Guía 1 – Números Reales Matemática CBC - Exapuni Primera guía resulta de Matemática para e l CBC.
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Números Reales
Ejercicio 1: Representar en una…
a) El ejercicio plantea:
. Con que cualquiera de los dos valga se
La función está compuesta por dos términos: y cumple la igualdad. Por lo tanto:
⋁ ⋁ Los números reales que satisfacen la ecuación son:
y .
Los representamos en la recta:
b) El ejercicio plantea:
Despejamos la :
|| √ ⋁ Los números reales que satisfacen la ecuación son:
y .
Los representamos en la recta:
c)
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Notar que cambia la manera de expresar la frase “Todos los números reales” por
( pertenece a los reales). Ambas expresiones son equivalentes. El ejercicio plantea:
⋁ ⋁ Los números reales que satisfacen la ecuación son:
y .
Los representamos en la recta:
d) El ejercicio plantea:
⋁ ⋁ ⋁ || √ ⋁ ⋁ En este ejercicio se obtienen 3 valores como posibles soluciones que satisfacen la igualdad. Los representamos en la recta:
e) El ejercicio plantea:
⋁ 5
⋁ ⋁ || √ || √ es indeterminado en los números reales . Para obtener los posibles valores de se debe recurrir a los números complejos. Sin embargo el enunciado nos restringe a los números reales. Por lo tanto es indeterminado, no existe , para los reales. Por lo tanto puede tomar un único valor que satisface la ecuación en reales. El resultado de la ecuación
Lo representamos en la recta:
f) El ejercicio plantea:
En este ejercicio se puede ver que existen 3 términos:
⋁⋁ ⋁ ⋁ Los representamos en la recta:
g) El ejercicio plantea:
Lo cual es lo mismo que:
⋁ 6
Ambas ecuaciones son iguales.
Lo representamos en la recta:
h) El ejercicio plantea:
Lo cual es igual a:
Lo cual es lo mismo que:
⋁ Ambas ecuaciones son iguales.
Lo representamos en la recta:
i) El ejercicio plantea:
Realizamos factor común para simplificar los cálculos:
7
⋁ La expresión es la misma que la del ejercicio anterior, el resultado es . Por lo tanto como resultado obtenemos: ⋁ Lo representamos en la recta:
j) El ejercicio plantea:
Aplicamos factor común de
⋁ ⋁ ⋁ || √ ⋁ ⋁ Lo representamos en la recta:
Ejercicio 2: Decidir si los números…
a) i)
Reemplazamos
en la inecuación: 8
Reemplazamos en la inecuación: Verdadero. pertenece al conjunto planteado.
Falso. Por lo tanto no pertenece al conjunto planteado.
ii)
Reemplazamos
en la inecuación:
Falso. Por lo tanto no pertenece al conjunto planteado.
Reemplazamos
en la inecuación:
Verdadero. pertenece al conjunto planteado. iii)
Reemplazamos
en la inecuación:
Reemplazamos en la inecuación:
Falso. Por lo tanto no pertenece al conjunto planteado.
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Falso. Por lo tanto no pertenece al conjunto planteado. iv)
Reemplazamos
en la inecuación:
Verdadero. pertenece al conjunto planteado. Reemplazamos en la inecuación: Falso. Por lo tanto no pertenece al conjunto planteado. v)
Reemplazamos en la inecuación: Verdadero. pertenece al conjunto planteado. Reemplazamos en la inecuación: Verdadero. pertenece al conjunto planteado. vi)
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Reemplazamos en la inecuación: Verdadero. pertenece al conjunto planteado. Reemplazamos en la inecuación: Falso. Por lo tanto no pertenece al conjunto planteado. b) i)
Dos números que no pertenecen al conjunto son y . Dos números que pertenecen al conjunto son y .
ii)
Dos números que no pertenecen al conjunto son y . Dos números que pertenecen al conjunto son y .
Ejercicio 3: Escribir como un intervalo…
a)
b)
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c)
d)
e)
f)
g)
⋃ Ejercicio 4: Escribir como un intervalo…
a)
12
( )
b)
( ) c)
d)
13
Falso. Debido a que no es correcto el resultado es el conjunto vacio ( ).
e)
Verdadero. Debido a que es correcto el resultado son todos los reales ( ).
f)
( ) Notar que cambia el signo de la inecuación, esto se da siempre que se pase multiplicando o dividiendo un número negativo. No olvidar esto que es importante.
g)
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h)
Ejercicio 5: Juan salió de su casa con…
Gastos: Reserva: Dinero Inicial:
Expresamos los números en forma de ecuación:
Juan puede comprar como máximo 5 cuadernos.
Ejercicio 6: Escribir como un intervalo…
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a)
El producto debe dar positivo, para que esto suceda existen dos posibilidades.
