.A'( C.?@D ?.CA' +.+AC (.'D+

∑ T =53.53 4

onde8 m

=

b=

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8 x 1167.06 −18.616 x 390 2 8 x 53.53 − 18.616

=25.418

53.53 x 390 −18.616 x 1167.06 8 x 53.53− 18.616

2

=−10.397

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Entonces la ecuación está dada por8

2

L=25.418 x T −10.397

SE7UNDA PARTE 7ealice mediciones para p#ndulos de K( cm de longitud y 46. dierentes valores de masas. 0onsidere una amplitud angla de +(P. 0omplete la >abla IP?.

@( +K.+' +.K+'

m*)+ "*s+ T*s+

C( +K.(D +.K(D

TAB(A N?6 '( A( B( +K.(? +K.(( +B.KK +.K(? +.K(( +.BKK

K( +B.KA +.BKA

D( +B.B? +.BB?

+(( +B.'A +.B'A

7ealice mediciones en un p#ndulo de QQQcm de longitud y la 48. masa QQQg para dierentes amplitudes angulares. 0omplete la >abla IP@. ?P +B.DK +.BDK

*?+ "*s+ T*s+ V.

CP +K.+@ +.K+@

TAB(A N?8 AP KP +(P +K.?( +K.?@ +K.?B +.K?( +.K?@ +.K?B

+?P +K.@( +.K@(

@(P +K.C( +.KC(

C'P +K.KC +.KKC

VI CUESTIONARIO: 2

2

+. e la >abla, grafque usted T ( s ) vs.  2cm3 en papel milimetrado. 4 partir del gráfco, determine el valor experimental de la aceleración de la gravedad en el laboratorio. 0alcule el error experimental porcentual con respecto al valor 2 g= 9,80 m / s 24celeración de la gravedad en ima3. B,BCK R

2m3

S

T

2

+ C,C@ '

(,K @,CK '

(,A ?,B' K

(,' ?,@B B

(,C ?,(' D

(,@ +,'B (

(,? +,+A C

(,+ (,BA D

K,D( ?

D,(A ?

K,'K K

K,@( C

B,AA D

B,'C @

A,BK @

',+@ C

2

G=

4 π 2

T

T

uego8 promedio valor experimental G

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=7,748

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0alculando el error porcentual E 2U3 E =

Vt −Ve 9,800 −7,748 ∗100 = ∗100 =20,94 Vt 9,80

En el Excel8

?. Explique cómo se a minimizado uno de los errores sistemáticos con los pasos del procedimiento 2B3 y K3.  Errores sistemáticos del procedimiento B8 primero se mide la

cuerda, luego se coloca la pesa en la cuerda, se observa una variación peque)a lo cual provoca una variación en su medida al fnal que aecta las medidas del periodo y ace que no salga exacta sino un aproximado, esos errores son mínimos por lo tanto no aectan muco en los cálculos.  Errores sistemáticos del procedimiento K8 al acer las medidas de

+( oscilaciones para cada medida al momento de medir el tiempo no va a ser exacto, abrá un ligero error al acer el cálculo.

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@. Vndique otros errores sistemáticos que operan en este experimento para cada una de las tres tablas.  4l medir la cuerda  4l momento de tomar la medida del 4ngulo  4l tomar la medida del periodo  4 la ora de soltar el p#ndulo puede que no oscile de manera

orizontal sino tambi#n de orma circulas  4l momento de medir la masa del p#ndulo

C. Exprese los errores aleatorios con los datos de la tabla IP+8 > de +( oscilacione > T ( s ) s periodo2s3 completas Experimen Experimen 2s3 tal tal Experimen tal 2

6I&V>O  2m3

+ (,K (,A (,' (,C (,@

>+

>?

>@

?+,( C +K,A D +A,A ( +',C ( +@,K ( ++,K B

?+,( @ +K,A @ +A,A ' +',' ( +C,B ( ++,D D ++,? @ D,(+

?+,+ + +K,A D +A,' K +',@ A +C,C D +@,B @ ++,@ C K,'B

(,?

