EXAME MENTEMA MA1:NÚMEROS OSREALES pr esent aci óndenúmer osr eal es - Re 1. A partir de la unidad fraccionaria 1/3, representa en la recta real: 1/3, 4/3, 6/3, -2/3 Solución:
2. En el diseño de un ingeniero aparece un triángulo equilátero cuo lado !ide " . #ndica un procedi!iento para que el ingeniero pueda to!ar la !edida de la longitud de dic$o lado pintar el triángulo. Solución: Sobre la recta real se construye un triángulo rectángulo con dos unidades por longitud de cada uno de sus catetos, en el que se puede comprobar que la hipotenusa mide 8 . Se toma esta medida con un compás y se lleva sobre la recta real cortando la misma en dicha posición.
3. %n delineante de&e pintar un cuadrado cuo lado de&e !edir !edida de dic$o lado.
11
indica co!o puede o&tener la
Solución: Sobre la recta real se construye un triángulo rectángulo con dos unidades por longitud de uno de los lados y tres en el otro, en el que se pude comprobar que que la hipotenusa mide 10 . La hipotenusa de este triángulo se usa como cateto de otro triángulo rectángulo. El otro cateto se toma de una unidad y la nueva hipotenusa medirá 11
4. 'epresenta en la recta real los siguientes n(!eros: ) 2
3
−
4
4
)
−
Solución:
−
−
" !
0
!
#
). 'epresenta en la recta real
26
utili*ando el +eore!a de itágoras.
Solución:
=
#$
#
+
1#
1 0
26
asi ficarnúmer osr eal es - Cl 1. lasifica los siguientes n(!eros deci!ales en racionales o irracionales eplica la ra*n: a0 ,))))))))... &0 ,12)6"312... c0 1,3)2)2)2... d0 ,) Solución: a% 0,... → &'()*+'L porque es un nmero decimal periódico y se puede e-presar en orma raccionaria b% 0,1#$/"1#... → )&&'()*+'L porque es un nmero decimal no periódico. c% 1,"###... → &'()*+'L porque es un nmero decimal periódico y se puede e-presar en orma raccionaria d% 0,→ &'()*+'L porque es un nmero decimal e-acto 2. lasifica los siguientes n(!eros deci!ales en racionales o irracionales eplica la ra*n: a0 1,3333... &0 2,124)124)12... c0 4,1"32)1"32)1... d0 6,14)24)34)4... Solución: a% 1,"0"00"000"... → )&&'()*+'L porque es un nmero decimal no periódico. b% #,1#!1#!1#... → &'()*+'L porque es un nmero decimal periódico y se puede e-presar en orma raccionaria. Su periodo es 1#! c% !,1/"#1/"#1... → &'()*+'L porque es un nmero decimal periódico y se puede e-presar en orma raccionaria. Su periodo es 1/"# d% $,1!#!"!!... → )&&'()*+'L porque es un nmero decimal no periódico.
3. lasifica los siguientes n(!eros deci!ales en racionales o irracionales eplica la ra*n: a)
π 2
b)
23
c)
3 3
d)
−
1 100001
Solución: a%
π
→
#
b%
#"
)&&'()*+'L porque el numerador de la racción es un nmero decimal no periódico.
→
)&&'()*+'L, ya que la solución de la ra23 tiene ilimitadas ciras decimales no periódicas.
