Trabajo de Investigacion de Los Numeros Reales

MA)&MA)*

Docente: Alexandra Calcina Vargaya Vargaya Integrantes:

○ Alex Chacnama Lazo ○ Jean Pierre Huaracha Quiroz ○ Maradona Huamani Ccamaqque ○ Williams Javier Pumachara Huaycani ○ Christian Cotrado Laura ○ Marck Antoni auri Cuty !"#$%P&'(

!  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

DEDICATORIA &ste tra1a2o est3 diri4ido 5ara todos los docentes y alumnos de di6erentes niveles educativos ya sea 5ara el uso 5ersonal o la ense7anza ense7anza 5ara nuestras 6uturas 4eneraciones8 Que les sea de a4rado8

9  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

RESUMEN &n mate matem3 m3tic ticas as:: los n;mer n;meros os reale realess incluy cluyen en tan tanto a los los n;m n;meros eros racion ciona ales <5osit ositiv ivos os:: ne4ativos y el cero> como a los n;meros irracionales? y en otro en6oque: trascendentes y al4e1raicos8 Los irracionales y los trascendentes <#@"> no se 5ueden ex5resar mediante una una 6rac 6racci ciBn Bn de dos dos ente enterros con con deno denomi mina nado dorr no nulo nulo?? tienen innitas ci6ras decimales a5eriBdicos: tales comoD E$: F: el n;mero real lo4!: cuya trascendencia 6ue enunciada 5or &uler en el si4lo G,***8 Los n;meros reales 5ueden ser descritos y construidos de varias 6ormas: al4unas sim5les aunque carentes del ri4or necesario 5ara los 5ro5Bsitos 6ormales de matem3ticas y otras m3s com5le2as 5ero con el ri4or necesario 5ara el tra1a2o matem3tico 6ormal8 .ura .uran nte los los si4l si4los os G,* G,* y G,** G,** el c3lc c3lcul ulo o avan avanzB zB much mucho o aunq aunque ue car careca eca de una una 1ase 1ase ri4u ri4urrosa: osa: 5ues 5uesto to que que en el momento no se considera1a necesario el 6ormalismo de la actu actual alid idad ad:: y se usa1 usa1an an ex5r x5resio esione ness como como I5eq I5eque ue7o 7o: : Ilmite: Ise acerca sin una deniciBn 5recisa8 &sto llevB a una serie de 5arado2as y 5ro1lemas lB4icos que hicieron evidente la necesidad de crear una 1ase ri4urosa 5ara la matem matem3ti 3tica: ca: la cual cual consi consisti stiB B de deni denici cione oness 6orma 6ormale less y ri4uros ri4urosas as > del conce5to conce5to de n;mero real8 Ca1e destacar que 5ara un me2or estudio se su5o clasicar enD racionales e irracionales8 -a1iendo que que con con los los n;me n;merros reale ealess 5ode 5odemo moss reali ealiza zarr toda todass las las o5eraciones: exce5to la radicaciBn de ndice 5ar y radicando ne4ativo: y la divisiBn 5or cero8

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Los n;meros reales 5ueden ser re5resentados en la recta con tanta a5roximaciBn como queramos: 5ero hay casos en los que 5odemos re5resentarlos de 6orma exacta8

Contenido DEDICATORIA8888888888888888888888 88888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 ! RESUMEN888888888888888888888 8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 8888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888 88888889 9 Introduccin88888888888888888888 8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 8888888888888888888888 888888888888888888888 8888888888888 888  NUMEROS NATURALES888888888888888888888 88888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 8888888888888888888888888888888888888 88888888888888888888888888  !ISTORIA888888888888888888888 8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 88888888888888888888888888 888888888888888  Caracter"sticas de los N#$eros Naturales 888888888888888888888888888888888888888888N Axio$as de %eano88888888888888888888 8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888 8888888888888888888888888888888 N DE&INICION DE TEORIA DE CON'UNTOS88888888888888888888888888888888888888888888888@ %RO%IEDADES DE LOS NUMEROS NATU NATURALES RALES8888888888888888888888888888888888#" SUSTRACCION CON NUMEROS NATURALES888888888888888888888888888888888888888#" %RINCI%IO DE INDUCCION MATEMATICA MATEMATICA88888888888888888888888888888888888888888888## DESCOM%OSICION EN &ACTORES %RIMOS88888888888888888888888888888888888888888#! MA(IMO COMO UN DIVISOR ) MINIMO CON UN MULTI%LO MULTI%LO8888888888888#!

M3ximo Como un .ivisor8888888888888888 .ivisor88888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888 8888888888888888888888888888888888 #! Mnimo Como un M;lti5lo8888888888888888888888 M;lti5lo88888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888#9 8888888#9 NUMEROS ENTEROS888888888888888888888 88888888888888888888888888888888 8888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888#9 88888888#9 !ISTORIA888888888888888888888 8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888888 8888888888888 # NUMEROS CON SI*NOS888888888888888888888 8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888# 8888888888# ORDEN DE LOS NUMERO ENTEROS88888888888888888888888888888888888888888888888888888# O%ERACIONES CON NUMEROS ENTEROS8888888888888888888888888888888888888888888#$

-(MA8888888888888888888 -(MA88888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888 8888888888888888888888888888888888888888 #$ '&-)A88888888 '&-)A8888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 8888888888888888888 888888888 # M(L)*PL*CAC*/+ M(L)*PL*CAC*/+ / .*,*-*/+888888888888888 .*,*-*/+8888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888888888888 88888888888888888888 # NUMEROS RACIONALES888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888# ARITMETICA DE LOS NUMEROS RACIONALES888888888888888888888888888888888888#N

-uma y Multi5licaciBn88888888888888888888 Multi5licaciBn8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 88888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888 #N 'elaciBn de &quivalencia y /rden8888888888888888 /rden88888888888888888888888888 888888888888888888888 88888888888888888888888888888888#N 888888888888888888888#N ESCRITURA DECIMAL88888888888888888888 8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888 8888888888888888888888888#N #N

'&P'&-&+)AC*/+ 'AC*/+AL .& L/- +(M&'/- .&C*MAL&-88888888888888888#N .&-A''/LL/ .& L/L/- +(M&'/- 'AC*/+AL&-88888888 'AC*/+AL&-8888888888888888888 888888888888888888888888888888#@ 8888888888888888888#@ +umero 'acional en otras Oases88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 Oases88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888!" !"

$  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'( %RO%IEDADES88888888888888888888 8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 8888888888888888 888888 !" EL CARDINAL DE LOS RACIONALES88888888888888888888888888888888888888888888888888888!" NUMEROS IRRACIONALES88888888888888888888 8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 8888888888888888888888888888888 88888888888888888888!# !# !ISTORIA888888888888888888888 8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888888 8888888888888 !! CLASI&ICACION888888888888888888888 88888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888888 8888888888888!! !!

+umero Al4e1raico888888888888888888 Al4e1raico88888888888888888888888888888 8888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888 8888888888888888888888888888888888888888 !! +umero )rascendente888888888888888 rascendente8888888888888888888888888 888888888888888888888 8888888888888888888888 888888888888888888888 88888888888888888888888888888 8888888888888888888 !9 %RO%IEDADES88888888888888888888 8888888888888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 8888888888888888 888888 !9

C/+CL(-*/+888888 C/+CL(-*/+88888888888888888 8888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 8888888888888888888888888888888888888 88888888888888888888888888 ! '&&'&+C*A- O*OL*/0'A*CA-88888888 O*OL*/0'A*CA-888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 88888888888888888888888888888 888888888888888888 ! C/L//+888888888 C/L//+8888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 888888888888888888888 88888888888888888888888888888888888888888888888888 8888888888888888888888888888888888888888 !

  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

Introduccin &n la ense7anza de la matem3tica: desde la eta5a eleme elementa ntall hast hasta a la su5e su5erio rior: r: es neces necesar ario io ado5t ado5tar ar al4; al4;n n conce once5 5to de n;mer ;mero o real de acuer uerdo con el nive nivell de estudios8 La 6orma com5le2a del conce5to de n;meros real 5lantea 5ro1lemas did3cticos di6ciles8 -u den denic iciB iBn n ri4u ri4urrosa osa es com5 com5li lica cada da y se nece necesi sita tarron much muchos os si4l si4los os 5ara 5ara su desa desarr rrol ollo lo88 &n 6orm 6orma a suci sucint nta a se 5uede descri1ir su evoluciBn como si4ue8 Las 5rimeras ideas de n;mero a5arecen en los al1ores de la civili civiliza zaciB ciBn8 n8 Los Los anti4 anti4uos uos 1a1il 1a1iloni onios os y e4i5ci e4i5cios os conci1 conci1en en alrededor del a7o !""" a8C: una aritmKtica que ya utilizan 6racciones8 Con Pit34oras: en el a7os $!$ a8C: los 4rie4os descu1ren la necesidad de ado5tar n;meros irracionales: como √ 2 8 &n el a7o 9$ a8C &udoxo <5adre de la astrono onoma matem3tica> 5resenta la teora de los inconmensura1les 5ara re5resentar irracionales como lmite de ma4ni ma4nitud tudes es racion racional ales es88 Los Los n;mer n;meros os ne4ati ne4ativos vos:: que que a5ar a5arec ecen en en la sol soluciB uciBn n de di6e di6errente entess 5ro1 5ro1le lema mass: se consideran como a1surdos: y solo se mane2an li1remente a 5artir del si4lo G,**8 +o es sino hasta la se4unda mitad del si4lo si4lo G*G que Cantor Cantor <6orm <6orma a de los n;mer n;meros os trans transni nitos tos cardinales y ordinales>: .edekind <6undamento la teora de la recta real y creo la teora de los ideales> y Weierstrass <5adre <5adre del an3lisis moderno> desarrollaron desarrollaron teoras ri4urosas ri4urosas del n;mero real: incluyendo racionales e irracionales8 As  reem5lazando las ma4nitudes de &uduxo 5or construcciones a 5artir de los n;meros #: !:9:: Cantor construyo los irracionales irracionales como Isucesiones Isucesiones de racionales: racionales: Weierst eierstras rasss los const construy ruyo o como como Iclas Iclase e de racio raciona nales les y: nalmente: .edekind como Icortaduras en clases innitas de racionales8

  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

&stas teoras resultan equivalentes y 5ermiten construir el contin continuo uo de los n;mero n;meross reales reales a 5artir 5artir de los n;mer n;meros os naturales8

NUMEROS NATURALES Para 5oder ne4ociar y ordenar elementos: el hom1re tuvo la necesidad de re5resentar las cantidades de lo que 5osea y as sa1er de quK dis5ona exactamente8 .e ah sur4iB la idea de crear sm1olos que re5resentaran esas cantidades8 Los n;mer n;meros os naturale naturaless desi4na desi4nados dos 5or el sm1olo sm1olo IR son usados 5ara contar los elementos de un con2unto8  )odo n;mero 5erteneciente  )odo 5erteneciente a la serie R S T": #: !: 9: :U 6ormada 5or todos los n;meros que: a 5artir del cero : el uno inicia y sin tKrmino medio8

