UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD DE LA SALLE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS FÍSICA II
Movimiento armónico simple Maycol Ruedaa , Julián Girón b , Camila Pulido Pulido c , Julieth Moreno Moreno d , Juan Báeze. aIngenieria Civil 40151313 bIngenieria Ambiental 41151402 cIngenieria Ambiental 41141136 dIngenieria Ambiental 41151371 eIngenieria Industrial 47151176
Fecha de realización de la práctica: 10 de Agosto de 2016 - Fecha de entrega del informe: 17 de Agosto de 2016
Resumen
Durante la práctica realizada se verificaron experimentalmente aquellos conceptos aprendidos de manera teórica donde aprendíamos que el movimiento armónico simple es la oscilación periódica más básica y se caracteriza porque la fuerza restauradora que lo causa es proporcional al desplazamiento desde la posición de equilibrio (ley de Hooke) y matemáticamente se distingue porque su ecuación de movimiento, se expresa en términos de las funciones seno o coseno, como justamente la de una masa unida a un resorte. Se realizaron montajes con dos distintos resortes, y con ocho masas diferentes, gracias a lo cual se pudieron comparar diferentes variables como la amplitud, el período y la frecuencia de oscilación de los distintos sistemas, encontrando errores relativos y absolutos que se pudieron distinguir de los valores teóricos. Palabras claves: Oscilación, Periodo, Ley De Hooke, Tiempo, Masa. Abstract
During practice performed experimentally, the group verified those concepts learned in theory where we learned that the simple harmonic motion is the most basic periodic oscillation and is characterized in that the restoring force that causes it is proportional to the displacement from the equilibrium position (Hooke's law) and mathematically it distinguishes because its i ts equation of motion, is expressed in terms of the sine cosine or, as just that of a mass attached to a spring. Assemblies with two different springs were made, and with eight different masses, thanks to which they could compare different variables such as amplitude, period and frequency of oscillation of different systems, finding errors relative and absolute that could be distinguished from theoretical values. Keywords: Swing, Period, Hooke's Law, Time, Mass.
1. Marco Teórico
En este experimento se trabajó con diferentes masas expuestas a una fuerza ejercida por un resorte, estudiando así el comportamiento y las variables de las que depende un sistema de movimiento armónico a rmónico simple.
El movimiento armónico simple es un movimiento periódico y vibratorio en ausencia de fricción producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición.
Movimiento armónico simple
ω
El modelo matemático que describe el movimiento oscilatorio tiene una solución lineal siempre y cuando la fuerza restauradora sea proporcional a la deformación respecto al punto de equilibrio. En el sistema masa-resorte, la fuerza restauradora se origina cuando se deforma el resorte y siempre será proporcional al estiramiento cuando este sea pequeño, de tal manera que no se supere el límite elástico del resorte.
( ) =
(
+
)
Donde y es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio, A es la amplitud del movimiento (elongación máxima), es la frecuencia angular, t es el tiempo y es la fase inicial e indica el estado de oscilación en el instante t = 0 de la partícula que oscila.
ω
Algunos términos importantes en el movimiento armónico simple:
El periodo de oscilación de un resorte para una masa fija al extremo de este está dado por la ecuación
�
•
= 2
•
donde k es la constante de elasticidad del resorte y m representa la masa del sistema oscilante.
•
Punto de equilibrio En un desplazamiento cualquiera a lo largo del eje x, con origen en la posición de equilibrio 0, la fuerza se representa así
•
•
− =
donde k es una constante de elasticidad positiva y x es la elongación.
Periodo (T): Es el tiempo necesario para realizar una vibración u oscilación completa. Frecuencia (F): Es el número de vibraciones completas que el cuerpo efectúa por unidad de tiempo. Elongación (X): Es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado. Amplitud (A): Es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio. Posición de equilibrio: Es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.
2. Procedimiento Procedimiento experimental e xperimental
El signo negativo denota que la fuerza restauradora o reparadora, siempre tiende hacia la dirección contraria del desplazamiento, buscando el punto de equilibrio.
Al tener una consulta previa al laboratorio como marco teórico fue un poco más fácil el hecho de entender la práctica del laboratorio, esta práctica consistió en armar un sistema colocando un resorte en el soporte universal, se tomó el resorte número 1 y se le colgó una masa de valor conocido, se sacó el resorte con la masa de su posición de equilibrio y luego se dejó oscilar 2 veces el resorte; al completar la segunda oscilación se dio inicio a cronometrizar el tiempo que el cuerpo duro realizando 10 oscilaciones.
