GUÍA Nº 3 DE FÍSICA II FLUJO Y LEY DE GAUSS (CB-412) 1)
Una carga puntual Q = 3 [nC], está a una distancia d = 5 [cm] de una superficie circular S de radio R = 3 [cm] como se muestra en la figura. Determine el flujo del vector campo eléctrico a través de S.
Resp.:
[
√] ; R
d
Q 2)
Una superficie plana de área 0,14 [m2] se encuentra fija en el plano XY. Si existe en la región un campo eléctrico dado por:
⃗ (̂̂ ), determine el flujo
eléctrico a través de esta superficie.
Resp.:
3)
Un hilo muy largo cargado uniformemente y situado en el eje de un círculo de radio R se apoya con uno de sus extremos en el centro del círculo. La carga del hilo por unidad de longitud es igual a . Determine el flujo del vector a través del área del círculo.
Resp.:
⃗
R
4)
La intensidad de campo eléctrico en una región del espacio está dado por
⃗ ̂̂ . Determine: (a) el flujo eléctrico que emana del cubo, (b) la carga neta contenida en el cubo de 1 [m] de lado.
Resp.: (a)
(b) Q
enc
= 53 [pC] z
1 [m]
1 [m] 1 [m] x
y
5)
Utilizando la definición de flujo, determine el flujo de campo eléctrico
⃗ de una
distribución lineal a través de una superficie esférica de radio R con el centro en un punto de la línea. Resp.:
6)
Una cáscara cilíndrica de radio 7,00 [cm] tiene su carga distribuida uniformemente sobre su superficie. La magnitud del campo eléctrico en un punto 19,00 [cm] radialmente hacia afuera de su eje (medido desde el punto medio del cascarón) es 36 [kN/C]. Use relaciones de aproximación para encontrar: (a) La carga neta sobre el cascarón y (b) El campo eléctrico en un punto a 4 [cm] del eje, medido radialmente hacia afuera desde el punto medio del cascarón.
Resp.: (a) Q = 912[nC];
7)
(b)
⃗ ⃗
Una esfera sólida no conductora de radio R posee una densidad de carga proporcional a
la distancia desde el centro dada por = Ar para r R, donde A es una constante. (a) Encuentre la carga total sobre la esfera, (b) Encuentre la expresión para el campo eléctrico dentro de la esfera (r R) y fuera de la esfera (r R) y (c) represente la magnitud del campo eléctrico como una función de la distancia r.
Resp.: (a)
8)
; (b) ⃗ para r R; ⃗ para r > R.
Una corteza esférica conductora cuyo radio interno es R1 y externo R2, tiene una carga neta cero. Una carga puntual +Q es localizada en el centro de la corteza tal como se muestra en la figura. (a) Use la Ley de Gauss y las propiedades de los conductores en equilibrio electrostático para encontrar el campo eléctrico en las tres regiones 0 r < R 1; R1 r < R 2 y r > R2, donde “r” es la distancia desde el centro, (b) Grafique las líneas de campo en todas las regiones. (c) Encontrar las densidades de carga en la superficie interna y externa de la corteza.
Resp.:(a)
para 0 r < R ; E = 0 para R r < R ; E = 0 para r > R ; (b)
1
1
2
2
9)
Una carga puntual q > 0 está rodeada por una superficie cerrada formada por un manto cónico de radio R y altura H, y una superficie semiesférica concéntrica con la carga, según se observa en la figura. Calcule el flujo de campo eléctrico a través del manto cónico.
Resp.:
q
H
10) Si la distribución cilíndrica de cargas de figura es muy larga, tiene radio R y densidad de carga volumétrica ρ = εoA/r, donde A es una constante y r es la distancia al eje de la distribución, calcule: a. El campo eléctrico en el interior de la distribución. b. El campo eléctrico en el exterior de la distribución. ; (b) E = A R/r2 Resp.: (a)
ρ R
11) Si en el centro de un cascarón conductor esférico de la figura de radios R 1 = 2R; R2 = 4R se ubica una carga Q1 = +8q, calcule usando los símbolos π, q y R: a. La densidad de carga inducida en la superficie interior del conductor. b. La densidad de carga inducida en la superficie exterior del conductor. Resp.: (a)
;
(b)
R1
R2 +
Q
12) Una corteza cilíndrica infinitamente larga, coaxial con el eje que tiene un radio de 15
[cm] y posee una densidad de carga superficial σ1 = 6 [µC/m2]. Una corteza esférica de 25 [cm] de radio está centrada en el eje X en x = 50 [cm] y posee una densidad de carga superficial P (20, 10) [cm]. Resp:
σ2
= -12 [µC/m2]. Determine la intensidad de campo eléctrico en
⃗ ̂ ̂
y
[KN/C]
RC = 15 [cm]
P
RE = 25 [cm]
10 [cm]
x
20 [cm] σ σ
1
50 [cm]
2
13) Un campo eléctrico de magnitud igual a 350 [KN/C] se aplica a lo largo del eje x. Calcule el flujo eléctrico a través de un plano rectangular de un plano rectangular de 0,350 [m] de ancho y 0,700 [m] de largo si (a) el plano es paralelo al plano YZ; (b) es paralelo al plano XY; y (c) el plano contiene al eje Y y su normal forma un ángulo de 40° con el eje x. 2 2 2 Resp.: (a) ΦE = 857,5 [Nm /C]; (b) ΦE = 0 [Nm /C]; (c) ΦE = 656,9[Nm /C] 4
14) Un campo eléctrico vertical de 2,00 x 10 [N/C] de magnitud existe sobre la superficie de la Tierra un día en el que amenaza una tormenta. Un auto que puede considerarse como un rectángulo de aproximadamente 6,00 [m] por 3,00 [m] viaja a lo largo de un
camino inclinado de 10° hacia abajo. Determine ele flujo eléctrico a través de la base inferior del auto. 4 2 Resp.: ΦE = 35,5 x 10 [Nm /C]. 15) Una espira de 40,0 [cm] de diámetro gira en un campo eléctrico uniforme hasta que se encuentra la posición de máximo flujo eléctrico. El valor que se mide del flujo en esta 5 2 posición es de 5,20 x 10 [Nm /C]. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico? 5 Resp.: E = 4,1 x 10 [N/C] 16) Considere una caja triangular cerrada que descansa dentro de un campo eléctrico horizontal de magnitud E = 7,80 x 10 4 [N/C], como se muestra en la figura. Calcule el flujo eléctrico a través de: (a) la superficie vertical; (b) la superficie inclinada, y (c) toda la superficie de la caja. 3 2 3 2 Resp.: (a) ΦE = -2,3 x 10 [Nm /C]; (b) ΦE = 2,34 x 10 [Nm /C]; (c) ΦE = 0
30 cm
E 60° 10 cm
̂ ̂
cruza una superficie de área A ¿Cuál es el flujo 17) Un campo eléctrico uniforme a través de esta área si la superficie se ubica (a) en el plano YZ; (b) en el plano XZ y (c) en el plano XY?
Resp.: (a) Φ E = aA; (b) ΦE = -bA; (c) ΦE = 0
18) Una carga puntual Q se localiza en el centro de un anillo uniforme que tiene densidad de carga lineal λ y radio a, como se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico total a través de la esfera centrada en la carga puntual y que tiene radio R, donde R < a. Resp.: ΦE =
λ
R
Q
a
2
19) Una pared no conductora tiene una densidad de carga uniforme de 8,60 [µC/cm ] ¿Cuál es el campo eléctrico a 7,00 [cm] frente a la pared? ¿Obtiene otro resultado cuando varía la distancia desde la pared? Resp.: E = 47,5 [N/C]
20) En un día claro y soleado, un campo eléctrico vertical de aproximadamente 130 [N/C] apunta hacia abajo sobre suelo plano. ¿Cuál es la densidad de carga superficial sobre el suelo en estas condiciones? -9 2 Resp.: σ = 1,15 x 10 [C/m ] 21) Una larga barra metálica recta tiene un radio de 5,00 [cm] y una carga por unidad de longitud de 30,0 [nC/m]. Encuentre el campo eléctrico a (a) 3,00 [cm], (b) 10,0 [cm] y (c) 100 [cm] del eje de la barra, donde las distancias se miden perpendicularmente a la barra. Resp.: (a) EP = 0 [N/C], (b) E P = 5400 [N/C] (hacia afuera), (c) E P = 540 [N/C] (hacia afuera). 22) Calcule el flujo eléctrico que atraviesa la superficie de la zona esférica de la figura, cuando R = 0,2 [m]; = 36,87º; = 53,13º y q = 60 [C]. 5 2 Resp.: = 6,79 · 10 [N·m /C] Z
Y
X
23) Un conductor esférico de radio “a” tiene una carga Q 0. y se encuentra en el interior de un cascarón delgado y conductor de radio “b”, ver figura. Este último se halla conectado a tierra, a través de una batería de diferencia de potencial V1. a) Calcular la carga total sobre las superficies exterior e interior del cascarón. b) Hallar la expresión del campo y del potencial a una distancia “r” del centr o de las esferas, siendo: r < a; a < r < b y finalmente r < b. Resp.: (a) Q superficie interior = - Q 0 ; Q superficie exterior = 4 0 b V1 (b) si r a : E = 0 ; V = V1 + V = V1 +
Q 1 1 ; si a a b 0
4
Q 1 1 ; (c) si r 4 0 r b
b:
E=
b V1 r
2
r b:E= , V=
K Q0 r2
b V1 r
24) Un volumen que, en coordenadas cilíndricas, está entre R1= 2 [cm] y R2 = 4 [cm] contiene una densidad [C/m3]. Utilice la ley de Gauss para hallar el campo eléctrico en todas las regiones. Resp.: (i) Para r < R1; E = 0 [N/C]. (ii) Para R 1 < r < R 2: E2 =
E3 =
. (iii) Para r > R : 2