!ISTORIA Antes de que sur4ieran los n;meros 5ara la re5resentaciBn de cantidades: el hom1re usB otros mKtodos 5ara contar: util utiliz izan ando do 5ara 5ara ello ello o12e o12eto toss como omo 5ied 5iedra rass: 5ali 5alito toss de madera: nudos de cuerdas: o sim5lemente los dedos8 M3s adel adelan ante te come comenz nzar aron on a a5ar a5arec ecer er los los sm1 sm1ol olos os 4r3 4r3co coss como se7ales 5ara contar: 5or e2em5lo marcas en una vara o sim5lemente trazos es5eccos so1re la arena8 Pero 6ue en Meso Meso5o 5ota tami mia a alred lreded edor or del del a7o a7o 8"" 8""" " a8 C8 dond donde e a5arecen cen los los 5rim rimeros vest vestii4ios ios de los los n;mer meros que consistieron en 4ra1ados de se7ales en 6ormas de cu7as so1re 5eque7os ta1leros de arcilla em5leando 5ara ello un 5alito a4uzado8 .e aqu el nom1re de escritura cunei6orme8 &ste &ste sist sistem ema a de nume numera raci ciBn Bn 6ue 6ue ado5 ado5ta tado do m3s m3s tar tarde: de: aunq aunque ue con con sm1 sm1ol olos os 4r3 4r3co coss di6e di6errente entes: s: en la 0rec 0recia ia

N  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

Anti4ua y en la Anti4ua 'oma8 &n la 0recia anti4ua se em5lea1an sim5lemente las letras de su al6a1eto: mientras que en la anti4ua 'oma adem3s de las letras: se utilizaron al4unos sm1olos8 Quien colocB al con2unto de los n;meros naturales so1re lo que comenza1a a ser una 1ase sBlida: 6ue 'ichard .edekind en el si4lo G*G8 &ste los derivB de una serie de 5ostulados : que des5uKs 5recisB Peano dentro de una lB4ica de se4undo orden: resultando as los 6amosos cinco 5ostulados que llevan su nom1 nom1rre8 re4e e4e 6ue 6ue su5e su5eri rior or a am1o am1os: s: demo demost stra rand ndo o la existencia del sistema de n;meros naturales 5artiendo de 5rinci5ios m3s 6uertes8 Lamenta1lemente Lamenta1lemente la teora de re4e 5erdiB: 5or as decirlo: su credi1ilidad y hu1o que 1uscar un nuevo mKtodo8 ue Vermelo quien demostrB la existencia del con2unto de n;meros naturales: dentro de su teora de con2untos y 5rinci5almente mediante el uso del axioma de innitud que: con una modicaciBn de este hecha 5or Adol6  rae raenkel: 5ermite ite cons onstrui ruir el con2 on2unt unto de n;meros eros naturales como ordinales se4;n von +eumann8

Caracter"sticas de los N#$eros Naturales #8 )odo n;mero n;mero mayor mayor que # l> va des5 des5uK uKss de otr otro n;mero natural8 !8 &ntre &ntre dos n;meros n;meros naturales naturales siem5re siem5re hay un n;mero n;mero nit nito o de natu natura rale les8 s8 <*nt <*nter er5r 5ret etac aciB iBn n de con2 con2un unto to no denso> 98 .ado .ado un n;mer n;mero o natur natural al cualq cualquie uiera: ra: siem5r siem5re e exist existe e otr otro natura turall mayor yor que que Kst Kste8 <*nter5 ter5rretac taciBn iBn de con2unto innito>8

@  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

Axio$as de %eano •

•

•

•

-i n es un n;mero natural: entonces el sucesor de n tam1iKn es un n;mero natural8 &l # no es sucesor de nin4;n n;mero natural8 -i hay dos n;meros naturales In y Im con el mismo suce suceso sor: r: ento entonc nces es In y m son son el mism mismo o n;me n;merro natural8 -i el n;mero 5ertenece a un con2unto de n;meros IA: y adem3s siem5re se verica queD dado un n;mero natural cualquiera que estK en IA: su sucesor tam1iKn 5ertenece a IA? entonces IA contiene al con2unto de todos los n;meros naturales8

&ste es el axioma de inducciBn: que ca5tura la idea de inducciBn matem3tica8

DE&INICION DE TEORIA DE CON'UNTOS  )eora de con2untos se dene al con2unto de los n;meros  )eora naturales como el mnimo con2unto que es inductivo8 La idea idea es que que se 5ued 5ueda a cont contar ar haci hacien endo do una una 1iye 1iyecc cciB iBn n desde un n;mero natural hasta el con2unto de o12etos que se quiere contar8 -in em1ar4o: la teora de los con2untos es lo suc sucie ient ntem emen ente te rica rica como como 5ara 5ara cons constr trui uirr el rest resto o de o12etos y estructuras de interKs en matem3ticas? y 2unto con la lB4ica 5ermite estudiar los 6undamentos de ella8 ormalmente: un con2unto Ix se dice que es un n;mero natural si cum5leD #8 Para cada cada y  x: y X x !8 La rela relaci ciBn Bn x S T  x Y x Z a  1U es un orden orden total estricto en x

