NUMEROS REALES
Los números reales se refieren a la combinación de los grupos de números racionales e irracionales. Para formar esos grupos se necesitan números naturales y números enteros. Números naturales
Son los números que se utilizan para contar, como por ejemplo “hay cuatro flores en el vaso”. Algunas definiciones definiciones comienzan comienzan los números naturales en 0, mientras que otras definiciones comienzan en 1. Los números naturales son los que usan para contar: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10… etc; se utilizan como números ordinales o cardinales. Los números naturales son las bases con la que muchos otros conjuntos de números pueden ser construidos por extensión: los números enteros, los números racionales, los números reales, y los números complejos entre otros. Estas cadenas de extensiones componen los números naturales canónicamente identificados en los otros sistemas de números. Las propiedades de los números naturales, como la divisibilidad y la distribución de los números primarios, son estudiados en la teoría de números. Los problemas relacionados con contar y ordenar, como las enumeraciones y la partición, son estudiados en la combinatoria. En el lenguaje común, como en las escuelas primarias, los números naturales pueden ser llamados números contables para excluir a los enteros negativos y al cero. Tienen varias propiedades, como por ejemplo: la suma, la multiplicación, la resta, la división, etc. Números enteros
Los números enteros son aquellos números que pueden ser escritos sin un componente fraccional. Por ejemplo: 21, 4, 0, -76, etc. Por su lado, números como
8.58 o √2 no son números enteros.
Se puede decir que los números enteros son los números completos junto con los negativos de los números naturales. Se utilizan para expresar dinero que se debe, profundidades con respecto al nivel del mar o temperatura bajo cero, por nombrar algunos usos.
Un conjunto de números enteros consiste de cero (0), los números naturales positivos (1,2,3…), y los enteros negativos ( -1, -2, -3…). Generalmente esto es denominado con una ZZ o con una Z en negrita (Z). Z es un sub conjunto del grupo de números racionales Q, que a su vez forman el grupo de los números reales R. Como los números naturales, Z es un grupo contable infinito. Los números enteros forman el grupo más pequeño y el conjunto más pequeño de los números naturales. En la teoría de números algebraicos, los números enteros son llamados a veces enteros irracionales para distinguirlos de los enteros algebraicos. Números racionales
Un número racional es cualquier número que puede ser expresado como el componente o fracción de dos números enteros p/q, un numerador p y un denominador q. Ya que q puede ser igual a 1, cada número entero es un número racional. El conjunto de númer os racionales, a menudo referido como “los racionales”, es denotado con una Q. La expansión decimal de un número racional siempre termina después de un numero finito de dígitos o cuando se comienza a repetir la misma secuencia finita de dígitos una y otra vez. Adicionalmente, cualquier decimal repetido o terminal representa un numero racional. Estas declaraciones son verdaderas no solo para la base 10, si no también para cualquier otra base de número entero. Un numero real que no es racional es llamado irracional. Los números irracionales
incluyen a la √2, a π y e, por ejemplo. Ya que todo el conjunto de números
racionables es numerable, y que el grupo de números reales no es numerable, se puede decir que casi todos los números reales son irracionales. Los números racionales pueden ser formalmente definidos como clases de
equivalencias de pares de enteros (p,q) de manera que q ≠ 0 o la relación equivalente definida por (p1,q1) (p2,q2) solo si p1,q2 = p2q1. Los números racionales, junto con la suma y la multiplicación, forman campos que componen los números enteros y son contenidos por cualquier rama que contenga enteros.
Números irracionales
Los números irracionales son todos los números reales que no son números racionales; los números irracionales no pueden ser expresados como fracciones. Los números racionales son los números compuestos de fracciones de números enteros. Como consecuencia de la prueba de Cantor que dice que todos los números reales son no numerables y que los racionales si son numerables, se puede concluir que casi todos los números reales son irracionales. Cuando el radio de longitud de dos segmentos de línea es un número irracional, se puede decir que estos segmentos de línea son inconmensurables; significando que no hay una longitud suficiente de manera que cada una de ellas pudiera ser
“medida” con un entero particular múltiple del mismo.
Entre los números irracionales están el radio π de una circunferencia de círculo a su diámetro, el numero de Euler (e), el numero áureo (φ) y la ra íz cuadrada de dos; aun mas, todas las raíces cuadradas de los números naturales son irracionales. La única excepción a esta regla son los cuadrados perfectos. Se puede observar que cuando los números irracionales son expresados de manera posicional en un sistema numeral, (como por ejemplo en los números decimales) no terminan o se repiten. Esto quiere decir que no contienen una secuencia de dígitos, la repetición por la cual se hace una línea de la representación. Por ejemplo: la representación decimal d el numero π comienza con 3.14159265358979, pero no hay un número finito de dígit os que puedan representar
a π de manera exacta, ni que se puedan repetir. La prueba de que la expansión decimal de un número racional debe terminar o repetirse es diferente a la prueba de que una extensión decimal debe ser un numero racional; aunque básicas y algo largas, estas pruebas toman algo de trabajo.
Usualmente los matemáticos no toman generalmente la noción de “terminando o repitiendo” para definir el concepto de un nu mero racional. Los números irracionales también pueden ser tratados vía fracciones no continuas.
La recta numérica o recta real1 es un gráfico unidimensional o línea recta la cual contiene todos los números reales ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta graduada entera1 ordenados y separados con la misma distancia.
Recta numérica de
los números enteros entre -9 y 9, con los números negativos en rojo y los positivos en violeta, se sobrentiende que la recta incluye todos los números reales ilimitadamente en cada sentido.
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero.