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MOVIMIENTO SEMIPARABOLICO
Daniela Londoño, Angie Suarez, Adrián Jaaman, Alberto Arrieta
Departamento de ingeniería Agronómica
Universidad de Córdoba, Montería
Resumen
El movimiento de parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal), se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre de un cuerpo en reposo, este movimiento es de gran importancia, ya que a través de la comprensión de este, se pueden entender muchos fenómenos físicos como cuando se dispara un cañón, el aterrizaje de un avión, cuando un objeto esférico se lanza desde un filo, etc. Para analizar este movimiento se pegó hojas de papel carbón sobre la barrera de impacto y se ubicó frente a la plataforma de lanzamiento, se colocó el balín en la parte superior de la plataforma y se dejó rodar libremente a través de esta, esto se realizó con dos velocidades. Se tomaron las medidas del eje X que era la distancia que había entre la plataforma de lanzamiento y la barrera de impacto (se tomaron en intervalos de 10 cm en 10cm hasta que la esfera tocara primero el suelo), las medidas del eje Y que se tomaban con las marcas que dejaba el impacto de la esfera en el papel carbón (estas se tomaron respecto al suelo).
1. TEORÍA RELACIONADA
El movimiento en el plano es la composición de los movimiento horizontales y verticales originando trayectorias reales del recorrido por una partícula el cual es parabólico, este movimiento en el plano esta vasado en el principio de Galileo "si un cuerpo está sometido simultáneamente a la acción de varios movimientos, cada uno de ellos se cumple como si los demás no existieran".
El movimiento en un plano origina trayectorias curva que cambian constantemente de dirección y poseen dos grados de libertad: un modo vertical, según el eje "Y" y otro horizontal según el eje de las "X". El movimiento horizontal es uniforme y el vertical uniformemente acelerado. Según la trayectoria horizontal (X), el movimiento es uniforme y ocupa espacios en intervalos de tiempos iguales. Según la trayectoria vertical, el movimiento es uniformemente acelerado y debido a la acción de la gravedad (g) se da una aceleración constante [1].
La composición de movimientos se caracteriza por la posibilidad de separar en ejes el movimiento de un móvil cualquiera. Si se trata de un objeto lanzado en el seno del campo gravitatorio terrestre [1] será:
Figura 1. Trayectoria de una partícula con movimiento parabólico.
Descomponiendo rectangularmente la velocidad tenemos:
vox=vocosθ
voy=vosenθ
Como es la superposición de dos movimientos en el eje horizontal, se presenta un movimiento con velocidad constante y en el eje vertical con aceleración constante (gravedad), que apunta hacia abajo [2].
Partiendo de la idea anterior, e analiza el movimiento en el eje horizontal:
x=v0.t
x=vocosθt (1)
t=xv0cosθ (2)
Para el movimiento en el eje vertical se analiza como un movimiento de caída libre:
y=v0yt-gt22
y=vosenθt-gt22 (3)
Para obtener una ecuación de la altura en función del espacio se superponen las ecuaciones (2) y (3), tomando en cuenta que ambos tiempos son iguales:
y=vosenθxvocosθ-g(xvocosθ)22
y=xtanθ-g(x2v02cos2θ)2
y=xtanθ-(g2v02cos2θ)x2 (4)
y=y0-(g2v02)x2 (Ecuación 1)
De la ecuación (4), podemos deducir que el movimiento es parabólico porque nos da una expresión cuadrática de la forma y=x2, que es una parábola.
Para hallar el tiempo de subida de la trayectoria en el eje vertical del proyectil, tomamos la ecuación de la cinemática vfy=v0senθ-gt (5)
Considerando que en el punto más alto de la trayectoria vfy=0
vfy=v0senθ-gt
-v0senθ=-gt
-v0senθ-g=t
ts=v0senθg (6)
Para calcular la altura máxima del proyectil se toma la ecuación (6) y se reemplaza en (3):
y=vosenθt-gt22
y=v0senθv0senθg-12g(v0senθg)2
y = ( v02sen2θg)-12( v02sen2θg)
ymax=v02sen2θ2g (7)
Para calcular el alcance horizontal máximo se necesita el tiempo total de vuelo para esto, se tiene en cuenta que el movimiento es simétrico, por tanto el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada, y este es el tiempo total de vuelo entonces:
tv=2ts
tv=2v0senθg (8)
Reemplazando la ecuación (8) en (1), tenemos que:
x=vocosθt
x=vocosθ2v0senθg
x=2v02cosθsenθg, por identidad trigonométrica 2cosθsenθ=sen2θ
xmax=v02sen2θg (9)
Por definición, un proyectil tiene solamente una fuerza que actúa sobre él, esta es la fuerza de gravedad. Si hubiera alguna otra fuerza que actuara sobre un objeto, ese objeto no sería un proyectil. Así, en el diagrama de cuerpo libre para un proyectil, se mostraría una sola fuerza que actúa hacia abajo y la " fuerza de gravedad". Esto quiere decir que sin importar si un proyectil se está moviendo hacia abajo, hacia arriba, hacia arriba y hacia la derecha, o hacia abajo y hacia la izquierda, el diagrama del libre-cuerpo del proyectil todavía está según lo representado en el diagrama de abajo. Por definición, un proyectil es cualquier objeto sobre el cual la única fuerza sea gravedad.
Si se elige el marco de referencia tal que la dirección y sea vertical y positiva hacia arriba, entonces ay = - g (como en la caída libre unidimensional), y ax = 0 (debido a que se ignora la fricción del aire) [3].
2. PROCEDIMIENTO
Para el estudio del movimiento semiparabólico, el montaje experimental se hizo como se muestra en la figura1; se pegó hojas de papel carbón sobre la barrera de impacto y se ubicó frente a la plataforma de lanzamiento, se colocó el balín en la parte superior de la plataforma y se dejó rodar libremente a través de esta. La barrera de impacto se alejaba gradualmente en intervalos de 10 cm hasta que la esfera impactara primero en el suelo, en cada repetición la esfera golpeaba el papel carbón que a su vez dejaba marcas sobre la barrera de impacto. Este procedimiento se realizó con dos velocidades distintas, la que vario según la posición a la que se soltó la esfera. Se midieron las distancias en X y Y, siendo X los intervalos que se movía la barrera de impacto y Y las marcas que dejo la esfera en el papel de carbón, estas medidas se tomaron con una regla, siendo Y0 el suelo.
Figura 1.Montaje experimental.
3. RESULTADOS
Xtot (cm)
94,92
Ttot (s)
17,2
Los datos experimentales que se obtuvieron se muestran en la tabla 1. Que relaciona Y en función de X.
X (cm)
Y (cm)
0
0
10
-1
20
-5,5
30
-8
40
-15
50
-23,2
60
-31,2
70
-46
80
-56
90
-94,5
Tabla 1. Valores experimentales de Y vs X.
4. ANALISIS RESULTADOS
Realice la gráfica de Y en función de X. ¿Qué tipo de grafica 7uyuse obtiene? ¿coincide con lo establecido en la teoría?
Al realizar la gráfica de Y en función de X se obtuvo una semiparabóla, que abre hacia abajo, lo cual indica que se le puede realizar regresión polinomial, donde una depende cuadráticamente de la otra, como en la teoría la altura disminuye a medida que el alcance se hace máximo.
¿Qué relación existe entre Y y X? Linealice la gráfica obtenida y halle pendiente. ¿Qué unidades tiene esta pendiente?
La relación que se obtiene es que Y es inversamente proporcional a X.
La pendiente de la gráfica es -0,0136 e indica el valor de
B2=-g2vi2cos2θ en la grafica y-x.