#"  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

98 )odo odo su1con 1con22unto no vac vaco de x tie tiene eleme ementos ntos mnimo y m3ximo en el orden x -e4; -e4;n n Halmos Halmos el con2unto vaco es un n;mero natural que se denota 5or I" I" y que que cada cada n;me n;merro natu natura rall In tien tiene e un suce suceso sorr denotad denotado o como In[8 &stas &stas ideas ideas quedan quedan 6ormal 6ormalizad izadas as mediante las si4uientes ex5resionesD "S\ n[ S n ] TnU .e esta manera: cada elemento de al4;n n;mero natural es un n;mero natural? a sa1er: un antecesor de Kl8 Por e2em5loD % Por deniciBn deniciBn " S TU TU % # es el suc suces esor or de ": ": entonc entonces es # S "^ S \ ] T"U S T"U % ! es el suces sucesor or de #: 5ero 5ero # es T"U: T"U: entonc entonces es ! S #^ T"U ] T#U S T": #U % y en 4eneral 9 S T": #: !U  S T": #: !: 9U $ S T": #: !: 9: U _ &sto 5ermite esta1lecer una relaciBn de orden entre los elementos del con2unto a 5esar de que un con2unto es 5or naturaleza un a4re4ado a4re4ado de elementos desordenados8 desordenados8 -e dene esta relaciBn mediante la ex5resiBnD a`1aX1

##  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

%RO%IEDADES DE LOS NUMEROS NATURALES Los n;meros naturales est3n totalmente ordenados8 La relaciBn relaciBn de orden ` se 5uede redenir asD a ` 1 si y solo si existe otro n;mero natural c que cum5le a ^ c S 18 &ste &ste orde orden n es com5 com5at ati1 i1le le con con toda todass las las o5er o5erac acio ione ness aritmKticas 5uesto que si a: 1 y c son n;meros naturales y a ` 1: entonces se cum5leD a^c`1^c abc`1bc La 5ro5ied 5ieda ad m3s im5 im5ort ortante del con2 on2unto nto de los n;meros naturales es que es un con2unto 1ien ordenado8 Los n;meros naturales existe el al4oritmo de la divisiBn8 .ados dos n;meros naturales Ia y 1: si 1  ": 5odemos encontrar otros dos n;meros naturales Iq y r: r: denom denomina inados dos cocien cociente te y resto resto res5e res5ecti ctivam vament ente: e: tales tales queD a S <1 b q> ^ r y r  1 Los n;meros Iq y r est3n unvocamente determinados 5or a y 18

SUSTRACCION CON NUMEROS NATURALES As;mase que R S T": #: !: 9:888U y sea H S T  m: n  R? m f nU: sea I4 una a5licaciBn de H en R: tal que I4 S m % n S d g m S d ^ n: donde Im y n est3n en H y Id est3 en R8 A la a5licaciBn I4 de H so1re R se llama sustracciBn o resta en R8 La di6erencia Id S m  n: solo es 5osi1le en el caso que Im f n8 -u5onemos queD -i m  n S 5: entonces m  5 S n -i m  n S 5: entonces  S 5

#!  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

-i m R: m  m S " Como m  " S m: entonces I" hace el 5a5el de numero neutro La resta no es conmutativa ni asociativa

%RINCI%IO DE INDUCCION MATEMATICA -i un su1con2unto A de R verica que # A y: si x  A: resulta que x^#  A: entonces AS R &sto nos 5ermite realizar razonamientos 5or inducciBn cuando queremos 5ro1ar que una determinada 5ro5iedad se cum5 cum5le le 5ara 5ara todo todo n;me n;merro natu natura ral8 l8 Por e2em e2em5l 5lo: o: si quer ueremos emos 5ro1 5ro1ar ar que que la suma suma de los los I n  5rimer 5rimeros os n;mer ;meros os natura urales es

n

2

+n

5ode 5odemo moss hace hacerl rlo o 5or 5or

2

inducciBn en la 6orma si4uienteD Para

n

  S# es claro que la suma de los # 5rimeros 2

n;meros naturales es #S

1 +1 2

8

-u5onie -u5oniendo ndo cierta cierta 6Brmula 6Brmula 5ara n

S

n

2

+n

2

#^!^^

n

: es decir: #^!^^

: veamos que tam1iKn es cierta 5ara n

^#S <#^!^^ S S

n

2

+ n +2 n +2 2

>^

n

^#S

2

+n

2

( n + 2 n ++ 1 ) +( n+ 1) =¿  S 2

(n + 1 )2+( n + 1 ) 2

n

n

2

n

^#:

 ^ n ^#

#9  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

DESCOM%OSICION EN &ACTORES %RIMOS (n n;mero 5rimo es aquKl n;mero natural que sBlo es divisi1le 5or s mismo y 5or la unidad: 5or e2em5lo !: 9: $: : ##: #9: #: #@: !9: 888: son n;meros 5rimos8 Hay innitos n;meros 5rimos8 (n 6amoso 5rocedimiento 5ara encontrar n;meros 5rimos es la denominada cri1a de &ratBstenes: que consiste en tomar una lista de los n;me n;merros natu natura rale less e ir tach tachan ando do suce sucesi siva vame ment nte e los los m;lt m;lti5 i5lo loss de cada cada natu natura rall que que a;n a;n no hu1i hu1ier era a sido sido tachado 5reviamente8 &l uso de n;meros 5rimos 4randes tiene a5licaciones en cri5 cri5to to4r 4ra6 a6a a 8 >8 )odo odo n;me n;merro natu natura rall admi admite te una una desc descom om5o 5osi sici ciBn Bn en 5rod 5roduc ucto to de n;meros 5rimos8 &sta descom5osiciBn es ;nica salvo el orden de los 5rimos considerados8 !$ S