⋀ ⋀
⋁ ⋁
⋀ ⋀
⋀ se interpreta como intersección. El símbolo ⋁ representa unión. El símbolo
Por lo tanto el conjunto solución es:
⋃ b)
El producto debe dar negativo, para que esto suceda existen dos posibilidades.
⋀ ⋀
⋁ ⋁
⋀ ⋀
De la primera posibilidad, se puede ver que no existe intersección, por lo t anto la solución es el conjunto vacio. De la segunda posibilidad se obtiene la intersección
Por lo tanto el conjunto solución es:
c)
Realizamos factor común
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Como se puede apreciar nos queda una e cuación similar a la del ítem a. El producto debe dar positivo, para que esto suceda existen dos posibilidades.
⋀ ⋀
⋁ ⋁
⋀ ⋀
Por lo tanto el conjunto solución es:
⋃ d)
Lo representamos con sus raíces para simplificar la solución.
El ejercicio es similar al ítem b. El producto debe dar negativo, para que esto suceda existen dos posibilidades.
⋀ ⋀
⋁ ⋁
⋀ ⋀
De la primera posibilidad se puede ver que no existe intersección, por lo tanto la solución es el conjunto vacio. De la segunda posibilidad se obtiene la intersección
Por lo tanto el conjunto solución es:
Ejercicio 7: Escribir como un intervalo…
a)
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Es importante destacar que no se puede pasar el termino
multiplicando ya que no
sabemos el valor de , el mismo puede ser tanto negativo como positivo y eso afecta el se ntido del signo de la inecuación. Por lo tanto tenemos que descomponer en posibilidades para resolver la inec uación. Para que
sea mayor a es necesario que tanto denominador como numerador tenga el
mismo signo. Por lo tanto lo resolvemos de la siguiente manera:
⋀ ⋀ ⋀
⋁ ⋁ ⋁
⋀ ⋀ ⋀
Por lo tanto el conjunto solución es:
⋃ b)
El ejercicio es similar al ítem anterior . Para que
sea mayor a es necesario que tanto denominador como numerador tenga el
mismo signo. Por lo tanto lo resolvemos de la siguiente manera:
⋀ ⋀ ⋀
⋁ ⋁ ⋁
⋀ ⋀ ⋀ En el primer caso existe una intersección en el intervalo , en el segundo caso la
intersección es el conjunto vacío. Por lo tanto:
( )
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c)
Para que
sea menor a es necesario que tanto denominador como numerador tenga
signos diferentes. Por lo tanto lo resolvemos de la siguiente maner a:
⋀ ⋁ ⋀ ⋀ ⋁ ⋀ ⋀ ⋁ ⋀ Del primer caso se obtiene el intervalo , del segundo caso se obtiene el intervalo Por lo tanto el conjunto solución es:
⋃ ( ) d)
Escribimos las diferentes posibilidades:
⋀ ⋀
⋁ ⋁
⋀ ⋀
En el primer caso, no hay intersección, por lo tanto, la solución es e l conjunto vacío. En cambio en el segundo caso existe una intersección en
Por lo tanto:
e)
19
Escribimos las diferentes posibilidades:
⋀ ⋀ Del primer caso se obtiene el intervalo
⋁ ⋁
⋀ ⋀
, del segundo caso se obtiene el intervalo
Por lo tanto el conjunto solución es:
⋃ ( ) f)
Escribimos las diferentes posibilidades:
⋀ ⋀ ⋀
⋁ ⋀ ⋁ ⋀ ⋁ ⋀ Del primer caso, se obtiene el intervalo , en el segundo caso no hay intersección por
lo tanto el resultado es el vacío. Por lo tanto:
g)
20
Escribimos las diferentes posibilidades:
⋀ ⋁ ⋀ ⋀ ⋁ ⋀ ⋀ ⋁ ⋀ Del primer caso se obtiene el intervalo , del segundo caso se obtiene el intervalo . Por lo tanto el conjunto solución es:
⋃ h)
(Se multiplica ambos miembros por para llegar a la expresión) Notar que x debe ser menor a 0 para que se satisfaga la inecuación. No puede tomar el valor 0 ya que se produce una indeterminación. Por lo tanto:
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i)
Escribimos las diferentes posibilidades:
⋀ ⋀
⋁ ⋁
⋀ ⋀ En el primer caso no hay intersección, del segundo caso se obtiene el intervalo Por lo tanto el conjunto solución es:
j)
Obtenemos las soluciones de la inecuación:
Por lo tanto:
22
k)
Escribimos las diferentes posibilidades:
⋀ ⋀ ⋀
⋁ ⋁ ⋁
⋀ ⋀ ⋀ En el primer caso, no hay intersección, del segundo caso se obtiene el intervalo . Por lo tanto el conjunto solución es:
l)
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Escribimos las diferentes posibilidades:
⋀ ⋀
⋁ ⋁
⋀ ⋀ En el primer caso, hay una intersección en el intervalo En el segundo caso no hay intersección. Es importante tener en cuenta que la función no puede tomar el valor . Ya que en ese valor se anula el denominador. Es por ese motivo que el intervalo en el valor es abierto.
