14-9-2015
Ensayo de números reales.
Roberto Oramas Bustillos. Jorge Eduardo Aguilar Cifuentes. 6:00-7:00 pm
Números reales Como comienzo de todo esto vamos notando gran parte de historia ya que los números se denominan como un símbolo con cierto valor y desde hace muchísimos años se han creado variadas numeraciones o símbolos para diferentes generaciones, zonas, culturas, etc. También se tiene que tener claro que existen dos tipos de números de los cuales se desglosan aún más tipos de números pero las dos ramas primarias o más generales son los números reales y los números imaginarios, en esta lectura se tomaran como idea principal los números reales de los cuales se verán características, su importancia y sus propiedades. Los números reales se dividen en cuatro: Números naturales (N): los números naturales son todos aquellos números que comienzan a partir del cero en forma ascendente, lo que también podemos entender como números enteros positivos únicamente. Estos como consiguiente llevan una gran manera de poder ser identificados, ya que tienen ciertas propiedades como por ejemplo: los números están ordenados por un patrón de símbolos La relación de orden ≤ se puede redefinir así: a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces se cumple:
a+c≤b+c a×c≤b×c Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b ≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:
a = (b × q) + r y r < b Los números q y r están unívocamente determinados por a y b. Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números. También se desprende otra rama dentro de esta misma categoría que son los números primos, Los números primos se contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen por lo menos un divisor natural distinto de sí mismos y de 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto. Los números primos menores que 100 son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
Números enteros (Z): los números enteros son todo numero entero sin importar si es negativo o positivo y al 0, este grupo de números se les puede abreviar lo la letra “Z” que es por el vocablo alemán zahlen que proviene de número. Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin
embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado. Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m. En este punto se nota que se puede hacer cualquiera de las operaciones básicas, utilizando estos números pero del cual se debe percatar de donde se está posicionando el número y con qué valor para saber su valor y tener una buena representación.
Números Racionales (Q) : son todos aquellos que tienen un cociente, los números racionales pueden ser representados con la letra “Q” con referencia a la palabra quotient utilizada en gran parte de Europa con el significado de cociente, después iremos más a fondo sobre las demás ramas de los números racionales. Que estos por como consecuencia o notoriedad, tienden a ser fracciones. Sus propiedades son igual que las de las anteriores únicamente que aquí se llevan quizá un poco más de procedimiento. La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional. Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica. En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de
equivalencia sobre Z.
Números irracionales: los números irracionales son números que no tienen un fin decimal, no tienen un ciclo o periodo repetitivo por lo cual no pueden ser fraccionados también pueden ser denominados números complejos. A diferencia de todos los demás este término tiene diferentes propiedades que son: La suma
y la diferencia de un número racional y de un número irracional es un número irracional. El producto de un racional diferente de cero por un irracional es un número irracional. El cociente de un racional (≠ 0) entre un irracional es un número irracional. El inverso de un número irracional es número irracional. Sea un binomio, formado por un racional más un radical de segundo orden, o la suma de dos radicales de segundo orden, que es irracional. Entonces su conjugado es irracional. Los valores de logaritmos vulgares o naturales y los valores de las razones trigonométricas, la inmensa mayoría no numerable, son irracionales. El número de Gelfond (2 elevado a la raíz cuadrada de 2) es un número irracional trascendente6 La raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto es un número irracional; también lo es la raíz enésima de un natural p que no es potencia enésima perfecta. Entre dos racionales distintos, existe por lo menos, un número irracional7 Las razones trigonométricas de un ángulo son irracionales, excepcionalmente, una de ellas en el caso de que dos de los lados del triángulo rectángulo sean racionales.
Los números reales fueron creados para poder darle entendimiento a las cosas cotidianas, se comenzó a tener una, necesidad de tener un conteo sobre cada una de las cosas ya sea que se tenía o que se podía llegar a intercambiar, de ahí surgieron los primeros números nos han servido a lo largo de nuestra vida y a lo largo de la historia ya que todo este grupo de números reales en especial los racionales y enteros han sido gran uso en nuestra vida cotidiana y la del mundo es una manera de comunicar muy fácil. Así como ahora nos han servido todos estos símbolos quizá se creen más o quizá se encuentren más o una manera más fácil de justificar las cantidades pero todo esto siempre seguirá en evolución, nunca se puede estar satisfecho con lo que ya tenemos, solemos ser ambiciosos.
