El conjunto de los números reales es ordenado. Geométricamente, podemos representar el conjunto de los números reales mediante los puntos de una recta horizontal que llamamos recta real (Fig. 1). Es posible demostrar en un estudio riguroso de geometría, que a cada número real le corresponde exactamente un punto sobre la recta y que recíprocamente, cada punto de la recta corresponde a exactamente un número real, a lo que se le conoce como correspondencia biunívoca .
La representación gráfica de los números como puntos de una recta permite visualizar, sobre todo, las relaciones de orden. La suma es aún una construcción lineal, pero para construir productos hay que pasar al plano. Gráficamente, un número real a es menor que un número real b , si en la recta real el punto asociado a a está a la izquierda del punto asociado con b (Fig. 2). ( a
) b
Formalmente, sean a y b dos números reales. Se dice a es menor que b , y se escribe a < b (o bien b mayor que a , y se escribe b > a ) si b a es un número positivo.
Se tiene la desigualdad 2x + 3 > 11, en la cual x es una variable. Si asignamos valores a la variable x podemos observar, en la tabla siguiente, que algunos números producen enunciados verdaderos y otros producen enunciados falsos. 3 4 5 6
9 > 11 11 > 11 13 > 11 15 > 11
Falso Falso Verdadero Verdadero
Si se llega a un enunciado verdadero cuando se sustituye un número a en lugar de x, entonces a es una desigualdad. Así 5 y 6 son soluciones de 2x + 3 > 11, pero 3 y 4 no lo son.
de la
Una en una variable es un enunciado que involucra dos expresiones, donde al menos una expresión contiene la variable, separadas por uno de los los símbolos de desigualdad <, >, , o . Los símbolos < y > representan desigualdades estrictas , mientras que y sonno estrictas .
El
Si a, b
;
a
b si y solo s÷í a < b ó a
b (la expresión a
b, se lee lee a menor o igual que que b).
Si a, b
;
a
b si y solo s÷í a > b ó a
b (la expresión a
b, se lee lee a mayor o igual que b).
de una variable en una desigualdad es el conjunto de los números reales para los cuales están definidos los
miembros de la desigualdad. Son ejemplos de desigualdades lineales que tienen el conjunto de los números reales
como
dominio son x-6>8
3x + 5 < 11
Un ejemplo de desigualdad cuadrática que tiene a
x+5
2 < 4x + 6
x
6
14
como dominio es x2 + 2
-2
La desigualdad x+3
0
x-2
es racional. Debido al lado izquierdo no está definido cuando x reales excepto 2.
2, el dominio dominio de x es el conjunto conjunto de todos los números
una desigualdad significa encontrar todos los valores de la variable para los cuales el enunciado es cierto. Estos valores son llamados de la desigualdad y el conjunto de todas las soluciones se denomina .
Una real,
es aquella que es verdadera para cualquier número en el dominio. Por ejemplo si x es un número x+1
y
2
x 0
son desigualdades absolutas. EDERPAD Licmat 20.10
Una es aquella para la cual hay al menos un número en el dominio que no está en el conjunto solución. Para encontrar el conjunto solución de una desigualdad condicional, se procede de una manera similar a la empleada para resolver una ecuación; es decir se obtienen (aquellas que tienen el mismo conjunto solución) hasta que se tiene una cuyo conjunto solución sea evidente. Para obtener desigualdades equivalentes se utilizan las propiedades siguientes:
Al trabajar con desigualdades necesitaremos conocer ciertas propiedades que estas cumplen:
Para cualquier par de números reales a y b, solo es posibles establecer entre ellos una y solo una de las siguientes relaciones: a b. Para cualquier número real a, tenemos a 2
0.
En las propiedades siguientes, a, b y c son números reales.
Si a < b y b < c, entonces a < c. Si a > b y b > c, entonces a > c.
a
b
c
La interpretación geométrica de la propiedad transitiva se muestra en la figura 3; si el punto a está a la izquierda de b , y b está a la izquierda del punto c , entonces a está a la izquierda de c .
Se recomienda ejemplarizar la propiedad con casos concretos en donde se utilicen aspectos como la edad de los estudiantes , la estatura , etc.
Si a < b, entonces a + c < b + c. Si a > b, entonces a + c > b + c. La propiedad aditiva de las desigualdades afirma que el sentido, o dirección, de una desigualdad no cambia si se suma el mismo número a cada lado.