D,K(

(,+

K,B@

2

?+.(A

?.+(A

C.C@'

+K.AB

+.KAB

@.CK'

+A.A+

+.AA+

?.B'K

+'.C?

+.'C?

?.@BB

+C.@'

+.C@'

?.('D

+?.'@

+.?'@

+.'B(

+(.BD

+.(BD

+.+AC

K.BB

(.KBB

(.BAD

*allamos los errores aleatorios8  $ara :+m Ea

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=3

√

( 21.06− 21.04 )2+( 21.06 −21.03)2 +( 21.06−21.11 )2 6

18


Ea

=0,075

 $ara : (.Km (18.67−18.69 ) +(18.67 −18.63 ) +( 18.67 −18.69) Ea =3

√

Ea

2

2

2

2

2

6

=0,060

 $ara : (.Am

Ea =3 Ea

√

2

(16.61−16.60 ) +( 16.61−18.65 ) +(16.61 −16.58) 6

=2,499

 $ara :(.'m Ea =3 Ea

√

( 15.42−15.40 )2+( 15.42 −15.50 )2 +(15.42 −15.36 )2 6

=0,125

 $ara : (,Cm Ea =3 Ea

√

( 14,35−13,80 )2 +(14,35 −14,70 )2 +( 14,35−14,49 )2 6

=0,817

 $ara  : (,@m ( 12,53−11,87 )2+( 12,53 −11,99)2 +( 12,53−13,73 )2 Ea =3

√

Ea

6

=1,802

 $ara : (,?m Ea =3 Ea

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√

( 10,79− 9,80)2 +( 10,79−11,23)2 +(10,79 −11,34)2 6

=1,488 19


 $ara : (,+m ( 8,77 −8,73 )2+( 8,77 −9,01 )2+( 8,77 −8,57 )2 Ea =3

√

6

Ea =0,386

5.

*alle la ormula experimental cuando se inicializa la gráfca en papel −1 0 log de > versus N, 1ugerencia el origen debe ser ( 10 , 10 ) . Ri:logRi

Si:logSi

(.@? (.?B (.?? (.+K (.+A (.+( (.(@ W(.(A XlogRi:+.??

? +.D( +.BK +.B( +.A( +.CK +.@( + XlogSi:+?.B A

/:

RiSi:logRi.log Si (.AC (.'+ (.@D (.@+ (.?A (.+' (.(C W(.(A XlogRilogSi:?. ?C

p ∑ logXi .logYi− ∑logXi∑logYi 2

p ∑ ( logXi )

2

−( ∑logXi)

:

Ri?:2logRi3? (.+( (.B@ (.(' (.(@ (.(@ (.(+ (.(( (.(( X2logRi3?:(.D '

8 ( 2.24 )−( 1.22 ) ( 12.76 ) 8 ( 0.95 ) −(1.22 )

2

:(.@K'

1.22

¿ ¿ ¿2

2

5:

∑ ( logXi)

−∑logXi∑logXilogYi : p ∑ ( logXi) −( ∑logXi ) 2

2

8 ( 0.95 ) −¿

W(.?D?

0.95− ( 1.22 ) ( 2.24 )

¿

34

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.6@

/4.8@

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0on los datos de la >abla IJ?, grafque >2s3 vs. m2g3 en papel milimetrado.G 4 qu# conclusión llega observando la gráfcaH .grafca ver cuadro + 0omo se está utilizando una misma longitud de la cuerda, el periodo de tiempo que demora cada +( oscilaciones en las dierentes masas no varían muco, ya que este periodo no depende de la masa de la partícula que se está suspendiendo de la cuerda ni de la amplitud de las oscilaciones, claro está siempre en cuando el ángulo que se utilice sea peque)o. 4 este se le conoce como la propiedad del como isocronismo de las peque)as oscilaciones. Mue ue descubierto por &alileo en el a)o +'K+ en la catedral de $isa. 6.

=. &raique >2s3 vs Y 2grados3 en papel milimetrado. etermine los pares

ordenados de la tabla IJ@. GExiste alguna dependencia entre el periodo > con respecto a la amplitud angular YH 1i este uere así, G0ómo sería esta dependenciaH .1e $udo 6

os pares ordenados son8 Z2J3 t2s3 >23

? +B.DK +.BDK

C +K.+@ +.K+@

A +K.?( +.K?(

K +K.?@ +.K?@

+( +K.?B +.K?B

+? +K.@( +.K@(

@( +K.C( +.KC(

C' +K.KC +.KKC

4l ubicar los puntos en el papel milimetrado se observa que la gráfca tiene tendencia lineal 2ver grafca3, es decir que no existe dependencia entre periodo y la amplitud angular. Esto se puede ver tambi#n en la ecuación que defne al periodo8

T

=

2π

L g

4quí se muestra que el periodo depende de la longitud de la cuerda, y de la aceleración de la gravedad. K. G*asta qu# valor del ángulo, el periodo cumplirá con las condiciones de un p#ndulo simpleH Explíquelo matemáticamente. UNMSM

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(lmmos péndulo simple  un en"e idel $ons"i"uido po un ms pun"ul suspendido de un ilo ine/"ensi-le ' sin peso! $pF de os$il li-emen"e en el 1$&o ' sin oFmien"o. Al sep l ms de su posi$i,n de eGuili-io! os$il  m-os ldos de di$ posi$i,n! eliFndo un mo1imien"o m,ni$o simple. En l posi$i,n de uno de los e/"emos se podu$e un eGuili-io de %ueFs! se)Hn o-se1mos en el )#$o:

El peso de l -ol se des$ompone en dos $omponen"es: un pime $omponen"e Gue se eGuili- $on l "ensi,n del ilo! de mne Gue: T=mg c! θ

( se)und $omponen"e! pependi$ul  l n"eio! es l Gue oi)in el mo1imien"o os$iln"e: "= # mg !$%θ

Sin em-)o! p os$il$iones de 1loes de #n)ulos peGueos! se $umple:

!$%θ ; θ

Compo-mos en l "-l si)uien"e! $on d"os de #n)ulos ' sus senos! es" m$i,n. θ

*)dos+ UNMSM  6

θ

*dines+ . .89@

!$% θ

. .89@

Di%een$i *K+  .

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$or consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo, que para que cumpla con las condiciones de p#ndulo simple debe tener un ángulo menor o igual a +'J. @. G0omprobó la dependencia de > vs H G0ómo explica la construcción de relo!es de p#ndulo de distintos tama)osH Rp": 0omo el periodo es dependiente de la longitud si aumentamos la longitud del p#ndulo el periodo aumenta esto quiere decir que las oscilaciones son más lentas y si acortamos la longitud el periodo disminuye por lo tanto las oscilaciones son más rápidas; y en conclusión lo que determina la ora en los relo!es non las oscilaciones. 4. 0uando la longitud del p#ndulo de un relo! se expande por eecto del calor, Ggana o pierde tiempoH Rp": $ierde tiempo, ya que el tiempo depende directamente de las oscilaciones y estas se ven aectadas por la expansión de la longitud del p#ndulo ya que producen mayor periodo por consiguiente menores oscilaciones, produciendo que pierdan tiempo. 44. Explique el signifcado de la afrmación <$#ndulo que vate el segundo=. Rp": $#ndulo que vate el segundo es aquel que cumple una oscilación simple en un segundo. Estos p#ndulos se componen de un ilo que no presenta rozamiento con la argolla 2+er inconveniente3 y que además toda la masa del p#ndulo se concentre en un sólo punto en su extremo. e la expresión *<+8