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define mediante la ecuación diferencial:
22 − =
Siendo m la masa del cuerpo en desplazamiento. Reemplazando con 2 = se obtiene la siguiente ecuación
ω
donde ω es la frecuencia angular del movimiento:
22 −ω2 = ( ) =
Lo que da como resultado Imagen 1. Montaje y cambio en el resorte. 2
Este procedimiento se realizó 8 veces cada vez con masas conocidas diferentes. Después se repitió el mismo procedimiento, pero con el resorte número 2 y luego con los dos resortes en paralelo y en serie. Finalmente se anotaron los datos como las masas (m) y el tiempo (t) cronometrado en una tabla y con base a estos datos se realizaron las gráficas necesarias.
comportamiento del resorte y su elongación a aplicarle una fuerza, esta vez una fuerza mediante un determinado peso.
Resorte 1 Masa (g) largo (cm) Elongación (cm) 250 12,2 1,1 350 14,3 3,2 380 14,8 3,7 430 15,8 4,7 480 16,7 5,6 500 17,2 6,1 530 17,7 6,6 580 18,7 7,6 Tabla No. 1: Datos para el resorte 1
Imagen 02. Montajes resortes en paralelo y serie.
Toda la práctica se efectuó sin que existieran oscilaciones a lo largo del eje horizontal. Para la realización de esta práctica, se utilizaron dos resortes, una balanza, masas, soporte universal, escuadra y cronometro. 3. Análisis cualitativo
De forma visual es simple ver que estamos tratando con un sistema que describe el movimiento armónico simple, pero que para este caso solo utilizares una referencia dada hacia las leyes de Hooke para analizar analiza r un poco más las propiedades de los resortes según como se traten con las masas, a plena visa es un sistema muy simple que debería ser fácil de entender. Y por otro lado vemos que el tiempo es de gran importancia para algunos procesos, lo que nos dice que el movimiento armónico simple estará siendo observado y analizado, en donde claramente intervienen los factores de los resortes y del periodo. 4.
Análisis cuantitativo
4.1 Manejo de tablas y ecuaciones
Primero obtenemos dos tablas las cuales no se encuentran en medidas del sistema internacional, pero que con una transformación simple que veremos a continuación podemos intervenir de manera matemática de un modo más efectivo; estas tablas se registraron al observar el
Resorte 2 Masa (g) largo (cm) Elongación (cm) 250 12,5 1,0 350 14,5 3,0 380 15,2 3,7 430 16,3 4,8 480 17,2 5,7 500 17,7 6,2 530 18,3 6,8 580 19,4 7,9 Tabla No. 2: Datos para el resorte 2
Luego de tener estos valores consignados en estas tablas, nos damos cuenta de que, al realizar el procedimiento, tenemos una falla en la parte de datos ya que no poseemos las constantes de elasticidad de cada resorte, y para hallarlas necesitaremos transformar nuestras tablas anteriores en una nueva tabla que nos facilite la obtención de k. Por lo que utilizamos el hecho de que la fuerza es la constante de elasticidad por la elongación x y que la fuerza que se está incluyendo aquí es la dada por la masa multiplicada por la gravedad:
=
=
=
Movimiento armónico simple
Con esta relación entre la fuerza neta y fuerza elástica podemos realizar las siguientes tablas para luego graficar.
Resorte 1 masa (Kg) 0,38 0,45 0,55 0,60 0,65 0,70 0,80 0,85
Resorte 1 Elongación (m) mg (N) 2,450 0,011 3,430 0,032 3,724 0,037 4,214 0,047 4,704 0,056 4,900 0,061 5,194 0,066 5,684 0,076
Periodo 0,553 0,622 0,659 0,696 0,736 0,760 0,812 0,831
Tabla No. 5: Datos para graficar de resorte 1 oscilando
Tabla No. 3: Datos para graficar de resorte 1
Resorte 2 masa (Kg) 0,38 0,45 0,55 0,60 0,65 0,70 0,80 0,85
Resorte 2 Elongación (m) mg (N) 2,450 0,01 3,430 0,02 3,724 0,037 4,214 0,048 4,704 0,057 4,900 0,062 5,194 0,068 5,684 0,079
Periodo 0,616 0,644 0,694 0,724 0,753 0,794 0,826 0,860
Tabla No. 6: Datos para graficar de resorte 2 oscilando
Tabla No. 4: Datos para graficar de resorte 2 También tendremos las siguientes 4 tablas que representan la relación entre el periodo de oscilación respecto a la masa, esto de manera obvia involucra la constante de elasticidad, que la hallaremos por medio de gráficas y regresiones para poder ser comparadas con los valores que llamaremos teóricos.
Resorte 1 y 2 en serie masa (Kg) Periodo 0,38 0,820 0,45 0,888 0,55 0,986 0,60 1,022 0,65 1,061 0,70 1,107 0,80 1,171 0,85 1,218
Consideraremos una tabla que tiene los valores de masa y periodo para el resorte 1 en solitario. Otra tabla para valores en solitario, esta vez del resorte número 2. Luego encontramos unos valores que corresponden a la configuración en serie con los resortes 1 y 2.
Tabla No. 7: Datos para graficar de resorte 1 y 2 en serie oscilando
Y por último una tabla con una configuración en paralelo de estos dos resortes ya mencionados. 4
Resorte 1 y 2 en paralelo masa (Kg) Periodo 0,60 0,490 0,70 0,534 0,75 0,567 0,80 0,595 0,85 0,612 0,90 0,626 0,95 0,649 1,00 0,662 Tabla No. 8: Datos para graficar de resorte 1 y 2 en paralelo oscilando
Teniendo en cuenta las gráficas anteriores y su respectiva ecuación, encontramos que es del tipo:
=
+
Donde y será mg , x será la elongación x de nuestro resorte y el punto de corte b tendera a cero ya que si no existe una fuerza aplicada al resorte pues este no tiene por qué deformarse. Y por último se observa que la pendiente de esta recta será la constante de elasticidad del resorte que se está analizando. Conociendo esto, podemos decir que vamos a tomar como valores teóricos estas pendientes y también podemos hallar las constantes elásticas cuando están en serie y en paralelo:
1 2
4.2 Manejo de graficas
Primero veremos las gráficas generadas por la dispersión de puntos dela tabla 3 y 4; en las cuales se emplea una regresión lineal para completar nuestro objetivo trazando una línea de tendencia muy precisa.
1
= 50.103
= 43.599 1
1
1 2 1
=
+
1
1
1 2 =
50.103
+
43.599
= 23.313
=
Fig. 1. Línea de tendencia para la tabla Nº3
+
= 50.103 + 43.599 43.599 = 93.702
Ahora tendremos las gráficas de los resortes oscilando, en las cuales se presenta la relación entre el período y la masa dispuesta para el experimento. En estas graficas lo que hacemos es de nuevo emplear el grafico de dispersión, pero esta vez utilizáremos una regresión potencial ya que si hacemos énfasis en las siguientes ecuaciones llegamos a lo siguiente:
� = 2
Fig. 2. Línea de tendencia para la tabla Nº4
Movimiento armónico simple simple
√
2 2 22−2 ∗
=
=
0.9101
= 47.663
=
%
100 = 9.32%
Fig. 3. potenciación para la tabla Nº5
Entonces calculamos la k experimental para estos datos, da tos, ya que:
� 1
0.9046 =
1 1 11−1 ∗ =
Fig. 5. potenciación para la tabla Nº7
0.9046
1.3128 =
= 48.244
%
=
�
− ∗ =
100 = 3.71%
1.3128
= 22.907
%
=
= 1.74%
Fig. 4. potenciación para la tabla Nº6 0.9101 =
� 2 Fig. 6. potenciación para la tabla Nº8
6
100
0.6694 =
� − =
0.6694
= 88.103
%
=
∗
100 = 5.98%
Después de tener todos estos resultados, resultado s, que se enfocan sobretodo en el porcentaje de error de la medida teórica tomado como referencia en el sistema sin oscilar y la medida experimental de dicho k en cada uno de los resortes cuando estos se encontraban realizando un movimiento armónico simple Se obtuvieron porcentajes de error bastante aceptables que no sobrepasan el 10% de error y por lo tanto se puede decir que es un laboratorio medido con gran precisión, ya que, si realizamos un promedio de los porcentajes de error, obtendremos tan solo 5,19% de error en la práctica como tal, algo que es muy bueno y demuestra la efectividad de la practica empleando la teoría.
5. Conclusiones Se logró calcular la constante de elasticidad k de distintas formas y aplicando diferentes conceptos que no solo tienen que ver con el ámbito que se desarrolla en la práctica y de esa forma se aprende a utilizar diversos recursos en la solución de problemas generalizados. Se logró apreciar el comportamiento de la elongación del resorte cuando se le aplica cierta fuerza que hace que el sistema se deforme de una u otra forma.
Se conoció más a fondo el modelo conceptual y el modelo matemático de lo que llamamos movimiento armónico simple, esto mediante su sistema sencillo, que no tiene nada de complejidad como lo pueden ser otros sistemas, y es fácil de estudiar y relacionar con el ámbito cotidiano. 6. Referencias
BOBADILLA, J. (2012). Movimiento armónico simple. Blog Física Conceptual. Consultado el día 13 de Agosto de 2016. [ONLINE] Disponible en la URL: https://fisicasuperficial.wordpress.com/movimiento-armonico-simple/ GARCÍA, H. (2008). Ley de Hooke. La gran Enciclopedia Ilustrada del proyecto Salón Hogar. Consultado el día 13 de Agosto de 2016. [ONLINE] Disponible en la URL: http://www.proyectosalonhogar.com/Enciclopedia_Ilustrada/Ciencias/Ley_de_Hooke.htm INZUNZA, J. (2012). Capítulo 11. Movimiento oscilatorio. Introducción a la Mecánica. Facultad de ciencias físicas y matemáticas, Departamento de la Física