2

5

2

2 .3

#N" S N# S

2

 8 $

4

3

N9@ S N9@ !!$ S

2

2

3 .5

$@N"9@ S 88<>8<#@@>

MA(IMO COMO UN DIVISOR ) MINIMO CON UN MULTI%LO M3ximo Como un .ivisor -e dene: como su 5ro5io nom1re indica: como el divisor m3s 4rande que am1os n;meros tienen en com;n8 -i dis5 dis5on onem emos os de la 6act 6actor oriz izac aciB iBn n de am1o am1oss n;me n;merros: os: entonces el m3ximo com;n divisor se o1tiene

#  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

qued3ndose solamente con aquellos 6actores comunes a am1a am1ass desc descom om5o 5osi sici cion ones es y elev elevad ados os al meno menorr de los los ex5onentes con los que a5arezcan8

Mnimo Como un M;lti5lo &s el m;lti5lo m3s 5eque7o que am1os n;meros tienen en com;n8 Atendiendo a las descom5osiciones de am1os n;meros: el mnimo com;n m;lti5lo se o1tiene considerando todos los 6actores distintos que a5arecen : cada uno de ellos elevado al mayor ex5onente con el que a5arezca8 2

2

2

2

#N" S

2 . 3 .5

!!$ S

3 .5

 MC. <#N" y !!$> S  MCM <#N" y !!$> S

2

3 .5 2

2

2 . 3 .5

2

NUMEROS ENTEROS Provie oviene ne del del alem alem3n 3n Vahl Vahlen en : >: los los n;me n;merros enteros enteros son un con2unto de n;meros que incluye a los n;meros naturales distintos de cero <#: !: 9:888>: los ne4ativos de los n;meros naturales <888: j9: j!: j#> y al "8 Los enteros ne4ativos: como Ij# o j9 se leen leen Imen Imenos os uno uno: Imen Imenos os tres tres y son son meno menorres que que todos los enteros 5ositivos <#: !:888> y que el cero8 Al i4ual que los n;meros naturales: los n;meros enteros 5ueden sumarse: restarse: multi5licarse y dividirse: de 6orma similar a los 5rimeros8 -in em1ar4o: en el caso de los enteros es necesario calcular tam1iKn el si4no del resultado8

#$  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

 )am1iKn hay ciertas ma4nitudes: como la tem5eratura  )am1iKn tem5eratura o la altura toman valores 5or de1a2o del cero8

!ISTORIA &l nom1re de enteros se 2ustica 5orque estos n;meros ya 5ositi 5ositivos vos o ne4at ne4ativo ivos: s: siem5r siem5re e re5r re5res esent enta1 a1an an una cantidad de unidades no divisi1les como 5or e2em5loD 5ersonas8 +o 6ue sino hasta el si4lo G,** que tuvieron ace5taciBn en tra1 tra1a2 a2os os cien cient tc cos os eur euro5eo o5eos: s: aunq aunque ue mate matem3 m3ti tico coss italianos del renacimiento como )arta4lia y Cardano los hu1iesen hu1iesen ya advertido advertido en sus tra1a2os acerca de soluciBn de ecuaciones de tercer 4rado8

NUMEROS CON SI*NOS (n n;mero entero ne4ativo es un n;mero natural como I#: !: 9: etc8 5recedido de un si4no menos: IjI8 Por e2em e2em5l 5lo o Ij#: Ij#: j!: j9: j9: etc8 etc8 que que se leen leen Imen Imenos os #: #: Imenos !: Imenos 9: etc8 &l cero no es 5ositivo ni ne4ativo: y 5uede escri1irse con si4no m3s o menos o sin si4no indistintamente: ya que sumar o restar cero es i4ual a no hacer nada8 )oda esta colecciBn de n;meros son los llamados Ienteros8 &l con2 con2un unto to de todo todoss los los n;me n;merros ente enterros con con si4n si4no o <5ositivos y ne4ativos> 2unto con el " se denota conD S T:%9: %!: %#: ": #: !: 9: U

ORDEN DE LOS NUMERO ENTEROS .ados dos n;meros enteros enteros de si4nos distintos: distintos: ^a y j1: el ne4ativo es menor que el 5ositivoD j1  ^a8 .ado .adoss dos dos n;me n;merros ente enterros con con el mism mismo o si4n si4no: o: el menor de los dos n;meros esD

#  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

Y &l de menor valor a1soluto: si el si4no com;n es I^8 Y &l de mayor valor a1soluto: si el si4no com;n es IjI8 &l cero I" es menor que todos los 5ositivos y mayor que todos los ne4ativos8

O%ERACIONES CON NUMEROS ENTEROS -(MA Para sumar dos n;meros enteros: se determina el si4no y el valor a1soluto del resultado del si4uiente modoD -i am1os sumandos ndos tien ienen el mism ismo si4n i4noD ese es tam1iKn el si4no del resultado: y su valor a1soluto es la suma de los valores a1solutos de los sumandos8 -i am1os sumandos tienen distinto si4noD Y &l si4no del resultado es el si4no del sumando con mayor valor a1soluto8 Y &l valor a1soluto del resultado es la di6erencia entre el mayor valor a1soluto y el menor valor a1soluto: de entre los dos sumandos8 &2em5losD Y <^!#> ^ <%#9> S ^N Y <^#> ^ <^!> S ^9 Y <%#> ^ <^#@> S %!! Y <%99> ^ <%!N> S %#

Propiedad Asociativa .ados tres n;meros enteros a: 1 y c: las sumasD ^ c S a ^ <1 ^ c>

Propiedad Conmutativa .ados dos n;meros enteros a y 1: las sumasD a^1S1^a

#  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

Elemento Neutro  )odos los n;meros  )odos n;meros enteros enteros a quedan inalterados inalterados al sumarles I"D a^"Sa

