Físi ísic ca I
Unive iver rsi sid dad Naciona nall Mayor de San Mar arc cos
INVESTIGANDO UN FENÓMENO DE LA NATURALEZA MOVIMIENTO PENDULAR
EXPERIENC IA N°3 I.
INTRODUCCION En este capítulo que trata de movimiento pendular daremos una serie explicaciones, gráficas de movimiento, cuestionarios, etc. Péndulo, dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. Este movimiento fue estructurado por primera vez por Galileo Galilei, el cual construyó varios péndulos para demostrar sus razonamientos. Cincuenta años después Huygens aplico el movimiento pendular al movimiento de los relojes. Un siglo más tarde León Fulcalt descubre que el movimiento pendular se debe principalmente al movimiento de rotación de la Tierra. El estudio de este tema nos servirá para para comprender los m movimientos ovimientos pendulares; ya que son múltiples los que podemos encontraren distintas ocasiones y dimensiones, también a través de esta experiencia aprenderemos a desmenuzar los distintos elementos que tiene este movimiento en particular. Les invito a leer este informe que fue dedicado por todo el grupo que lo integra, y además dar a conocer lo que aprendimos en el laboratorio.
II.
OBJETIVOS 1. Establecer una ley mediante el movimiento movimiento de un péndulo simple. 2. Medir tiempos tiempos de eventos con una precisión precisión determinada. determinada. 3. Calcular la aceleración de de la gravedad gravedad experimental experimental en el laboratorio.
EQUIPOS Y MATERIALES
III.
Soporte universal
Varilla
Cuerda
Juego de pesas
Cronómetro
Regla métrica
Transportador circular
Hojas de papel milimetrado
Hoja de papel logarítmico
Juego de pesas : 100g, 50g, 20g, 10g
IV. FUNDAMENTO TEÓRICO Un péndulo simple está constituido por un cuerpo cuya masa "m" con respecto a la cuerda que lo sostiene es muy superior, de modo que se considera toda la masa concentrada en el centro de masa del cuerpo, que oscila en torno al punto fijo S.
Para una pequeña amplitud, el péndulo simple describe un movimiento armónico simple, cuyo periodo depende solamente de la longitud del péndulo y la aceleración "g" debido a la fuerza de gravedad, se expresa teóricamente:
T = 2π
√(L/G)
Donde “L” representa la longitud medida desde el punto de suspensión hasta la masa pu ntual
Elementos y ca racterísticas de un péndulo simple. 1. Cuerpo de masa m tipo plomada (en relojes normalmente tiene forma de lenteja). 2. Cuerda inextensible de longitud L, de masa despreciable. 3. Amplitud es el ángulo 6 formado entre posición de dirección vertical del
péndulo y la dirección determinada por la cuerda en una posición de desplazamiento pequeño de la masa pendular. 4. Oscilación completa, es el movimiento del péndulo que partiendo de una posición extrema (un ángulo pequeño Ɵ = 12°), llega a la otra y vuelve a la posición inicial. 5. El periodo T es el tiempo que demora el péndulo en realizar una oscilación completa.
T rata mie nto del movimiento del p éndulo simple 1. Se aleja el péndulo de su posición de equilibrio, considerando una amplitud angular no mayor de 12°. Se observa que el péndulo oscila bajo la acción de su peso que no se equilibra con la tensión de la cuerda; resultando oscilaciones isócronas. 2. Se analiza la combinación de la energía potencial y la energía cinética para este movimiento oscilatorio. En el siguiente espacio dibuje identificando en qué lugar del movimiento, el péndulo almacena energía potencial y en qué lugar se manifiesta la energía cinética.
Hilo (cm) Cuerpos de masa (g) Regla graduada Semicírculo graduado ɵ 12°: amplitud de oscilaciones
V.PROCEDIMIENTO 1. Observe el cronómetro y analice sus características. Aprenda su manejo. ¿Cuál es el valor mínimo en la escala?, ¿Cuál es el error instrumental a considerar, consulte con su profesor? 2. Disponga un péndulo de masa m = 50 g y de longitud L = 100 cm.