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2>iempo de oscilación simple3 resulta que el tiempo de oscilación depende de la longitud y de la aceleración de la gravedad. 1i en determinado lugar 2g8 conocida3 deseamos construir un p#ndulo cuyo tiempo de oscilación sea un segundo, tendremos que modifcar su longitud. Ello se gra aplicando la expresión8

uego8

e este modo para t:+ seg se logra un p#ndulo que
>omando un ángulo igual o menor que +?J, la 4mplitud de oscilación 243 siempre será menor que la longitud del p#ndulo usada 23. Sa que a mayor longitud de p#ndulo mayor será la curvatura de la oscilación y por lo tanto menor será la cantidad de oscilaciones en un intervalo de tiempo, entonces la longitud del p#ndulo determina el periodo, siempre y cuando el arco de oscilación sea menor de +?P para que el periodo no dependa del ángulo. 4demás porque la masa es despreciable, en nuestros en nuestros experimentos observamos que para masas dierentes el periodo no cambia notoriamente. 48. GEn qu# puntos de su oscilación, el p#ndulo tiene la mayor velocidad y la mayor aceleraciónH explique8 UNMSM

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7pta8 6bservando la gráfca siguiente tenemos

0omo en el momento mostrado se observa que la partícula llega al equilibro tenemos lo siguiente8

1abemos que la energía se conserva en cualquier punto de un movimiento. por lo tanto la energía en el punto 0 debe ser igual a la energía en el punto 4.

$ero en el punto 0 solo tenemos energía cin#tica y en el punto 4 tenemos energía gravitatoria por lo tanto8 UNMSM

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S como las masas son iguales las simplifcamos. >ambi#n tenemos que  : +2+Wcos3.

$or lo tanto concluimos que la velocidad es máxima cuando : ( pero en mínima cuando el ángulo ormado es máxima , esto quiere decir que cuando la partícula pasa por los extremos del movimiento su velocidad es nula y cuando se encuentra por la posición de equilibrio o la parte más ba!a del movimiento su velocidad es la máxima posible. VI.

ANE;OS:

 7lileo 7lilei 2$isa, actual Vtalia, +'ACW4rcetri, id., +AC?3

-ísico y astrónomo italiano. -ue el primog#nito del %orentino 9incenzo &alilei, m"sico por vocación aunque obligado a dedicarse al comercio para sobrevivir. En +'BC la amilia se trasladó a -lorencia, y &alileo ue enviado un tiempo [quizá como novicio[ al monasterio de 1anta /aria di 9allombrosa, asta que, en +'K+, su padre lo matriculó como estudiante de medicina en la Oniversidad de $isa. $ero en +'K', tras aberse iniciado en las matemáticas uera de las aulas, abandonó los estudios universitarios sin obtener ning"n título, aunque sí abía adquirido gusto por la flosoía y la literatura. En +'KD consiguió una plaza, mal remunerada, en el Estudio de $isa. 4llí escribió un texto sobre el movimiento, que mantuvo in#dito, en el cual criticaba los puntos de vista de 4ristóteles acerca de la caída libre de los graves y el movimiento de los proyectiles; una tradición apócria, pero muy divulgada, le atribuye aber ilustrado sus críticas con una serie de experimentos p"blicos realizados desde lo alto del 0ampanile de $isa. UNMSM

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En +'D? pasó a ocupar una cátedra de matemáticas en $adua e inició un ructíero período de su vida científca8 se ocupó de arquitectura militar y de topograía, realizó diversas invenciones mecánicas, reemprendió sus estudios sobre el movimiento y descubrió el isocronismo del p#ndulo. En +'DD se unió a la !oven veneciana /arina &amba, de quien se separó en +A+( tras aber tenido con ella dos i!as y un i!o. En !ulio de +A(D visitó 9enecia y tuvo noticia de la abricación del anteo!o, a cuyo pereccionamiento se dedicó, y con el cual realizó las primeras observaciones de la una; descubrió tambi#n cuatro sat#lites de "piter y observó las ases de 9enus, enómeno que sólo podía explicarse si se aceptaba la ipótesis elioc#ntrica de 0op#rnico. &alileo publicó sus descubrimientos en un breve texto, El mensajero sideral, que le dio ama en toda Europa y le valió la concesión de una cátedra onoraria en $isa. En +A++ via!ó a 7oma, donde el príncipe -ederico 0esi lo izo primer miembro de la 4ccademia dei incei, undada por #l, y luego patrocinó la publicación 2+A+?3 de las observaciones de &alileo sobre las mancas solares. $ero la proesión de copernicanismo contenida en el texto provocó una denuncia ante el 1anto 6fcio; en +A+A, tras la inclusión en el \ndice de libros proibidos de la obra de 0op#rnico, &alileo ue advertido de que no debía exponer p"blicamente las tesis condenadas.

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El 1anto 6fcio abrió un proceso a &alileo que terminó con su condena a prisión perpetua, pena suavizada al permitírsele que la cumpliera en su villa de 4rcetri. 4llí transcurrieron los "ltimos a)os de su vida, ensombrecidos por la muerte de su i!a 9irginia, por la ceguera y por una salud cada vez más quebrantada. 0onsiguió, con todo, acabar la "ltima de sus obras, los Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, donde, a partir de la discusión sobre la estructura y la resistencia

de los materiales, demostró las leyes de caída de los cuerpos en el vacío y elaboró una teoría completa sobre el movimiento de los proyectiles. El análisis galileano del movimiento sentó las bases ísicas y matemáticas sobre las que los científcos de la siguiente generación edifcaron la mecánica ísica. 1u silencio no se rompió asta que, en +A?@, alentado a raíz de la elección del nuevo papa Orbano 9VVV, publicó El ensayador , donde expuso sus criterios metodológicos y, en particular, su concepción de las matemáticas como lengua!e de la naturaleza. a ben#vola acogida del libro por parte del pontífce lo animó a completar la gran obra con la que pretendía poner punto fnal a la controversia sobre los sistemas astronómicos, y en +A@? apareció, fnalmente, su Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo ; la crítica a la distinción aristot#lica entre ísica terrestre y ísica celeste, la enunciación del principio de la relatividad del movimiento, así como el argumento del %u!o y el re%u!o del mar presentado 2erróneamente3 como prueba del movimiento de la >ierra, icieron del texto un verdadero manifesto copernicano.  5reve rese)a 8

1e puede decir que el p#ndulo es el símbolo de la ciencia. 0on este elemento tan simple, se pudo comprobar la translación de la tierra, ya que este se mantiene siempre en el mismo lugar, demostrando el giro de la tierra. El principio del p#ndulo ue descubierto originalmente por &alileo 2ísico y astrónomo3, quien estableció que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud 2distancia máxima que se ale!a el p#ndulo de la posición de UNMSM

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equilibrio3. $or el contrario, sí depende de la longitud del ilo. uego surgió !ustamente lo que te di!e al principio8 p#ndulo de -oucault es un p#ndulo largo que puede oscilar libremente en cualquier plano vertical y capaz de oscilar durante oras. 1e utiliza para demostrar la rotación de la >ierra y la uerza de 0oriolis. 1e llama así en onor de su inventor, eón -oucault. $#ndulo, usado en los relo!es y otros instrumentos para medir con precisión el tiempo. El principio del p#ndulo ue descubierto por &alileo, quien estableció que el periodo de la oscilación de un p#ndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se ale!a el p#ndulo de la posición de equilibrio. 2Io obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del p#ndulo sí depende de ella3. &alileo indicó las posibles aplicaciones de este enómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. 1in embargo, como el movimiento del p#ndulo depende de la gravedad, su periodo varía con la localización geográfca, puesto que la gravedad es más o menos intensa seg"n la latitud y la altitud. $or e!emplo, el periodo de un p#ndulo dado será mayor en una monta)a que a nivel del mar. $or eso, un p#ndulo permite determinar con precisión la aceleración local de la gravedad.

 escubrimiento 8

&alileo por allá del siglo R9V tambi#n tuvo que ver con este arteacto. 1e cuenta que un día del a)o de +'K@, en la catedral de $isa le llamaron la atención las oscilaciones de una lámpara de aceite que pendía del teco, observó que el tiempo que tardaba en completar una oscilación era aproximadamente el mismo, aunque la amplitud del desplazamiento iba disminuyendo con el tiempo. -ue aquí cuando el relato me conmovió, porque yo no sabía que, como nuestro amigo &alileo no tenía cronómetro para medir los intervalos del tiempo y verifcar su observación, entonces ]usó como patrón de medida su propio pulso^ Estas mediciones tuvieron una prounda in%uencia en los estudios científcos de la #poca=.

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ebido a su acercamiento matemático al movimiento, &alileo estaba intrigado por el movimiento acia atrás y delante de un cuerpo pesado suspendido. 1us consideraciones más tempranas de este enómeno deben datar de los días anteriores a que aceptara un puesto de maestro en la universidad de $isa. 1u primer biógrao, 9incenzo 9iviani, afrma que comenzó su estudio de los p#ndulos despu#s de que observara una lámpara suspendida balanceándose acia delante y atrás en la catedral de $isa cuando todavía era un estudiante allí. as primeras notas de &alileo sobre la materia datan de +'KK, pero no comenzó a acer investigaciones serias asta +A(?. El descubrimiento de &alileo ue que el periodo del balanceo de un p#ndulo es independiente de su amplitud W el arco del balanceo W el isocronismo del p#ndulo. Este descubrimiento tenía importantes aplicaciones para la medida de intervalos de tiempo. En +A(? explicó el isocronismo de p#ndulos largos en una carta a un amigo, y un a)o despu#s a otro amigo, 1antorio 1antorio, un ísico de 9enecia, que comenzó a usar un p#ndulo corto, al que llamó FpulsilogiumF, para medir el pulso de sus pacientes. El estudio del p#ndulo, el primer oscilador armónico, data de este periodo. El movimiento del p#ndulo planteaba interesantes problemas. GMu# movimiento era más rápido desde un punto elevado a otro más ba!o, aqu#l a lo largo de un arco circular como un p#ndulo o aqu#l a lo largo de una línea recta como en un plano inclinadoH G4ecta el peso del p#ndulo al periodoH G0uál es la relación entre la longitud y el periodoH 4 trav#s de su traba!o experimental, el p#ndulo nunca se ale!ó demasiado de los UNMSM

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pensamientos de &alileo. $ero tambi#n estaba la cuestión de su uso práctico. On p#ndulo podría usarse para medir pulsos o actuar como un metrónomo para estudiantes de m"sica8 sus balanceos medían intervalos de tiempo iguales. G$odría usarse tambi#n para me!orar los relo!esH El relo! mecánico, que usaba un cuerpo pesado para proporcionar el movimiento, comenzó a desplazar al relo! de agua en la Edad /edia. $or sucesivas me!oras, el sistema se abía eco más peque)o y más fable. $ero la precisión de los me!ores relo!es era todavía demasiado mala para, por e!emplo, tener utilidad en astronomía. Io solo se adelantaban o retrasaban, sino que además lo acían de una orma irregular e impredecible. G$odría a)adirse un p#ndulo al mecanismo de escape de un relo! para regularloH

Osos8

 7elo! 8

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 uegos mecánicos 8

VII.

CONC(USIONES 3 RECOMENDACIONES  1e concluye que el periodo de un p#ndulo simple depende de la

longitud de la cuerda y de la aceleración de la gravedad.  El periodo no tiene relación alguna con la masa.  uego de tomar los datos experimentales, como el periodo, la longitud de la cuerda y el ángulo Y, estos pueden ser corroborados mediante las órmulas matemáticas ya expuestas, los resultados obtenidos serán cercanos o tal vez iguales, por causo de alg"n error en la medición.  On p#ndulo simple es un sistema idealizado, por lo cual es imposible de realizar en la práctica, lo que quiere decir que no existe, sin embargo si es accesible en la teoría.

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Informe 3 - Movimiento Pendular (1)

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