'&-)A La resta esta de dos dos n;me n;merros enter nteros os > se reali ealiza za suma sumand ndo o el minu minuen endo do m3s m3s el sustraendo cam1iado de si4no8 Por e2em5loD Y <^#">  <%$> S <^#"> ^ <^$> S ^#$ Y <%> % <^> S <%> ^ <%> S %#9 Y

<%>  <%N> S <%> ^ <^N> S ^

Y <^!>  <^@> S <^!> ^ <%@> S %

M(L)*PL*CAC*/+ / .*,*-*/+ La multi5licaciBn o divisiBn de dos n;meros enteros se determinan el valor a1soluto y el si4no del resultado de la si4uiente maneraD &l valor a1soluto es el 5roducto de los valores a1solutos de los 6actores8 &l si4no es ^ si los si4nos de los 6actores son i4uales: y j si son distintos8 'e4las de los -i4nosD Y <^> b <^> S <^> M3s 5or m3s i4ual a m3s8 Y <^> b S M3s 5or menos i4ual a menos8 Y b <^> S Menos 5or 5or m3s i4ual a menos8 Y b S <^> Menos 5or 5or menos i4ual a m3s8 &2em5losD Y <^> b S j! Y <^$> b <^9> S ^#$ Y b <^N> S j$

#N  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

Y b S ^#N

Propiedad Asociativa .ados tres n;meros enteros a: 1 y c: los 5roductosD b c S a b <1 b c>

Propiedad Conmutativa .ados dos n;meros enteros a y 1: los 5roductosD ab1S1ba

Elemento Neutro  )odos los n;meros  )odos n;meros enteros enteros a quedan inalterados inalterados al multi5licarlos 5or I#D ab#Sa

NUMEROS RACIONALES &s todo odo n;me ;mero que 5uede re5resenta entars rse e como omo el cociente de dos n;meros enteros o: m3s 5recisamente: un entero y un natural 5ositivo: es decir: una 6racciBn com;n

a b

con con nume numera rado dorr Ia

y deno denomi mina nad dor I1 I1

dist distin into to de cer cero8 &l tKr tKrmino mino Iraci racion onal al alud alude e a una una 6racciBn o 5arte de un todo8 &l con2unto de los n;meros racionales se denota 5or en que deriva de Icociente8  La escritura decimal de un n;mero racional es: o 1ien un n;mero decimal nito: o 1ien 5eriBdico8 &sto es cierto no solo 5ara n;meros escritos en 1ase I#" tam1iKn lo es en 1ase 1ase 1ina 1inari ria: a: hexa hexade deci cima mall o cual cualqu quie ierr otra otra 1ase ase entera8 entera8 'ec5roc ec5rocame amente: nte: todo n;mero n;mero que admite admite una ex5ansiBn nita o 5eriBdica: es un n;mero racional8 .ados dos dos n;me ;meros Ia y I1 I1 con con I1" 1": se llama cociente Ia  1 de dividendo Ia y divis visor I1 I1 a tod todo n;me ;mero I x : si lo hay: tal que multi5licado 5or el divisor da como resultado el dividendoD

#@  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(  x

a1S

: si4nica que

 x

 8 1 S a

ComoD #!  9 S : 5ues  8 9 S #! La ecuac uaciBn en x   dada 5or la se4unda i4ualdad no tien tiene e siem siem5r 5re e una una solu soluci ciBn Bn en : si 1ien 1ien la tiene tienes: s: esta esta soluciBn es ;nica8 Por e2em5loD I#!  $ no existe en el con2u con2unt nto o : 5ues 5ues no hay nin nin4;n 4;n nume numerro enter entero o I x : tal que

 x

 8 $ S #!8 #!8 &nton &ntonces ces I I no es es una una o5er o5eraci aciBn Bn en en 8

ARITMETICA DE LOS NUMEROS RACIONALES -uma y Multi5licaciBn Suma: a c ad + bc + = b d bd

Multiplicación: a  c ac × = b d bd

'elaciBn de &quivalencia y /rden Equivalencia: a

c =  ↔ ad =bc b d

Racionales Positivos: a tale taless que que ab > 0 b

Racionales Negativos: a tale taless que que ab < 0 b

Orden: -i

b >0

 y

d >0

→

a c >  ↔ ad − bc > 0 b d

!"  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

ESCRITURA DECIMAL '&P'&-&+)AC*/+ 'AC*/+AL .& L/+(M&'/- .&C*MAL&Decimales Exactos initos -e escri1e en el numerador la ex5resiBn decimal sin la coma : y en el denominador un uno se4uido de tantos ceros como ci6ras decimales8 9:$ S

3465 100

Decimales Periódicos Puros La 6rac 6racciB ciBn n corre corres5 s5ond ondien iente te tiene tiene como como nume numerad rador or la di6erencia entre el n;mero escrito sin la coma: y la 5arte ante anteri rior or al 5eri 5eriod odo? o? y como como deno denomi mina nado dor: r: tant tantos os @ @ como ci6ras tiene el 5eriodo8 #$:99 S

1534 −15 99

Decimales Periódicos Mixtos  )endr3 como numerador  )endr3 numerador la di6erencia di6erencia entre a y 1: donde a es el n;mero escrito sin la coma: y 1 es el n;mero sin la 5arte decimal 5eriBdico: escritos am1os como n;meros enteros8 &l denominador tendr3 tantos @ como ci6ras tiene el 5eriodo y otros tantos " como ci6ras ten4a el ante 5erodo8 #!:9$ S

1234567 −12345 99000

=

1222222 99000

.&-A''/LL/ .& L/- +(M&'/- 'A 'AC*/+AL&C*/+AL&Exacta La 5arte decimal tiene un n;mero nito de ci6ras8 Al no ser si4nicativos: los ceros a la derecha del se5arador decimal 5ueden omitirse: lo que da 5or resultado una ex5resiBn Inita o Iterminal8

!#  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'( 8 5

=1,6

Periódica Pura  )oda  ) oda la 5arte 5arte decimal decimal se re5ite re5ite indenidamen indenidamente8 te8 1 7

=0,142857142857 …

´ ¿ 0, 142857

Periódica Mixta +o toda la 5arte decimal se re5ite8 1 60

=0,01666 …

¿ 0,01 ´6

+umero 'acional 'acional en otras Oases (n sistema de numeraciBn 5osicional de 1ase racional: las 6raccion 6racciones es irreduc irreduci1l i1les es cuyo denomin denominador ador contiene contiene 6actores 5rimos distintos de aquellos que 6actorizan la 1ase: no tienen re5resentaciBn nita8 &2em5loD Y &n 1ase #": un racional tendr3 un desarrollo nito si y sBlo si el denominador de su 6racciBn irreduci1le es de la 6orma

n, p  p 2 .5 ¿ n

D enteros>

Y &n 1ase duodecimal es innita y recurrente la re5resen sentac taciBn iBn de toda odas aquella llas 6rac racciones ones cuyo uyo denominador contiene 6actores 5rimos distintos de ! y 98

%RO%IEDADES ○ &n se 5ueden resolver todas las ecuaciones lineales: es decir: aquKllas de la 6orma ax^1S": con a y 1 racionales8

!!  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

○ &n se 5uede 5uede denir denir un orden orden total total com5ati1 com5ati1le le con las o5eraciones suma y 5roducto denidos anteriormente y que extienda el orden existente en y RD .ados .ados dos n;meros n;meros racional racionales es c

son

enteros

5ositivos

a b

y


c d

b

: dond onde siem5re

y

5uede

conse4ui conse4uirse: rse: 5or e2em5lo: e2em5lo: si b   es ne4ativo 1asta con mult multi5 i5li lica carr Ia y 1 5or 5or I%# I%# 5ara 5ara o1te o1tene nerr un n;me n;merro racion ional i4ual que el dad dado 5ero con denom nominad nador 5osi 5ositi tivo vo>: >: se dice dice que que

a  c ≤  ↔ad  ↔ad ≤bc b d

  res5ecto del orden

existente en el con2unto de lo enteros8

EL CARDINAL DE LOS RACIONALES pCu3 pCu3nt ntos os n;mer ;meros os raci racion onal ales es hay hay pQuK pQuK hay m3s: m3s: naturales o racionales Puede 5arecer que la res5uesta sera: o1viamente hay m3s racionales: 5uesto que los naturales son tam1iKn n;me n;merros raci racion onal ales es:: y adem adem3s 3s hay hay otr otros raci racion onal ales es:: como

1 2

 5or e2em5lo: que no son naturales: 5or lo que

5odemos concluir concluir que el cardinal de los racionales es que el de los naturales8

≥

Pero Pero 5odemos concluir concluir tam1iKn tam1iKn que el cardina cardinall de R es i4ual que el de es decir que es un Icon2unto innito numera1le

!9  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

NUMEROS IRRACIONALES (n n;mero irracional es un n;mero que no 5uede ser ex5r ex5res esado ado como como una una 6racc 6racciBn iBn

m n

: donde Im y n son

enteros y In es di6erente de cero8 &s cualquier n;mero real eal que que no es raci racion onal al88 &s deci decirr que que no 5ued 5ueden en ser ser ex5resados como cocientes de dos n;meros enteros8 Por e2em5loD 0,1234567891011121314151617… Claramente esta re5resentaciBn decimal no es exacta ni 5eriBdica: 5or tanto no 5uede corres5onderse con nin4;n n;mero racional8 ○ √ 2  S #:#!#9$!99"@$"NN": #:#!#9$!99"@$"NN": como se ve no se tiene un n;mero exacto8 ○ (n e2em e2em5l 5lo o cl3s cl3sic ico o que que esta estamo moss acos acostu tum1 m1ra rado doss a mane mane2a 2arr es el cono conoci cido do 5or 5or la letr letra a 4rie 4rie4a 4a  Pi π que equi equiva vale le a 9:# 9:##$ #$@! @!$ $9$ 9$N@ N@@ @9! 9!9N 9N : : como como se ve tam5oco tiene un n;mero exacto ni 5eriBdico8 ○ &l n;m n;mero Ie Ie: 1as 1ase de los los llam lamados lo4a o4aritmos tmos natur natural ales es o ne5eri ne5erian anos os es un n;mer n;mero o irrac irracio ional nal88 &ste &ste n;mero sur4e de 6orma natural al considerar el interKs com5uesto8 &quivale a !:#N!N#N!N$@"$!9$ -i consi conside deram ramos os el con2u con2unto nto de todas todas las las ex5r ex5res esion iones es decim decimale ales: s: solam solamen ente te aquKl aquKlla lass nitas nitas o 5eriB 5eriBdic dicas as se corres5onder3n: como ya se vio: con n;meros racionales? el resto 6orman el con2unto de los n;meros irracionales8

!ISTORIA Los 4rie4os identicaron los n;meros con las lon4itudes de los los se4m se4men ento toss de recta ecta88 Al ident denti ica carr del del modo modo