3. Encuentre la ecuación concreta que relaciona a X y Y con los datos.
La ecuación que describe la trayectoria seguida de la esfera de cristal que se obtiene a partir de la regresión es la siguiente:
y=A+B1x+B2x2
y = -0,0136x2 + 0,3055x - 3,0227
se puede decir que:
B1=tanθ
B2=-g2vi2cos2θ
Utilizando la pendiente hallada en el punto 2 y la ecuación teórica de la trayectoria del movimiento semiparabolico, encuentre la velocidad inicial del balín (tome g=9,8 m/s2)
Se puede calcular el valor de la velocidad inicial con la que salía la esfera de cristal:
Comenzamos calculando el valor del ángulo con que sale la esfera de cristal:
-0,0136 =tanθ
θ=tan-1(-0,0136 )=-0,78o
Ya que se tiene el ángulo se puede calcular la velocidad inicial de la esfera de cristal:
-0,0136=-g2vi2cos2θ
-2*-0,0136 vi2cos2θ=-g
vi2=g0,0272*cos2θ
vi=g0,0272*cos2θ
vi=9,80,0272*cos2(-0,78)
vi=19,01cm/s
Con los datos del punto 2 del procedimiento encuentre el valor de la velocidad inicial (mediante la ecuación adecuada) y compárela con el hallado en el procedimiento anterior ¿Qué puede decir de estos valores?
Dispongo de dos ecuaciones
ymax=v02sen2θ2g ; y=y0-(g2v02)x2
y=y0-g2v02x2 Dado Ymax =0 por el sistema de referencia
v0 = (gx22 y0) = ((9.8)94,9222(94,5))
v0 =21,61cm/s
Son muy parecidos eso quiere decir que el margen de error no es tan significativo.
¿Cual pueden ser las principales fuentes de error en esta experiencia de laboratorio?
En este laboratorio se puede ver una serie de errores, estos dados por la demora en la reacción a la hora de soltar la esfera y otro inconveniente que se vio para tener mejores resultados fue que la esfera al chocar con la regla que representaba nuestro Y rebotaba en algunas ocasiones. Por los errores dados por el rebote y la falta de reacción se tomaron varios momentos para cada distancia del movimiento. A todo esto se le suma el error en las medidas de la distancia entre los puntos marcados por el registrador en la cinta.
A la hora de registrar los datos por el registrador se tomó los datos en Y con signo negativo, todo esto por conveniencia para manejar los datos. Este signo solo indica la dirección de caída ya que nosotros tomamos distancias de caída a partir de la altura máxima.
CONCLUSIONES
En este laboratorio se pudo observar que un objeto con una velocidad inicial lanzado desde una rampa en este caso una esfera, dará un movimiento semiparabolico, pero en este experimento también se vio caída libre porque en el momento en el que la esfera termina la rampa cae con esa velocidad inicial de dicha rampa describiendo un movimiento semiparabolico.
En estos dos movimientos se menosprecia el rozamiento con el aire dado que es muy pequeño lo único que afecta directamente a los dos movimientos es la fuerza de la aceleración gravitacional, denotada como g, la cual es de 9,8 m/s, los segundos cuadrados, claro está que cabe resaltar que en este experimento los resultados no son exactos por un margen de error dado por la falta de precisión de los estudiantes que están realizando el laboratorio.
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El movimiento semiparabólico se presenta en dos dimensiones: en uno se presenta el movimiento rectilíneo uniforme, perteneciente al eje X; y el otro movimiento es uniformemente acelerado presentado en el eje Y, que es el mismo de caída libre.
Al momento de comparar los resultados obtenidos en el experimento con los datos teóricos, se puede observar que existe una pequeña discordancia, debido a que el valor promedio global de la gravedad es diferente en nuestra localidad.
La ecuación que describe la trayectoria de un cuerpo que se lanza horizontalmente es una ecuación de segundo grado de la forma y=A+B1x+B2x2
La ley de superposición e independencia de los movimientos si se cumple para un movimiento Semiparabólico.
5. REFERENCIA
Muñoz. Manuel. Enciclopedia estudiantil matemática y física. Editorial Panamericana.
[2].Serway. Raymond. Física 1. 3^a Edición. Editorial Thomson.
[3].http://www.her.itesm.mx/academia/profesional/cursos/fisica_2000/Fisica1/F%C3%ADsica/ftema4_mp.html
X vs Y
X(cm)
Y(cm)