3. Aleje ligeramente la masa a una posición cerca de la posición de equilibrio formando un ángulo Ɵ, (Ɵ < 12°). 4. Suelte la masa y mida con el cronómetro el tiempo t que se tarda en realizar 10 oscilaciones completas. 5. Cuando el péndulo se mueve con una L igual a 100 cm, que por efecto de ser desplazado a una amplitud de 12° de la posición de equilibrio, inicia un movimiento de vaivén hacia el otro extremo equidistante de esta posición, y continua este movimiento oscilatorio de 20 segundos que corresponden aproximadamente a 10 oscilaciones completas; número y tiempo óptimo para medir el tiempo T de una oscilación completa. 6. Determine el periodo T de una oscilación completa experimental de acuerdo a la siguiente relación: T = t/N donde N es en número de oscilaciones completas. 7. A continuación revisar la medida “L” del péndulo que hizo oscilar. Observe si la cuerda tiene el comportamiento de cuerda inextensible o hay una variación en su medida. Coloque la nueva medida como L´final en la tabla N°1. 8. Hacer mediciones para 10 oscilaciones completas para cada medida de L, revisando las L como el paso 7; colocar los “t” medidos en la Tabla N°1 así como los nuevos valores de L.
VI. DATOS TABLA N°1 Longitud antes
Longitud Final
(cm)
(cm)
L
T de 10 oscilaciones completas (s)
T periodo
T²
(s)
(s²)
L´
100
102
22.06
2.206
4.866
80
82
19.50
1.950
3.802
60
61
17.31
1.731
2.996
50
51
16.57
1.657
2.746
40
40.5
14.87
1.487
2.211
30
31
13.66
1.366
1.866
20
21
11.97
1.197
1.433
10
10
10.06
1.006
1.012
9.
En el papel milimetrado grafique T versus L´ y L´ versus T ¿Qué graficas obtiene? ¿Cuál es más fácil reconocer, según sus estudios? La grafica de de (T vs L´) tiene una forma exponencial y la gráfica de (L´ vs T) tiene la forma de una función polinomica de grado 2. La más fácil de reconocer seria la exponencial, ya que conocemos sus fórmulas para hallar sus ecuaciones.
10. En el mismo papel milimetrado, grafique T² versus L´ ¿Qué tipo de grafica obtiene usted ahora? Es de la forma lineal donde la pendiente está dada por 0.041 11. ¿Se establece una proporcionalidad directa entre T² y L´? Use la pendiente para expresar la formula experimental. La fórmula experimental es: T² = 0.041 L´ + 0.023
12. Realice mediciones para péndulos de 50 cm de longitud y diferentes valores de masas. Considere una amplitud angular de 10°. Complete la Tabla N°2.
TABLA N° 2 m(g)
30
40
50
60
70
80
90
100
t(s)
15.5
15.82
15.93
16.06
16.08
16.13
T(s)
1.55
1.582
1.593
1.606
1.608
1.613
13. Realice mediciones en un péndulo de 50 cm de longitud y la masa 150 g para diferentes amplitudes angulares. Complete la Tabla N°3
TABLA N° 3 Ɵ (°)
2°
4°
6°
8°
10°
12°
30°
45°
t(s)
16.38
16.15
16.06
16.31
16.50
16.03
16.56
16.91
T(s)
1.638
1.615
1.606
1.631
1.650
1.603
1.656
1.691
VII. CUESTIONARIO 1. De la tabla 1 grafique T2(s) versus L´(cm) en papel milimetrado; coloque la variable L en el eje X y la Variable T2 en el eje Y. A partir del gráfico calcule el valor de g. Determine el error porcentual experimental con respecto al valor g = 9,78m/s2 (aceleración de la gravedad en Lima) T² 4.866 3.802 2.996 2.746 2.211 1.866 1.433 1.012 Σ T² =20.932
L´ 102 82 61 51 40.5 31 21 10 Σ L´=398.5
T² * L´ 496.332 311.764 182.756 140.046 89.545 57.846 30.093 10.12 Σ(T² *
(T²)²
L´)=
23.677 14.455 8.976 7.540 4.888 3.482 2.053 1.024 Σ (T²)² = 66.095
1318.502
m = 24.353
b = -13.906
CALCULO DEL VALOR EXPERIMENTALDE LA ACELERACION DE LA GRAVEDAD
La ecuación se define como: L´ = m*T² + b Reemplazando: L´ = 24.353*T² - 13.906 (ECUACION DE LA RECTA) Aproximándolo seria: L´ (m) = 24.353 ( cm/s²) T² ….(1) Se sabe:
T = 2π√(L/G) ….(2) Reemplazando (1) en (2) T = 2π√(24.353 T² / Gexp) Elevando al cuadrado,
T² = 4π² . 24.353 T² /Gexp Se simplifica T² y pasamos G al primer miembro Gexp = 4(3.1415…)². 24.353 Gexp =961.418 (cm/s²) Gexp = 9.61418 (m/s²)
CALCULO DEL ERROR EXPERIMENTAL
PORCENTUAL CON RESPECTO
AL VALOR DE g =9.78 m/s²
Se sabe que el error experimental es : Eexp = Valor teorico – Valor experimental Valor teorico Y que el error experimental porcentual es : %Eexp = Valor teorico – Valor experimental . 100% Valor teorico
%Eexp = (9.78 – 9.61418) . 100% = 1.695% 9.78
2. Explique cómo se ha minimizado uno de los errores sistemáticos con los pasos del procedimiento 7) 8). Se ha minimizado los error con los pasos del procedimiento 7 y 8, al utilizar una cuerda lo menos extensibles posibles, para así tener una longitud final igual que la longitud inicial.
3. Indique otros errores sistemáticos que operan en este experimento para cada una de las tablas. En la primera tabla el mayor error sistemático fue el de la variación que sufría la cuerda ya que después de la medición del periodo en algunas ocasiones se observaba que la longitud final de la cuerda aumentaba algunos milímetros. En la segunda sucede lo mismo el error de cálculo en la obtención del periodo
es acerca de la longitud final, también está la precisión de la persona en calcular el ángulo además del encargado de tomar el tiempo de las oscilaciones.
4. Exprese los errores aleatorios con los datos de la tabla Nº1. Error aleatorio de L´ ®L´ = 102 +82 +61+51+40.5+31+21+10 = 49.9 8 ® Ϭ =√ (49.9 – 102)² + (49.9 – 82)² +….= 0.175 8
Error aleatorio (Ea) = 3 Ϭ/√n-1 Ea = 0.198
5. Halle la formula experimental cuando se linializa la gráfica en papel log. de T versus L’. Sugerencia el origen debe ser (100,10-1). L´(cm) 102
T(s)
Log(L´)
Log(T)
Log(L´)Log(T)
2 Log(L´)
2.206 2.009
0.344
0.691
81
1.950
1.908
0.290
0.553
3.640
61
1.731
1.785
0.238
0.425
3.186
51
1.657
1.708
0.219
0.374
2.917
40.5
1.487
1.607
0.172
0.276
2.582
31
1.366
1.491
0.135
0.201
2.223
21
1.197
1.322
0.078
0.103
1.748
10
1.006
1
0.003
0.003
1
Σ=12.83
Σ=1.479
Σ=2.626
4.036
Σ=21.332
m = 8(2.626 )-(12.83)(1.479) = 0.336 8(21.332)-(12.83)
2
b= (21.332)(1.479)-(12.83)(2.626) = -0.354 2
8(21.332)-(12.83) B = antilog (b)
-0.354
Y = 10
0.336
x
-0.354
T = 10
(L´)
0.336
6. Con los datos de la tabla Nº2, grafique T(s) vs. m(g) en papel milimetrado. ¿A qué conclusión llega observando la gráfica?
El gráfico que obtenemos es una recta, por lo tanto deducimos que el periodo no se ve afectado por la variación de la masa del cuerpo que realiza el movimiento pendular.
7. Grafique T(s) vs
Ɵ
(grados) en papel milimetrado. Determine los pares
ordenados de la tabla N°3. ¿Existe alguna dependencia entre el periodo T con respecto a la amplitud angular Ɵ ? , Si este fuera así ¿cómo sería su dependencia?
T (s)
Ɵ(grados)
2 4 6 8 10 12 30 45 Σ = 117
(T )( Ɵ)
1.638 1.615 1.606 1.631 1.650 1.603 1.656 1.691
3.276 6.460 9.636 13.048 16.5 19.236 49.68 76.095 Σ = 193.931
Σ = 13.09
m = 8(193.931 )-(117)(13.09) = 0.001 2 8(3289)-(117) b= (3289 )( 13.09 )-(117)(193.931) = 1.613 8(3289)-(117)
2
(Ɵ)² 4 16 36 64 100 144 900 2025 Σ = 3289
T = 0.001 (Ɵ) + 1.613
Se demostró experimentalmente, que no existe relación, entre la amplitud angular y el periodo del péndulo, pues para cualquier ángulo el periodo de tiempo resulto 1.6 segundos aproximadamente. Haciendo la regresión lineal se obtuvo y = 0.001x + 1.613, que la pendiente 0.001 sea muy cercana al cero quiere decir que se trata de una función prácticamente constante, pero podríamos decir siendo bien
rigurosos que la dependencia
seria directa.