!  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

mencionado: sur4e la necesidad de considerar una clase de n;meros m3s am5lia que la de los n;meros 6rac 6raccio ciona nario rios8 s8 -e atri1 atri1uye uye a Pit34 Pit34ora orass de -amos -amos <$N"% <$N"% $""a8 C8> y su escuela el descu1rimiento de la existencia de se4mentos de recta inconmensura1les con res5ecto a un se4mento que se toma como unidad en un sistema de mediciB iciBn n8 Pues: existe isten n se4m e4mentos tos de recta cuya uya lon4 on4itu itud medi edida en este sist ste ema no es un n;mero ero 6raccionario8 &st ste e hec hecho ocas casionB onB una conv onvulsi ulsiB Bn en el mund undo cientco anti4uo8 ProvocB una ru5tura entre la 4eometra y la aritmKtica de aquella K5oca: ya que esta ;ltima: 5or entonces: se sustenta1a en la teora de la 5ro5o 5ro5orc rcion ionali alida dad: d: la cual cual solo solo se a5lic a5lica a a ma4ni ma4nitu tude dess conmensura1les8 A los se4me se4mento ntoss incon inconme mens nsura ura1l 1les es con res5e res5ecto cto a la unidad tomada como 5atrBn de medida les asi4naron un nuevo ti5o de ma4nitudD Ilos n;meros irracionales: los cuales 5or lar4o tiem iem5o no se recon conocie ocierron como omo verdaderos n;meros8

CLASI&ICACION Ha terminado la clasicaciBn de los n;meros: 5ero a;n quedan huecos 5or rellenar en la recta de los n;meros reales8 Los n;meros irracionales son los elementos de dicha recta que cu1ren los vacos que de2an los n;meros racionales8 Como 1amos conociendo a los tres aureo” : como se vio 5rinci5ales si4nos que sonD “ Pi ( π ) , e y aur m3s arri1a8 Los n;meros irracionales se clasican en dos ti5osD

+umero Al4e1raico -on la soluc oluciB iBn n de al4u al4una na ecua ecuac ciBn iBn al4e al4e1r 1rai aica ca y se re5resentan 5or un n;mero nito de radicales li1res o anidados8 Por e2em5lo: el n;mero 3ureo es una de las

!$  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

races de la ecuaciBn al4e1raica un n;mero irracional al4e1raico8

x

2

− x −1=0  5or lo que es

+umero )rascen rascendente dente Llam Llamad adas as 6unci 6uncion ones es trasc trascend enden entes tes etc8> 5orque 5orque no 5ued 5ueden en re5resentarse mediante un n;mero nito de races li1res o anidadas8 Como 5or e2em5loD ":#@9$"!N9$ ":#"#""#"""#""""#  )ienen  )ienen es5ecial es5ecial relevancia relevancia ya que no 5ueden 5ueden ser soluciBn de nin4una ecuaciBn al4e1raica8 Los n;meros 5i y e son irra irraci cion onal ales es tras trasce cend nden ente tes: s: 5ues 5uesto to que no 5ued 5ueden en ex5resarse mediante radicales8

%RO%IEDADES La suma y la di6erencia de un n;mero racional y de un n;mero irracional es un n;mero irracional8 ○

○ &l 5roducto de un racional di6erente de cero 5or un irracional es un n;mero irracional8 ○ &l inverso de un n;mero irracional es n;mero irracional8 ○ -ea -ea un 1ino 1inomi mio: o: 6or 6ormado mado 5or 5or un raci racion onal al m3s m3s un radical de se4undo orden: o la suma de dos radicales radicales de se4und undo ord orden: que es irrac raciona ionall8 &ntonc onces su con2u4ado es irracional8 ○ &ntre dos racionales distintos: existe 5or lo menos: un n;mero irracional

!  (+*,&'-*.A. )&C+/L/0*CA .&L P&'(

C/+CL(-*/+ Ha cienc encia ciert ierta a no se sa1e quie uien desc escu1riB riB a los n;meros: la 1i1lia dice que 6ue I.ios y los cientcos creen que lo iniciadores 6ueron los 5aleolticos 5ero desde lo 5aleolticos: e4i5cios: 4rie4os y a 5artir del si4lo G*, hu1o cam1io en el estudi udio de los los n;meros eros reales les des desde racionales e irracionales8 -e di6erencian en que los n;meros racionales se 5ueden ex5r x5resar esar como como el coci cocien ente te de dos dos n;me n;merros ente enterros: os: mientras que los irracionales son todos los so1rantes8 -e 5uede decir que los n;meros racionales cuya re5resentaciBn decimal es eventualmente 5eriBdica y los irracionales tienen una ex5ansiBn decimal a5eriBdica8

'&&'&+C*A- O*OL*/0'A*CA#8 IWiki5edia !8 I&l Conce5to de +umero +umero 5or Cesar A8 )re2o )re2o en#@N 98 matem8eis8uva8es matem8eis8uva8es 534ina es5a7ola 8 8youtu1e8com

C/L//+ &sta mono4ra6a 6ue ela1orada ela1orada como requisito requisito 5ara nalizar el curs curso o de Mate Matem3 m3ti tica ca:: 5or 5or soli solici citu tud d de la Car Carrera era de *n4eniera *ndustrial de la (niversidad )ecnolB4ica del Per;: ilial ilial Arequ Arequi5a i5a:: 1a2o 1a2o el cuidad cuidado o de la docent docente e Alexan Alexandra dra Calcina ,ar4aya: en Arequi5a y se terminB el da !" de 2unio del !"#$8 -e ela1orB un e2em5lar8