Ejercicio 8: Representar en la recta…
a) Para representar lo que indica el e nunciado se utiliza la siguiente notación:
{ || tiene dos soluciones posibles en este caso para que al aplicar el valor absoluta se obtenga como resultado . ⋁ Estos son los dos números que cumplen con lo que solicita el e nunciado (todos los números reales
que están a distancia del ) Los representamos en la recta.
b) Se representa:
{ || , lo cual también se puede expresar como:
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c) Se representa:
{ | | , lo cual también se puede expresar como: d)
tiene dos soluciones posibles en este caso para que al aplicar el valor absoluta se obtenga como resultado . ⋁ Los representamos en la recta.
e) Se puede expresar como
Y el grafico correspondiente es:
f)
No importa que valor tome , no existe ningún número real que al aplicarle valor absoluto de como resultado un número negativo. Por lo tanto la solución es el conjunto vacío. g)
{ || Se representa:
⋁ Por lo tanto el conjunto solución es:
⋃ 25
h)
{ ||
En este caso cualquier valor que tome va a cumplir con la inecuación. Ya que se encuentra dentro de un módulo el re sultado siempre será positivo. Por lo tanto el conjunto solución es todos los reales.
Ejercicio 9: Representar en el plano…
a) Representamos todos los puntos del enunciado en el plano:
b) i)
simétrico, respecto del eje , es un punto que está en “espejo” respecto del eje Un punto
Vamos a obtener los puntos simétricos de los puntos planteados por el enunciado:
26
( ) ( ) Los graficamos:
ii)
simétrico, respecto del eje , es un punto que está en “espejo” respecto del eje Un punto
Vamos a obtener los puntos simétricos de los puntos planteados por el enunciado:
27
( ) ( ) Los graficamos:
Ejercicio 10:
Si después de hacer este ejercicio, te quedaste con dudas, consultá a través del foro de la materia en el post del ejercicio:
http://www.exapuni.com/for os/mpost/80/350/Gu%C3%A Da%20N%C2%BA1:%20Ejercic io%2010
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a) Para resolver este tipo de ejercicio se recurre a la fórmula de distancia, la distancia de
y se obtiene con la formula:
Ahora vamos a aplicar la formula a los ej ercicios planteados. i)
√ √ ii)
√ √ iii)
√ √ b) El perímetro es la suma de los lados, es por eso que vamos a utilizar la fórmula de distancia aplicada a los vértices para obtener los lados y así obtener el perímetro.
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√ √ √ √ √ √ c) En este caso nos dan la distancia y un punto. Debemos obtener posibles puntos:
La función resultante es una superficie que tiene el nombre de circunferencia. La misma se detecta por la forma de la ecuación.
30
, los puntos que se encuentran en el borde de la circunferencia son los que se encuentra a distancia . Estos puntos En el centro de la circunferencia se encuentra el punto
son infinitos. El enunciado nos pide 5 puntos.
Para calcularlos de forma sencilla despejamos una variable de la ecuación:
| | Reemplazamos el valor 3 (se puede tomar c ualquier valor) en las ecuaciones:
Un punto es Un punto es Reemplazamos el valor 1 en las ecuaciones:
Un punto es Un punto es 31
Reemplazamos el valor 2 en las ecuaciones:
√ Un punto es √ √ Un punto es √ d) El ejercicio es muy similar al ante rior:
Como hicimos anteriormente graficamos:
e)
Para que pase por el eje x, debe ser igual a 0. 32
√ Debido a que en los reales no existe la raíz cuadrada de un número negativo ningún punto
a distancia de pasa por el eje . f)
√ | | √ √ g)
h)
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El lugar geométrico de los puntos que e quidistan de dos puntos dados es la mediatriz del segmento que tiene a los puntos dados por e xtremos, es decir la perpendicular al segmento que pasa por el punto medio de éstos. Por lo tanto primero obtenemos el punto medio:
( ) ( ) y , sin embargo existen infinitos puntos que se encuentran en esta condición. Los mismos e stán dados por una recta que pasa por este punto y es perpendicular a la recta que se forma entre los puntos y . Vamos a obtener esta recta, debido a que en ambos puntos la coordenada , sabemos que esa es su recta. Ahora bien, sabemos que los puntos equidistantes a y son perpendiculares a la recta y pasan por el punto . Por lo tanto los mismos se encuentra en . Graficamos: Este es un punto equidistante a los puntos
i)
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