8. ¿Hasta qué valor del ángulo, el periodo cumplirá con las condiciones de un péndulo simple? La condición principal que se debe cumplir para que se cumpla un péndulo simple, es que el ángulo Ɵ se pequeño de modo que se cumpla: sen Ɵ lim Ɵ →0
Ɵ
= 1 … (1)
Para responder a la pregunta, debemos preguntarnos para que ángulo Ɵ el senƟ comienza a ser considerablemente mayor que Ɵ, para ello graficaremos la función Podemos observar que la relación 1, es f (Ɵ)=
medianamente correcta en el intervalo de -0.1 a 0.1, considerando el valor positivo del ángulo, llegamos a la conclusión que el ángulo debe ser como máximo de 0.1 radianes.
Haciendo la conversión:
0.1x 180/3.14 = 5.73° sexagesimales
9. ¿Comprobó la dependencia de T vs L? ¿Cómo explica la construcción de relojes de péndulo de distintos tamaños? Utilizando los valores experimentales hacemos la gráfica de T vs L Experimentalmente se comprueba la dependencia directa del periodo (T) con respecto A la longitud “L”, mas como sabemos T = 2π√(L/G) , haciendo la comparación
con la formula experimental obtenida se llega a G =8.857 , pero sabemos que el valor de la aceleración de la gravedad es 9.8 aproximadamente, de aquí podríamos concluir que los efectos de la gravedad sobre el péndulo han sido disminuidos, por causas que podemos suponer como la resistencia del aire, el peso de la cuerda, la fricción de la cuerda con el eje, etc.
Si llegamos a la conclusión que el periodo no depende dela masa(g) ni de la amplitud ( °) ; el tamaño en esta caso no va importar, solo se va tomar en ɵ
cuenta la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad.
10. Cuando la longitud del péndulo de un reloj se expande por efecto del calor, ¿gana o pierde tiempo? Ya que el periodo es D.P. con la longitud de la cuerda, entonces al aumentar la
longitud de la cuerda aumenta el periodo y ya que éste es el tiempo sobre el número de oscilaciones, el tiempo también aumenta. En ese caso se ganaría tiempo ya que éste aumentaría.
11. Explique el significado de la afirmación “péndulo que vate el segundo”. Se refiere al péndulo que cumple una oscilación simple en un segundo. Esto en lo experimental no existe ya que la cuerda no debe rozar con la argolla y que toda la masa del péndulo debe concentrarse en un punto (en su extremo) y esto solo es posible si hablamos de un péndulo que no exista, mejor dicho un péndulo simple.
12. ¿Por qué es necesario que la amplitud de oscilación para cada longitud es siempre menor que un décimo de la longitud usada? Ya que a mayor longitud de péndulo mayor será la curvatura de la oscilación y por lo tanto menor será la cantidad de oscilaciones en un intervalo de tiempo, entonces la longitud del péndulo determina el periodo, siempre y cuando el arco de oscilación sea menor que un décimo de la longitud usada para que el periodo no dependa del ángulo.
13. ¿En qué puntos de su oscilación, el péndulo tiene la mayor velocidad y la mayor aceleración? Explique. El péndulo alcanza su mayor velocidad, cuando en su oscilación pasa por la posición de equilibrio, es decir, cuando la amplitud de arco del sistema sea igual a cero. En otras palabras tendrá la mayor velocidad en el punto más bajo de su recorrido. Por otro lado la aceleración tendrá su mayor valor en el punto más alto de su trayectoria, pues ahí posee una mayor fuerza de empuje para realizar el vaivén.
VIII. CONCLUSIONES
•
El movimiento pendular es un movimiento armónico simple con frecuencia y
•
periodo definido. El periodo depende de la longitud del péndulo y no existe relación alguna con la masa.
•
Al investigar este fenómeno de la naturaleza, tomando en cuenta diferentes variables como: el tamaño de la cuerda que sostiene la masa del péndulo, la misma masa del péndulo y controlando los posibles errores, tanto estadísticos como sistemáticos, conoceremos las causas del movimiento oscilatorio que se produce en el péndulo por el desequilibrio entre la fuerza centrípeta y el peso de la masa colocada, ya que ninguna otra fuerza actúa en nuestro fenómeno físico.
•
•
El valor del periodo es independiente del ángulo inicial de desviación inicial.
El tratamiento de datos experimentales es muy importante en la presentación
de resultados, su uso hace se hace indispensable.
•
Los métodos de linealización son útiles en la interpretación y presentación de
datos experimentales.
•
El tamaño de la masa no influye en el número de
p e r i o d o s y t a m b i é n concluimos que entre más larga sea la cuerda menos periodos cumple.
•
Las f órmulas matemáticas son usadas para respaldar l os resultados
experimentales y para guiar el entendimiento de los mismos.