" → )&&'()*+'L , ya que el numerador de la racción tiene ilimitadas ciras decimales no " periódicas. 1 d% − &'()*+'L porque el cociente de la racción es un nmero decimal periódico. → 100001
c%
-I nt er val os,semi r r ect asyent or nos 1. Escri&e di&ua no!&ra los siguientes inter5alos: a0 - 3 < < &0 - 4 < ≤ -1 c0 ≤ < 3
d0 - 1 ≤
≤2
Solución: a% 'bierto 45",0% b% 'bierto por la i3quierda 45!,516 c% 'bierto por la derecha 70,"% d% (errado 751,#6
2. Escri&e di&ua los siguientes inter5alos: a0 < −1 &0 - 1 < c0 ≤ Solución: a% ( − ∞,−1)
b% ( − 1,+∞)
c% [ 0,+∞ )
d0
≤1
d%
( − ∞,1]
3. #ndica el inter5alo que epresa el resultado de las siguientes operaciones:
a0 ( - ∞ , ) ( , ∞ ) = &0 ( - ∞ , ) ( , ∞ ) =
∞ , ] [ , ∞ ) = d0 ( - ∞ ,-3 ) ( − − 4 ) = c0 ( -
Solución:
a% ( 5 ∞,0 ) ( 0, ∞ ) = ( − ∞, ∞ ) − { 0} b% ( 5 ∞,0 ) ( 0, ∞ ) = 0/ c% ( 5 ∞,0 ] [ 0, ∞ ) = { 0} d% ( 5 ∞,5" ) ( − − ! ) = ( − ∞,− " )
4. #ndica el inter5alo que epresa el resultado de las siguientes operaciones: a0 ( - ∞,-3 ) ( − ,−4 ) =
&0 ( -
∞,-3) ( − ,−4 ) = c0 ( - 4,4 ) [ − 2,2 ] = d0 ( - 4,4 ) [ − 2,2 ] =
Solución:
a% ( 5
∞,5") ( − ,−!) = ( − ∞,−") b% ( 5 ∞,5") ( − ,−!) = ( − ,−!) c% ( 5 !,!) [ − #,#] = ( − !,!) d% ( 5 !,!) [ − #,#] = [ − #,#] ). #ndica el inter5alo que epresa el resultado de las siguientes operaciones:
∞ , ) ( , ∞ ) = &0 ( - ∞ , ) ( , ∞ ) = c0 ( - ∞ , ] [ , ∞ ) = d0 ( - ∞ ,-3 ) ( − − 4 ) = a0 ( -
Solución:
a% ( 5 ∞,0 ) ( 0, ∞ ) = ( − ∞, ∞ ) − { 0} b% ( 5 ∞,0 ) ( 0, ∞ ) = 0/ c% ( 5 ∞,0 ] [ 0, ∞ ) = { 0} d% ( 5 ∞,5" ) ( − − ! ) = ( − ∞,− " )
- Oper arut i l i zandol aspr opi edadesdel aspot enci as 1. Epresa el resultado co!o potencia (nica: 3 4
a0
2
&0 c0 - 6
3
4
3
2
2
2
:
6
-)
4
Solución: ! " # #! " = " a% ! !
#
b% −
5
#
# ⋅ −
c% ( 5 $)
"
:
−"
# = −
( − $ ) − ! = ( − $ ) " −( − ! ) = ( − $ )
2. Epresa los n(!eros co!o !ultiplicacin de factores iguales luego en for!a de potencia: a0
&0
3
3
3
)
)
)
)
c0 - 12" d0
1 62)
Solución:
1 )
)
"
− " ⋅ − " ⋅ − " = − "
a%
b%
1
=
( − ) ⋅ ( − ) ⋅ ( − )
c% 5 1#/ = ( 5 #) 1
d%
1
=
$#
!
1
( 5 )
= ( 5 ) 5 "
"
= −!
3. Epresa en for!a de una potencia que tenga co!o &ase un n(!ero pri!o: a0 )))) b) 3 3 3 1
c)
22222
d0
"1
e0
2 1
f)
2)
Solución: a0 8 8 8 7 4
( − " )8( − " )8( − " ) = ( − " ) "
b)
1 = #
1
c)
#8#8#8#8# d0
/1 9 "!
− # = ( − ") "
e)
1 #
# 1 =
4. En las siguientes operaciones, aplica las propiedades correspondientes epresa el resultado co!o potencia (nica: a0 - )
2 3
&0 63 6 2
-) 2
)
: -)
: 64
4
2
Solución:
[
a% ( 5 )
(
b% $
"
#
]
"
⋅ $# )
⋅ ( 5 ) : ( 5 ) ! = ( − ) $ ⋅ ( − ) :( − ) ! = ( − ) $ + − ! = ( − ) #
( )−
: $
!
#
=
($ )
#
:$
−/
= $10
:$
−/
= $10− ( −/ ) = $1/
). %tili*a las propiedades adecuadas para epresar el resultado de la siguiente operacin co!o una (nica potencia:
4 2 " 32
Solución: ! # 8/ − −1
"# 81$
#
− # ( # # ) 8( # " ) = (# ) −18(# ! ) #
=
# ! 8# −1 #
−
8#
/
=
# −11 #
"
= # −1!
1
)
16 2
- Op er arnúmer osennot aci ónci ent í fica 1. Escri&e los siguientes n(!ero en notacin cient8fica e indica su orden de !agnitud. a0 1... &0 6.3... c0 ,134 d0 ,1 Solución: a% 1.00.000.0009 ,1 8 10 10. *rden 10 b% $."00.000.000.0009 $," 8 10 1#. *rden 1# c% 0,000000001"!9 1,"! 8 10 5. *rden 5 d% 0,019,1 8 10 5#. *rden 5# 2. 'eali*a las siguientes operaciones, sin calculadora, epresando el resultado en notacin cient8fica: a0 91, 1-0 9 2,1 1 0 &0 96, 1 -40 : 9 1,) 1 -30 c0 92,3 1 120 9 3, 1 30 d0 94,) 1 0 : 9 2,) 1 -30 Solución: a% 41, 8 10 5% 8 4 #,1 8 10 % 9 ", 8 10 5# b% 4$,0 8 10 5!% : 4 1, 8 10 5"% 9 ! 8 10 51 c% 4#," 8 10 1#% 8 4 ", 8 10"% 9 ,! 8 10 1 d% 4!, 8 10 % : 4 #, 8 105"% 9 1,/ 8 10 1# 3. 'eali*a las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los n(!eros en notacin cient8fica a dos cifras deci!ales: a0 93,2 1 110 9 1,43 1 -0 &0 92, 1 -)0 9 3,1 1-30 c0 94,1 120 13 d0 91, 1 -0 9 2,1 1-0 Solución: a% 4",# 8 10 11% 8 4 1,!" 8 10 5% 9 ,"# 8 10 ! b% 4#, 8 10 5% 8 4 ",1 8 10 5"% 9 /, 8 10 5/ c% 4!,1 8 10 #% 8 10" 9 !,1 8 10 d% 41, 8 10 5% 8 4 #,1 8 10 5% 9 ", 8 10 5# 4. 'eali*a las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los n(!eros en notacin cient8fica a dos cifras deci!ales: a0 94,) 1-0 : 9 1,) 1 40 &0 93,6 1 0 : 9 1,2 1 -0 c0 96,) 1-40 : 9 1,3 1 -60 d0 96, 1 -40 : 9 1,) 1 -30 Solución: a% 4!, 8 10 5% : 4 1, 8 10 !% 9 " 8 10 511 b% 4",$ 8 10 % : 4 1,# 8 105% 9 " 8 10 1$ c% 4$, 8 10 5!% : 4 1," 8 10 5$% 9 8 10 10 d% 4$,0 8 10 5!% : 4 1, 8 10 5"%9 ! 8 10 51 9 0.!
). 'eali*a las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los n(!eros en notacin cient8fica a dos cifras deci!ales: a0 91,46 1 )0 9 ,2 1 40 &0 92,6 1 40 - 9 ,43 1 )0 c0 9,2 1110 9 ),4 130 d0 92, 1 -0 : 9 1,4 1 -)0 Solución: a% 41,!$ 8 10 % 4 ,# 8 10 !% 9 #,"/ 8 10 b% 4#,$ 8 10 !% 5 4 ,!" 8 10 % 9 5,1" 8 10 c% 4,# 8 10 11% 8 4 ,! 8 10"% 9 !, 8 10 1 d% 4#, 8 10 5% : 4 1,! 8 10 5% 9 #,0 8 10 5#
i carl aspr opi edadesdel osr adi cal es - Apl 1. Escri&e las siguientes ra8ces co!o eponentes fraccionarios si!plifica cuanto se pueda: a0
)
3 1
&0
2 14
c0
6
Solución: a% b%
10
"
10
=
"
=
"#
=
=
##
=
!
1!
#1!
c) $
=
# $
#
=
=
"
=
"!"
2. ;aca del radicando la !aor cantidad posi&le de factores: a0
4) <
&0
2) <
c0
3
24 <
d0
Solución: a%
!0
=
"! ⋅
= "#
b%
#0
=
# ⋅ "
=
#!0
= " # ! ⋅ " ⋅ = #" # ⋅ " ⋅ = #" "0 .
/00
=
c%
"
d%
# ⋅ #
=
#⋅
= ## ⋅
.
= #
10 .
= #0
#.
3. ;i!plifica los siguientes radicales: a0
"3
&0
3
16
c0
3
3
Solución: a%
/"
= (# " ) = # = #
b%
"
1$
= " #! = #
"
c%
"
1 " $ = =
1
$
"
( )
#
# =
4. Epresa co!o radical:
" .
a0
3 1 4
2
3 &0 ) 4
<
6
2
<
c0
1 13 )
3
4
<
d0
2 3
14
;
c% 1" #0
.
Solución: "1
a% 10
/
$
=
/
10
"1
;
b%
"
$ 1!
= 1! =
#/
"
"
=
1" 10
#1
=
10
1"
"
). ;aca del radicando la !aor cantidad posi&le de factores: a0
3
324 <
&0
<
4
c0
26 ⋅ 3 ) <
d0
23 ⋅ ) 4 ⋅ 32 .
Solución: a% b% c%
"#!0
= " " ! ⋅ # " ⋅ = " ⋅ #" " ⋅ = $" 1 .
000
=
"
!
#$ ⋅ "
#" ⋅ " # ⋅ "
#⋅
= $0
10 .
3 )
11 .
= # ⋅ " ! # # ⋅ " = $ ! 1# .
#" ⋅ ! ⋅ "#
d%
= #⋅"⋅
= # ⋅ # ⋅ "
#
= 10
#.
6. Epresa co!o radical: a0
3
1 <
&0
) 4
<
c0
13 4
#
#$
26 <
d0
Solución: a%
#1
10 ;
b%
#/
;
c%
=
#$
#" ;
d% 1 11 .
. Etrae del radicando el !aor n(!ero de t=r!inos posi&le: a0
) 13 ⋅ 3 23 ⋅ 2 1) <
&0
3
)4 <
c0 4 11) ⋅ 13 6 ⋅ 1 <
d0 4 64" .
Solución: a%
1" ⋅ " #" ⋅ # 1
b%
"
!00
= " # " ⋅ " " ⋅ # = # ⋅ "" # = $ " # ;
!
c% 11 ⋅ 1" $ ⋅ 1 d%
!
= ⋅ " " ⋅ # # $ ⋅ " # ⋅ # = !0 $ ⋅ " # ⋅ # ; = 11 ⋅ 1" ⋅ 1 ! 11 ⋅ 1" # ⋅ 1 " = #!"1! 11 ⋅ 1" # ⋅ 1 "
= ! # ! ⋅ " ! ⋅ = # ⋅ "! = $!
$!/0
.
- Oper arconr adi cal es 1. Efect(a los siguientes cocientes: a0
1) :
3 <
&0
3
2" : 3 <
c0
)
64 : ) 2 <
d0
"1 : 2 .
Solución: a% ;
b%
"
! ;
c%
"#
= #;
d%
" .
2. 'educe los siguientes radicales a 8ndice co!(n: a0
)
3 ,
2 ,
1)
1 <
&0
) , 1 ,
6
13 .
3. 'eali*a las siguientes operaciones: 4 a0 ) + 2 − 3 " < &0 113 "1 − 12 3 24 . ) Solución:
;
;
d% # !#
1
= ## =
#.
a%
=! b%
"
# ⋅ #
0
=
#
+
−$
#
= #
#;
=
= " " ! = "" " ;
/1
#"
=
/
=#
#
⇒
!
0
+
#
−"
/
! ⋅ #
=
+
#
−"⋅#
#
=
#. "
= " # " ⋅ " = #" " ⇒ 11" /1 − 1#" #! = 11 ⋅ "" " − 1# ⋅ #" " = """ " − ##" " =
#!
= 11" "
. 4. 'eali*a las siguientes operaciones: 1 2 a0 3 4 162 − 4 12) < &0 3 343 − ) )
−)
1)
2" .
Solución:
a% ! 1$#
=
! #
!
=
−
b% "!" #1
=
!
#
=
"! # ;
!
1#0
=
!
# ⋅ !
=
! #
"
#
=
−
;
10
1
=
=
# ⋅
=
;
= $(
"
+
.
-Raci onal i zar 1. 'acionali*a: a0 3
4
&0
) 6
c0
−
3
2
Solución: "
a%
"
=
b%
! $
$
! $
=
c) $ "
(
−
"
#
+
)(
# "
+
#
)
=
+ "−#
$ "
#
2. 'acionali*a: ) a0 3 6 4 &0 ) 6 c0
6 4
)
Solución: a%
"
$
=
⇒
" ! 1$#
#/
=
−
1! 1#0
=
" ⋅ "! #
−
1 ! ⋅ #
=
/! # .
=
=
−
# ⋅ "!
$# " $
"
=
$# "
"
"$ $ $
#
=
" "$ #1$
#
)
## ⋅
=
#
⇒
"⋅
−
# ⋅
−
⋅#
=
!
b%
=
$
!
=
$ $#
! $"
$ $# $"
=
! $" "$
=
$"
c) !
$ !
!
$ "
=
=
!
"
!
$ "
3. 'acionali*a: a0
) + 3 2 3
+3 + 3
2
&0
a
c0
+
a
&
Solución:
+" #
a% b%
"
" "
=
+" − + " )( − #
(
"
+"
$
" " "
)
=
1!
−
$ +" −"
c) a a
(
a
+
b
−
)(
b a
−
b
)
=
a a− b a− b
4. 'acionali*a: 3 + a0 3- )
&0
+ +1 )-
3 +
c0
2
3
Solución: " + - " 5 -
a%
"5-
+-
b%
" 5 -
+1
−-
=
5-
5- 5-
"−-
=
c) "
+
#
" "
"
=
). 'acionali*a: 1+ 2 a0 1− 3
#
"+ $ "
+ - +1 5 −-
−"
"
=
1!
−
$
+" !
−"
"
&0
+ + +
) )
c0
2
6 6
Solución: a% b%
1+ # 1+ "
(1
)(
" 1+ "
−
(
+
−
=
)
1+ "
)(
−
$
=
)
=
# 1− " +
$
+
= −
1+ "
#
+
+
$
#
− −
=−
−
#
c)
+ #+
(
− #−
$ $
#
)(
$
)
10
−
"0
+
#−$
6. 'acionali*a: 2 + 3 a0 2 &0 c0
6 2 ) 3 3 2
+)
3
2
Solución: a% b%
#+ "
#
# # $ # " " "
=
=
#
+
"
$ $ 1
#
$
#
c%
("
+
# #
=
=
("
# $
#
+ 1!
"
1#
−$
=−
10
−
"0 !
+
1#
−$