Se recomienda ejemplarizar la propiedad con casos concretos en donde se utilicen aspectos como las edades de los estudiantes comparándolas con sus edades años atrás ó años después , etc.
Si Si Si Si
a< a> a< a>
byc byc byc byc
> 0, entonces > 0, entonces < 0, entonces < 0, entonces
a a a a
c c c c
b >b
c. c. c. c.
La propiedad multiplicativa de las desigualdades afirma que el sentido, o dirección, de una desigualdad no cambia si cada lado se multiplica por un número real positivo; pero si cada lado se multiplica por un número real negativo, sí se invertirá la dirección. Propiedades semejantes a las anteriores son válidas para otras desigualdades y para
o .
Otra forma de expresar conjuntos de números descritos por desigualdades es utilizando la notación de intervalos. Esta notación es una manera conveniente y compacta de representar trozos de longitud finita y/o infinita en la recta numérica. Un intervalo es un subconjunto o porción de la recta real. Utilizaremos paréntesis Utilizaremos paréntesis “( )” o “ ”para indicar que un extremo no está incluido. Utilizaremos corchetes “ ” o “ ” para indicar que se incluye el extremo. Cuando Cuando expresamos expresamos intervalos, intervalos, rectas rectas o semirrectas semirrectas no acotados, acotados, utilizamos utilizamos el símbolo símbolo de infinito, infinito, - (que se lee menos infinito) infinito) o + (que se lee mas infinito infinito).). Los símbolo símboloss - y + no represent representan an números; números; son simpleme simplemente nte símbolos símbolos que nos nos recuerdan recuerdan que que el intervalo intervalo continúa por siempre, o disminuye (o aumenta) sin fin. Por lo tanto siempre escribiremos un paréntesis junto al símbolo .
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(a , b)
a
a ,b
a ,b
x
b
a
x
(a , + )
x > a
(-
x < b
, b)
x
a ,+
) b
a
b
a
) b
( a
b
( a
) + ) b
-
a a
-
x
,b
+
b -
(-
,+ )
-
x
No contiene extremos. Contiene los extremos.
a
a
a,b
( a
b ()
+ -
+
Contiene sólo izquierdo.
el
extremo
Contiene derecho.
el
extremo
sólo
No contiene el extremo izquierdo y se extiende indefinidamente hacia la derecha. Se extiende indefinidamente desde la izquierda y no contiene el extremo derecho. Contiene el extremo izquierdo y ) se extiende indefinidamente hacia la derecha. Se extiende indefinidamente desde la izquierda y contiene el extremo derecho. Se extiende indefinidamente ) desde la izquierda hasta la derecha.
Algunos ejemplos de intervalos acotados y no acotados se presentan en la siguiente tabla:
(-5 , 3) 3 9 , 2 2
-5 < x < 3
3 2
( -5
) 3
9
x
2
3
3
9 2
2.4 , 3.5
2.4
-1
(a , + )
x > a
(-
x < b
, b)
2
a
) b
( -7
-1
( a
) +
Infinita
) b
Infinita
x <3.5
-7 < x
-7 , -1
x
a
)
a -
x
,b
(-
,+ )
-
b x
Infinita
+ Infinita
1.1 6
a ,+
8
b ()
+ -
)
Infinita
+
Las operaciones realizadas entre conjuntos, tales como: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento, se puede trasladar a los intervalos, ya que los intervalos son subconjuntos del conjunto de los reales.
A
x / x
B A
B
A
x
x / x
B A
, es decir son los elementos que que pertenecen a A, a B a ambos. x
B
, es decir son los elementos que hacen parte de A
de B,
simultáneamente, o lo que es lo mismo son los elementos comunes a ambos intervalos.
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A
B
x / x
A
x
B
, corresponde a los elementos que pertenecen a A (primer conjunto)
más no pertenecen a B (segundo conjunto). A
B
x / x
A
B
x
B
A
x / x
A
B
, es decir son los
elementos que no pertenecen a la intersección de dos inte rvalos. A' x / x U x A , son los elementos que no hacen parte del conjunto A.
Representa gráficamente las siguientes operaciones entre intervalos y expresa el conjunto solución mediante un intervalo y mediante una inecuación: a) [3, 9]
∩
[5, 11]
c) (-∞, 5] U (-5, 7]
b) (2, 6) – [3, 10) d) (-∞, 6] – (-1, 4]
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