Guia 02 - Numeros Reales

Matemática

INECUACIONES

La resolución de inecuaciones pertenece a la parte de la Matemática llamada Álgebra. En la vida diaria y más especialmente en el mundo del trabajo, nos encontramos con situaciones que nos llevan a plantear inecuaciones lineales. Aparecen en diversos contextos de la vida cotidiana, un puerto por ejemplo, entre las comunidades para comparar oertas, presupuestos, importar y exportar productos agr!colas, industriales, etc.

1. DESIGUALDADES Una desigualdad es aquella comparación que se establece entre dos números reales mediante los símbolos de desigualdad: < ; >; ≤ ; ≥ Luego, si a y b son números reales, entonces: a < b; a > b ; a ≤ b y a ≥ b se llaman desigualdades. Y se leen: a < b : “a menor que b” a ≤ b : “a menor o igual que b” a > b : “a mayor que b” a ≥ b : “a mayor o igual que b”

2. RECTA NUMÉRICA REAL s la !orma geom"trica que permite ordenar los números reales. #iste una correspondencia biuní$oca entre % y la recta.

Orden : a<0
3. DEFINICIONES: &ea a ∈ %. • • • • • •

'a( es positi$o ↔ a > ) 'a( es negati$o ↔ a < ) a > b ↔ a * b > ) a < b ↔ a * b < ) a ≥ b ↔ a > b ∨ a + b a ≤ # ≤ b ↔ # ≥ a ∧ # ≤ b

ener en cuenta que:

∧ : -ntersección ∩/ ∨ : Unión ∪/ Docente: Luis Antonio Vásquez García

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4. INECUACIONES: s una desigualdad en la que 0ay una o m1s cantidades desconocidas incógnitas/ y que solo se $eri!ica para determinados $alores de las incógnitas, o tal $e2 n unca se $eri!ica. 3or e4emplo: > e → Desigualdad x 3 > 2 − x    Inecuación y + seny ≤ y   π

5. CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S.) s el con4unto !ormado por todos los elementos que se $eri!ican para la desigualdad.

Ejemplo: Resolver: 2x + 1 > 7 Resolución: 2x + 1 > 7 2x > 6 x>3

⇒ Luego el conjunto conjunto solución es: C.. ! 〈 3 " +∞ 〉

6. PUNTO CRÍTICO Un punto crítico es aquel $alor que anula al polinomio, es decir al rempla2ar a la $ariable por dic0o $alor el resulto es cero.

Ejemplo: e# l# inecu#ción: $%x& ! %x + 3&%x + '&%x ( 2& ) * Resolución: gu#l#n,o # cero c#,# -#ctor p#r# ,etermin#r los puntos crticos: x+3!* x ! /3

x+'!* x ! /'

x(2!* x!2

⇒ Luego los $untos Crticos son: /3 " /' " 2

Docente: Luis Antonio Vásquez García

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INECUACIONES LINEALES . INECUACION LINEAL &on aquellas inecuaciones cuyo mayor e#ponente de la incógnita es la unidad. ambi"n llamadas inecuaciones de primer grado, tienen la !orma: a# 5 b > )

; a ≠ )

6onde: 'a#( es el t"rmino de primer grado y 'b( el t"rmino independiente.

!. RESOLUCIÓN DE LAS INECUACIONES DE PRIMER GRADO: Ejemplo: Resolver: 3x − ' > 0 Resolución:

Represent#mos gr-ic#mente: 3x − ' > 0 3x >  x>3

⇒ C.. ! 〈 3 " +∞ 〉

EJERCICIOS "1. %esol$er: 3x − 5 < x + 11 olución:


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"2. %esol$er: 4 x + 5 > 6 x − 13 olución:

"3. %esol$er: 4 −

1 2

≤

3 2

x

olución:


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"4. %esol$er:

7

>−

4

8 3

x

olución:

"5. %esol$er:

5 x − 1

−3

<

7( x + 1)

−2

olución:


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Matemática

"6. %esol$er:

x

−3 3

+

5 4

<

x

12

+

2x + 9 15

olución:

". %esol$er:

3(2 x − 2) 2

>

6x − 3 5

+

x

10

olución:


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!. %esol$er:

6 x − 3 2

− (2 x − 6) ≥

x

−3 4

olución:

"#. %esol$er:

2

(4 x + 2) − ( x − 2) ≤

3 olución:


4 13

(4 x + 5)

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SITUACIONES PRO$LEM%TICAS 3%78L9 ) La cantidad de c0oclos que tiene elipe, aumentado en =, es mayor que . ?@u1l es la cantidad mínima de c0oclos que puede tener elipeA

olución:

3%78L9 )B le#andra compra tres $eces el número de globos de sC. ),D) que el de sC. ),E). &i tiene sC. F para gastar en globos, ?@u1l ser1 el número m1#imo de globos de sC. ),D) que puede comprarA olución:


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3%78L9 )= 3edro compra dos $eces el número de rastrillos de sC. D que el de sC. . &i no tiene m1s que sC. F) para gastar en rastrillos, ?@u1l ser1 el número m1#imo de rastrillos de sC. D que puede comprarA

olución:

3%78L9 )F l perímetro de un 4ardín triangular isósceles es mayor o igual que F) m. &i el lado desigual es el cu1druple de otro lado, aumentado en B) m, ?@u1l es el mínimo m ínimo $alor entero que toma el lado menor del 4ardínA

olución:


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Matemática

3%78L9 )D Guana compra dos $eces el número de picos de sC. E que los de sC. H. &i tiene al menos sC. FF para gastar en picos, ?@u1l ser1 el número mínimo de picos de H soles que compraA

olución:

3%78L9 )I n un taller de c0ompas, unas seJoras te4ieron una cierta cantidad de c0ompas, de las que $endieron =. Kuedó m1s de E, ?@u1l !ue la mínima cantidad de c0ompas que se te4ieronA

olución:


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3%78L9 )E 9iguel tiene sC. DB) para gastar en ropa. &i compra un terno que cuesta sC. BD) y el precio de unas camisas es de sC. =) cada una, determine el mayor número de camisas que "l puede comprar.

olución:

3%78L9 ) Una compaJía !abrica 4uguetes que tienen un precio unitario de $enta de sC. B) y un costo unitario de sC. D. &i los costos !i4os son de sC. I)), determine el número mínimo de unidades que deben $enderse para que las compaJía tenga utilidades.

olución:


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3%78L9 )H Una empresa produce 4arras de $idrio. Las mencionadas 4arras tienen un precio unitario de $enta de sC.  y un costo unitario de sC. =. &i los costos !i4os son de sC. =)), determine el número mínimo de 4arras que deben $enderse para que la empresa tenga utilidades.

olución:

3%78L9 ) %icardo se dedica a la $enta de s1ndic0 de pollo. l precio de $enta al público es de sC. ,D) cada uno. iene un costo unitario de sC. ),) y un costo !i4o de sC. B). 6etermine el número de s1ndic0 de pollo que deben $enderse para que %icardo no tenga p"rdidas.

olución:


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3%78L9  Una empresa produce ca!eteras. Las mencionadas ca!eteras tienen un precio unitario de $enta de sC. =D y un costo unitario de sC. BE. &i los costos !i4os son de sC. F), determine el número mínimo de ca!eteras que deben $enderse para que la empresa no tenga perdidas.

olución:

3%78L9 B Lupita prepara marcianos de !ruta para $ender en su barrio. Masta sC. ),B) en !ruta y sC. ),B) en otros insumos como a2úcar, bolsas de marcianos, etc.../ por unidad. dem1s, debe aportar sC. B) mensual por consumo de lu2, agua y gas que utili2a para la preparación de los mismos. &i los $ende a sC. ),D) cada uno. ?@u1ntos marcianos debe elaborar y $ender para obtener utilidadesA

olución:


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INECUACIONES CUADR%TICAS &on aquellas inecuaciones cuyo mayor e#ponente de la incógnita es B. ambi"n llamadas inecuaciones de segundo grado, tienen la !orma: a#B 5 b# 5 c > ) ; donde a ≠ )

EJERCICIOS "1. %esol$er:

x

2

+ 11x + 28 ≥ 0

olución:

"2. %esol$er:

3 x 2

− 8x + 5 ≤ 0

olución:


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"3. %esol$er:

3 x 2

− 14 x − 5 ≤ 0

olución:

"4. %esol$er: 4 − x 2 ≥ 0 olución:


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"5. %esol$er:

4 x 2

− 81 ≥ 0

olución:

"6. %esol$er: − 4 x 2 + 4 x + 3 ≤ 0 olución:


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". %esol$er: 12 + x − x 2 ≥ 0 olución:

"!. %esol$er: x 2 + 3 x − 5 ≤ 0 olución:


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"#. %esol$er: x 2 − x < 0 olución:

1". %esol$er:

3 x 2

− 8x + 5 ≤ 0

olución:


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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES &on aquellas inecuaciones, que tienen la !orma:

          EJERCICIOS

"1. %esol$er:

{

4 x + 3 y

= 11 4 x − 3 y = 5

olución:

"2. %esol$er:

{

− y = −1 3 x + 2 y = 12

x

olución:


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"3. %esol$er:

{

3 x + 2 y

= 16 5 x − 3 y = −5

olución:

"4. %esol$er:

{

+ 2y = 7 2 x − y = 4

x

olución:


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"5. %esol$er:

{

+ x + x

y y

=3 = −1

olución:

"6. %esol$er:

{

+ 9 y = 21 −8 x + 15 y = 14

12 x

olución:


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SITUACIONES PRO$LEM%TICAS 3%78L9 ) Nelmira 0a incursionado en la producción de crema a base de baba de caracol; para la 'muestra gratis( decide presentarla en dos tipos de en$ase: en dados y en pelotitas. %ecuerda que B dados y una pelotita pesan EDg y; que  dado y B pelotitas pesan B))g. ?@u1nto pesa cada en$ases A olución:

3%78L9 )B Un padre desea moti$ar a su 0i4o para que resuel$a I problemas de matem1tica, le propone dar &C. B por cada problema bien resuelto, y &C. D perder1 por cada problema no resuelto. 6espu"s de traba4ar los I problemas el alumno recibe &C. E=. ?@u1ntos problemas estu$ieron bien resueltos y cuantos no estu$ieron bien resueltosA olución:


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3%78L9 )= Los docentes de una - participar1n, con una dan2a del 6epartamento de Gunin, en un esti$al olOlórico; para ello necesitan alquilar su $estuario. 3or un !ardo que contiene E $estuarios para damas y D para caballeros, les cobran &C. FF), y; por otro que contienen D para damas y B para caballeros les cobran &C. BI. llas y ellas desean saber cu1nto deben pagar cada uno por su $estuario. olución:

3%78L9 )F Los ) estudiantes, damas y caballeros, de la -nstitución ducati$a &an Luis de ru4illo, se !ueron de $ia4e de promoción al @usco. Padie lle$ó su bu!anda para el !río; así que tu$ieron que compr1rselas allí. La $endedora di4o tenía en total un lote de ) bu!andas para damas y caballeros, pero la di!erencia entre unas y otras era B); ellos $ieron que era de la cantidad e#acta que necesitaban ?@u1ntas damas y caballeros !ueron al paseo, si el número de ellos es menor que el de las ellasA e llasA olución:


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3%78L9 )D La asociación de padres de !amilia de una - de @0orrillos 0a $endido D= boletos para un espect1culo teatral, unos de &C.B) y otros de &C. D. %ecibieron por la $enta un total de &C. D. ?@u1ntos boletos de &C. D se $endieronA olución:

3%78L9 )I n un taller 0ay = 4uguetes entre motos y triciclos para reponerles sus respecti$as llantitas, las que ascienden a =B. ?@u1ntas son motosA ?@u1ntos son triciclosA olución:


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